10 Bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Đại số)

Tìm dạng gọn nhất của x... Lê Bá Khánh Trình, TS.[r]

Câu 1: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận 3

x  là nghiệm

Câu 2: Cho 2a 3  b 5 Chứng minh rằng 2 2 30

3a 2

7

b

Câu 3: Cho hệ phương trình: x2 y xy2 m 1

   





a) Giải hệ với m  2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm ( , )x y với x và y âm

Câu 4: Cho a, b, c 1  thỏa mãn a b c   4 Chứng minh rằng: abc 64(a 1)(b 1)(c 1)

Câu 5: (Khối PT chuyên ĐHSPHN) Giải phương trình:

3

3

3x

2 0 ( 1) 1

x

x

Câu 6: Chứng minh rằng: 3 3

9 4 5 9 4 5

x    là nghiệm của phương trình:

3

3x 18 0

x    Tìm dạng gọn nhất của x

Câu 7: Giải hệ phương trình:

2

2

3

4

2x 1 3 1 4z

1

y x

y

z

x





 

















Câu 8: Cho a 3b 7 Chứng minh rằng 2 2 21

3a

4

b

Câu 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z 1

Chứng minh rằng:

2x 2

1 1

xy



(a 1)   (b 2)  5 Chứng minh rằng a 2b 10

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Chuyên đề: Đại số

Câu 1:Ta có:

3

Bình phương hai vế trên, ta được:

(x  6x 2)   2(3x  2) x  4x  6x  12x  24x 4   0

nên x là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên sau:

( ) 6x 4 12x 24x 4 0

Câu 2:

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:

2

25 (2a 3 ) 3 2 (3a 2 )

3 2

3a

7

b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2a 3 5

4 9

; 3a

7 7 2

b

b

 



 

Câu 3:

Vì mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y, nên ta sử dụng phương

pháp đặt ẩn phụ:

 



 

 ta có hệ thức sau:

1

  



 

Áp dụng định lý Vi ét đảo, ta suy ra S, P là hai nghiệm của phương trình:

2

( 1) 0

X  m X  m Từ đó ta có:

; 1(1)

1; (2)



  

a) Với m  2 thì x, y là các nghiệm của một trong các phương trình sau:

  



PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Do đó, trường hợp (2) không thỏa mãn Trường hợp (1) cho ta thỏa mãn đề bài khi:

2 2

0

0

4 4

S

m

m

 









Câu 4:

Theo điều kiện ta viết lại như sau:

(a      1) (b 1) (c 1) 1 Đặt a  1 x b;   1 y c;   1 z x y z( , ,  0)

Bài toán trở thành cho x y z, ,  0 thỏa x  y z 1, chứng minh rằng (x 1)(y 1)(z 1)   64xyz

1

x    x x y z, mà

2 4

x y xy x z x     x x y z xy x  xy x  x yz

y  xy z z  xyz

4 4 4 4

(x 1)(y 1)(z 1) 4.4.4. x y z 64xyz dpcm

Câu 5:

Điều kiện: x 1 Với điều kiện trên, ta có:

3

3

3x

2 0 ( 1) 1

x

x

( 1) 3x ( 1) 2( 1) 0

(x x) 3(x x) x (x 1) (x 1)

(x x) 3(x x) 3(x x) 1 (x 1)

(x x 1) (x 1)

    

2

2

2x 2 0

x     ptvn (vì  0)

Câu 6:

9 4 5 , 9 4 5

a  b  , ta có: ab 1





  

Do đó:

( ) 3a ( ) 6 5x

x  a b a  b b a b   hay 3

3x 18 0

x   

3x 18 ( 3)( 3x 6) 0

x    x x    và 2

3x 6 0( 0)

Câu 7: Hệ phương trình đã cho:

2

2

3

4

2x

(1) 1

3

(2) 1 4z

(3) 1

y x

y

z

x





 













Từ hệ phương trình trên, ta suy ra x y z, ,  0

- Nếu một trong ba số x, y, z bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0, vậy x  y z 0 là một

nghiệm của hệ phương trình

- Nếu xyz    0 x 0,y 0,z 0 Theo bất đẳng thức Cauchy: 2

1 2x

x  

Từ (1) suy ra yz

Tương tự, từ (2) và (3) ta chứng minh được:

z y x        z x y z z x y z

Thử lại ta thấy hệ có các nghiệm là x  y z 0 hoặc x  y z 1

Câu 8:

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

3 7

1 9

;

4 4 3a

3

b

 

 



Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

2x 2

1

xy

2(x y )  x y nên 2 2

2x 2

xy z  y  xy  z x y

Ta phải chứng minh:

1

xy    z x y xy

Câu 10:

(a 1)   (b 2)   5 a b  2a 4  b

(a b )  (2a 4 )  b  20(a b)   0 a  b 20

2a  4ba b    0 a 2b 10

Dấu “=” xảy ra khi

2a 4

2 4

2 4

2 10

a

a b

b





Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí