- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS TÂN PHÚ ĐỀ THI HSG LỚP 7
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề số 1
Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phép tính:
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14
2 3 8 3
+ +
b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10
Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: 1 4 ( ) 2
3, 2
x − + = − +
Bài 3: (2 điểm) Cho a c
c =b Chứng minh rằng:
+
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH⊥BC (HBC) Biết HBE = 50 ;0 MEB = 250 Tính HEM và BME
ĐÁP ÁN Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)
( )
10
2 3 2
+ +
−
−
3n+ −2n+ + −3n 2n= 3n+2+ −3n 2n+2−2n =3 (3n 2+ −1) 2 (2n 2+1)
=3 10 2 5n − = −n 3 10 2n n−110 = 10( 3n -2n)
Vậy 3n+2−2n+2+ −3n 2n 10 với mọi n là số nguyên dương
Bài 2:(2 điểm)
Trang 2( )
3, 2
x
−
− + =
3
3
2
2
1
2 3
x x
x x
x
− =
− =−
= + =
−
=− + =
Bài 3: (2 điểm) Từ a c
c =b suy ra c2 =a b khi đó
+
Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
AMC=EMB (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB
Vì AMC = EMB MAC MEB= (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE
b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
MAI =MEK ( vì AMC = EMB )
AI = EK (gt )
Nên AMI = EMK ( c.g.c ) Suy ra: AMI =EMK
Mà AMI+IME=1800 ( tính chất hai góc kề bù )
K
H
E
M B
A
C I
Trang 3 0
180
EMK+IME=
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H =900 có HBE =500
BME BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
Nên BME=HEM +MHE=150+900 =1050
( định lý góc ngoài của tam giác )
Đề số 2
Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương: a) 1.16 2
8
n = n; b) 27 < 3n < 243
Bài 2 Thực hiện phép tính: ( 1 1 1 1 )1 3 5 7 49
− − − − −
Bài 3 a) Tìm x biết: x+3 =x+2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x−2006 + 2007−x Khi x thay đổi
Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên
một đường thẳng
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm
D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với
AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC
ĐÁP ÁN Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
8
n = n; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)
− − − − −
− + + + + +
Bài 3 (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
Trang 4a) Tìm x biết: x+3 =x+2
Ta có: x + 2 0 => x - 2
+ Nếu x -
2
3
thì 2x+3 =x+2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2 x < -
2
3
Thì 2x+3 =x+2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x−2006 + 2007−x Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên
một đường thẳng (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường
thẳng, ta có:
x – y =
3
1
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:
33
1 11 : 3
1 11
y x 1
y 12
x 1
12 y
=> x =
11
4 x ) vòng ( 33
12
=
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là
11
4
giờ
Bài 5 Đường thẳng AB cắt EI tại F
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID⊥AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung)
Trang 5=> IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( cùng phụ ABC)
=> EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB
=>AE = BC
Đề số 3
Câu 1: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9
10
11
−
Câu 2 Cho 2 đa thức: P ( )x = x2 + 2mx + m2 và Q( )x = x2 + (2m+1)x + m2 Tìm m biết P (1) =
Q (-1)
Câu 3: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
b/
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x+1 +5 ; B =
3
15
2
2
+
+
x
x
Câu 5: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng
b, Gọi N là trung điểm của DE Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM C/minh: AB = ME và
ABC= EMA
ĐÁP ÁN Câu 1:
=> -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = 8 Vậy phân số cần tìm là 7
8
−
Câu 2
P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
Câu 3: Tìm các cặp số (x; y) biết: a / x= y ; xy=84
=>
84 4
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Trang 6Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14
b/
x = x
− − => -x = 5x -12 => x = 2 Thay x = 2 vào trên ta được:
y
+
−
=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1
15
−
Vậy x = 2, y = 1
15
−
thoả mãn đề bài
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x+1 +5
Ta có : x+1 0 Dấu = xảy ra x= -1 A 5
Dấu = xảy ra x= -1 Vậy: Min A = 5 x= -1
B =
3
15
2
2
+
+
x
x
3
12 3
2
2
+
+ +
x
x
= 1 +
3
12
x
Ta có: x2 0 Dấu = xảy ra x = 0 x2
+ 3 3 ( 2 vế dương )
3
12
x
3
12
3
12
3
12
Dấu = xảy ra x = 0 Vậy : Max B = 5 x = 0
Câu 5:
a/ Xét ADC và BAF ta có:
DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE
H 2
1
1 1
P
K T I
E N
M
D
C B
A
Trang 7Xét AIE và TIC
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC ⊥ BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA ⊥ BC (đpcm)
Đề số 4
Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính :
3
1 ( : 1 3
1 3 3
1
6
2
−
−
+
−
−
b-
( )
3 2
2003 2
3
12
5 5 2
1 4
3 3
2
−
−
−
Câu 2 ( 2 điểm)
a, Tìm số nguyên a để
1
3
2
+
+ +
a
a a
là số nguyên;
Trang 8b, Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)
a, Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì
d
c b
b, Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau
Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200 Trên tia đối của tia CB lấy điểm
D sao cho CD=2CB Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
ĐÁP ÁN Câu 1
a) Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
b) Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
Câu 2
a) Ta có :
1
3
2
+
+ +
a
a a
=
1
3 1
3 ) 1 (
+ +
= +
+ +
a
a a
a a
vì a là số nguyên nên
1
3
2
+
+ +
a
a a
là số nguyên khi
1
3 +
a là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng
sau :
Vậy với a−4 −, 2,0,2thì
1
3
2
+
+ +
a
a a
là số nguyên b) Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
=
=
−
=
−
=
−
0
0 1
1
2
1 2
1
y
x x
y
Hoặc
=
=
=
−
−
=
−
1
1 1
1 2
1 2 1
y
x x
y
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
Câu 3
a) Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
d
c b
b) Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0)
Trang 9Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
a a
n
n
37 3 111 2
)
1
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
2
) 1
n
không thoả mãn
2
) 1 (
= +
n n
thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36
Câu 4
Câu 4: Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH =
2
CD
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750
Câu 5
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho
3 khi đó x2=19 không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
Đề số 5
Bài 1: a) So sánh hợp lý:
200
161
và
1000
2
1
;
H
A
Trang 10b) Tính A =
+ +
c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy Chứng minh rằng: x = y = z
Bài 2: Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16
b) (2x+1)4 = (2x+1)6
c) x+3−8 =20
x− + x− = x− + x−
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
b)
4
z 3
y
2
x
=
= và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y.Tính y1, y2 biết y1 + y2 = 52 và x1=2 , x 2= 3
b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z
Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f − Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC H và
I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh
rằng: a) BH = AI
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi
c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC
d) IM là phân giác của góc HIC
ĐÁP ÁN Bài 1: (1,5 điểm):
a) Cách 1:
200
161
=
800 200
4
2
1 2
1
=
>
1000
2
1
Cách 2:
200
161
>
200
321
=
1000 200
5
2
1 2
1
=
( )
( )
( ) ( )
3
)
b P
+
Trang 11
c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy x z y; x z; y x y z
+ +
Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)
b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
c) x+3−8 =20
20 8 3
x+ − = x+3 −8=20; x+3−8=−20
20 8
3
x+ − = x+3 =28 x = 25; x = - 31
20 8
3
x+ − =− x+3 =−12: vô nghiệm
0
Bài 3:
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
3x - 5= 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z =
3
5
;y = -1;y = 1
b)
4
z 3
y
2
x
=
= và x2 + y2 + z2 = 116
Từ giả thiết
116 16
9 4
2 z 2 y 2 x 16
2 z 9
2 y 4
2
x
=
= + +
+ +
=
=
=
Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )
Bài 4: a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:
2
4
+
+
Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ;
Với y1 = 6 thì y2= 4
Trang 12b)Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c
( )
( ) ) (0) 3 3 ) (1) 3 3 3 1 ) ( 1) 3 3 3 2 f c f a b c a b f a b c a b + + + + + + − − + − Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 32a 3a 3 vì ( 2; 3) = 1 b 3 Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 c) 3n+2−2n+2+ −3n 2n= 3n+2+ −3n 2n+2−2n =3 (3n 2+ −1) 2 (2n 2+1) =3 10 2 5n − = −n 3 10 2n n−110 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n+2−2n+2+ −3n 2n 10 với mọi n là số nguyên dương Bài 5: a) AIC = BHA BH = AI
b) BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2
c) AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N N là trực tâm DN⊥ AC
d) BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA
mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900
HMI vuông cân HIM = 450
mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là phân giác HIC
H
I
M B
D
N
Trang 13Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí