Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

Trang | 6 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giá[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1 Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen của số phức

- Điểm M O biểu diễn số phức z a bi a b , R thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox và tia

cuối OM được gọi là acgumen của số phức z

- Nếu  là một acgumen của z thì k2 cũng là một acgumen của z với mỗi kZ

b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

- Số phức z = a + bi là dạng đại số của z

- Số phức zrcosisin là dạng lượng giác của z, ở đó:

+ r là mô đun của số phức

+  là acgumen của số phức

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức z1 r1cos1isin1,z2 r2cos2isin2 Khi đó:

1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2

cos sin

cos sin

i



 d) Công thức Moivre: Cho số phức zrcosisin Khi đó:

cos sin  n cos sin 

2 Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác

Cho số phức z = a + bi, viết z dưới dạng zrcosisin

Phương pháp:

- Bước 1: Tính r  a2b2

- Bước 2: Tính  thỏa mãn

cos sin

a r b r











Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức

3 Bài tập

Bài 1: Cho số phức z thảo mãn z  4i 2 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của z

A 1 B 3 C 7 D 8

Lời giải

Giả sử z a bi, ta có:   2 2

Đặt 3 4sin 3 4sin

4 4 cos 4 cos 4



9 16sin 24sin 16 32 cos

41 24sin 32 cos 41 40 sin cos

Dấu "" xảy ra khi 2 2

Vậy min z 1

Chọn A

Bài 2: Cho wsinicos với 0

2





  thỏa mãn w2 1 2 w Giá trị của  2 2018

26 w 3

P  là

A.P232018 B.P 232018. C.P232018i. D.P292018.

Lời giải

Ta có: 2  2 2

w  1 sinicos   1 1 cos 2isin 2 w  1 2 2cos 2  

2 2

2 w  sin cos  2

Từ giả thiết: w2 1 2 w cos 2 0

4



2





2

Vậy P232018

Chọn A

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có mô đun bằng 1

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm O 2; 2 , bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z a bi với a b, 

Ta có: z  1 OM 1

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R1

Chọn A

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần

thực bằng 1

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm O 2; 2 , bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có: a1

Tập hợp điểm M là đường thẳng D x: 1

Chọn D

Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần ảo bằng -1

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm O 2; 2 , bán kính R1

C Đường thẳng y 1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có: b 1

Tập hợp điểm M là đường thẳng :y 1

Chọn C

Bài 6: Tìm trong mặt phẳng tập hợp   các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z 4

z

  là một số thực

A Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính ' R2

B Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính ' R1

C Đường tròn tâm O , bán kính R1

D Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc '

Lời giải

Đặt z x yi z, 0 với x y, 

2 2

4



2 2

Z

 

Z là một số thực:  2 2  2 2

2 2

2 2

0 0



Do đó   gồm :

- Trục hoành 'x Ox ngoại trừ điểm gốc

- Đường tròn tâm O, bán kính R2

Chọn A

Bài 7: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z 2 z i

A 2 2 8 4

0

x  y 

C

2 2

1

4 3

Lời giải

Cách 1 Đặt z x yi z, 0 với x y, R

Ta có: 2 2  2  2 2 2 8 4

z  z i x y  x  y x y  y 

Cách 2 Ta có: z 2 z i  OM 2OMOB  OM 2BM

Với B 1; 0 là điểm biểu diễn số i

Do đó ta có: OM 2BM MO 2

MB

Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I J, thuộc trục tung và:

2



 

2 0;

3

I 

  và J 0; 2 Phương trình đường tròn : 2 2 2  2 2 8 4

x y  y  x y  y 

Chọn A

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí