Hướng dẫn giải 1 số dạng toán về mạch dao động LC

II. Xác định cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây. Đóng K 1 vào lúc cường độ dòng điện cuộn dây đạt cực đại. Tính lại hiệu điện thế cực đại 2 đầu cuộn dây.. Mạch được cung cấp một[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI 1 SỐ DẠNG TOÁN

VỀ MẠCH DAO ĐỘNG LC

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1 Biểu thức của điện tích, dòng điện, điện áp 2 đầu tụ:

- Điện tích tức thời: q = Q 0 cos(t + )

- Dòng điện tức thời: i = q’ = -  Q 0 sin(t + ) = I 0 cos(t +  - 2  )

- Hiệu điện thế tức thời 0

0 cos( t ) cos( t ) Q q u U C C        

2 Chu kì - tần số:

+ Tần số góc riêng

+ Chu kỳ riêng:

+ Tần số:

3 Năng lượng:

- Năng lượng điện từ của mạch W = Tổng năng lượng điện trường W C (tập trung ở tụ điện) và năng lượng từ 1 LC  2 T   LC 1 2 f LC  

E

C

L

1

2

trường W L (tập trung ở cuộn cảm)

- Năng lượng điện trường:

- Năng lượng điện từ:

- Khi điện tích của tụ tăng thì năng lượng điện trường ở tụ tăng dần, dòng điện trong mạch giảm và năng lượng từ trường ở cuộn cảm cũng giảm Khi điện tích của tụ giảm thì năng lượng điện trường ở tụ giảm dần, dòng điện trong mạch tăng và năng lượng từ trường ở cuộn cảm cũng tăng Nhưng tổng năng lượng điện

từ được bảo toàn (nếu mạch dao động là lý tưởng)

- Nếu mạch có điện trở trong R, thì sau thời gian t năng lượng chuyển thành nhiệt

2 W 2

DẠNG 1: MẠCH CÓ BỘ TỤ GHÉP NỐI TIẾP HOẶC SONG

SONG

I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Mạch gồm các tụ ghép song song

- Điện dung của bộ tụ:

- Điện áp tức thời ở 2 đầu mỗi tụ và bộ tụ: - Chu kì và tần số dao động của mạch: ; - Năng lượng ở mỗi tụ và năng lượng ở bộ tụ: ;

- Năng lượng ở cuộn cảm:

- Năng lượng của mạch:

Với: U0 là điện áp cực đại 2 đầu bộ tụ

1 2 CC C 1 2 1 2 1 2 q q q u u u C C C      2 T   LC 1 2 f LC   2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W 2 2 2 W 2 2 2 C C q C u q u C q C u q u C             2 2 1 2 W W W 2 2 2 C C C q qu Cu C      2 W 2 L Li  2 2 2 0 0 0 1 2 W W W W + W +W 2 2 2 C L C C L Q CU LI C       C1

C2

L

I0 cường độ dòng điện cực đại trong mạch

2) Mạch gồm các tụ ghép nối tiếp

- Điện dung của bộ tụ:

- Điện tích ở mỗi tụ và của bộ tụ: - Chu kì dao động của mạch: ; - Năng lượng ở mỗi tụ và năng lượng ở bộ tụ: ;

- Năng lượng ở cuộn cảm: - Năng lượng của mạch:

Với: U0 là điện áp cực đại 2 đầu bộ tụ ; I0 cường độ dòng điện cực đại trong mạch II BÀI TẬP VÍ DỤ Bài 1: Một mạch dao động gồm cuộn dây L và tụ điện C Nếu dùng tụ C 1 thì tần số dao động riêng của mạch là 60kHz, nếu dùng tụ C 2 thì tần số dao động riêng là 80kHz Hỏi tần số dao động riêng của mạch là bao nhiêu nếu:

a) Hai tụ C 1 và C 2 mắc song song

b) Hai tụ C 1 và C 2 mắc nối tiếp

Hướng dẫn:

Bài toán đề cập đến mạch dao động với 3 bộ tụ khác nhau, ta lập 3 biểu thức tần số tương ứng:

+ Khi dùng tụ C1:

1 2

C C C

qq q CuC u C u

2

2

f

LC





1

1

2

2

W

W

C

C

q C u q u

C

C











C C C

q qu Cu C

2 W 2

L

Li



C L C C L

Q CU LI C

C1 C2

L

2 2 2 2 2

2

41

41

21

LC f

LC f

LC f

Hướng dẫn:

- Ta tính hiệu điện thế 2 đầu tụ C2:

Vì C1 nối tiếp với C2 nên ta có:

- Năng lượng dao động của mạch:

2 1 2

1 1

2 1

1

141

12

4

LC f

Bài 3: Một mạch dao động điện từ gồm cuộn dây thuần cảm và 2 tụ điện mắc song song C 1 = 2C 2 = 3.10 -6 F Biết điện tích trên tụ C 2 và cường độ dòng điện qua cuộn dây vào thời điểm t và t 1 lần lượt là: ; 4mA và ;

a) Xác định điện dung tương đương của bộ tụ?

b) Xác định điện tích của bộ tụ tại hai thời điểm trên?

c) Tính độ tự cảm L của cuộn dây?

Hướng dẫn:

a) Điện dung tương đương của bộ tụ: C = C 1 + C 2 = 3.10 -6 +1,5.10 -6 = 4,510 -6 F

b) Điện tích của bộ tụ tại hai thời điểm: Vì C1 song song C2 nên ta có:                    C q C C q C q C q C q C C q C q C q u u 6 , 2 2 , 2 , 2 , 6 2 2 2 2 2 10 2 3 10 3 3 c) Năng lượng trong mạch bảo toàn nên ta có:

Giải phương trình trên ta tìm được: L = 0,125(H) Bài 4: Một mạch dao động điện từ lý tưởng đang hoạt động, cuộn dây có L = 5mH và hai tụ điện giống hệt nhau ghép nối tiếp Khi điện áp giữa hai đầu một tụ là 0,6V thì cường độ dòng điện trong mạch bằng 1,8mA Còn khi điện áp giữa hai đầu một tụ là 0,45V thì cường độ dòng điện trong mạch bằng 2,4mA Xác định điện dung của mỗi tụ?

Hướng dẫn:

Gọi C là điện dung của bộ C1 và C2 ghép nối tiếp

Ta có: C 1 = C 2 = 2C

Vì C1 và C2 ghép nối tiếp nên: C1u1 C2u2 Cu

1 1 2

4

W

,15

1, 485.10 2

C u u L

J

3 C

2 C 4 2mA

( ) ( ) ( ) (3 3.10 ) (4.10 ) (3 2.10 ) (4 2.10 )

W

C

Ta suy ra điện áp 2 đầu bộ tụ trong hai trường hợp là:

C

u C u

V u

C

u C u

9,02

2,12

2 2 2 ,

1 1 1

Năng lượng trong mạch bảo toàn nên ta có:

2 3 3

2 2

3 3

2 2

, 2 , 2

2

)10.4,2.(

10.59,0.)10.8,1(10.52,1.2

)(2

)(22

Cho mạch dao động lí tưởng (H.v)

Các tụ điện có điện dung

Cuộn thuần cảm có độ tự cảm

Trong mạch có dao động điện từ tự do với cường độ dòng điện cực đại trong mạch là a) Tính tần số biến thiên năng lượng từ trường của mạch

b) Tính điện áp cực đại giữa hai điểm A, M và M, B

c) Lúc điện áp giữa hai bản tụ điện C 1 là 6V thì độ lớn của cường độ dòng điện trong mạch bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

a) Tần số dao động riêng của mạch: Hz

C C

C C L LC

2

12

1

2 1

2 1

Suy ra tần số biến thiên của năng lượng từ trường là: f1 2f 318310Hz

b) + Điện áp cực đại hai đầu bộ tụ điện: V

C

L I U LI CU

152

2 0 2

1) Mạch mở khóa K trong trường hợp 2 tụ ghép song song.

- Đặt vấn đề: Mạch đang hoạt động, vào thời điểm (t) thì khóa K mở Sau khi mở khóa K hãy xác định:

a) Chu kì dao động của mạch?

b) Năng lượng của mạch?

c) Hiệu điện thế cực đại?

d) Cường độ dòng điện trong mạch?

- Giải quyết vấn đề:

a) Chu kì dao động: Khi mở khóa K mạch chỉ còn tụ C1 nên:

b) Năng lượng của mạch:

- Năng lượng ban đầu của mạch:

- Năng lượng của bộ tụ ngay trước khi mở khóa K:

- Năng lượng của mỗi tụ ngay trước khi mở khóa K:

(Vì 2 tụ mắc song song nên: )

- Ngay sau khi khóa K mở năng lượng của mạch bị mất, phần năng lượng đã mất chính là năng lượng ở tụ C2

: WMất = WC2

- Năng lượng còn lại của mạch: WCòn lại = WMạch – WMất = W - WC2

c) Hiệu điện thế cực đại: WCòn lại =

d) Cường độ dòng điện cực đại: WCòn lại =

2) Mạch đóng khóa K (hay mở) trong trường hợp 2 tụ ghép nối tiếp

1 2

C U

2 01 2

- Đặt vấn đề: Mạch đang hoạt động như hình 2, vào thời điểm (t) thì khóa K đóng Sau khi đóng khóa K

hãy xác định:

a) Chu kì dao động của mạch?

b) Năng lượng của mạch?

c) Hiệu điện thế cực đại hai dầu cuộn cảm?

d) Cường độ dòng điện trong mạch?

e) Mạch đang hoạt động như hình 3 Tại thời điểm điện tích của tụ C 1 là cực đại Q 0 thì mở khóa K

+ Xác định cường độ dòng điện cực đại trong mạch?

+ Xác định cường độ dòng điện trong mạch khi đi tích trên tụ C 2 cực đại?

- Giải quyết vấn đề:

a) Chu kì dao động: Khi mở khóa K mạch chỉ còn tụ C1 nên

b) Năng lượng của mạch:

- Năng lượng ban đầu của mạch:

- Năng lượng của bộ tụ ngay trước khi mở khóa K:

- Năng lượng của mỗi tụ ngay trước khi mở khóa K: (Vì 2 tụ mắc nối tiếp nên: )

- Ngay sau khi khóa K mở năng lượng của mạch bị mất, phần năng lượng đã mất chính là năng lượng ở tụ C2 : WMất = WC2

- Năng lượng còn lại của mạch: WCòn lại = WMạch – WMất = W - WC2

c) Hiệu điện thế cực đại: WCòn lại =

d) Cường độ dòng điện cực đại: WCòn lại =

1 2

T   LC

W

Q CU LI C

W

q Cu C

W

W

C

C

C C









q q

2

1 01 2

C U

2 01 2

LI

e) Theo định luật bảo toàn điện tích Sau khi mở khóa K điện tích trên hai tụ thỏa mãn:

+ Để xác định cường độ dòng điện cực đại ta khảo sát phương trình ( kết hợp (1) và (2))

Dùng điều kiện có nghiệm q 1 ta dễ dàng tìm được i

+ Để xác định i khi q 1 = 0 Từ q 1 + q 2 =Q 0 Suy ra q 2 =Q 0 Thế vào (2)

L C C

C C q i Li C

q C

Q

2 1

1 2 0 2

2

2 0 1

2 0

2

12

12

a Xác định cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây

b Đóng K 1 vào lúc cường độ dòng điện cuộn dây đạt cực đại Tính lại hiệu điện thế cực đại 2 đầu cuộn dây

L(2)

Hướng dẫn:

Xác định cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây:

Thời gian để năng lượng điện trường và năng lượng từ trường bằng nhau là

Do C1 nt C2 và C1 = C2 nên C1 = C2 = 2C = 0,25.10-6F

a) Từ công thức năng lượng

b) Khi đóng k1, năng lượng trên các tụ điện bằng không, tụ C1 bị loại khỏi hệ dao động nhưng năng lượng

không bị C1 mang theo, tức là năng lượng điện từ không đổi và bằng W0

- Hiệu điện thế cực đại 2 đầu cuộn dây:

V83,210.25,0

10.2C

W2U

WU

C

2

1

6 6

2

0 0

0 2 0

Bài 2: Một mạch dao động gồm cuộn thuần cảm L và hai tụ C 1 =2C 2 mắc nối tiếp Mạch được cung cấp

một năng lượng Mạch đang hoạt động thì ta đóng khóa K ngay tại thời điểm năng lượng

trong cuộn cảm triệt tiêu Xác định năng lượng toàn phần của mạch sau đó?

Hướng dẫn:

Khi năng lượng cuộn cảm triệt tiêu q = Q0 Năng lượng tập trung ở tụ điện

- Ngay trước khi đóng khóa K:

+ Năng lượng của bộ tụ là:

+ Vì C1 nối tiếp C2 nên năng lượng của mỗi tụ thỏa mãn:

32

1 2 2 1

0 2

1

W W C

C W W

W W W W

C

C C

C C C

W

W C 

Vậy năng lượng còn lại là:W W W W 6J

0 0

0

3

23

Bài 3: Một mạch dao động lý tưởng đang hoạt động, cuộn dây có L=50mH và hai tụ điện giống hệt nhau,

ghép song song Điện tích của bộ tụ biến thiên theo biểu thức: Tại thời điểm , tụ điện C 2 bị đánh thủng Xác định điện áp cực đại hai đầu cuộn dây sau đó

- Tại thời điểm Điện tích

- Khi tụ tụ điện C2 bị đánh thủng năng lượng trong mạch không bị mất, nên:

Vậy điện áp cực đại hai đầu cuộn dây bằng điện áp 2 đầu tụ C 1 :

Bài 4 (HSG Thanh Hóa 2013 - 2014):

Cho mạch dao động như hình vẽ:

C 1 và C 2 là các điện dung của hai tụ điện, L là độ tự cảm của một cuộn cảm thuần Biết C 1 = 4 F, C 2 =

8 F, L = 0,4 mH Điện trở khóa K và các dây nối là không đáng kể

a) Ban đầu khóa K đóng, trong mạch có dao động điện từ với điện tích cực đại trên tụ C 1 là Q 0 = 1,2.10 -5 C Tính chu kỳ dao động riêng của mạch và cường độ dòng điện cực đại trong mạch

b) Tại thời điểm điện áp giữa hai bản của tụ C 1 đạt cực đại người ta mở khoá K Xác định độ lớn cường độ dòng điện trong mạch tại thời điểm điện áp giữa hai bản của tụ C 1 bằng không

Hướng dẫn:

a) Do khóa K đóng nên tụ C2 bị nối tắt, mạch dao động gồm L nối kín với C1 - Chu kỳ dao động của mạch: = 8.10-5s hay T  0,25ms - Cường độ dòng điện cực đại trong mạch:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng điện từ của mạch :

c) Tại thời điểm điện áp giữa hai bản của tụ C1 đạt cực đại người ta mở khoá K thì năng lượng của mạch tập trung ở tụ điện C1 và không ảnh hưởng gì, tụ không làm mất điện tích

- Theo định luật bảo toàn điện tích, sau khi mở khóa K điện tích của 2 tụ thỏa mãn:

- Tại thời điểm điện áp giữa hai bản của tụ C1 là , điện tích trên tụ C2 là:

Suy ra Năng lượng của mạch: Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

1

T   L C

1

2π.Q

2C 2

I

T

q q Q

u  q  q2Q0 q1 Q0

2

W

Q

2

0

C

0,15 2



Bài 5 (HSG-Nghệ An 2011-2012 – Ý 2): Cho mạch dao động lí tưởng như hình vẽ

Các tụ điện có điện dung

Cuộn thuần cảm có độ tự cảm

Bỏ qua điện trở khoá K và dây nối Ban đầu khoá K ngắt, tụ điện C 1 được tích điện đến điện áp 10V, còn

tụ điện C 2 chưa tích điện Sau đó đóng khoá K Tính cường độ dòng điện cực đại trong mạch

Hướng dẫn:

+ Theo định luật bảo toàn điện tích: (1)

+ Theo định luật bảo toàn năng lượng: (2)

+ Rút q 2 từ (1) thay vào (2) ta được phương trình:

DẠNG 3: MẠCH CÓ THÊM ĐIỆN TRỞ THUẦN R (HOẶC

CUỘN DÂY KHÔNG THUẦN CẢM)

b) Xác định thời gian kể từ lúc mở khóa K đến khi mạch tắt dao động:

Sau thời gian (t) năng lượng ban đầu của mạch chuyển dần thành nhiệt nên ta có:

t t

mạch có điện trở thuần 10 -2 Ω, để duy trì dao động trong mạch với hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện

là 12V thì phải cung cấp cho mạch một công suất trung bình là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

- Năng lượng ban đầu của mạch: Suy ra:

- Công suất trung bình cần cung cấp:

Bài tập 2: Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C = 0,2mF, cuộn dây (có hệ số tự cảm L = 0,01H; điện trở trong R 0 = 3 Ω ) và một điện trở R = 2 Ω (Hình vẽ)

Cung cấp năng lượng cho mạch bởi một nguồn điện một chiều có suất điện động E = 12V và điện trở trong r = 1 Ω Khi mạch đã ổn định người ta ngắt nguồn ra khỏi mạch để cho mạch dao động

a) Tính nhiệt lượng tỏa ra trên R và R 0 kể từ khi ngắt nguồn ra khỏi mạch đến khi mạch tắt dao động?

b) Tính thời gian kể từ khi ngắt nguồn đến khi mạch tắt dao động?

Hướng dẫn:

- Ngay sau khi ngắt nguồn thì dòng điện trong mạch và điện áp 2 đầu tụ là:

- Năng lượng ban đầu của mạch là:

- Theo định luật bảo toàn năng lượng thì sau khi mạch tắt dao động năng lượng chuyển hoàn toàn thành 2 2 0 0 W 2 2 CU LI   2 02 0 CU I L  2 2 6 2 2 0 0 2 6 3 5.10 12 10 72.10 W 2 2 2.50.10 I CU P I R R R L          0 0 0 0 0 12 2 2 3 1 ( ) 2(2 3) 10 E I A R R r U I R R V                  2 2 3 2 2 0 0 0, 2.10 10 0, 001.2 W 0, 012 2 2 2 2 CU LI J      

E, r

C

L,R0 R

K

nhiệt trên điện trở Nên Q = W = 0,012J

b) Thời gian mạch dao động:

Bài tập 3 (HSG Thanh Hóa 2012 - 2013): Mạch điện như hình bên gồm: nguồn không đổi có suất

điện động E = 32 V, điện trở trong r = 1 , tụ điện có điện dung C = 100 F (ban đầu chưa tích điện), cuộn dây không thuần cảm có hệ số tự cảm L = 0,1 H, điện trở hoạt động R 0 = 5 và điện trở thuần R = 10 Ban đầu khoá K đóng, khi trạng thái trong mạch đã ổn định người ta ngắt khoá K a) Tính năng lượng điện từ trong mạch ngay sau khi ngắt khóa K b) Tính nhiệt lượng toả ra trên điện trở R trong thời gian từ khi ngắt khoá K đến khi dao động trong mạch tắt hoàn toàn

Hướng dẫn:

a) Ngay sau khi ngắt nguồn thì dòng điện trong mạch và điện áp 2 đầu tụ là:

- Năng lượng điện từ của mạch là:

b) Khi dao động trong mạch tắt hẳn thì toàn bộ năng lượng điện từ của mạch đã chuyển hết thành nhiệt tỏa ra trên hai điện trở: 0,245 (1) 0   R R Q Q Nhiệt lượng tỏa ra trên các điện trở thuần trong cùng một thời gian tỉ lệ thuận với điện trở của chúng:

) 2 ( 2 5

10

0

0







R

R

Q

Q

R

3

0 0

0 0

2

2

U I



0

0

32

2

10 5 1 ( ) 2(10 5) 30

E

R R r





CU LI

J

R

K

L,R 0

Từ (1) và (2) Suy ra QR  0 , 163   J

Bài tập 4: Một mạch dao động (Hình vẽ) Cuộn dây có L=4mH và tụ điện có điện dung

, điện trở R = 10 Ban đầu khóa K đóng, tụ điện được tích điện đến giá trị cực đại Q 0 = 2.10 -3 C

1) Tính cường độ dòng điện cực đại trong mạch?

2) Vào thời điểm (t) mở khóa K

a) Tính thời gian kể từ thời điểm mở khóa K đến khi mạch tắt hoàn toàn dao động?

b) Sau khi mở khóa K một thời gian thì nhiệt lượng tỏa ra trên R là 2.10 -3 J thì khóa K lại đóng Xác định lại cường độ dòng điện trong mạch?

Hướng dẫn:

1- Khi khóa K đóng, năng lượng của mạch bảo toàn:

2- Khi khóa K mở, năng lượng trong mạch chuyển dần thành nhiệt

a) Sau thời gian t mạch tắt dao động Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng

Thời gian cần tìm là 4.10-4s

b) Xác định lại cường độ dòng điện trong mạch

– Năng lượng ban đầu của mạch:

– Năng lượng còn lại sau khi đóng khóa K là: W 1 = W - Q tỏa ra = 2.10 -3 J

4

2, 5.10

2.10



 

2 2

4

LI I L

R



2

3 0

2

Q

J C



L K