Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]
Trang 1LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TOÁN 11
1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y f x xác định trên a b và điểm ; x0 a b;
Định nghĩa: Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm tại xx0, kí hiệu f x0 nếu giới hạn
0
0
0 0
0
f x
Ở đó, x x x0 là số gia của biến số tại điểm x 0
0 0 0
y f x f x f x x f x
Ta thường hay sử dụng công thức y f x 0 x f x 0 để tính số gia của hàm số ứng với số gia x
tại điểm x 0
Ví dụ: Tính số gia của hàm số yx2 ứng với số gia x của biến số tại điểm x0 2
y f x x f x x x x x x x x x x x x
Vậy tại x0 2 thì 2 2 2
0
2 Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
- Bước 1: Tính f x f x 0
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
yx tại điểm x0 2
- Bước 1: Ta có: 2 2 2
f x f x x
- Bước 2:
0
0
0
x
Vậy f 2 4
Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm 0 x 0
Ngược lại, hàm số y f x liên tục tại x thì chưa chắc đã có đạo hàm tại 0 x 0
Ví dụ: Xét hàm số y x liên tục tại x0 0
Trang 2Tính:
0
0
0 0
0
0
x
x x
Ta có:
Vậy không tồn tại
0
lim
x
x x
Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0
3 Bài tập
Câu 1: Tìm a b, để hàm số
2
1
0 1
0
x
khi x
f x x
ax b khi x
có đạo hàm tại điểm x0
A
11 11
a
b
10 10
a b
12 12
a b
1 1
a b
Hướng dẫn giải Chọn D
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x0
lim ( ) 1 (0), lim ( ) 1
f x f f x b b
Xét
1
f x f x
( ) (0)
f x f
a a x
Hàm số có đạo hàm tại x 0 a 1
Câu 2: Tìm a b, để hàm số
2
1 ( )
s in cos
ax bx
f x
a x b x
0 0
khi x khi x
có đạo hàm tại điểm x0 0
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có: f(0) 1
2
lim ( ) lim ( s in cos )
Để hàm số liên tục thì b1
Trang 30
2
1 1
2 sin cos 2 sin
lim lim cos lim lim sin
x
ax x f
x
a
a b x f
Để tồn tại (0)f f(0 ) f(0 ) a 1
Giới hạn lượng giác 0 ( ) 0
( )
x x f x f x
Câu 3: Cho hàm số ( )f x x x( 1)(x2) (x1000) Tính f(0)
Hướng dẫn giải Chọn B
( ) (0) ( 1)( 2) ( 1000) 0
0 ( 1)( 2) ( 1000) 1000!
f x f x x x x
Câu 4: Cho hàm số
( ) 0
0 0
khi x khi x
.Giá trị của f(0) bằng:
A
1
5 3
4
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có:
3
x
0
x
f x x
0 0
khi x khi x
.Để tìm đạo hàm f x'( )0 một học sinh lập luận qua
Trang 4( ) sin
x
2.Khix0 thì x 0
nên f x( ) 0 f x( )0
3.Do
lim ( ) lim ( ) (0) 0
f x f x f
nên hàm số liên tục tạix0
4.Từ f x( ) liên tục tạix 0 f x( ) có đạo hàm tạix0
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
Hướng dẫn giải Chọn D
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa 0
sin 0
f x f
giới hạn khi x0
1 sin ( )
0
x
f x x
0 0
khi x khi x
(1) Hàm số ( )f x liên tục tại điểm x0
(2) Hàm số ( )f x không có đạo hàm tại điểm x0
Trong các mệnh đề trên:
Hướng dẫn giải Chọn C
1 sin
x
lim lim sin lim 0 lim sin 0 0
Vậy hàm số liên tục tại x0
Xét
2 0
0
x
f x f
Lấy dãy (xn):
1 2 2
n
x
n
có:
Trang 5
1
2 2
2
n
:
2 2
6
n n
x x
n
, tương tự ta cũng có:
2
0
f x f
Câu 7: Cho hàm số
2
( )
2 1
ax bx
f x
x
1 1
khi x khi x
.Tìm ,a b để hàm số có đạo hàm tại x1
Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có:
1
1
x
f x a b f
a b
1
Ta có hệ:
x x khi x
f x
x khi x
A
1
x khi x
f x
khi x x
1 1
x khi x
f x
khi x x
C
1
x khi x
f x
khi x x
1
x khi x
f x
khi x x
Hướng dẫn giải
Trang 6Với x1: f x 2x1
Với
1:
x
Với x1, ta có
Vậy
1
x khi x
f x
khi x x
2
2
1
0 1
0
x x
khi x
f x x
x ax b khi x
Tìm a, b để hàm số f x có đạo hàm trên
A a0, b11 B a10, b11 C a20, b21 D a0, b1
Hướng dẫn giải Chọn D
Với x0 hàm số luôn có đạo hàm
Để hàm số có đạo hàm trên thì hàm số phải có đạo hàm tại x0
0
x
f x
0
x
f x b b
Để hàm số liên tục tại x 0 b 1
2
1 1
0
x x
0
a
0
a
Vậy a0, b1
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí