Về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƯƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 20

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HUYỀN THƯƠNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH

NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HUYỀN THƯƠNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH

NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ h khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2020

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Thương

ii

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tụy của Cô giáo, GS

TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Thương

iii

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiểu đa thức của môđun 3

1.1 Chiều và độ sâu của môđun 3

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 8

1.3 Vành và môđun Cohen – Macaulay 11

1.4 Kiểu đa thức của môđun 20

Chương 2 Kiểu đa thức dãy của môđun 29

2.1 Lọc chiều của môđun 29

2.2 Vành và môđun Cohen – Macaulay dãy 34

2.3 Kiểu đa thức dãy của môđun 38

2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ và địa phương hóa 44

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Mở đầuCho (R,m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinhvới dim(M ) = d Ta luôn có dimR(M ) ≥ depthR(M ) Nếu dimR(M ) =depthR(M ) thì ta nói M là Cohen-Macaulay Lớp môđun Cohen-Macaulayđóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnhvực khác nhau của Toán học Lớp môđun này đã được đặc trưng thông quanhững lý thuyết quen biết như địa phương hóa, đầy đủ hóa, số bội, đối đồngđiều địa phương Để phân loại cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trênvành địa phương, N T Cuong [3] năm 1992 đã giới thiệu khái niệm kiểu đathức của môđun M, ký hiệu là p(M ), thông qua các hiệu số giữa độ dài và

số bội ứng với lũy thừa của các phần tử của một hệ tham số của M Nếu taquy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khip(M ) = −1 Khi M không là Cohen-Macaulay, p(M ) được xem là khoảngcách từ M đến lớp môđun Cohen-Macaulay Theo nghĩa nào đó, p(M ) cànglớn thì cấu trúc của M càng xa với cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay.Một tính chất quan trọng của môđun Cohen-Macaulay là tính chấtkhông trộn lẫn Cụ thể, nếu M là Cohen-Macaulay thì dim(R/p) = d vớimọi p ∈ AssR(M ) Để nghiên cứu các môđun trộn lẫn M, người ta xétđến lọc chiều của M, đó là dãy các môđun con {Di}, trong đó D0 = M

và Di là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR(Di−1) với mọi

i ≥ 1 Ta nói M là Cohen-Macaulay dãy nếu mỗi thương Di−1/Di là Macaulay Rõ ràng mỗi môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M

Cohen-là môđun Cohen-Macaulay dãy và 0 ⊂ M là lọc chiều của M Khái niệmmôđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu được giới thiệu bởi R Stanley năm

1996 cho các môđun hữu hạn sinh phân bậc, sau đó được nghiên cứu bởi

P Schenzel [10] và N T Cuong, L.T Nhan [4] cho trường hợp môđun hữuhạn sinh trên vành địa phương Để mở rộng khái niệm kiểu đa thức mộtcách tự nhiên, năm 2016, L T Nhan, T D Dung và T D M Chau [8] đãđịnh nghĩa kiểu đa thức dãy của M, ký hiệu là sp(M ), là số lớn nhất trongcác kiểu đa thức p(Di−1/Di) Rõ ràng, M là Cohen-Macaulay dãy khi vàchỉ khi sp(M ) = −1 Khi M không là Cohen-Macaulay dãy, sp(M ) đượcxem như là khoảng cách từ môđun M đến lớp môđun Cohen-Macaulay dãy.Mục đích của luận văn là nghiên cứu kiểu đa thức dãy của môđun hữuhạn sinh trên vành Noether địa phương Trong luận văn này, chúng tôi trìnhbày chi tiết một số kết quả trong bài báo [8]: A measure of non-sequential

Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016),275-295 Để tiện theo dõi và đối sánh, luận văn cũng trình bày chi tiết cáckết quả về kiểu đa thức trong bài báo của N T Cuong [3] Trong suốt luậnvăn, bên cạnh các khái niệm và kết quả, tác giả của luận văn đưa ra nhiều

ví dụ minh họa cụ thể

Luận văn gồm 2 chương Chương 1 trình bày kiểu đa thức của môđun.Trong các tiết đầu của Chương 1, chúng tôi nhắc lại kiến thức cần thiết vềchiều, độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương Tiết 1.4 dành để làm rõcấu trúc của môđun Cohen-Macaulay và các môđun liên quan Tiết 1.5 giớithiệu khái niệm kiểu đa thức và các kết quả đã biết về kiểu đa thức trongbài báo của N T Cuong [3]

Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trình bày kiểu đa thức dãycủa môđun Tiết 2.1 bàn về lọc chiều của môđun Tiết 2.2 trình bày kháiniệm môđun Cohen-Macaulay dãy và các tính chất của môđun này Tiết 2.3giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy và các kết quả về kiểu đa thức dãytrong bài báo [8]

Chương 1

Kiểu đa thức của môđun

Mục tiêu của chương này là trình bày khái niệm kiểu đa thức của môđunđược giới thiệu bởi N T Cuong [3] và các tính chất của kiểu đa thức trongmối liên hệ với chiều của đồng điều địa phương của môđun đó

Trong suốt tiết này, cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđunhữu hạn sinh Để tiện theo dõi, trước khi trình bày khái niệm vành và môđunCohen-Macaulay, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất về chiều,

độ sâu

Khái niệm chiều Krull sau đây được định nghĩa cho các vành giao hoánNoether và các môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether (khôngnhất thiết là vành địa phương) Đặt AnnR(M ) = {x ∈ R | xM = 0} Khi

đó AnnR(M ) là iđêan của R

Định nghĩa 1.1.1 Một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn của

R, trong đó pi 6= pi+1 với mọi i, được gọi là một dãy nguyên tố độ dài n.Chiều Krull của R (gọi tắt là chiều của R), ký hiệu là dim(R), là cận trêncủa các độ dài của các dãy nguyên tố trong R Chiều của môđun M, kýhiệu là dimR(M ), được định nghĩa là chiều của vành R/ AnnR(M )

Vành Z các số nguyên có chiều bằng 1 vì các iđêan nguyên tố của vànhnày là 0 và pZ với p là số nguyên tố Vành Z12 có chiều bằng 0 vì vành nàychỉ có hai iđêan nguyên tố (cũng là tối đại), đó là 2Z12 và 3Z12

Chú ý rằng vành giao hoán Noether có thể có chiều vô hạn Chẳnghạn, cho T = k[x1, · · · , xn, · · · ] là vành đa thức vô hạn biến trên trường

k Gọi m1, · · · , mn, · · · là dãy các số nguyên dương sao cho mi − mi−1 <

mi+1 − mi với mọi i Gọi pi là iđêan nguyên tố của T sinh bởi các biến xjvới mj ≤ j ≤ mj+1 Gọi S là giao của các phần bù của tất cả các pi, tức là

S = T

i∈N

(R \pi) Khi đó vành địa phương hóa TS là vành giao hoán Noether

có chiều vô hạn (theo Ví dụ 1, phần Phụ lục A1, cuốn sách Vành địa phươngcủa M Nagata)

Vành Noether địa phương luôn có chiều hữu hạn (xem Hệ quả 1.3.7)

Vì thế chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương luôn là số hữuhạn

Với mỗi iđêan I củaR, ta kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của

R chứa I Vì M là hữu hạn sinh nên ta có SuppR(M ) = VarR(AnnR(M ))

Do R là vành Noether nên ta có min SuppR(M ) = min AssR(M ) (theo [7,Định lý 6.5]) Vì thế min AssR(M ) = min Var(AnnR(M )) Do đó chiều củamôđun M có thể được tính thông qua chiều của các iđêan nguyên tố liênkết như sau

dimR(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ AssR(M )}

Tiếp theo là mối liên hệ giữa chiều của M và đầy đủ m-adic cM của M.Nhắc lại rằng họ các R-môđun con {mnM }n=1,2, của M làm thành một

cơ sở lân cận của 0 trongM Cơ sở này của 0 xác định trên M một tôpô gọi

là tôpô tuyến tính m-adic sinh bởi họ {mnM }n=1,2, Khi M được trang bịmột tôpô, ta có thể định nghĩa các dãy Cauchy trên M tương tự trên tập các

số thực như sau Một dãy các phần tử (xn) của M được gọi là dãy Cauchynếu với mọi N ∈ N, tồn tại n(N ) ∈ N thỏa mãn xn+1 − xn ∈ mN M, vớimọi n ≥ n(N ) Ta nói hai dãy(xn), (yn) các phần tử của M là tương đương,

kí hiệu là (xn) ∼ (yn), nếu với mọi N ∈ N, tồn tại n(N ) ∈ N thỏa mãn

xn − yn ∈ mnM với mọi n ≥ n(N ) Ký hiệu X là tập các dãy Cauchy của

M Dễ dàng kiểm tra được quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên X

Ta gọi tập thương cM := X/ ∼ là đầy đủ m-adic của M Trên cM, với mỗi(xn), (yn) ∈Mc, với mỗi r ∈ R, ta định nghĩa hai phép toán sau

(xn) + (yn) = (xn+ yn),r.(xn) = (r.xn)

Dễ dàng kiểm tra được với hai phép toán này cM có cấu trúc R-môđun Nếu

M = R thì bR được gọi là vành đầy đủ m-adic củaR Hơn nữa, cM là một bR

-môđun Khi đó mối liên hệ giữa chiều củaM và cM làdimR(M ) = dim

b

R(M ),cxem [7]

Ví dụ 1.1.2 Cho k là một trường Ký hiệu R1 := k[x1, · · · , xd] là vành đathức và R2 := k[[x1, · · · , xd]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức d biếntrên trường k Chú ý rằng R1 không là vành địa phương, R2 là vành địaphương với iđêan cực đại duy nhất là (x1, · · · , xd) và R2 là vành đầy đủcủa vành địa phương (R1)(x1,··· ,xd) Khi đó ta có dim(R1) = dim(R2) = d vàdim(Z[x1, · · · , xd]) = d + 1 (theo [7, Định lý 15.4]) Ta có

dim(R2) = dim(R1)(x1,··· ,xd) = d

Với d ≥ 3, M = R2/(x1, x22) ∩ (x53) thì AssR2(M ) = {(x1, x2), (x3)} Vì thế

dimR2(M ) = max{dim(R2/(x1, x2)), dim(R2/(x3))} = d − 1

Định nghĩa 1.1.3 Một phần tử x ∈ R được gọi là ước của 0 đối vớimôđun M nếu tồn tại m ∈ M, m 6= 0 sao cho xm = 0 Một dãy cácphần tử x1, · · · , xt của vành R được gọi là một M-dãy chính quy có độdài t nếu M 6= (x1, · · · , xt)M và mỗi xi không là ước của 0 đối với môđunM/(x1, · · · , xi−1)M

Chú ý rằng khi (R,m) là vành địa phương, mỗi hoán vị củaM-dãy chínhquy là M-dãy chính quy (điều này không còn đúng khi vành cơ sở không làvành địa phương), xem [7]

Cho R := k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với k là mộttrường Khi đó x, y, z là một R-dãy chính quy, trong khi đó dãy x, x + y, ykhông là dãy chính quy vì y là ước của 0 trong R/(x, x + y) = R/(x, y).Trong trường hợp đơn giản, ta có thể dùng định nghĩa để kiểm tra một dãyphần tử có là dãy chính quy Trong trường hợp tổng quát, ta biết rằng tậpcác ước của0 đối vớiM là hợp của các iđêan nguyên tố liên kết củaM, điềunày hỗ trợ cho việc xem xét một dãy phần tử có là chính quy hay không

Ví dụ sau minh họa điều này

Ví dụ 1.1.4 Với R := k[[x, y, z]] và M = R/(x2, z5) ∩ (y3, z2) thì x + y làphần tử M-chính quy Thật vậy, vì AssR(M ) = {(x, z), (y, z)} và x + y /∈(x, z), x + y /∈ (y, z) nên x + y không là ước của 0 đối với M Rõ ràng

M 6= (x + y)M Vì thế x + y là M-chính quy

Định nghĩa 1.1.5 Cho I là một iđêan của R Một dãy các phần tử

x1, · · · , xt ∈ I được gọi là một M-dãy chính quy tối đại trong I nếu

x1, · · · , xt là M-dãy chính quy và không tồn tại phần tử y ∈ I sao cho

x1, · · · , xt, y là M-dãy chính quy

Cho I là một iđêan của R Chú ý rằng mỗi M-dãy chính quy trong Iđều có thể mở rộng thành một M-dãy chính quy tối đại trong I Hơn nữa,các M-dãy chính quy tối đại trong I đều có chung độ dài (xem [7]) Độ dàichung này được gọi là độ sâu củaM trongI và được ký hiệu làdepth(I, M ).Khi (R,m) là vành địa phương, độ sâu của M trong m được gọi là độ sâucủa M và được ký hiệu là depthR(M )

Từ đây đến hết tiết này, luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địaphương và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dimR(M ) = d

Nhận xét 1.1.6 Theo Bổ đề Nakayama, nếu M 6= 0 và I là iđêan chứatrong m thì M 6= IM Vì thế một dãy x1, · · · , xt ∈ m là M-dãy chính quynếu và chỉ nếu mỗixi không là ước của0đối với môđunM/(x1, · · · , xi−1)M

Vì tập các ước của 0 đối với M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M,nên một phần tử x ∈ m là phần tử M-chính quy nếu và chỉ nếu x /∈ p vớimọi p ∈ AssR(M ) Do đó depthR(M ) = 0 nếu và chỉ nếu m∈ AssR(M ) Rõràng nếu x là phần tửM-chính quy thì depthR(M/xM ) = depthR(M ) − 1.Sau đây là một số tính chất của độ sâu

Bổ đề 1.1.7 depthR(M ) ≤ dim(R/p) với mọi p ∈ AssR(M ) Đặc biệt,depthR(M ) ≤ dimR(M )

Chứng minh Ta luôn có dimR(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ AssR(M )}

Ta sẽ chứng minh depth(M ) ≤ dim(R/p) với mọi p ∈ AssR(M ) Thật

vậy, cho p ∈ AssR(M ) Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim(R/p) Nếudim(R/p) = 0 thì m = p và do đó m∈ AssR(M ) Theo Nhận xét 1.1.6, ta

có depthR(M ) = 0

Giả sử dim(R/p) > 0 Nếu m ∈ AssR(M ) thì theo chứng minh trên

ta có depthR(M ) = 0, do đó kết quả là đúng Giả sử m ∈ Ass/ R(M ) TheoĐịnh lý tránh nguyên tố, tồn tại a ∈ m sao cho a /∈ p với mọi p∈ AssR(M )

Do đó a là M-chính quy Ta khẳng định rằng tồn tại q ∈ AssR(M/aM ) saocho q ⊇ p+Ra Giả sử ngược lại, khi đó p 6⊆ q với mọi q ∈ AssR(M/aM ).Khi đó, theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại phần tử b ∈ p sao cho

b /∈ q với mọi q ∈ AssR(M/aM ) Ta suy ra b là phần tử M/aM-chínhquy Vì thế dãy a, b là M-dãy chính quy Vì hoán vị của dãy chính quy

là dãy chính quy nên b, a cũng là M-dãy chính quy Vì thế b là M-chínhquy Do p ∈ AssR(M ) nên b /∈ p Điều này là vô lý, khẳng định đượcchứng minh Do vậy tồn tại q ∈ AssR(M/aM ) sao cho aR + p ⊆ q Vì

a /∈ p nên dim(R/q) < dim(R/p) Vì thế theo giả thiết quy nạp ta códepthR(M/aM ) ≤ dim(R/q) < dim(R/p) Theo Nhận xét 1.1.6, ta códepthR(M ) = depthR(M/aM ) + 1 ≤ dim(R/q) + 1 ≤ dim(R/p)

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính độ sâu của môđun khi chuyểnqua đầy đủ m-adic và mở rộng chuỗi luỹ thừa hình thức (xem [7])

Mệnh đề 1.1.8 Cho I là iđêan của R Các phát biểu sau là đúng

(i) depthR(I, M ) = depth

b

R(IR,b M )c ;(ii) depth(R[[x1, · · · , xt]]) = t + depth(R)

Ví dụ 1.1.9 Cho R = k[[x, y, z]] với k là trường Với M := R/(x2, z) ∩(y, z) và N = R/(x2) ∩ (y, z2), ta có dimR(M ) = depthR(M ) = 1 vàdimR(N ) = 2, depthR(N ) = 1 Thật vậy, vì AssR(M ) = {(x, z), (y, z)}nên dimR(M ) = 1 Do x + y /∈ (x, z) vàx + y /∈ (y, z)nên x + y là M-chínhquy Suy ra depthR(M ) > 0 Vì thế dimR(M ) = depthR(M ) = 1 Tương

tự, ta có AssR(N ) = {(x); (y, z)} Vì thế

dimR(N ) = max{dimR(R/(x), dimR(R/(y, z))} = 2

Vì depthR(N ) ≤ dimR(R/p) với mọi p ∈ AssR(N )nêndepthR(N ) ≤ 1.Do

x + y /∈ (x) và x + y /∈ (y, z) nênx + y là N-chính quy Vậy depthR(N ) = 1

Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđun đốiđồng điều địa phương trình bày trong cuốn sách [1]

Định nghĩa 1.2.1 Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun Đặt

ΓI(L) = S

n≥0(0 :L In) Cho f: L → N là đồng cấu giữa các R-môđun và

f∗: ΓI(L) → ΓI(N ) là đồng cấu cảm sinh từ f cho bởi f∗(x) = f (x) vớimọi x ∈ ΓI(L) Khi đó, ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớptrái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun Hàm tử ΓI(−)được gọi là hàm tử I-xoắn

Định nghĩa 1.2.2 Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗiđơn cấu f: N −→ N0 và mỗi đồng cấu g: N −→ L, luôn tồn tại đồng cấu h:

N0−→ L sao cho g = hf Một giải nội xạ của R-môđun L là một dãy khớpcác R-môđun

0 −→ L−→Eα 0 f0

−→E1 f1

−→E2 f2

−→

trong đó mỗi Ei là một môđun nội xạ Chú ý rằng mọi môđun đều có giảinội xạ.

Định nghĩa 1.2.3 Cho L là một R-môđun và I là iđêan của R Môđundẫn suất phải thứ i của hàm tử I-xoắn ΓI(−) ứng với M được gọi là môđunđối đồng điều địa phương thứ i của L với giá I và được ký hiệu là HIi(L)

Để tính môđun HIi(L) ta lấy một giải nội xạ của L

0 −→ L−→Eα 0 f0

−→E1 f1

−→E2 f2

−→ rồi tác động hàm tử I-xoắn vào ta được đối phức

0 −→ ΓI(E0) f

∗ 0

−→ΓI(E1) f

∗ 1

−→ΓI(E2) f

∗ 2

0 →ΓI(L0) → ΓI(L) → ΓI(L00) →

→ HI1(L0) → HI1(L) → HI1(L00) → HI2(L0) →

Một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tínhtriệt tiêu trong mối quan hệ với tính I-xoắn, độ sâu và chiều của môđun.Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mốiquan hệ với tính I-xoắn Ta gọi L là I-xoắn nếu L = ΓI(L)

Mệnh đề 1.2.5 Cho L là R-môđun Các phát biểu sau là đúng.

(i) HIi(L) là môđun I xoắn với mọi i ≥ 0;

(ii) Nếu L là I-xoắn thì HIi(L) = 0 với mọi i > 0 Đặc biệt với mỗi Rmôđun L, ta có HIj(HIi(L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j > 0

-Mệnh đề trên cho ta kết quả sau đây

Hệ quả 1.2.6 Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI(L) Khi đó ta có

HIi(L) ∼= HIi(L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1

Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R,m) và vành địa phương và M

là R-môđun hữu hạn sinh

Tiếp theo là tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điềuđịa phương liên quan đến chiều và độ sâu của môđun

Định lý 1.2.7 Cho I là iđêan của R Các phát biểu sau là đúng

(i) depth(I, M ) = min{i | HIi(M ) 6= 0}

(ii) dimR(M ) = max{i | Hmi(M ) 6= 0}

(iii) depthR(M ) = min{i | Hmi (M ) 6= 0}

(iv) Hmi(M ) = 0 với mọi i > dimR(M )

Một trong những lớp môđun đối đồng điều địa phương quan trọng đó

là lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin Định lý sau đây khẳng địnhrằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin

Định lý 1.2.8 Cho (R,m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạnsinh với dimR(M ) = d Khi đó Hmi(M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0

và HId(M ) là Artin với mọi iđêan I của R

Phần tiếp theo trình bày tính chất chuyển qua đầy đủ của môđun đốiđồng điều địa phương Artin với giá cực đại Cho (R,m) là vành địa phương

và M làR-môđun hữu hạn sinh Nhắc lại rằng nếu Alà R-môđun Artin, thì

A có cấu trúc tự nhiên là bR-môđun Artin với tích vô hướng xác định nhưsau: Cho u ∈ A và x ∈ R,b trong đó x có đại diện là dãy Cauchy (xn) ⊆ R.

Vì Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, nên nó là Artin Rõ ràng

Ru là hữu hạn sinh Do đó Ru có độ dài hữu hạn Vì thế tồn tại số tựnhiên t sao chomtu = 0 Do (xn) là dãy Cauchy nên tồn tại n0 ∈ N sao cho

xn− xm ∈ mt với mọi m, n > n0 Suy ra (xn− xm)u = 0, tức là xnu khôngđổi khi n ≥ n0 Từ đây ta có thể định nghĩa tích vô hướng xu := xnu với

Bổ đề sau cho ta thông tin về chiều của môđun đối đồng điều địa phương

Hmi(M ) trên vành đầy đủ m-adic của R

Bổ đề 1.2.10 [9, Tính chất 2.4] Cho i ≥ 0 là một số nguyên Khi đó

dim(R/ Annb

b

R(Hmi(M )) ≤ i

Trong tiết này, giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương và M là

R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d Ta có dimR(M ) ≥ depthR(M )(xem Bổ đề 1.1.7) Điều này dẫn đến định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.1 Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

M = 0 hoặc depthR(M ) = dimR(M ) Vành R được gọi là vành Macaulay nếu R xét như R-môđun là Cohen-Macaulay

Cohen-Chú ý rằng khái niệm môđun Cohen-Macaulay được định nghĩa tổngquát cho trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether(không nhất thiết địa phương) Tuy nhiên, trong luận văn này chúng ta chỉxét trường hợp vành cơ sở là địa phương

Ví dụ 1.3.2 Cho k là một trường và d ≥ 3 là số nguyên.

(i) Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến trêntrường k Khi đó vành R là vành Cohen-Macaulay; M = R/((x2, z) ∩(y, z)) là R-môđun Cohen-Macaulay; N = R/(x2) ∩ (y, z2) không là

R-môđun Cohen-Macaulay

(ii) ChoR = k[[x1, , xd]]là vành các chuỗi lũy thừa hình thứcdbiến trên

k và M = R/((x21, x52) ∩ (x22, x23, , x2d)) Khi đó, R là vành Macaulay; dimR(M ) = d − 2, depthR(M ) = 1 Đặc biệt, M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu d = 3

Cohen-Chứng minh (i) Do dim(R) = depth(R) = 3 nên R là vành Macaulay Theo Ví dụ 1.1.9, ta có dimR(M ) = depthR(M ) = 1 nên

Cohen-M là R-môđun Cohen-Macaulay Vì dimR(N ) = 2 và depthR(N ) = 1nên N không là môđun Cohen-Macaulay

(ii) Do dim(R) = depth(R) = d nên R là vành Cohen-Macaulay Ta có

Chú ý rằng chiều và độ sâu của môđun được bảo toàn qua đầy đủ m-adic(xem tiết 1.1) Vì thế ta có kết quả sau.

Mệnh đề 1.3.3 M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi cM là Cohen-Macaulay.Một tính chất quan trọng của môđun Cohen-Macaulay là tính chấtkhông trộn lẫn Theo cuốn sách "Vành địa phương" của M Nagata, Mđược gọi là không trộn lẫn nếu dim(R/b P) = d với mọi P ∈ Ass

b

R(M ).cMệnh đề 1.3.4 Nếu M là Cohen-Macaulay thì M không trộn lẫn Trongtrường hợp này, dim(R/p) = d với mọi p ∈ AssR(M )

Chứng minh DoM làR-môđun Cohen-Macaulay nên cM là bR-môđun

Cohen-Macaulay Suy ra depth

b

R(M ) = d.c Cho P ∈ Ass

b

R(M ).c Khi đó theo Bổ đề1.1.7, ta có

Chú ý rằng phát biểu ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 không còn đúng nữa

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng tồn tại những môđun không trộn lẫn và không làCohen-Macaulay

Ví dụ 1.3.5 Cho k là trường, d ≥ 2 là số nguyên và R = k[[x1, , xd]]

là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo d biến trên k Khi đó R-môđun

M := (x1, , xd)R là không trộn lẫn và dimR(M ) = d, depthR(M ) = 1

Do đó, M không là môđun Cohen-Macaulay

Chứng minh Vì R là miền nguyên nên Ass(R) = {0} Do M 6= 0 nên

∅ 6= AssR(M ) ⊆ Ass(R) Vì thế AssR(M ) = {0} Vậy M không trộn lẫn

và dimRM = d

Theo Hệ quả 1.2.4(ii), từ dãy khớp 0 → M → R → R/M → 0 ta códãy khớp dài

0 → Hm0(M ) → Hm0(R) → Hm0(R/M ) → Hm1(M ) → Hm1(R) → trong đó m = (x1, , xd)R là iđêan cực đại của R Vì R là vành Cohen-Macaulay nên depth(R) = dim(R) = d Do đó Hmi(R) = 0 với mọi i 6= d.Suy ra Hm0(M ) = 0 Chú ý rằng dim(R/M ) = 0 Vì thếHm0(R/M ) 6= 0 Do

Hm1(R) = 0 (vì d ≥ 2) nên Hm1(M ) ∼= Hm0(R/M ) Vì thế Hm1(M ) 6= 0 TheoĐịnh lý 1.2.7(iii) ta có depthR(M ) = 1

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu tính Cohen-Macaulay có bảo toànkhi chuyển qua địa phương hóa tại các iđêan nguyên tố Trước khi trả lờicâu hỏi này, chúng ta nhắc lại Định lý đa thức Hilbert - Samuel về chiềucủa môđun Nhắc lại rằng một iđêan q 6= R của R được gọi là iđêan nguyên

sơ nếu với mọi x, y ∈ R, xy ∈ q và x /∈ q, luôn tồn tại n ∈ N sao cho

yn ∈ q Đặt Rad(q) = {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ q} Khi đó Rad(q) là mộtiđêan của R chứa q Nếu q là một iđêan nguyên sơ, thì p := Rad(q) là mộtiđêan nguyên tố của R Trong trường hợp này, ta gọi q là iđêan p-nguyên

sơ Nếu q là m-nguyên sơ thì M/qnM có độ dài hữu hạn (khi đó ta có thểxem `R(M/qnM ) như một hàm theo biến nguyên dương n.)

Định lý 1.3.6 (Xem [7, Định lý 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ.Khi đó, `R(M/qnM ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và

dimR(M ) = deg `R(M/qnM )

= inf{t | ∃x1, , xt ∈ m, `R(M/(x1, , xt)M ) < 0}.Định lý trên dẫn đến hệ quả thú vị sau

Hệ quả 1.3.7 Các phát biểu sau là đúng

(i) Chiều của vành địa phương (R,m) luôn là một số hữu hạn

(ii) dimR(M/xM ) ≥ d − 1 với mọi x ∈ M Đẳng thức xảy ra nếu x làphần tử M-chính quy

Chứng minh (i) Vì R là vành giao hoán Noether, nên m là iđêan hữuhạn sinh Do đó tồn tại x1, , xt ∈ m sao cho m = (x1, , xt)R Vì

`R(M/mM ) < ∞,nên `R(M/(x1, , xt)M ) < ∞ Do đó theo Định lý đathức Hilbert-Samuel ta suy ra dimR(M ) ≤ t < ∞

(ii) Cho x ∈ m Giả sử dimR(M/xM ) = k < d − 1, ta cần tìm mâuthuẫn Đặt M1 = M/xM Theo Định lý 1.3.6, tồn tại x1, , xk ∈ m saocho `R(M1/(x1, , xk)M1) < ∞ Do đó `R(M/(x, x1, , xk)M ) < ∞.Theo Định lý 1.3.6 ta có d = dimR(M ) ≤ k + 1 Do đó d − 1 ≤ k, điều này

là mâu thuẫn

Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng tính Cohen-Macaulay bảo toàn qua địaphương hóa

Mệnh đề 1.3.8 M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là

Rp-môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR(M )

Chứng minh NếuM = 0thì không có gì phải chứng minh Giả thiếtM 6= 0

Ta chứng minh chiều đảo trước Giả sử Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulayvới mọi p ∈ SuppR(M ) Khi đó Mm là Rm-môđun Cohen-Macaulay Chú ýrằng Rm ∼= R và M

Cho d > 0 và giả sử kết quả đã đúng cho các môđun Cohen-Macaulay

có chiều nhỏ hơn d Nếu p ∈ min SuppR(M ) thì dimRp(Mp) = 0 Hiểnnhiên depthRp(Mp) = 0 Vì thế, Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay Bâygiờ ta giả thiết p ∈ min Supp/ R(M ) Khi đó, dim(R/p) < dimR(M ) = d

và dimRp(Mp) > 0 Vì M là R-môđun Cohen-Macaulay, nên theo Mệnh

đề 1.3.4, các iđêan nguyên tố liên kết của M đều có chiều d Suy ra, p ∈/AssR(M ) và p 6⊆ q với mọi q ∈ AssR(M ) Do AssR(M ) là tập hữu hạnnên theo Định lý Tránh nguyên tố, tồn tại x ∈ p sao cho x /∈ q với mọi

q ∈ AssR(M ) Suy ra x là phần tử M-chính quy Đặt N = M/xM Do M

là Cohen-Macaulay chiều d nên depthR(N ) = d − 1 Do x là M-chính quynên theo Hệ quả 1.3.7(ii), ta có dimR(N ) = dimR(M ) − 1 = d − 1 Vì thế

N là Cohen-Macaulay Do đó giả thiết quy nạp áp dụng được cho N Vì

Mp 6= 0 và x ∈ p nên theo Bổ đề Nakayama ta có Np = Mp/xMp 6= 0 Suy

ra p ∈ SuppR(N ) Theo giả thiết quy nạp, Np là Cohen-Macaulay Do đótheo Hệ quả 1.3.7(ii) ta có

depthRp(Mp)−1 = depthRp(Mp/xMp) = dimRp(Mp/xMp) = dimRp(Mp)−1.Suy ra Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay

Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tính Cohen-Macaulay cũng được bảotoàn khi chia cho một dãy chính quy

Mệnh đề 1.3.9 Cho x1, , xr ∈ m là một dãy chính quy Khi đó M

là Cohen-Macaulay (chiều d) nếu và chỉ nếu M/(x1, , xr)M là Macaulay (chiều d − r)

Cohen-Chứng minh Bằng quy nạp theo r, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp

r = 1 là đủ Giả sử x là phần tử M-chính quy Khi đó depthR(M/xM ) =depthR(M ) − 1 và dimR(M/xM ) = dimR(M ) − 1 theo Hệ quả 1.3.7(ii).Suy ra M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu dimR(M ) = depthR(M ) = d,nếu và chỉ nếu

dimR(M/xM ) = depthR(M ) = d − 1,nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen-Macaulay (chiều d − 1)

Trong Tiết 1.2, chúng ta đã trình bày các đặc trưng đồng điều của độsâu và chiều như sau

depthR(M ) = min{i ∈N | Hmi (M ) 6= 0};

dimR(M ) = max{i ∈ N | Hmi(M ) 6= 0}

Từ đây, ta có ngay đặc trưng đồng điều của môđun Cohen-Macaulay Đặctrưng này là một công cụ rất hữu hiệu để kiểm tra một môđun có là Cohen-Macaulay hay không

Định lý 1.3.10 M là một R-môđun Cohen-Macaulay (chiều d) nếu và chỉnếu Hmi (M ) = 0 với mọi số tự nhiên i < d

Ví dụ 1.3.11 Cho k là một trường và R := k[[x1, , xn, y1, , yn]] làvành các chuỗi lũy thừa hình thức theo 2n biến với hệ số trên k Với M =R/(x1, , xn) ∩ (y1, , yn), ta có M không trộn lẫn, dimR(M ) = n vàdepthR(M ) = 1 Đặc biệt, M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu n = 1.Chứng minh Vì AssR(M ) = {(x1, , xn), (y1, , yn)} nên

dimR(M ) = max{dim(R/(x1, , xn), dim(R/(y1, , yn))} = n

Vì R là đầy đủ nên M là không trộn lẫn Ta đặt I := (x1, , xn) và

J := (y1, , yn), m = (x1, , xn, y1, , yn) Từ dãy khớp

0 → R/(I ∩ J ) → R/I ⊕ R/J → R/(I + J ) → 0

ta có dãy khớp dài

0 → Hm0(R/(I ∩ J )) → Hm0(R/I ⊕ R/J ) → Hm0(R/(I + J ))

→ Hm1(R/(I ∩ J )) → Hm1(R/I ⊕ R/J ) → Hm1(R/(I + J )) →

Vì dim(R/(I + J )) = 0 nên Hm0(R/(I + J )) 6= 0 và Hmi(R/(I + J )) = 0 vớimọi i 6= 0 Chú ý rằng từ dãy khớp

0 → R/I → R/I ⊕ R/J → R/J → 0

ta suy ra dim R/I ⊕ R/J = max{dim(R/I), dim(R/J )} = n Vì R/I

và R/J là các vành Cohen-Macaulay nên Hmi(R/I) = 0 và Hmi(R/J ) =

0 với mọi i 6= n Do Hmi(R/I ⊕ R/J ) ∼= Hmi(R/I) ⊕ Hmi(R/J ) nên suy

ra Hmi(R/I ⊕ R/J ) = 0 với mọi i 6= n Vì thế Hm0(R/(I ∩ J )) = 0 và

Hm1(R/(I ∩ J )) 6= 0 Do đó depthR(M ) = 1 Vì thế M là Cohen-Macaulaynếu và chỉ nếu n = 1

Để trình bày đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay qua số bội, trướchết ta nhắc lại khái niệm hệ tham số và số bội

Theo Định lý 1.3.6, ta có

d = inf{t | ∃x1, , xt ∈ m, `R(M/(x1, , xt)M ) < ∞}

Vì thế tồn tạid phần tửx1, , xd ∈ m sao cho `R(M/(x1, , xd)M ) < ∞

Từ đây ta có khái niệm hệ tham số như sau

Định nghĩa 1.3.12 Một hệ (x1, , xd) các phần tử trong m được gọi làmột hệ tham số của M nếu `R(M/(x1, , xd)M ) < ∞

Cho x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M Chú ý rằng với mỗiiđêan I của R, căn Rad(I) là giao của các iđêan nguyên tố chứa I Sử dụngtính chất này, ta có thể chứng minh rằng

Rad(AnnR(M/(x1, , xd)M )) = Rad(AnnR(M ) + (x1, , xd)R))

Vì `R(M/(x1, , xd)M ) < ∞ nên Rad(AnnR(M/(x1, , xd)M )) = m

Từ đó ta suy ra AnnR(M ) + (x1, , xd)R là một iđêan m-nguyên sơ Đặt

q = AnnR(M ) + (x1, , xd)R Khi đó qnM = (x1, , xd)nM với mọi

n ∈ N Vì vậy theo Định lý 1.3.6, `R(M/(x1, , xd)nM ) là một đa thức(theo biến n) với hệ số hữu tỷ khi n  0 Hiển nhiên đa thức này nhận giátrị nguyên với mọi biến nguyên

Định nghĩa 1.3.13 Cho x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M Gọi

a0 là hệ số cao nhất của đa thức `R(M/(x1, , xd)nM ) khinđủ lớn Số bộicủa x ứng với M được ký hiệu là e(x; M ) (hoặc e(x1, , xd; M )) và đượcxác định bởi công thức e(x; M ) = a0d!

Dưới đây ta tính toán một ví dụ đơn giản.

Ví dụ 1.3.14 Cho k là một trường và R = k[[x, y]] là vành các chuỗi lũythừa hình thức trênk.Khi đó(x2, y3)là hệ tham số củaR.Với mọi số nguyên

n ≥ 1 ta có `R(R/(x2, y3)nR) = 3n2 + 3n Vì thế e(x2, y3; R) = 3.2 = 6.Chứng minh Ta có Rad((x2, y3)R)n = (x, y)R = m là iđêan cực đại của R

Vì thếMn = R/(x2, y3)nR có cấu trúcR/m-môđun và do đó là R/m-khônggian véctơ Suy ra

Theo Định lý 1.3.6, bậc của đa thức`R(R/(x2, y3)nR)khinđủ lớn chínhbằng dim(R) = 2 Vì thế đa thức có dạng an2 + bn + c Từ đó ta có hệphương trình

e(x2, y3; R) = a0 dim(R)! = 3.2! = 6

Ta có một số tính chất quen biết của số bội như sau (xem [7]): Cho

x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M Khi đó e(x; M ) > 0 vàe(xn1

Trong suốt tiết này, luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương

và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dimR(M ) = d

Cho x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M Với n = (n1, , nd) làmột bộ số nguyên dương, ta đặt

IM x(n) := `R(M/(xn1

1 , , xnd

d )M ) − n1 nde(x; M ),trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với x đã định nghĩa trong Tiết1.3 Chúng ta xét IM x(n) như là một hàm của các biến nguyên dương

n = (n1, , nd) Năm 1985, R Y Sharp và M Hamich đã hỏi rằng liệu

IM x(n) là đa thức theo các biến n1, , nd với hệ số hữu tỷ khi n1, , nd

đủ lớn Câu trả lời là không đúng, các phản ví dụ đã được xây dựng bởi

J L Garcia Roig và D Kirby trong một công trình đăng trên tạp chíMathematika năm 1986 Năm 1990, N T Cường đã đưa ra một điều kiệncần và đủ để hàm này là đa thức

Mặc dù hàm IM x(n) nhìn chung không là đa thức khi n1, , nd đủ lớnnhưng nó là một hàm không âm và bị chặn trên bởi các đa thức Điều nàyđược thể hiện thông qua bổ đề sau (xem [7])

Bổ đề 1.4.1 Cho x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M và n =

(n1, , nd) là một bộ d số nguyên dương Đặt

I(x; M ) := `R(M, x1, , xd)M − e(x; M )

Khi đó ta có

0 ≤ IM x(n) ≤ n1 ndI(x; M )

Định lý sau đây thuộc về N T Cuong [3]

Định lý 1.4.2 Bậc nhỏ nhất của các đa thức (theo các biến n1, , nd)chặn trên hàm IM x(n) là một bất biến của M, độc lập với việc chọn hệ tham

số của M

Định lý trên dẫn đến khái niệm kiểu đa thức như sau (xem [3])

Định nghĩa 1.4.3 Kiểu đa thức của M, kí hiệu là p(M ), là bậc nhỏ nhấtcủa các đa thức chặn trên hàm IM x(n) với x là một hệ tham số của M.Năm 1965, D A Buchsbaum đã giả thiết rằng mọi R-môđun hữu hạnsinh M đều có tính chất: IM x(n) là một hằng số không phụ thuộc vào hệtham số x của M Tuy nhiên câu trả lời cho giả thuyết này là phủ định

Cụ thể, trong một bài báo viết chung năm 1973, W Vogel và J Stuckrad

đã xây dựng nhiều ví dụ chứng tỏ rằng giả thuyết của Buchsbaum là khôngđúng Từ đó Vogel và Stuckrad đã nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điềukiện trong giả thuyết của Buchsbaum và họ gọi đó là môđun Buchsbaum:

M được gọi là môđun Buchsbaum nếu I(x; M ) là một hằng số không phụthuộc vào hệ tham số x của M Câu hỏi tiếp theo đặt ra là với một R-môđun hữu hạn sinh cho trước tùy ý, có tồn tại hay không một hằng số csao cho I(x; M ) ≤ c với mọi hệ tham số x của M Câu trả lời cho câu hỏinày vẫn là phủ định Vì thế, năm 1978, N T Cường, P Schenzel và N V.Trung đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng: M đượcgọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu tồn tại một hằng số c sao choI(x; M ) ≤ c với mọi hệ tham số x của M Khi M là Cohen-Macaulay suyrộng, số nguyên c bé nhất chặn trên tất cả các số I(x; M ) được ký hiệu làI(M ) Từ nay ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1 Định lý 1.3.15 và địnhnghĩa môđun Cohen-Macaulay suy rộng dẫn đến nhận xét sau

Chú ý 1.4.4 (i) M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M ) = −1;

(ii) M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M ) ≤ 0.

Phần tiếp theo chúng ta tính kiểu đa thức trong trường hợp tổng quát,thông qua chiều của môđun đối đồng điều địa phương Artin Vì môđun đốiđồng điều địa phương Hmi (M ) là R-môđun Artin (xem Định lý 1.2.8), nên

Hmi(M ) có cấu trúc tự nhiên là bR-môđun Artin Định lý dưới đây cho tacông thức tính kiểu đa thức của M thông qua chiều của Hmi(M ) trên vànhb

b

RHmi(M )
≤ i với mọi i ≥ 0, xem Bổ đề 1.2.10 Vì thế ta cókết quả sau

Mệnh đề 1.4.6 p(M ) = p(M ).c Hơn nữa, p(M ) ≤ d − 1

Theo Định lý 1.4.5, để tính p(M ), ta cần tính chiều của Hmi(M ) Vì

Hmi(M ) là Artin, nên chiều của nó được định nghĩa qua chiều của các iđêannguyên tố gắn kết được định nghĩa như sau: Cho A là một R-môđun Artin

và p là một iđêan nguyên tố của R Ta nói A là p-thứ cấp nếu A 6= 0 vàphép nhân bởi x trên A là một toàn cấu (tức là xA = A) với mọi x ∈ R\p

và là lũy linh (tức là tồn tại n ∈ N sao cho xnA = 0) với mọi x ∈ p Theo

I G Macdonald [6], mọi R-môđun Artin A đều có một biểu diễn thứ cấp

A = A1 + + An, trong đó mỗi Ai là pi-thứ cấp Biểu diễn thứ cấp nàygọi là tối thiểu nếu các pi đôi một khác nhau và mỗi Ai là không thừa (tức

là A 6= A1 + + Ai−1 + Ai+1 + + An.) Chú ý rằng mỗi biểu diễn thứcấp A = A1 + + An của A đều có thể quy về tối thiểu bằng cách loại

đi các thành phần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứngvới cùng một iđêan nguyên tố Tập {p1, ,pn} không phụ thuộc vào biểudiễn thứ cấp tối thiểu của A Tập này được gọi là tập các iđêan nguyên tốgắn kết của A và được ký hiệu là AttR(A) Dưới đây là một số tính chấtcủa tập các iđêan nguyên tố gắn kết (xem [6], [1])

Bổ đề 1.4.7 Cho A là R-môđun Artin Các phát biểu sau là đúng

(i) min AttR(A) = min Var(AnnR(A)) Đặc biệt ta có

dim(R/ AnnR(A)) = max{dim(R/p) | p ∈ AttR(A)}

(ii) A 6= 0 nếu và chỉ nếu AttR(A) 6= ∅

(iii) Nếu x ∈ m sao cho x /∈ AttR(A)\{m} thì `R(A/xA) < ∞

(iv) AttR(A) = {P∩ R | P ∈ Att

b

R(A)}

(iii) Nếu 0 → A0 → A → A” → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì

AttR(A00) ⊆ AttR(A) ⊆ AttR(A0) ∪ AttR(A00)

Bổ đề sau cho ta một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố gắn kếtcủa môđun dối đồng điều địa phương (xem [1])

Bổ đề 1.4.8 Các phát biểu sau là đúng

(i) dim(R/p) ≤ i với mọi i ∈N và mọi p ∈ AttRHmi(M )

(ii) AttRHmd(M ) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = d}

Từ Bổ đề 1.4.7(i) và Bổ đề 1.4.8(ii), ta suy ra công thức chiều của môđunđối đồng điều địa phương cấp cao nhất như sau

dim(R/ AnnRHmd(M )) = dim(R/ Annb

b

RHmd(M )) = d

Bây giờ chúng ta sử dụng Định lý 1.4.5 để tính kiểu đa thức trong ví dụsau

Ví dụ 1.4.9 Cho d ≥ 4 là một số nguyên dương và k là trường Cho

R := k[[x1, , xd]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên trường

k Đặt M := (x1, x2)R và N := R/(x1, x2) ∩ (x3, x4) Khi đó p(M ) = d − 2

và p(N ) = d − 4