Bài tập lý thuyết module dương quốc việt (chủ biên) và những tác giả khác

Tập rA/ các phần tử xoắn của A/ được gọi là m odule con xoắn của M.. Mỗi nhóm Abel tự nó là một Z-module, do đó các khái niệm p h ầ n tử xoắn, nhóm con xoắn, nhóm xoắn, nhóm không xoắn

Dương Quốc Việt (Chủ biên)

Lê Văn Đính - Đặng Đình Hanh - Đào Ngọc Minh Nguyễn Công Minh - Trương Thị Hồng Thanh - Phan Thị Thuỷ

DƯƠNG QUỐC VIỆT (Chủ biên) - LÊ VĂN ĐÍNH

ĐẶNG ĐÌNH HANH - Đ À O NGỌC MINH -N G U Y Ễ N CỒNG MINH

TRƯƠNG TRỊ HỔNG THANH - PHAN THỊ THUỶ

(Tái bản lần thứ nhất)

Mã số: 01.01.09/95 - ĐH 2013

Mục lục

1 Module, module con và module th ư ơ n g 11

2 Tổng và giao các module c o n 14

3 Đồng cấu và các định lí đồng cấu m o d u l e 17

2 T ích tr ự c t iế p , tổ n g tr ự c t iế p , d ã y k h ớ p v à g iớ i h ạ n 23 1 Tích và tổng trực tiếp các m o d u le 23

2 Tổng trực tiếp trong 27

3 Dãy k h ớ p 29

4 Giới hạn 32

3 M o d u le tự d o , m o d u le h ữ u h ạ n sin h , m o d u le x ạ ả n h v à m o d u le n ộ i x ạ 39 1 Module tự d o 39

2 Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán 42

3 Module xạ ảnh và module nội x ạ 45

4 Đ ịa p h ư ơ n g h ó a v à h ạ n g m ở r ộ n g c ủ a m o d u le 51 1 Khái niệm địa phương h ó a 51

2 Một sô'tính chất của địa phương h ó a 53

3 Hạng mở rộng của m o d u le 58

5 T ích t e n x ơ c ủ a m o d u le 61 1 Xây dựng tích te n x ơ 61

2 Một sô' tính chất cơ bản của tích t e n x ơ 64

3 Tích tenxơ và dãy khớp, module phẳng 66

4 Tích tenxơ và địa phương h ó a 68

6 M o d u le N o e t h e r v à m o d u le A r tin 71 1 Module N o e t h e r 71

2 Phân tích nguyên sơ trong module Noether 74

3 Module Artin 81

4 Module có độ dài hữu h ạ n 83

7 N h ó m A b e l h ữ u h ạ n s in h v à m o d u le t r ê n v à n h c h ín h 87 1 Nhóm Abel hữu hạn sinh 87

2 Module trên vành c h í n h 92

II H ướng d ẫn g iả i 97 1 Đ ạ i c ư ơ n g v ề m o d u le 99 1 Module, module con và m odule th ư ơ n g 99

2 Tổng và giao các m odule c o n 101

3 Đồng cấu và các định lí đồng cấu m o d u l e 104

} 2 T íc h tr ự c t iế p , t ổ n g tr ự c tiế p , d ã y k h ớ p v à g iớ i h ạ n 109 1 Tích và tổng trực tiếp các m o d u le 109

2 Tổng trực tiếp trong 114

3 D ãy k h ớ p 116

4 Giới h ạ n 122

3 M o d u le tự d o , m o d u le h ữ u h ạ n s in h , m o d u le x ạ ả n h v à m o d u le n ộ i x ạ 131 1 Module tự d o 131

2 Module hữu hạn sinh trên vành giao h o á n 135

3 Module xạ ảnh và m odule nội x ạ 138

4 Đ ịa p h ư ơ n g h ó a v à h ạ n g m ở r ộ n g c ủ a M o d u le 149 1 Khái niệm địa phương h ó a 149

2 M ột số" tính chất của địa phương h ó a 152

3 H ạng mở rộng của m o d u le 159

5 T ích te n x ơ c ủ a m o d u le 165

1 Xây dựng tích te n x ơ 165

2 Một sô^ tính chất cơ bản của tích t e n x ơ 170

3 Tích tenxơ và dãy khớp, module phẳng 173

4 Tích tenxơ và địa phương h ó a 180

6 M o d u le N o e t h e r v à m o d u le A r tin 183 1 Module N o e t h e r 183

2 Phân tích nguyên sơ trong module N o e t h e r 188

3 Module Artin 196

4 Module có độ dài hữu h ạ n 198

7 N h ó m A b el h ữ u h ạ n s in h v à m o d u le t r ê n v à n h c h ín h 203 1 Nhóm Abel hữu h ạn sinh 203

2 Module trên vành c h í n h 206

Lời n ó i đầu

Giáo trinh này nhằm phục vụ trực tiếp cho việc g iả n g d ạ y và học tập môn Cơ sở lí thuyết module Sách gồm hai ph ần: P h ần I là tóm tắt lí thuyết và các đ ề bài tập tương ứng; P hần I I là lời giải Hệ thống tóm tắ t lí thuyết và các bài tập được rút ra từ g iá o trinh Cơ sở

lí th u y ế t m o d u l e của tác giả Dương Quốc Việt [8] Thông qua hệ thống bài tập này, bạn đọc sẽ có điều kiện hiểu său và rộng thêm lí thuyết củng như những kĩ thuật đ a dạn g mà các lời g iả i trong sách mang lại.

Cuốn sách này được hoàn thành bởi một nhóm g iả n g viên trẻ hiện đang là m việc tại Bộ môn Đ ại số, Khoa Toán-Tin, Trường Đ ại học Sư p h ạ m H à Nội dưới sự chủ tri của tác giả Dương Quốc Việt Chúng tôi tin răng các đồng nghiệp và các bạn sinh viên thông qua giản g dạy và học tập sẽ đóng góp thêm những lời g iả i khác hoặc những cách nhin khác, làm phong phú thêm nội d u n g của sách.

C ác t á c g iả

P h ầ n l Tóm tắt lí thuyết và bài tập

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỂ MODULE

§ 1 MODULE, MODULE CON VÀ MODULE THƯƠNG

tiên đê' sau đưỢc thỏa mãn:

( M |) : a{.i + Ịj) = a.v + ay.

Khi N là một module con của module /V/, thì ta nói rằng M là một module mở rộng của N

Đ ịn h lí 1.3 M ột tập con N của một A-module M là m ột A-module

con của M nếu và chỉ nếu Om 6 A/' yà a.r + by E N với mọi T, ịj e N

uà a,b e A.

3 M odule th ư ơ n g

thương cộng Abel { M/ N, +) cùng với phép nhân ngoài cho bởi

fi(,7' + A/) = (u: + V với mọi a e A v k mọi ,T + N e h 1 / N lập thành một /4-module

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Cho A' là một module con của một /1-module M

Khi đó /1-module M / N xác định như trên được gọi là module thương

của M theo N.

4 M odule con x o ắ n

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Giả sử A là m iền nguyên, và A/ là một ,4-module

Một phần tử X của M được gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại một phần

tử 0 / a G 4 sao cho ax = 0 Tập các phần tử xoắn của A/ được kí

hiệu l ằ t { M)

M ện h đ ề 1.6 Cho 4 Là m ột miền nguyên và u là m ột A-module

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Giả sử A/ là một module trên một m iền nguyên

A Tập r(A/) các phần tử xoắn của A/ được gọi là m odule con xoắn

của M Nếu t { M) - {0,u}, thì M được gọi là module không xoắn-, còn

nếu t { ầ í ) — M , thì h ỉ được gọi là m odule xoắn.

Mỗi nhóm Abel tự nó là một Z-module, do đó các khái niệm p h ầ n

tử xoắn, nhóm con xoắn, nhóm xoắn, nhóm không xoắn trong lớp các

nhóm Abel có thể được xác định thông qua ngôn ngữ của Z-module.

M ệ n h đ ề 1.8 Giả sử A là m ột miền nguyên và M là một A-module

K h i dó ta có các kh ắn g địn h sau:

(ii) M / t {M) là m ột A-module không xoắn.

1.2 Tập con / của một vành A là một ideal trái của A khi và chỉ khi

/ là một 4-module con của /1-module 4.

1.3 Cho /1-module M và / là một ideal của A chứa trong Ann(M) Chứng m inh rằng có th ể biến M thành một A/7-m odule sao cho một tập con của M là Ẩ-module con của M nếu và chỉ nếu nó là một y4//-m odule con của M.

1.4 Cho A là một vành giao hoán, có đơn vỊ và M là một 4-module Với V và \\' là các /4-module con của ,A/, còn I là m ột ideal của A, ta

kí hiệu

V : w = ịa e A \ ax e V với mọi X e W } ,

V : ĩ ^ {x e A4 \ ax e V với mọi 0 e /}

Chứng m inh rằng

(i) V : W là một ideal của A và Ann(M) = O m : M.

(ii) V : W = Á khi và chỉ khi M/ c V.

(iii) / là một module con của M chứa V.

(iv) r : / - V nếu / = .4.

(v) V : I = A/ khi và chỉ khi / c Ai m{ M/ V)

1.5 Cho / : /1 13 là một đồng cấu vành có / ( l i) = và 1/ là một

ổ-m odule Chứng minh rằng quy tắc Ị 1 : /1 X M \ l xác định bởi: /í(a, x) = f { a) x với mọi a G /l và mọi i e A/, là một phép toán nhân ngoài các phần tử của A với A/ và với phép toán này thì M cũng trở

thành một /1-module.

1.6 Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và Aỉ là một 4-module Giả sử X là một phần tử của A/ Khi đó X được gọi là một p h ầ n tử chia đưỢc của M nếu với mỗi 0 ^ a e A đều tồn tại y e M để J- = ay Kí hiệu ơ{ M) là tập tấ t cả các phần tử chia được của M N ếu ơ{ M) — M thì M được gọi là một module chia được Hãy chứng m inh rằng: (i) ơ(y\/) là một module con của M

(ii) Nếu M có tính chất: ax Ỷ 0 với mọi a G 4, 7^ 0 và mọi 'S e M,

X ^ 0, th ì ơ { M ) là m ột m odule chia được

(iii) A là một /l-m odule chia được khi và chỉ khi i\ là một trường.

§2 TỔNG VÀ GIAO CÁC MODULE CON

1 T ổn g và g ia o cá c m o d u le

Cho / là một tập khác rỗng và {Na}nei là một họ tùy ý các module con của một y4-module A'í Khi đó kí hiệu /Va là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của 1J Nn :

N„ = {xs + ■ ■ + Xy \ Xs e Nfi— , e Ny] ỏ 7 6 /}.

aẽ/

Đ ịn h lí 2.1 Giả sử ỉà một họ tùy ý các module con của một A-module M K h i đó ta có:

(ii) N ếu họ { AV }aG/ ^ồng nhau {tức là vm a 3 e ỉ bất k i thi :V^ c ,/V.í

2 M od u le co n s in h bởi m ộ t tập

Đ ịn h n g h ĩa 2.2 Giả sử 5 là một tập con của một /1-module ầf Khi

đó giao của tấ t cả các module con chứa s của M cũng là một module con của ;U M odule con này được gọi là module con của M sinh bởi

s N ếu module con sinh bởi s chính là ,\í, thì ta bảo rằng s là một

hệ sinh của i\[ Hệ sinh s của M được gọi là một hệ sinh cực tiếu, nếu s không chứa thực sự một hệ sinh nào của Aí N ếu i\ỉ có một

hệ sinh hữu hạn, thì ta nói M là một module hữu hạn sinh Khi M

có một hệ sinh chỉ gồm một phần tử, thì M được gọi là một module đơn sinh.

Giả sử s là một tập con khác rỗng của một y4-module M Khi đó

mỗi tổng fi,x, trong đó Xi, , , Xn e 5 và ữ], , € /4 được gọi

là một tổ hỢp tuyến tính của các phần tử của s

Đ ịn h lí 2.3 Cho s là m ột tập con khác rỗng của m ột A-module Aỉ

K hi đó module con sinh bởi s chính là module con nhỏ nhất chứa s của M, và m odule con này củng là tập tất cả các t ổ hợp tuyến tính của các p h ầ n tử của s.

Cho ĩ là một tập con khác rỗng của A và s là một tập con khác

rỗng của một '1-module ì/ Kí hiệu

lì

/ 5 = 1 ^ a,s, I 01, e /; ò’i , s,„ e 5 ; ^ 1 1

i=\

Đ ịn h lí 2.4 Cho s là một tập con khác rỗng của một A-module M,

và ỉ là m ột tập con khác rỗng của A K hi đó IS là một module con của M nếu m ột trong các điều kiện sau đây đưỢc thỏa mãn.

1 6 Chưdng 1 ĐẠlCƯONGVẾMODULE

(i) 7 là m ột ideal trái của A.

(ii) Các p h ầ n tử của / là các hoán tử của A v à s là một module con của M.

H ệ q u ả 2.5 Cho s là m ột module con của một A-module M K h i

đó, nếu A là một vành g ia o hoán ưà I là một tập khác rỗng của A,

th ì IS là một module con của M.

2.2 Chỉ ra một m odule hữu hạn sinh, nhưng có module con không hữu hạn sinh.

2.3 Chứng m inh rằng nếu s là một hệ sinh của 4-module M, th ì

M = Y ^ /l.s.

s 6 S

2.4 Tìm ví dụ về m odule không có hệ sinh cực tiểu.

2.5 Tìm ví dụ về một m odule có các hệ sinh cực tiểu không có cùng

2.8 Cho A là một m iền nguyên và M là một v4-module sinh bởi tập

s Chứng m inh rằng M là xoắn (tương ứng, chia được) nếu và chỉ nếu các phần tử của s là xoắn (tương ứng, chia được).

2.9 Chứng m inh rằng các hệ sinh cực tiểu của một m odule hữu hạn

sin h chỉ có hữu hạn phần tử.

2.10 Chứng minh rằng nếu / và J đều là các ideal trái của vành A,

còn s và u là các tập con khác rỗng của một ,4-module M, thì

( / + J )S = ỈS + JS và 7(5 u ơ ) = IS + IU.

§a ĐỒNG CẤU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐồNG CẤU MODULE

1 Đ ồ n g câu c á c m o d u le

Đ ịn h n g h ĩa 3.1 Một ánh xạ / từ 4-module M vào /1-module /1/'

đưỢc gọi là một đồng cấu A-module hay ánh xạ tuyến tính nếu /

thỏa mãn hai tính chất sau;

(i) f { x + y) = /(.r) + /(y ) với mọi X , ỵ € M.

(ii) /(cíx) = af {x) với mọi u e 4 và mọi X e iV/.

N ếu một đồng cấu / là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương

ứng được gọi là m ộ tđ ơ n c ấ u , toàn cấu , đ ẳ n g c ấ u N ếu Ị { M) = {Oa/'|, thì / được gọi là đồng cấu không và thường được viết là 0 Ta kí hiệu

K er/ — /■ '(0 ) v à gọi n ó ì a h ạ t n h â n h à y h ạ c h c ủ a / ,c ò n I m / = f { M) được gọi là ảnh của / Coker/ = M'/ln\Ị' được gọi là đối hạch của / ,

còn Coim/ = 7V//Ker/ được gọi là đối ảnh của / Một đồng cấu từ M vào M được gọi là một tự đồng cấu của A/ Hai 4-module M và M' đưỢc gọi là đẳ n g cấu, và viết là A/ = M', nếu tồn tại một đẳng cấu

,4-module từ A/ đến A/'.

M ệ n h đ ề 3.2 ánh xạ f ■ Af M' là một đồng cấu các A-moduỉe khi và chỉ khi

f { a x + by) = « / ( r ) + b f [ y )

với mọi a, b e A ưà mọi X, y e M.

M ệ n h đ ể 3.3 Nếu các ánh xạ f : M M' và g \ h'I' ^ M ” là hai

đ ồn g cấu các A-module, thi ánh xạ tích g f củng là m ột đồng cấu A-module từ M vào /Ví",

18 C h ư ơ n g ĩ DẠ I C ƯƠX C : V Ê M O n U L

Cho M và N là các /í-m odule, kí hiệu Hom ,i(,ì/, V) là tập tất cả các /l-đồng cấu từ A/ vào N Trong trường hỢp ,4 là một vành giao hoán, thì với mọi f , g E Hom^(y\/, N) và mọi a.b e 1, ta xác định đôi tưỢng a f + bg như sau:

( a / + bg) { x ) = a / ( : r ) + bg{.r)

với mọi X e M Khi đó, bởi 4 là một vành giao hoán, nên

( ữ / + b g ) { c x + dy ) — c[a / + b(j]{.r) + d[(i f + bfj]{y)

v ố i m ọ i X , y G A / v à m ọ i c r ì e A D o đ ó

<'l.f + .V).

Tập Hom^(yi/, N), với các phép toán xác định như vậ3^ trở th àn h một

/1-module, được gọi là m odule các đồn g cấu từ M đến Chú ý rằng khi vành A không giao hoán, Hom4(A/ N) chỉ là một nhóm Abel với

phép cộng đồng cấu.

Đ ịn h lí 3.4 Cho / : /U —> là m ột đồn g cấu các A-module Khi

đó ta có các khắng địn h sau.

(i) N ếu N' là một m odule con của ^í', th i là m ột m odule

(ii) Nếu N là m ột m odule con của M, thì /(A ') là m ột m odu le con của M', trường hỢp riêng Im/ là một m odule con của A /'.

(iii) / là đơn cấu khi và chỉ khi Ker/ = 0.

Đ ịn h lí 3.5 (Định lí đồng cấu m odule) Cho f : M 'V là m ột đồng cấu các A-module và p : M ^ M/ Ke r f là toàn câu chính tắc K h i đó tồn tạ i d u y nhất một đơn cấu:

7 : M /K er/ — > N

^ '— » / ( 0

sao cho biểu đ ồ sau g ia o hoán:

M -► N

M/ Kevf

H ệ q u ả 3.6 Cho f \ M N là một đồng cấu các A-module K h i đó

ta có M /K er/ = Irn/, và nếu f là toàn cấu thì M /K er/ = N.

H ệ q u ả 3.7 (Định lí đẳng cấu N oether thứ nhất) Cho p là một moduỉe con của /V ưà N là m ột module con của module h ì Khi đó

M /N ^ { M / r ) / { N / r )

H ệ q u ả 3.8 (Đ ịnh lí đẳng cấu Noether thứ hai) Nếu M và N là hai

m odule con của cùng một module thì ta có

{M + N ) / N = M / i M n N).

Bài tập

3.1 Cho V và w là các không gian vectơ con của cùng một không

gian vectơ Chứng m inh rằng

(.11111(1/ + MO + dini(l/ n 11 ■) = (lim \/ + dim w.

3.2 Giả sử iV và F là các module con của M và M = N + F Chứng

m inh rằng thu hẹp của đồng cấu chiếu chính tắc P ị r : F —> M / N là một đẳng cấu khi và chỉ khi F n N là module không.

3.3 Giả sử Mị M- 2 ; N là nhữngm odule con của một /1-module M vối

ra rằng / là m ột đơn cấu nếu và chỉ nếu :Vfi = Ker/.

3.5 Cho đồng cấu các /1-module / : M N Chứng m inh rằng nếu N\ là một module con của N th ì tương ứng

(i) \a là một tự đồng cấu của hí với mọi n e A.

(ii) N ếu a là phần tử khả nghịch th ì Aa là một tự đẳng cấu.

(iii) Xa là một đơn cấu khi và chỉ khi o.v : a.A = Oa/.

(iv) Ằao — A(,Aí, và — Au + A(,.

3.7 Cho A là một vành giao hoán và 1/ N là những /1-module Hãy chứng minh rằng quy tắc xác định a f + bq với mọi a 6 e .4 và mọi

f , g e Hom^(ỳ\/, :V), như đã nêu ở trên, sẽ cho ta phép cộng trong

Hom,,í(M, A/') và phép nhân ngoài các phần tử của 1 với các phần

tử của Hom^(7Ì/, N), làm cho Hom,i(A/, ;V) trở th àn h một /1-module

Tiếp tục chứng m inh rằng, / 4 / Ann(.U) đẳng cấu ,4-module với một

module con của Hom,i(.ì/, Ầỉ).

â.8 Cho A là một vành giao hoán Giả sử

Cho ỉ là một tập khác rỗng Giả sử {j'\í„)neỉ là một họ các /4-module

chỉ sô hoá bởi / Kí hiệu A/ = n e/ tích D escartes của họ

Khi đó có th ể xây dựng phép cộng trong l\í và phép nhân

ngoài các phần tử của A với các phần tử của M như sau:

( ■ ^ Q r ) a e / + { y o c ) a e l ~ ( - ^ 'a D a ) a £ l 1

a(^a)ae/ = {aXaìael

hai phép toán vừa xác định làm cho A/ trở thành một 4-module.

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 .4-module A/ xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của họ các /^-module {hỉa)a€i- N ếu Ma = N với mọi a e I

thì ta kí hiệu ncve/

Bây giò trong M = n « e / ta lấy ra tập con /U„ bao gồm

tất cả các phần tử của M với các thành phần bằng 0 hau hết, chỉ trừ

một sô"hữu hạn th à n h phần có thể khác 0 Khi đó 0 A /„ là một

/l-m odule con của M

Đ ịn h n g h ĩạ 1.2, y^-module được gọi là tổng trực tiếp của

họ các /4-module {Ma)aei- N ếu = N với mọi cv e I t hì ta k í hiệu

N h ậ n x é t 1.3 N ếu họ các 4-module {Ma)aeỉ chỉ gồm một số" hữu

hạn các module thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nó là trùng nhau.

cho bởi I— > X/3 là một toàn cấu, được gọi là p h ép chiếu xuống

24 C h ư ơ n g 2 TÍCH TRỰC TIỂP, T ổ N G T RựC TlẾP DÃY KHỚI' VÀ GIỚI HẠN

thành p h ầ n th ứ p của

Đ in h lí 1.4 (Định lí về tín h phổ dụng của tích trực tiếp ) Cho N là

Với mỗi p e I và Xị3 e Mp, kí hiệu [ x p ] là m ột phần tử của 0 „ g / Ma

1, TÍCH VÀ TỔMG TRỰC TIẾP CÁC MODUI.E 25

chỉ có thành phần thứ 3 là còn tất cả các thành phần khác đều bằng 0 Khi đó quy tắc

7,3 : A/, ^ 0 A/,

0^1

cho bởi Tg ^ [ x ; ị \ với mọi Xs e M,j là một đơn cấu, đưỢc gọi là ph ép tiêm vào th ành p h ầ n thứ 3 của 0 g, 'U,,.

Đ ịn h lí 1.5 (Định lí v ề tính phổ dụng của tổng trực tiếp), Cho A' là

m ột A-moduỉe cùng một họ các đồng cấu Sr, : Ms —> V với mọi 3 e ỉ

K h i đó sẽ tồn tại d u y nhất m ột đồng cấu

sao cho sjfj — Sp, tức là biểu đ ồ sau giao hoán

N a€l

Ma

với mọi p e ĩ.

B ài tập

1.1 Cho tập khác rỗng / và một họ các /1-module {Ma)a€h Chứng

m inh rằng tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một /\-m odule

A-module N cùng họ các đồng cấu {(Ịp : N —> Mp)Bei đều tồn tại duy nhất một đồng cấu q : N M sao cho Ppq = qp với mọi /ổ 6 /.

1.2 Cho tập khác rỗng I và một họ các yl-module {^'í„)aeI■ Chứng

minh rằng tồn tại duy nhất (sai khác một đắng cấu) một 4-module

yl-module N cùng họ các đồng cấu {S 0 : KÍ 0 Ĩ^')ị 3 ei đều tồn tại duy nhất một đồng cấu ò' : A/ ^ N sao cho i'7,3 = ố'/3 với mọi Ị3 e I

26 C h ư ơ n g 2, TI CH TRỰC TI ẾP, TỔNG TRỰCTIẾ1> DÀY K l l ớ l ’ VA ( ; i ờ l HAN

1.3 Cho ỉ là một tập khác rỗng và hai họ các ,4-module (.U,Jns/ và (•'Va)ae/- Giả sử (/n : Ma ^'V„)oẽ/ là một họ đồng cấu các ‘1-module Chứng minh rằng tương ứng

cho bởi {fa{Xa))a&I với mọi {Xa)ael e H a ẽ / là m ột đồng

cấu Đồng cấu này được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu

(/a)ae/ và được kí hiệu là riae//«• Hãy xác định K ern o e/./a và

là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.

1.4 Cho / là một tập khác rỗng và hai họ các 1-module ( u„),.g/ và

Giả sử (/„ : Ằ/„ ^ A^n)ne/ là một họ đồng cấu các -l-module Chứng m inh rằng tương ứng

cấu Đồng cấu này được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu

(/a)ae/ và được kí hiệu là 0 , , g / / a Hãy xác định K e v 0 ^ g , /„ và

/a- Cho biết với điều kiện nào của họ (/o)ne; thì 0 gy ị'a là

đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.

1.5 Kí hiệu z„ là vành các lớp thặn g dư theo m odulo 7í, khi đó z„

là một Z-module Chứng m inh rằng có đẳng cấu Z-module

khi và chỉ khi p vk q nguyên tô' cùng nhau.

1.6 Cho ỉ là một tập khác rỗng và một họ các 4-module (:\ ía)»ei với

A là một miền nguyên Kí hiệu t { M ) và ơ { M ) lần lượt là tập tấ t cả

các phần tử xoắn và phần tử chia được của m ột y4-module Ầỉ (xem

Bài tập 1.6, Chương 1) Chứng m inh rằng

r ( 0 A f , ) = 0 r ( A / „ ) và

Từ đó hãy rút ra các hệ quả khác của các đẳng thức trên.

1.8 Cho A là một vàn h giao hoán có đơn vị Giả sử / và ] là những

tập khác rỗng, còn ( M a ) a 6 / và {Nịi),j(:j là hai họ các /1-module Chứng

với mọi a e ỉ, th ì x^og/ được goi là tổng trực tiếp trong của họ các

module con đã cho, kí h iệu là 0 „g; A^a- Một module con ,v của ;Ví

đưỢc gọi là một h ạ n g tử trực tiếp của /U nếu tồn tại một module con

F c ủ a M ẩ ể h í ^ N F.

Đ ịn h lí 2.2 G iả s ử {Ao}ag/ là một họ các Á-module con của một

tương đương:

(i) N là tổng trực tiếp trong của họ {Aa}„g/.

(ii) Mỗi p h ầ n tử X của N đều hiếu diễn được du y n hất dưới d ạ n g

aG/

trong đó Xa e Na: bằn g 0 với hầu hết Q G /.

(iii) Đ ẳng thức

= 0,

a€l trong đó Xa € A^q, bằn g 0 với hầu hết cv G /, chỉ xảy ra khi

= 0 với mọi a G ĩ

Đ ịn h lí 2.3 Nếu họ các m odu le con {A^o}nẽ/ của một A-module Ằí

có tổng trực tiếp trong th i tổng trực tiếp trong của nó đ ắ n g câu UỚI tổng trực tiếp ngoài.

Đ ịn h lí 2.4 Cho A-module M và N là m ột m odule con của nó K h i

đó nếu N là một h ạn g tử trực tiếp của M thi

M ^ N 0 ( M/ N)

B à i tập

2.1 Chứng m inh rằng z không phải là một hạng tử trực tiếp của

Z-module Q.

2.2 Chứng m inh rằng mỗi không gian con của một không gian vectơ

V đều là một hạng tử trực tiếp của V.

2.3 Một module M ^ 0 được gọi là không p h â n tích được nếu nó

không có hạng tử trực tiếp nào khác ngoài {0} và Ằ/ Chứng m inh các khẳng định sau:

(i) Một không gian vectơ là không phân tích được nếu và chỉ n ếu

nó có chiểu 1.

(ii) Các Z-module z và Q là không phân tích được.

(iii) Với số nguyên dương n > l, Z-m odule Xn là không phân tích được nếu và chỉ nếu n là lũ y thừa của một sô' nguyên tố.

2.4 Cho {N^)aeí là một họ khác rỗng tùy ý các 4-module Đặt

/V = 0 /V, oG/

và gọi (7a)«e/ là họ các đơn cấu tiêm vào N Chứng m inh rằng N là

tổng trực tiếp trong của họ

Đ ịn h lí 3.4 N éh d ã y khớp

■ ■ - /V M p - > ■ ■

chẻ ra tại M thỉ

M = I m / (i) Imry

chẻ ra nếu và chỉ nếu m ột trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tồn tại m ột đồn g cấu f' : M N sao cho f ' f = k1,v.

(ii) Tồn tại một đồng cấu g' : p M sao cho gc/ = icl/.,

B ài tập

3.1 Chứng minh rằng dãy

là khớp nếu và chỉ nếu các dãy

0 - » Irri./' iU,+i I n i/, + , -» 0

vói / í , là phép nhúng chính tắc, là khốp ngắn với mọi chỉ sô' I xu ất hiện trong dãy ban đầu.

3.2 Cho biểu đồ các 4-module và các đồng cấu /1-module

Giả sử cv, [3, 7 là những đẳng cấu, còn các hình vuông giao hoán, tức

là /?/ = Ị 'a và 75 = g' Ị3. Chứng minh rằng dòng trên của sơ đồ là

dãy khóp nếu và chỉ nếu dòng dưới là khớp.

3.3 Hàm thực c xác định trên lớp các ,1-module được gọi là một

hàm cộng tính nếu với mỗi dãy khớp ngắn các /1-module

chẻ ra tại ^í nếu một trong h ai điểu kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tồn tại một đồng cấu f' : M N sao cho / ' / là một tự đẩng cấu của N

(ii) Tồn tại một đồng cấu í/' ; p » AJ sao cho ịj(/ là một tự đẳng

trong đó / , == / ) / * = Hoin(/, idx) và tương tự vói (Jt.g*

(xem Bài tập 3.8, Chương 1).

Trong trường hỢp dãy khớp (1) chẻ ra, chứng minh rằng các dãy

0 - Hoitm(A',ìV) Hom,4(A', ì/) Hoiii,,(.Y P) -» 0.

0 - > U o n i A Ì P X ) H o m a { M X ) —^ H o m ,i(;Y, X ) - ^ 0

cũng là khớp và chẻ ra.

32 C h ư ơ n g 2 TÍCH TRỰCTIỂP TỔNG TRựC TlÉP DÃY KIIỚP VAc:fớí HẠN

3.6 Cho biểu đồ giao hoán với các dòng là khóp các /l-m odule

0 - > N ' N —^ N"

(i) Với mỗi X G Ker(ĩ/'), chứng m inh rằng tồn tại y G M và z e N '

đê ợ(y) — X và w(y) = ộ{z) đồng thời quy tắc

ỗ : Ker(//') —> Coker(í/)

-cho bởi ở(.t) = :: + Im( ỉ7) là một đồng cấu,

(ii) Xác định các đồng cấu /*: K e r ( u ) —» Ker(í'); r/*; Kei ( r ) —- K(' 1 '('(Í.');

ệ* : Coker(ti) Coker(ư); V-'* : Coker(u) Cokei'(w;) c ả m s i n h

các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) là ánh xạ đồng nhất trên /1/, với mọi I e /.

với mọi I ^ ^ k Để cho tiện, ta kí hiệu hệ nghịch này là

Đ ịn h n g h ĩa 4.2 Giới hạn nghịch Ọaay giới hạn nội xạ) của hệ nghịch các /4-module [ Mi , 6 ji) là một y4-moduIe M cùng vối họ các ,4-đồng cấu (/,),e /, trong đó /, : M —> M,, thỏa mãn các điều kiện sau

(i) 6 j J j = Ị,, tức là biểu đồ sau giao hoán

M - - ^

A/,

với mọi I ^ j.

(ii) Nếu /v r ià m ộ t /1-module cùng với m ộth ọ các /1-đồngcấu

trong đó ,(/, : M' —> M, thỏa m ãn Oji!)j = tức là biểu đồ dưới đây giao hoán

M' - ^ ^

3' \ / Oj,,

M,

với mọi ỉ ^ J, thì tồn tại duy nhất một /í-đồng cấu A : M' —VM

sao cho fiX = g, với mọi i e /.

N h ậ n x é t 4.4 Trong trường hỢp tập định hướng là tập các số tự

nhiên, thì họ (M„)„>0 cùng họ đồng cấu {9„ : Mn Mn-i)n>\ là một

hệ nghịch, và viết gọn là (M„, ớ„) Cũng cần lưu ý rằng 6 j, : —> A/, với j > i được hiểu là

các A-module cùng chỉ s ố hóa hởi m ột tập đ ịn h hướng G iả sử tồn

giao hoán với mọi i ^ j Giả sử M'\ M ; M" lần lư 0 là tích trực tiếp

ứng là tích trực tiếp của các họ 'đồng cấu (/,); (ry,) K í hiệu / • là th u

d ã y khớp sau

2 Giới h a n th u â n • •

Đ ịn h n g h ĩa 4.6 Cho tập định hướng / Giả sử (Mj),:g/ là m ột họ các

v4-module và với m ỗi cặp i ^ j có đồng cấu y4-module 9^j : M, —> Mj Khi đó họ {Mị)i^i cùng với họ được gọi là một hệ th u ậ n nếu

các điều kiên sau đươc thỏa m ãn

(i) ớ,, là ánh xạ đồng n h ất trên iV/, với mọi I e ĩ.

(ii) = Ojkỡij, tức là biểu đồ sau giao hoán

A4, - - - Mj

/ ^ J kMk

với mọi L ^ ^ k.

Đ ể cho tiện , ta cũng kí hiệu hệ thuận này là (A-í,,

Đ ịn h n g h ĩa 4.7 Giới hạn thuận (hdiy giới hạn xạ ảnh) của hệ thuận

(i) fjSij = fi, tức là biểu đồ sau giao hoán

M, - M,

X X

M

với mọi i ^ j.

(ii) N ếu M' là m ột 4-module cùng với một họ các /1-đồng cấu (pi)íe/>

đây giao hoán

36 C h ư ơ n g 2 TÍCH TRƯC TIẺP TỔNT, TRựC TIẾP DÃY K HỜ P VA GIỚI H Ạ \

N h ậ n x é t 4.9 Trong trường hỢp tập định hướng là tập các sổ tự nhiên, thì họ (AÍ„)„^o cùng họ đồng cấu (ớn : A/„_] ^ Mn)n^\ là một hệ thuận, và viết gọn là (Mn,On)- Cũng cần nhấn m ạn h rằng

—» Mj với J > i đưỢc h iểu là

các A~module có cùng tập chỉ số Giả sử tổn tại các họ A-đồng cấu {fi) và { qì ) sao cho

fn

m ^ no- Hãy giải các bài tập sau:

4.2 Chứng m inh rằng quan hệ ~ giữa các dãy Cauchy theo (:U„)„>0

của M là một quan hệ tương đương.

4 3 Gọi M* là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo {Mn)„xì trong M Chứng m inh rằng với hai quy tắc cộng dãy và nhân một phần tử của A vối dãy trong M sẽ cảm sinh ra hai phép toán làm cho A r trở thành một 4-module,

4 4 Chứng m inh rằng M* = lirn(A'///U„).

4 5 Chứng m inh rằng /V/„ = lim(yì/„).

4 6 Chứng m inh rằng ỊJ,,>o(OAf : ỉ") - lim Horn,/i(.4//'\ /V/).

4 7 Chứng m inh rằng nếu / = ( X i, /Y2, x,i) là ideal của vành đa thức R = A[Xi , X 2 X^] và R* là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy trong R theo (./")n>0 thì R* = /1[[/Vi, ^2, , /Y,

4 8 Chứng m inh rằng