Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Toán 12

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Kiến thức cần nhớ

a) Căn bậc hai của số phức

- Số phức w x yi x y , R là căn bậc hai của số phức z a bi nếu 2

w z

- Mọi số phức z0 đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau w và w

- Số thực a0 có hai căn bậc hai là  a; số thực a0 có hai căn bậc hai là i a

b) Phương trình bậc hai

Az Bz C  A

- Biệt thức  B24AC

+ Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 1,2

2

B z

A

 

+ Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

B z

A

  

của số phức )

- Hệ thức Vi-et:

1 2

1 2

B

z z

A C

z z A

   







2 Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

Phương pháp:

Cách 1: Biến đổi z = a + bi dưới dạng bình phương của số phức khác

Cách 2: Giả sử w x yi x y , R là một căn bậc hai của z, khi đó

2 2 2

2

xy b

  





Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức z = 8 + 6i

Giải:

Cách 1:

z     i i  i i  i

Do đó các căn bậc hai của số phức z là 3 + i và - 3 - i

Cách 2:

Giả sử w x yi x y , R là một căn bậc hai của số phức z 8 6i

2 2 2

2

2

2

2

8

3

9 8 3

3

1( )

xy

y

x x

x y

x

y

x

  





 



 



 



 



 



   



 





     



Vậy có hai căn bậc hai của số phức z = 8 + 6i là 3 + i và - 3 - i

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai

Phương pháp:

- Bước 1: Tính  B24AC

- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của 

- Bước 3: Tính các nghiệm:

+ Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 1,2

2

B z

A

 

+ Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

B z

A

  

của số phức )

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình 2

1 0

z   z

Giải:

Ta có:   12 4.1.1 3, các căn bậc hai của 3 là i 3 và i 3

2

i

2

i

Dạng 3: Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu định lý vi-et

- Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm

- Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị

Dạng 4: Giải phương trình bậc cao

Phương pháp:

Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các

phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình

Ví dụ: Giải phương trình z4 1 0

Giải:

2

1

2

 

            



Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức z i

Gọi w x yi x y , R là một căn bậc hai của số phức z i Khi đó:

 

2 2 2

2

2

0

1 2 1 2

1

xy

x

  

   



 



 





   

 





  







   



  





 

   



Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức z' = - i

Vì z   i i i2 nên các căn bậc hai của z' là 1 1 1 1

Bài 1: Tìm các số thực a b c, , sao cho hai phương trình az2bz c 0,cz2bz  a 16 16i0 có

nghiệm chung là z 1 2i

A a b c, ,   1; 2;5  B a b c, ,   1; 2;5

C a b c, ,    1; 2;5 D a b c, ,   1; 2; 5  

Lời giải

Theo giả thiết phương trình 2

0

az bz c có nghiệm z 1 2i khi

a b c

   



cz bz a  i có nghiệm z 1 2i khi

2

               

   



            



Từ    1 , 2 suy ra a b c, ,   1; 2;5  

Chọn A

Bài 2: Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm của phương trình 2

 2015  2016

A   5 B   2 C  1 D   3

Lời giải

Phương trình 2

     

Suy ra phương trình có hai nghiệm 1

2

1 1

 



  

1

2

1 1

 



  

2

1 1

 



  

2

1 1

 



  

Chọn B

Bài 3: Tìm các số thực b c, để phương trình (với ẩn z ) z2bz c 0 nhận z 1 i là một nghiệm

A b2;c 2 B b2;c2 C b 2;c 2 D b 1;c1

Lời giải

Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z lam nghiệm Vậy nếu z 1 i là một nghiệm thì z 1 i cũng là nghiệm Theo định lý Vi-ét:

   

  

       





Chọn A

Bài 4: Tìm các số thực a b c, , để phương trình (với ẩn z ) 3 2

0

z az bz c nhận z 1 i làm nghiệm

và cũng nhận z2 làm nghiệm

A a 4;b6;c 4 B a 4;b5;c 4

C a 3;b4;c 2 D a 1;b0;c2

Lời giải

1

1i a 1i b 1  i c 0

2

z là ngiệm thì 8 4 a2b c 0

Từ đó ta có hệ phương trình

 

 

 

b c

a b

  





  



    



Từ  1 suy ra c 2 b

Từ  2 suy ra b  2 2a    c 2  2 2a 4 2a

Thay vào  3 ta có: 4a  2 2 2a 4 2a   8 0 a 4

Với a   4 b 6;c 4

Chọn A

Bài 5: Phương trình

4

1 1 1

z z



  

  

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Lời giải

 

 

2 4

2

1

1, 1 1

1

1

1, 2 1

z z z

z

   

  

   

   

    

   



 



  1 1 1 1

1 1

z

z

z

 

 

1

1 2

1

z i

z

i z



 

Vậy nghiệm phương trình là: z0;z1;z 1

Chọn C

Bài 6: Số nghiệm phức của phương trình z 25 8 6i

z

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Lời giải

Giả sử z a bi với ; a b, R và a b, không đồng thời bằng 0



   

 

25 25

a bi

    

          

   

Lấy  1 chia  2 theo vế ta có 3 ,

4

b a thế vào  1

Ta có a0 hoặc a4

Với a  0 b 0 (Loại)

Với a  4 b 3 Ta có số phức z 4 3 i

Chọn B

Bài 7: Gọi z z z z1; 2; ;3 4 là 4 nghiệm phức của phương trình 4   2

m để z1  z2  z3  z4 6

A m 1 B m 2 C m 3 D m 1

Lời giải

3,4

2

 



  

3;4

2

 



 

 

Khi đó 6 1 2 3 4 4 2

1 0

m m

       





1 0

m m

      





Kết hợp lại m 1 thỏa mãn bài toán

Chọn D

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí