Phương pháp biến đổi tương đương.. Lí thuyết.[r]
Trang 1Nguyen Thanh Yen_BDH
Ph¬ng tr×nh v« tØ
I Phương pháp biến đổi tương đương
Lí thuyết
1 f x g x f x g x 0
2
0
g x
f x g x
f x g x
f x ;g x ;h x
áp dụng
+) Giải các phương trình sau
a) x - 2x 3= 0
b) x 4 1 x 1 2 x
x
d)
5
3 2
3 1
4 x
x
II Phương pháp đổi biến
1 Phương trình dạng : af(x) + b f (x) + c = 0
Phương pháp
Đặt f (x)= t ( t0)
phương trình trë thµnh: at 2 + bt + c = 0
Tìm t bằng cách giải phương trình bậc 2
¸p dụng
+) Giải các phương trình sau
1 x(x + 1) - 2 4 2 0
x x
2 5x2 10x 1 7 x2 2x
2 Dạng acx b cx d acxb cx n (1) trong đó a, b, c, d, n là
các hằng số, c > 0, d 0
Phương pháp:Đặt acx b cx = t ( t 0 )
áp dụng
+) Giải các phương trình sau
1 x 1 3 x x 13 x 2
x
3 Phương trình dạng
x a 2 b 2a x b x a 2 b 2a x b cx d Trong đó a, b, c, d là hằng số, a 0
Phương pháp:Đặt : t = x b , ( t 0 )
pt trë thµnh: t a t a c t 2 bd
- Xét hai trường hợp : +) t a , thì PT trở thành 2t = ct 2 + bc + d ct 2 - 2t + bc + d = 0 +) 0 t a thì PT trở thành: c t 2 - 2a + bc + d= 0
áp dụng
+) Giải phương trình sau
6
23 9
6 9
6
x x x
x
Đặt : x 9 t , ( t 0 ) Khi đó x = t2 +9 Phương trình trở thành : 6 3 2 3 2 2 32
t
TH1 : Với t 3 pt t2 - 12t + 32 = 0 t = 8 , t = 4
TH2 : Với 0 t 3 pt t2 = 4 t = 2 Vậy PT đã cho có 3 n0 : x1 = 25 , x2 = 73 , x3 = 13
III Phương pháp đưa về hệ ph¬ng tr×nh
Phương pháp : đổi biến để đưa về các hệ phương trình cơ bản
+) Giải các phương trình sau
§K : 10 x 10
Đặt :
2 2
25 x u
10 x v
(u, v 0 )
Ta có hệ phương trình u v 32 2
u v 15
x x
ĐK : x 1 Đặt 3 2 x a và x 1 b ( b 0 )
Trang 1
Trang 2
Trang 2Nguyen Thanh Yen_BDH
Ta cú hệ phương trỡnh: a b 13 2
a b 1
Từ đú ta cú cỏc nghiệm là : x1= 2 ; x2= 1; x3 = 10
1 Phương trỡnh dạng : x 2 + xa a Với a 0
Phương phỏp
Đặt y = x a ( y 0 ) y 2 = x + a
+) Kết hợp với đầu bài ta cú hệ phương trỡnh
2
2
x y a
y x a
x 2 - y 2 + y + x=0 (x + y)(x – y + 1) = 0
1
x y
TH 1 : x = - y Suy ra phương trỡnh cú dạng
y 2 + y - a = 0 " Tỡm y bằng cỏch giải phương trỡnh bậc hai"
TH 2 : x = y - 1 Suy ra phương trỡnh cú dạng
y 2 - y + 1 - a = 0 " Tỡm y bằng cỏch giải phương trỡnh bậc hai"
áp dụng: Giải cỏc phương trỡnh sau
1 x2 + x 2 2
2 x2 + x 3 3
IV Phương phỏp đỏnh giỏ
Phương đỏnh giỏ thường sử dụng cỏc bất đẳng thức để tỡm giỏ trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hai vế để tỡm nghiệm
ỏp dụng
+) Giải cỏc phương trỡnh sau
a) x 2 4 x = x2 - 6x + 11
b) 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2
Ta cú VT = 3(x 1) 2 4 5(x 1) 2 9 4 9 5 VT = 5 x = -1
Ta cú VP = 4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2 5 VP = 5 x = -1
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = -1
1
x x
x
V Phương phỏp sử dụng nghiệm duy nhất
1 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a; b) D thì PT f(x)=0
hoặc f(x)=m =const nếu có nghiệm trên (a; b) thì nghiệm đó là duy nhất
2 Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến ) trên (a; b) và hàm số y
= g(x) nghịch biến (đồng biến) trên khoảng (a; b) thì PT f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
3 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a; b) D thì PT f(u) = f(v)
u = v
AD: Giải phương trỡnh: 3 x 2 x 1 3 (1)
ĐK : x - 1
Cách 1: Ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trỡnh
+Xột x > 3 3 2 1
x ; x 1 2 VT > 3 phương trỡnh khụng cú nghiệm x > 3
+Xột -1 x < 3 thỡ 3 2 1
x ; x 1 2 VT < 3 phương trỡnh khụng
cú nghiệm -1 x < 3
Cách 2: đặt f x 3 x 2 x 1
3
2 x 1
3 x 2
hàm số f(x) đồng biến trên [-1;+) phương trỡnh (1): f(x) = 3 nếu có nghiệm trên [-1;+) thì nghiệm đó là duy nhất
Mặt khác ta có: f(3) = 3 Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3
Cách 3: Đa về hệ phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a 8x3 x 33 53 x3 (1) HD: (1) 8x36x5x 3 3 53 x3 Xét hàm số 3
3
f t t t f t đồng biến trên R (1) f2x f 5x3 2x5x 3 x 1
T2: Giải bất PT, BPT:
1 8x3 x 33 53 x3
2 2x 35 26 x 3 x 1 5 3 x 1 HD: Đặt 3
5
f t t t
3x 6 x 3x 6 x m m1 luôn
đúng x 3;6
Bài 3:
1 Xác định m để x 1 4 xm có nghiệm
đkx 1; 4
Trang 3
Trang 3Nguyen Thanh Yen_BDH
f x m có nghiệm x 1; 4
1;4
Max f x m
2 Tìm m để PT x 2 4 x m có nghiệm
HD: C1 đặt VT = f (x) – lập bảng biến thiên KL
C2: tìm GTLN, GTNN của h/s trên đoạn [2;4]
C3: SD BĐT Bunhia- Copski ta có
2 2
2;4
2
2;4
m[0; 2] thì PT có nghiệm
3 Xác định m để PT: x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm
HD: Nhân cả 2 vế với biểu thức liên hợp của 5 x 4 x
Bài 4:
1 Xác định m để BPT 4x 2 16 4 x m x 2; 4
2 Xác định m để 2
2x 1 m x x
3 Xác định m để -4 2+x 4 x x2 2xm 18 x -2;4
4x 6 x x 2xm x -4;6
5 Xác định m để 3x 7 x x2 4xm x -3;7
Các bài tập tự luyện
Giải cỏc phương trỡnh sau
x
2 x 1 x 1 4
3 3x 4 x 3 4x 9
x
5 x2 + 3x + 1 = (x + 3) 2 1
x
6 x 1 x 10 x 2 x 5
7 x 3 7 x 2x 8
8 3 x 6 x 3 x6 x 3
9 x x 1 x x 2 x x 3
10 x 94 96 x x2190x9027
x x
x
12 x 2x 1 x 2x 1 2
13 x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1
14 10 2x 2x 3 1
15 3 x 1 3 4 82 x
16 x 17 x2 x 17 x2 = 9
17 x3 + 1 = 23 2 x 1
18 x2 + x 7 7
19 5 x3 1 2x22
20 x 2 10 x x212x40
21 x2 – 1 = 2x x2 2x
22 x 1 x 24x 5
23 3x 1 4x213x 5
24 x3 2 3 3x 23
25 x 2 2x 2x 2 x3
26 2x 1 x2 3 4 x
28
Trang 5