Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 - 2019 Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy có đáp án

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CẨM THỦY

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)

Năm học 2018 - 2019 Môn: Toán - Lớp 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (4,0 điểm):

1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:

3

26 15 3 2 3

x



2 Tính tổng:

Câu II (4,0 điểm):

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3

2); N(3;0); K(4;5

2) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA

2 Giải phương trình: 2 4 2 4

13 x x 9 x x 16 Câu III (4,0 điểm):

1 Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2

3x 18y 2z 3y z 18x27

2 Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:



  là số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)

Câu IV (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R Qua H vẽ đường thẳng d tiếp

xúc với đường tròn (O; R) Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm

giữa B và C Vẽ HM vuông góc với OB (MOB), vẽ HN vuông góc với OC (NOC)

1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định

2) Chứng minh: OB.OC = 2R2

3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi

Câu V (2,0 điểm): Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3

Chứng minh rằng: 12 12 12 1

2a b2b c2c a 

-Hết -

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

(Đáp án gồm có 04 trang)

1

(4đ)

1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:

3

26 15 3 2 3

x



Đặt

3

3

2

2

9 80 9 80 3 9 80 9 80

18 3 81 80.

18 3

3 18 0

3

3 6 0

a

a





 

  



Mặt khác: 3 26 15 3  3 3  23  3  2

26 15 3 2 3 3 2 2 3 4 3 1

x

2020

2020

1 1

27 9

Q      

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

2 Tính tổng:

Ta có:

1

n



Với n ≥ 1, nN

Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:

S             

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

2

(4đ)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3

2); N(3;0);

K(4;5

2) Xác định các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA

Lời giải:

Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b

K

N

M

B

C

A

-2 -1

-3 -2 -1

6

5

4

3

2

4

3

2 1 O y

x

Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)

Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4

Suy ra phương trình đường thẳng MN là: 3 9

y x

Tương tự phương trình đường thẳng MK là: 1 7

y x

phương trình đường thẳng NK là: 5 15

y x

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB

 Phương trình đường thẳng AB có dạng 3

4

y x c

Mà K(4;5

2) ∈ AB suy ra 5 3.4



  => c= 11

2

 Phương trình đường thẳng AB là: 3 11

y x

Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: 1 1

3

y x

Phương trình đường thẳng AC là: 5 1

2

y x

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

3 11

2

1 2

x y













 Suy ra A(2;4)

Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

1 Giải phương trình: 2 4 2 4

13 x x 9 x x 16

Lời giải:

Đk: -1 ≤ x ≤ 1

Ta có:

2

Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:

13; 3 3

13(1x ); 3 1x ta được:

 13 13 1 x2  3 3 3 1 x2 2 13 27 13 13     x2   3 3x2 40 16 10  x2

0,5đ

0,5đ

Áp dụng bđt Cosi ta có:

4.10x 16 10  x  (10x  16 10  x )  16  256

Dấu bằng xảy ra 10x2 = 16 - 10x2  2 2 5

5 5

x    

0,5đ

0,5đ

III

(4đ)

1) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2

3x 18y 2z 3y z 18x27

3 x 3 18y 2z 3y z 54

+) Lập luận để z23z3 z29z2 9(*)

(1)3(x3)2 2z23y z2( 26)54(2)

(2)543(x3)2 2z2 3y z2( 26)3(x3)22.9 3 y2.3

(x3) 3y 12

Nếu y2  1 y thì (1) có dạng: 1

5

x  z   z  z  z  z (vì có(*))

Khi đó 3x32 27x32  , x nguyên dương nên tìm được x = 6 9

Nếu y2 4 y (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng: 2

3x3 14z 12614z 126z  9 z   9 z 3 (vì z nguyên dương)

Suy ra (x3)2 0x (vì x nguyên dương) 3

Đáp số

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

2) Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:



  là số nguyên

Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)

Lời giải:

Theo bài ra ta có: a m an bm Z



Suy ra: an bm b an b

an bm n bm n







  mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra:

n b

n b

b n



 







 Mặt khác:

Z

  ( vì x4 - 1 x+1 và y4 - 1 y + 1) Suy ra a.mn mà (m;n) =1 suy ra an mà n = b nên a  b suy ra x4 - 1 y + 1

Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1

Vì x4 - 1 y + 1 và y44 – 1 y + 1 (đpcm)

0,5đ

0,5đ

0,5đ

IV

1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định

a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC

Vì tam giác OHB vuông tại H có HM là đường cao nên: OM.OB = OH2

Vì tam giác OHC vuông tại H có HN là đường cao nên: ON.OC = OH2

Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì cùng bằng OH2)

0,5đ

0,5đ

D M

B

H A

O

(6đ) b) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

Vì OM.OB = OH2 OA2 = OM.OB OA OB

Xét  O AM và  OABcó: AOB chung

OA OB

OM OA (chứng minh trên)

O AM

   OAB  (c.g.c)

MAO OBA

  mà AOBOBA (vì OA = AB = R)

O

M A

  cân tại M MA = MO  M thuộc đường trung trực của AO

Chứng minh tương tự ta có N cũng thuộc đường trung trực của AO

 MN đi qua trung điểm D của OA cố định

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2

Ta có: OM.OB = ON.OC (chứng minh câu a)

Chứng minh được OMN OCB  (c.g.c)

1

2

O

2 C OB R

Vậy OB.OC = 2R2

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi

Ta có: OMN OCB 

2

OMN

OH BC OH

0,5đ

2

R(AB AC) R( )

R

R R

Dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng  A H

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OMN là:

2

4

OMN

R

S  khi điểm A trùng với điểm

H

0,5đ

0,5đ

0,5đ

V

(2đ)

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3 Chứng minh rằng:

1

2a b2b c2c a

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,

1 1 a b3 a b và 3 2

3 ab     a b b a 2 b

2

a b

a b   a b   a b        

2

2 a b 218 a  ab (1)

2

( 2 )

2 b c 218 b  bc (2)

2

( 2 )

2 c a 218 c  ca (3) Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được

2

2

1.

2 a b2 b c2 c a 218 a b c   Điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình

hoặc vẽ hình sai không chấm điểm

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam

Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành

tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí