công việc. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ.. Vậy: Vòi 2 c[r]
Trang 1GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LÀM CHUNG CÔNG VIỆC
Các bước làm bài
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết
c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình hay
phương trình bậc hai
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được 1
x
công việc
- Xem toàn bộ công việc là 1
Ví dụ 1:
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc
trong bao lâu?
Giải:
Ta có 25%= 1
4
Gọi thời gian một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ)
Gọi thời gian một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ)
Trong một giờ người thứ nhất làm được 1
x
công việc
Trong một giờ người thứ hai làm được 1
y
công việc
Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được 1
1 6 công việc
Ta có phương trình: 1 1 1 (1)
x y 1 6 + =
Trang 2Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%= 1
4
công việc Ta có phương trình
3 6 1
x y 4
+ = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
x 2 4
(tho¶ m · n ®i Òu k i Ön)
y 4 8
=
=
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ Người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ
Ví dụ 2:
Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn
thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
Giải :
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ)
Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ đội 1 làm được 1 c « n g v i Öc
x
Mỗi giờ đội 2 làm được 1 c « n g v i Öc
x + 2
Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút =21 1 3 5
1 2 1 2
= (giờ) xong
Trong 1 giờ cả hai đội làm được 1 2
3 5
công việc
3 5 x 7 0 3 5 1 2 x 2 4 x
x x 2 3 5
+
1 2 x 4 6 x 7 0 0 6 x 2 3 x 3 5 0
Ta có
2
( 2 3 ) 4 6 ( 3 5 ) 5 2 9 8 4 0 1 3 6 9 0 1 3 6 9 3 7
V Ëy ph ¬n g tr×n h cã h ai n g h i Öm x 5( th o a m · n ); x 2 ( l o ¹ i )
Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ
Chú ý:
+ Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai
Trang 3+ Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải
Ví dụ 3:
Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu
xong công việc?
Giải:
Gọi thời gian để một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày)
Gọi thời gian để một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày)
Trong một ngày người thứ nhất làm được 1
x
công việc
Trong một ngày người thứ hai làm được 1
y
công việc
Cả hai người làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai người làm được 1
2
công việc Từ đó ta có pt
1
x
+ 1
y
= 1
2
(1)
Người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi người thứ hai làm trong 1 ngày thì xong công việc ta có pt:
4 1
1
x y
+ = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt
( th o ¶ m · n ®k )
1
=
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày
Ví dụ 4: Hai người cùng làm chung một công việc trong 1 2
5
giờ thì xong Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Giải
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK 1 2
5
x
Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ người thứ nhất làm được1
x
(cv), người thứ hai làm được 1
2
x+ (cv)
Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong 1 2
5
giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được1 :1 2
5
= 5
1 2
(cv)
Do đó ta có phương trình
Trang 41 1 5
x x 2 1 2
( 2 ) 1 2
x x
+ +
+
5x2 – 14x – 24 = 0
’ = 49 + 120 = 169, ,
1 3
=
=> = 7−1 3 = −6
x (loại) và = 7+1 3 = 2 0 = 4
Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,
người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ
Ví dụ 5: Cho 3 vòi A, B, C cùng chảy vào 1 bể Vòi A và B chảy đầy bể trong 71 phút Vòi A và C chảy
đầy bể trong 63 phút Vòi C và B chảy đầy bể trong 56 phút
a Mỗi vòi làm đầy bể trong bao lâu? Cả 3 vòi cùng mở 1 lúc thì đầy bể trong bao lâu ?
b Biết vòi C chảy 10lít ít hơn mỗi phút so với vòi A và B cùng chảy 1 lúc Tính sức chứa của bể và sức
chảy của mỗi vòi ?
Giải
a) Vòi A làm đầy bể trong x phút ( mỗi phút làm đầy 1/x bể )
Vòi B làm đầy bể trong y phút ( mỗi phút làm đầy 1/y bể )
Vòi C làm đầy bể trong z phút ( mỗi phút làm đầy 1/z bể )
Ta có hệ phương trình :
1 1
1 1
1 1
+/ Giải hệ phương trình ta được : x=168 ; y=126 ; z=504/5
Nếu 3 vòi cùng mở 1 lúc thì sau mỗi phút đầy 5 4 3 1 2
5 0 4 5 0 4
+ +
= bể
3 vòi cùng làm đầy bể sau : 5 0 4 4 2
1 2
= phút
b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy 5/504.t lít , vòi A và B chảy ( 3 4 )
5 0 4 5 0 4
t
+ lít
.Theo đề bài ta có phương trình : 5 1 0 3 4 5 0 4 0 2 5 2 0 ( )
Sức chảy vòi A : 3 2 5 2 0 1 5 /
5 0 4
l p
=
Trang 5Tương tự sức chảy vòi B : 4 2 5 2 0 2 0 /
5 0 4
l p
=
sức chảy vòi C : 5 2 5 2 0 2 5 /
5 0 4
l p
=
Ví dụ 6:
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ
nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 3
4
bể nước Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
GIẢI:
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4)
Trong 1h, vòi 1 chảy được: 1
x
(bể)
Trong 1h, vòi 2 chảy được: 1
y
(bể)
Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = 2 4
5
h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được
5
2 4
bể, do đó ta có pt: 1
x
+ 1
y
= 5
2 4
(1)
Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 3
4
bể nước nên ta có pt: 3
x
+ 4
y
= 3
4
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
2 4
4
(I)
Đặt u = 1
x
, v = 1
y
, hệ (I) trở thành:
5
2 4 3
4
(II)
Giải hệ (II), ta được:
1
1 2 1 8
u
v
=
1 2
8
x
y
=
8
x
y
=
=
(thỏa ĐK)
Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h
Ví dụ 7:
Trang 6Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không có nước) thì sau 4 4
5
giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở
vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6
5
giờ nữa mới bể nước Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
GIẢI:
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > 6
5
)
Trong 1h, vòi 1 chảy được: 1
x
(bể)
Trong 1h, vòi 2 chảy được: 1
y
(bể)
Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 4
5
giờ = 2 4
5
h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 5
2 4
bể,
do đó ta có pt: 1
x
+ 1
y
= 5
2 4
(1)
Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6
5
giờ nữa mới bể nước nên
ta có pt: 9
x
+ 6 1 1
5 x y
+
= 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
2 4
1 5
(I)
Đặt u = 1
x
, v = 1
y
, hệ (I) trở thành:
5
2 4 6
5
5
2 4
1
(II)
Giải hệ (II), ta được:
1
1 2 1 8
u
v
=
1 2
8
x
y
=
8
x
y
=
=
(thỏa ĐK)
Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h
Ví dụ 8:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ
nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy
đầy bể?
GIẢI:
Trang 7Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27)
Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h)
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 1
x
(bể)
Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được 1
2 7
x −
(bể)
Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 1
1 8
bể, do đó nên ta có pt:
2 7 1 8
2 – 63x + 486 = 0
Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại)
Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h
Bài tâp:
1 Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ,
người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ
xong công việc?
2 Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi
làm việc khác Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thhì bao
lâu xong công việc đó?
3 Hai đội công nhân cùng đào một con mương Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội
phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?
4 Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít ậ mỗi binmhf có một vòi nước chảy vào
và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhưng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại Để hai bình cùng đầy một lúc người
ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ
Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước
Kết quả:
1) Người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ Người thứ hai làm một mình trong 27 giờ
2) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ Tổ thứ hai làm một mình trong 15 giờ
3) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày
4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 75 lít
Trang 8Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí