a.- Viết phương trình của đường thẳng BC.. b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD.. Chứng minh rằng 4
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯƠNG TRÀ
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút
–––––––––––––––––––
Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Hãy tính giá trị của biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng:
3 3
3
3 5 + 2 6 + 5 − 2 6 ; = 17 + 12 2 + 17 − 12 2
máy tính cầm tay)
Câu 3: (3 điểm)
Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC
a.- Viết phương trình của đường thẳng BC
b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Câu 4: (5 điểm)
a.- Cho x > 0; y > 0 Chứng minh rằng x y
y x y
4 1
1
∀ +
≥ +
b.- Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Đặt p = a +2b +c Chứng minh rằng nếu p1a p1 b p1 c =a2 +b2 +c2
−
+
−
+
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a,
b, c
) )(
(
.SinB c SinC a b c SinA SinB SinC b
SinA
Câu 6: (4 điểm)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD Chứng minh rằng 4 điểm
A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn
––––––––––––––
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯƠNG TRÀ
-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9
–––––––––––––––––––
Câu 1: (2 điểm)
Gợi ý giải:
+ Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n2 cho 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (1) (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n2 chia hết cho 3; nếu n = 3k ± 1 thì n2 = 3p + 1 nên n2
chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên )
+ Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp Đặt m = (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 thì m = 3a2 + 2 (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải
là bình phương của một số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Gợi ý giải:
Từ giả thiết suy ra a3 = 10 + 3a; b3 = 34 + 3b
Suy ra P = (a3 – 3a) + (b3 – 3b) + 2008 = 2052
Câu 3: (3 điểm)
Gợi ý giải:
a.- + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = 32 x – 13
+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y =
3
2
x + b Vì N thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6
Vậy phương trình của đường thẳng BC là y =
3
2
x – 6 b.-
+ Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y =
2
7
x – 6
+ Giải hệ
−
=
+
−
=
6 2 7
28 5
x y
x y
ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8)
Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2)
+ Gọi d1 là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d2 là đường thẳng đi qua C
và song song với AB
Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d1 là y = ( 1 )
3
16 3
trình của đường thẳng d2 là y =
2
7
x – 23 (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ giao điểm của d1 và d2 Vậy D(10; 12)
Câu 4: (5 điểm)
Gợi ý giải:
a.- Vì x > 0; y > 0 nên 1x +1y ≥x +4y ⇔ ⇔ (x – y)2 ≥ 0
Trang 3Vậy nếu x > 0; y > 0 thì x y
y x y
4 1
1
∀ +
≥ + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y b.- Từ giả thiết suy ra 1 b 2c a
a p
− +
=
=
−
>
p
Áp dụng kết quả câu a ta có: p1−a + p1−b ≥2p −4(a+b) =4c
Tương tự, suy ra p 1 a p1 b p1 c ≥a2+b2 +2c
−
+
−
+
−
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a cb
ap cp
cp bp
bp ap
ba pc p
ac pb p
cb pa p
==
⇔
−=
−
−=
−
−=
−
⇔
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
4 1 1
4 1 1
4 1 1
Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu 5: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Vẽ đường cao AH Ta có SinC HC AH SinB b SinC c
HB
AH B
+ +
+ +
=
=
SinC SinB
SinA
c b a SinC
c SinB
b SinA a
Vậy aSinA + bSinB + cSinC = = (SinA+SinB +SinC). k (1)
Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k
Suy ra: (a+b+c)(SinA+SinB+SinC) = (SinA +SinB +SinC). k (2)
Từ (1) và (2) ta có đ.p.c.m
Câu 6: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh IP ⊥ AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD Suy ra DI ⊥AP (1)
Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AP ⊥ PQ suy ra đ.p.c.m
* Chú ý:
+ Điểm tối đa ở mỗi phần chỉ chấm với những bài làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp Điểm tổng cộng của toàn bài không làm tròn.
+ Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất.
––––––––––––