Bài 3: 2 điểm Giải bài toán bằng cách lập phương trình.. Một nhóm học sinh được phân công chuyển 105 bó sách về thư viện của trường.. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tiếp
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ Năm học 2008 - 2009
MÔN TOÁN
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Rút gọn các biểu thức:
n m
n m
2
2
1
1 1
1
x x
b) Chứng minh rằng 0 C < 1
Bài 2: (1,5 điểm).
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và điểm A(2;8)
a) Tìm a biết Parabol (P) đi qua A
b) Tìm điều kiện của a để Parabol (P): y = ax2 cắt đường thẳng (d): y = x + 1
tại 2 điểm phân biệt
Bài 3: (2 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một nhóm học sinh được phân công chuyển 105 bó sách về thư viện của trường Đến buổi lao động có hai học sinh bị ốm nên không tham gia được, vì vậy mỗi học sinh phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển Hỏi lúc đầu nhóm có bao nhiêu học sinh? Biết số các bó sách mỗi học sinh chuyển là như nhau
Bài 4: (0,5 điểm)
Với x , y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức:
P = x 2 xy 3y 2 x 2009 , 5
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, Điểm M thuộc cung AB (M A ; M B) , Điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tiếp tuyến
Ax ; By của đường tròn (O) Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax , By lần lượt tại D và E AM cắt CD tại P, BM cắt CE tại Q
a) Chứng minh : Tứ giác ADMC ; BEMC là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh DAM + EBM = 900 và DCCE
c) Chứng minh PQ // AB
d) Tìm vị trí của điểm C để tứ giác APQC là hình bình hành
HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2QUẢNG TRỊ ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2008 - 2009
Bài 1: (2,5 điểm)
a)
A = 45 20 9 5 4 5 3 5 2 5 5 (0,5đ)
n m
n m n m n n
m
n
m
2
(0,5đ)
1
1 1
1
x x
) 1 )(
1
(
1 1
x
x x
x
x x
(0,5đ) =
1
1
1
2
x
x
x (0,25đ)
=
1
2
x
x (0,25đ)
b) Với x0 và x 1 x 0 ; x 1 và x + 1 > 0
Ta có ( 1 ) 2 0
x x - 2 x + 1 > 0 (0,25đ)
x + 1 > 2 x 0 0
1
2
x
x < 1 0 P < 1 (0,25đ)
Bài 2: (1,5 điểm)
a) A(2;8)(P) 8 = a.22 8 = 4a a = 2 (0,5đ)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
ax2 = x + 1 ax2 - x - 1 = 0 (1) (0,5đ)
Để Parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 (0,25đ)
1 + 4a > 0 a > 41 (0,25đ)
Bài 3:
Gọi số học sinh lúc đầu của nhóm là x
Điều kiện xN; x 2 (0,25đ) Theo dự định số bó sách mỗi học cần chuyển lúc đầu: 105x (bó) (0,25đ)
Vì có hai học sinh bị ốm nên số bó sách mỗi học sinh cần chuyển: 1052
x (bó) (0,25đ) Theo đề ra ta có phương trình: 1052
x - 105x = 6 (0,25đ)
105x - 105(x - 2) = 6x.(x - 2) 6x2 -12x - 210 = 0 (0,5đ) Giải phương trình ta được: x1 = 7 ; x2 = -5 (không thoả điều kiện) (0,25đ) Vậy số học sinh lúc đầu của nhóm là 7 học sinh (0,25đ)
Bài 4 (0,5 điểm)
Đặt x= a; y = b với x, y 0 ta có:
P = a2 – 2ab + 3b2 - 2a + 2009,5 = a2 – 2(b+1)a + 3b2 + 2009,5
= a2 – 2(b+1)a + (b + 1)2 + 2b2 – 2b + 2008,5 = (a – b – 1)2 + 2(b2 – b) + 2008,5
Trang 3= (a – b – 1)2 + 2(b2 – b + 14 ) + 2008,5 - 12 = (a – b – 1)2 + 2(b – 21 )2 + 2008
2 2 2
1
b a b
b a
4 1 4 9
2 1 2 3
y x y
x
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2008 khi
4 1 4 9
y
x
(0,25 điểm) Bài 5: a)(1,25điểm)
Ax ; By là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
nên: Ax AB, By AB DAC = CBE = 900 (0,5đ)
CMDE (gt) DMC = CME = 900 (0,25đ)
Từ trên ta có: DAC + DMC = 1800
Nên: Tứ giác ADMC nội tiếp được trong
một đường tròn (0,25đ)
Ta có: CBE + CME = 1800
Nên: Tứ giác BEMC nội tiếp (0,25đ)
a) (1 điểm)
Ta có: BAx + ABy = 1800
A1 + A2 + B1 + B2 = 1800
Do tam giác AMB vuông tại M (AB là đường kính)
nên A2 + B1 = 900 (0,25đ)
A1 + B2 = 900 (1) (0,25đ)
Tứ giác CMEB nội tiếp nên ta có: B2 = C2
Tứ giác ADMC nội tiếp nên ta có: A1 = C1
C1 + C2 = A1 + B2 (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ta có: C1 + C2 = 900 hay DCCE (0,25đ)
b) (0,75đ)
PMQ + PCQ = 1800 Tứ giác MPCQ nội tiếp MPQ = C2 (3) (0,25đ)
Ta có: C2 + C1 = 900 và A2 + A1 = 900 mà A1 = C1 A2 = C2 (4) (0,25đ)
Từ (3) và (4) MPQ = A2 PQ // AB (0,25đ)
c) (0,5đ)
PQ // AB QCB = PQC mà PQC = PMC (tứ giác PMQC nội tiếp)
QCB = PMC (0,25đ)
PQ // AB nên tứ giác APQC là hình bình hành AP // CQ A2 = QCB A2 = PMC
CAM cân tại C
C là giao điểm của AB với đường trung trực của dây AM CO (0,25đ)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ Năm học 2008 – 2009
MÔN TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm)
2 1 2
1 2
1
y x
Q P
E D
M
C
ĐỀ DỰ BỊ
Trang 4Cho biểu thức: P = a a a a a a a a
1
1 : 1 1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a = 4
c) Tìm các giá trị của a để P = 16
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho đường thẳng (D) : y = -4x + 3
Lập phương trình đường thẳng (D’) qua điểm A(0;2) và song song với đường thẳng (D)
Bài 3 (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai đối với x:
x2 – 2(m-1)x + 2m – 5 = 0 (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Bài 4 (0,5 điểm)
Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức:
8x2 + y2 + 2
4
1
x = 4 Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp được
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
d) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P Chạy trên một đoạn thẳng cố định
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2008 – 2009
MÔN TOÁN
Bài 1 (2,5 điểm)
HẾT
Trang 5a) Rút gọn P (1 điểm)
1
1 : 1 1
1
a
a a
a a a
a a
1
1 : 1
1 1
1 1
1
(0,5 điểm)
=
a
a a
a
1
1 1
P = 2
1
b) Tính giá trị của P khi a = 4 (1 điểm)
khi a = 4: P = 2
1
a = 2
1
= (2 + 1)2 = 9 (0,5 điểm)
c) Tìm các giá trị của a để P = 16.(0,5 điểm)
P = 16 2
1
a = 16 a 1 4 hoặc a 1 4(loại vì a 1 0) (0,25 điểm)
Bài 2 (1,5 điểm)
Phương trình đường thẳng (D’) có dạng: y = ax + b
(D’) qua A(0;2) 2 = a.0 + b b = 2 (0,5 điểm)
Vây Phương trình đường thẳng (D’) là y =-4x + 2 (0,5 điểm)
Bài 3 (2 điểm)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
'
= m2 -2m +1 + 2m +5 = m2 + 6 (0,25 điểm)
phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (0,25 điểm)
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm đó mang dấu gì?
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu x1.x2 > 0 2m-5 > 0 (0,25 điểm)
Khi đó: x1+ x2 = 2(m-1) > 0 (vì m > 2,5) (0,25 điểm)
Suy ra hai nghiệm phương trình (1) mang dấu dương (0,25 điểm)
Bài 4 (0,5 điểm)
8x2 + y2 + 4 2
1
4
1
2 2
x x
2
1 2
2
x x
Đẳng thức xảy ra khi:
x y x y
x x x
2 5 , 0 0
2
0 2
1 2
1 5 , 0
y
1 5 , 0
y x
Vậy tích xy đạt giá trị nhỏ nhất là -0,5 (0,25 điểm)
1 1
1
F
E P N
C
O
D M
Trang 6a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được.(1 điểm)
ON NP (NP là tiếp tuyến của (O)) ONP = 1v (0,5 điểm)
Tứ giác OMNP có OMP = ONP = 1v và cùng nhìn cạnh OP suy ra tứ giác OMNP
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.(1 điểm)
Ta có:
MP // OC (cùng vuông góc với AB) (*) C1 = M1 (1) (0,25 điểm)
Mặt khác:
M1 = O1 (vì tứ giác OMNP nội tiếp được) (2)
C1 = N1 (vì OCN cân) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra N1= O1 CM // OP (**) (0,5 điểm)
Từ (*) và (**) suy ra CMPO là hình bình hành (0,25 điểm)
c) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M (1 điểm)
Ta có:
CND = 1v (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn (O)) CND vuông tại D
Hai tam giác vuông CND và COM có: C1 chung COM ∾ CND (0,5 điểm)
CN
CO CD
CM
Như vậy tích CM.CN = 2R2 không đổi tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí
d) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P Chạy trên một đoạn thẳng cố định.(0,5 điểm)
Xét ONP và ODP
ON = OD (vì đều là bán kính của (O))
OP: Cạnh chung
O1 = N1 (OP//MN) và N1 = C1 (vì OCN cân) O1 = C1
Suy ra P chạy trên đường thẳng cố định Mà M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P
Chú ý: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa!
