Giải toán bằng cách lập phương trình dạng quan hệ các số

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH DẠNG QUAN HỆ CÁC SỐ

Nững kiến thức cần nhớ:

+ Biểu diễn số cú hai chữ số : ab=10a+b ( với 0<a9; 0 b 9;a, bN)

+ Biểu diễn số cú ba chữ số : abc=100a 10b+ +c ( với 0<a9; 0b,c9;a, b, cN)

+ Tổng hai số x; y là: x + y

+ Tổng bỡnh phương hai số x, y là: x2 + y2

+ Bỡnh phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2

+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1 1

x+y

Vớ dụ 1: Một số của một phõn số lớn hơn tử số của nú là 3 đơn vị Nếu tăng cả tử và mẫu của nú thờm 1

đơn vị thỡ được một phõn số mới bằng 1

2 phõn số đó cho Tỡm phõn số đú?

Giải:

Gọi tử số của phõn số đú là x (đk: x3)

Mẫu số của phõn số đú là x + 3

Nếu tăng cả tử và mẫu thờm 1 đơn vị thỡ

Tử số là x + 1

Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4

Được phõn số mới bằng 1

2 ta cú phương trỡnh

x 1 1

x 4 2

+ = + 2(x 1) x 4

x 2( Thoả mãn điều kiện của bài toán)

2 Vậy phân số ban đầu đã cho là

5

 + = +

 =

Vớ dụ 2: Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu

viết thờm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bờn phải thỡ được một số lớn hơn số ban đầu là 682

Giải:

Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x  9)

Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x  9)

Số cần tỡm cú dạng xy= 10x + y

Vỡ chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nờn ta cú pt: x – y = 2 (1)

Khi thờm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bờn phải thỡ được số mới: xyx=100x +10y + x = 101x +10y

Vỡ số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nờn ta cú phương trỡnh:

(101x + 10y) – (10x + y) = 682  91x + 9y = 682 (2)

Từ (1) và (2) ta cú hệ pt: 2





Giải hệ pt ta được 7

5

x y

=



 =

 (thỏa ĐK) số cần tỡm là 75

Vớ dụ 3: Tổng cỏc chữ số của 1 số cú hai chữ số là 9 Nếu thờm vào số đú 63 đơn vị thỡ số thu được cũng

viết bằng hai chữ số đú nhưng theo thứ tự ngược lại Hóy tỡm số đú?

Giải

Gọi chữ số hàng chục là x ((0 < x9, xN)

Chữ số hàng đơn vị là y (0<y9, yN)

Vỡ tổng 2 chữ số là 9 ta cú x + y = 9 (1)

Số đú là xy=10x+y

Số viết ngược lại là yx=10y+x

Vỡ thờm vào số đú 63 đơn vị thỡ được số viết theo thứ tự ngược lại ta cú

xy 63 yx 10x y 63 10y x

9x 9y 63(2)

Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh x y 9 x y 9 2x 2

9x 9y 63 x y 7 x y 9

 − = −  − =  + =

x 1

(thoả mãn điều kiện)

y 8

=



  =



Vậy số phải tỡm là 18

Vớ dụ 4: Tỡm hai số tự nhiờn liờn tiếp cú tổng cỏc bỡnh phương của nú là 85

Giải

Gọi số bộ là x (xN) Số tự nhiờn kề sau là x + 1

Vỡ tổng cỏc bỡnh phương của nú là 85 nờn ta cú phương trỡnh: x2 + (x + 1)2 = 85

2

x x 42 0

b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13

Phương trỡnh cú hai nghiệm

1

2

1 13

x 6(thoả mãn điều kiện)

2

1 13

2

− +

− −

Vậy hai số phải tỡm là 6 và 7

Ví dụ 5: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7

Tìm hai số đó

Giải:

Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)

Theo đề bài ta có hệ pt: 59

+ =



 + =

59



 − = −



Giải hệ ta được: 34

25

x y

=



 =

 (thỏa ĐK)  hai số cần tìm là 34 và 25

Ví dụ 6: Cho một số tự nhiên có hai chữ số Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ

hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho

Giải:

Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x  9)

Chữ số hàng đơn vị: 10 – x

Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10

Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)

Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – 2 = 0

Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)

Vậy số cần tìm là 28

Ví dụ 7: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6 Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được

cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó

Giải:

Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị của số đã cho (x,y N, 0 < x,y  9)

Theo đề bài ta có:

18 yx

xy



Vậy số cần tìm là 24

Bài tập:

Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50 Hỏi số đó là bao nhiêu?

Bài 2: Tổng hai số bằng 51 Tìm hai số đó biết rằng 2

5 số thứ nhất thì bằng

1

6 số thứ hai

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7 Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng

đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị

Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150

Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của số tạo bởi chữ số hàng vạn và

chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó

ĐÁP SỐ:

Bài 1: Số đó là 19;

Bài 2: Hai số đó là 15 và 36

Bài 3: Số đó là 61

Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15;

Bài 5: Số đó là 32

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí