Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó. Tuy nhiên có những đa t[r]
Trang 1Chuyên đề nâng cao
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
1 Kiến thức cần nhớ
Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó Tuy nhiên có những đa thức mặc dù rất
đơn giản, nếu chỉ biết dùng ba phương pháp đó thôi thì không thể phân tích thành nhân tử được
Chẳng hạn đa thức x + 4y4 4 Nếu là x - 4y4 4 thì dùng phương pháp hằng đẳng thức phân tích được dễ
dàng nhưng ở đây giữa 4
x và 4y4 là dấu + Một đa thức khác như x + 4y - 5x y4 4 2 2 cũng vậy Phương pháp đặt nhân tử chung không dùng được vì cả ba hạng tử không có nhân tử chung Phương pháp dùng
hằng đẳng thức thì không thích hợp vì không thuộc một dạng hằng đẳng thức nào Còn phương pháp
nhóm các hạng tử cũng không dùng được, vì muốn dùng phương pháp này thì đa thức phải có từ bốn
hạng tử trở lên
Do đó trong chuyên đề này chúng ta sẽ xét thêm một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử
2 Một số ví dụ
a Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1 Phân tích đa thức A thành nhân tử
A = 4x - 4x - 152
Giải
Cách 1 :
Tách hạng tử cuối thành hai hạng tử rồi nhóm lại và dùng phương pháp hằng đẳng thức để phân tích :
2
A = 4x - 4x - 15
= 4x - 4x + 1 - 16 = 2x - l 2 – 4
= = 2x - 1 - 4 2x - 1 + 4 = 2x - 5 2x + 3 ( )( ) ( )( )
Cách 2 :
Tách hạng tử -4x thành hai hạng tử rồi nhóm lại và dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích
A = 4x - 4x - 15 = 4x - l0x + 6x - 15
= 2x 2x - 5 + 3 2x - 5 = 2x - 5 2x + 3
Cơ sở của phương pháp tách các hạng tử là tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể đặt nhân tử
chung theo từng nhóm hoặc dùng hằng đẳng thức :
Nhận xét : Trong cách tách thứ hai ta đã tách -4x thành -10x + 6x và được
Trang 2Nếu tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử thoả mãn điều kiện trên, thì sau khi đặt nhân tử chung theo từng nhóm, kết quả lại xuất hiện nhân tử chung và ta tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng
Tổng quát : Đối với tam thức bậc hai 2
ax + bx + c ta có thể tách hạng tử bậc nhất bx thành hai hạng tử
1
b x và b x2 sao cho :
1 2
1 2
b + b = b
b b = ac
Khi đó đa thức ax + bx + c2 có thể phân tích được thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung theo
từng nhóm
Điều kiện để đa thức ax + bx + c2 phân tích được thành tích của hai nhị thức bậc nhất là biểu thức
2
b - 4aclà một số chính phương
b - 4ac = -4 2 - 4.4 -15 = 256 = 16
Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a x - 13x + 36; b x - 5x - 14 ; c 3x - 5xy - ) ) ) 2y
Giải
a x - 13x + 36 = x - 4x - 9x + 36 = x x - 4 - 9 x - 4 = x - 4 x - 9
b x - 5x - 14 = x + 2x - 7x - 14 - x x + 2 - 7 x + 2 = x + 2 x - 7
c 3x - 5xy - 2y = 3x - 6xy + xy - 2y
)
)
)
= 3x x - 2y + y x - 2y = x - 2y 3x + y ( ) ( ) ( )( )
Trên đây ta đã xét đối với các tam thức bậc hai Còn đối với đa thức có bậc lớn hơn hai thì tuỳ theo đặc
điểm của các hệ số mà lựa chọn cách tách cho phù hợp
Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
A = x - 4x + 33 2
Giải : Ta tách hệ số 3 thành -1 + 4 :
A = x - 1 - 4x + 4 = x - l x + x + 1 - 4 x + l x - 1
= x - l x + x + 1 - 4x - 4 = x - l x - 3x - 3
Cách khác : Nhẩm nghiệm rồi dùng hệ quả của định lí Bê - du : Dễ thấy x = 1 là nghiệm của đa thức A nên theo hệ quả của định lí Bê-du ta có
x - 4x + 3 = x - 1 q x
Ta sẽ tách các hạng tử với định hướng là sau khi đặt nhân tử chung theo từng nhóm thì nhóm nào cũng
xuất hiện nhân tử x - 1 Vì thế ta sẽ tách như sau :
Trang 3( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2
B = x + 2x + 3x + 4x + 2 = x + x + x + x + 2x + 2x + 2x + 2
= x x + 1 + x x + 1 + 2x x + 1 + 2 x + 1
= x + l x + x + 2x + 2
= x + l x x + 1 + 2 x + 1 = x + l x + l x + 2 = x + l x + ( 2 )
Như vậy nếu một đa thức có nghiệm x = a thì ta có thể phân tích đa thức ấy thành nhân tử bằng phương pháp tách các hạng tử sao cho khi đặt nhân tử chung theo từng nhóm thì nhóm nào cũng có nhân tử x - a Dựa vào các nhận xét sau ta có thể nhẩm được nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) với hệ số nguyên
1 Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hệ số tự do
Đặc biệt:
Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì x = 1 là nghiệm của đa thức
Nếu tổng các hệ số bậc lẻ bằng tổng các hệ số bậc chẵn thì x = -1 là nghiệm của đa thức
Chẳng hạn đa ( ) 3 2
f x = x - 3x - x + 3có :
x = 1 là nghiệm vì tổng các hệ số 1 - 3 - 1 + 3 = 0 ;
x = -1 là nghiêm vì tổng các hệ số bậc lẻ bằng các hệ số bậc chẵn :
1 + (-1) = (-3) + 3 ;
x = 3 là nghiệm vì 3 3 − 3.3 2 − 3 + 3 = 0
Hệ số tự do còn có ước là -3, nhưng ta không cần thử với -3 vì một đa thức bậc ba không quá ba nghiệm
2 Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó có dạng p
q với (p, q) = 1 trong đó p là ước của hạng tử tự
do ; q là ước dương của hệ số cao nhất
Chẳng hạn đa thức ( ) 3 2
f x = 2x + 3x + 2x - 2.Ta thấy các giá trị nguyênx = ±1 ; x = ±2 đều không phải là nghiệm
Thử lại các giá trị hữu tỉ x = ± 1
2 (±1 là ước của hạng tử tự do ; 2 là ước dương của hê số cao nhất) ta thấy x = - 1
2 không phải là nghiêm còn x =
1
2 là nghiệm của đa thức vì
2
f( ) - 2( ) + 2 - 2 = 0.
Do đó f(x) = (x - 1 ).q(x)
2 hay f(x) = (2x - 1) g(x)
Ví dụ 4 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: C = 2x + 3x + 2x - 23 2
Trang 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )
C = 2x + 3x + 2x - 2 = 2x - x + 4x - 2x + 4x - 2
= x 2x - 1 + 2x 2x - 1 + 2 2x - 1 = 2x - l x + 2x + 2
b Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ví dụ 5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x + 4y 4 4
Giải
Ta thấy x + 4y4 4có dạng a + b2 2 Vì vậy có thể thêm bớt hạng tử 2ab để xuất hiện hằng đẳng thức
4 4 4 2 2 4 2 2
Ta có A = x + 4y = x + 4x y + 4y - 4x y
= x + 2y - 2xy = x + 2y - 2xy x + 2y - 2xy
Ví dụ 6 Phân tích đa thửc sau thành nhân tử : B = x + x + 15
Giải
Ta thấy đa thức đã cho là đa thức bậc 5 Đa thức này khuyết các hạng tử bậc 4, bậc 3, bậc 2 Vì vậy có thể chọn thêm bớt hạng tử có bậc bị khuyết Hợp lí hơn cả là thêm bớt hạng tử bậc 2
Ta có B = x + x + 1 - x - x + x + x + 1
= x x - l + x + x + 1
= x x - l x + x + 1 + x + x + 1 = x + x + l x - x + 1
Nhận xét: Có hai cơ sở để thêm bớt cùng một hạng tử :
Thêm bớt để có thể dùng hằng đẳng thức
Thêm bớt các hạng tử bị khuyết trong đa thức để có thể đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
c Phương pháp đổi biến
Ví dụ 7 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a A = x - x - 3 x - x -) 4 - 12
b B = x - y) + y - z + z - x
Giải
a) Ta đặt x - x - 3 = a thì x - x - 4 = a - 1.2 2
A = a a - b - 12 = a - a - 12 = a - 4 a + 3
Thay trở lại a = x - - 32 x ta được ( 2 )( 2 )
A = x - x - 3 - 4 x - x - 3 + 3
= x - x - 7 x - x = x x - l x - x - 7
b) Ta đặt x - y = a; y - z = b; z - x = c
thì a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0
Ta được 3 3 3
a + b + c = 3abc (xem ví dụ 10)
Trang 5Do đó ( )3 ( )3 ( )3 ( )( )
x - y + y - z + z - x = 3 x - y)(y - z z - x
Nhận xét: Trong ví dụ trên nếu ta khai triển đa thức, thu gọn rồi phân tích thì sẽ được một đa thức bậc
cao khó phân tích Phương pháp đổi biến như trên đưa một biểu thức phức tạp thành một biểu thức đơn
giản dễ phân tích
d Phương pháp đồng nhất hệ số
Ví dụ 8 Phân tích đa thức A thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên :
A = x - 4x - 2x - 3x + 2.
Giải
Sau khi phân tích thì A có dạng
x + ax + 2 x + bx + 1 hoặc ( 2 )( 2 )
x + ax - 2 x + bx - 1
(trường hợp hai hạng tử đầu của mỗi tam thức là -x2 và -x2 thì ta chỉ cần đổi dấu của hai tam thức)
A = x + ax + 2 x + bx + 1
Khai triển rồi thu gọn ta được
A = x + a + b x + ab + 3 x + a + 2b x + 2
x - 4x - 2x - 3x + 2 = x + a + b x + ab + 3 x + a + 2b x + 2với mọi x
Suy ra
( ) ( ) ( )
a + b = -4 1
ab + 3 = -2 2
a + 2b = -3 3
Từ (1) và (3) ta suy ra a = -5 ; b = 1 Đẳng thức (2) cũng được thoả mãn
x - 4x - 2x - 3x + 2 = x - 5x + 2 x + x + 1
Xét trường hợp thứ hai: cũng giải như trên ta thấy không có a và b nào thoả mãn Vậy bài toán chỉ có một đáp số như trên
e Phương pháp xét giá trị riêng của các biến
Ví dụ 9 Phân tích đa thức sáu thành nhân tử
P = xy(x - y) + yz(y - z) + zx(z - x)
Giải
Nếu thay x bởi y thì p = 0 + yz(y - z) + zy(z - y) = 0 Do đó P chứa nhân tử (x - y)
Tương tự, P cũng chứa các nhân tử (y - z) và (z - x)
Vậy P = k.(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy P là một đa thức bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z
Trang 6(-1)(1 + 1) = k(2).(-1)(-1) hay 2k = -2, do đó k = -1
Vậy P = (-1).(x - y)(y - z)(z - x) hay P = (x - y)(y - z)(x - z)
Đến đây ta đã có 5 phương pháp khác dể phân tích đa thức thành nhân tử trong đó ba phương pháp đầu
(tách các hạng tử, thêm bớt một hạng tử và đổi biến) là những phương pháp hay dùng Các bạn cố gắng
nắm thật vững để vận dụng cho tốt
3 Bài tập tự luyện
1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a x + 7x + 12 ; b x + 8x - 33
c x - 9x + 18; d x - 3x
2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a 20x + 7x - 6 ; b 18x + 21x-4 ;
c 12x - 23xy + 10y ; d x
- 5x y
3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) M = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc ;
b) N = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc
4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a x + 4 ; b 4 ) ) x + 1.
5 Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của x để biểu thức A = x + 44 có giá trị là một số nguyên tố
6 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
2
2
a A = x + 3x - 2 x + 3x - 8 ;
b B = x + 4x + 10 - 7 x + 4x + 11
)
7 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
N = 4 x - 15x + 50 x - 18x + 72 - 3x
8 Cho đa thức A = x - 7x + 12x - x - 3.4 3 2
Hãy phân tích A thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên và các hệ số cao nhất đều dương
9 Cho đa thức B = x + 3x - x - x + 13x+ 5.5 4 3 2 Hãy phân tích B thành tích của hai đa thức với hộ
số nguyên : Một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba biết các hệ số cao nhất và thấp nhất đều dương và
đa thức bậc ba khuyết hạng tử bậc hai
10 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b)
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí