Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.. n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.[r]
Trang 1ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN SỐ HỌC
Câu 1: So sánh 2 2
2017 1 2016 1 và
2.2016
2017 1 2016 1
Hướng dẫn giải:
( 2017 1 2016 1)( 2017 1 2016 1)
2015 1 2014 1
2017 1 2016 1
(2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016)
2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1
2017 1 2016 1 2017 1 2016 1
2017 1 2016 1 >
2.2016
2017 1 2016 1
Câu 2: Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:
9 20 5.
a b 5 a b 5
Hướng dẫn giải:
ĐK: a b 5 (*)
9 20 5
a b 5 a b 5
2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)
9a 45b a 5( 20a 100b 5b)
Ta thấy (*) có dạng A B 5 trong đó A, B Q, nếu B 0 thi 5 A I
B
vậy B = 0 => A= 0
Do đó (*)
9a 45b a 0 20a 100b 5b 0
9a 45b a 0 9a 45b a 0
9a 45b b 0 a b
Trang 29
hoac 4
b 4b 0
(không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b = 4
Câu 3: Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n Z
Hướng dẫn giải:
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
Ta có n(n+1) 2 => P 2
n(n+1)(n-1) 3=> P 3
Mà (2,3) = 1 => P 6
Câu 4: Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:
1) n8 là số chính phương
2) n3 là số chính phương
3) n chia hết cho 9
Hướng dẫn giải:
Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2
n n n chia cho 3 dư 2,
mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)
n8 không phải là số chính phương vậy n không thỏa tc1
9n mà 3 không chia hết cho 9 n 3 không chia hết cho 9
Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)
nên n3 không là số chính phương vậy n không thỏa tc2
n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết
(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ
0,25 đ cho cả hai phần này)
Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận
Trang 3Câu 5: Giả sử N = 1.3.5.7…2007
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương
Hướng dẫn giải:
2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N 3 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)
2N-1 không là số chính phương
Câu 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Hướng dẫn giải:
Giả sử 2 8 2 11 2n a2 (a N) thì
2n – 48a2 2 a 48a 48
2 2 p q a 48a 48
Với p q N p q, ; n và p > q
5
q à p q 2 p 7 5 7 12n
48 2
2 – 2 96 2 2 1 2 3
48 2
p
p q q p q q
a
a
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
phần trên)
2
8 3
(p; k N)
11
(p k p )( k) 11
Do p,kN p k N p k; Z p; k p k;
Trang 4Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí