chung minh bat dang thuc

Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải kết hợp nhiều phương pháp một cách thích hợp” (1) .Ngoài ra trong quá trìn[r]

Lời nói đầu

Nhằm tổng hợp các kiến thức về bất thức đại số và hình học trong chương trình PTCS, cung cấp thêm tư liệu phục vụ cho công tác thực tập giảng dạy của sinh viên Chúng tôi tiến hành viết tiểu luận về đề tài “ Các bất đẳng thức đại số vàhình học trong chương trình PTCS

Nội dung tiểu luận này bao gôm các mục:

I Bất đẳng thức

II Một số phương pháp thường dùng chứng minh bất đẳng thức

III Vận dụng bất đẳng thức trong việc giải toán

IV. Rèn luyện các hình thái tư duy trong quá trình dạy bài toán bất đẳng

thức

V Dự đoán và phân tích các sai lầm học sinh thường mắc phải trong

quá trình giải các bài toán về bất đẳng thức

VI Kết luận

Tiểu luận này sẽ không tránh khỏi những sai sót, vì vậy chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I BẤT ĐẲNG THỨC

1 Định nghĩa:

Cho hai số a và b ,ta nĩi

a lớn hơn b , kí hiệu a> b , nếu a-b >0

a nhỏ hơn b , kí hiệu a<b ,nếu a-b<0

2 Các bất đẳng thức cơ bản:

i) a2 0

- a2 0

ii) |a|  0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0

- |a|  a  |a| Xảy ra dấu đẳng thức khi a =0

|a+b|  |a| + |b| Xảy ra dấu đẳng thức khi a.b 0

|a − b|≥|a|−|b| Xảy ra dấu đẳng thức khi a.b 0 và |a|  |a|

(các điều kiện này cịn cĩ thể diễn đạt là a  b  0 hoặc a  b  0).iii) a2+b2  2ab

+) Bất đẳng thức Cơsi:Cho hai số a,b ,a  0 và b  0

Khi đĩ a + b  2 √ab hoặc là (a + b)2  4ab ,hoặc là (a+b2 ) 2  ab +) 1a+1

b 

4

a+b với ab > 0 +) a b+b

a>b  a+c > b+c với mọi số thực c

iv) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng

chiều với bất đẳng thức đã cho:

a > b,c > d  a+c > b+ d.

Chú ý: Khơng được trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều

v) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều , được bất đẳng thức mới

cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ :

a > b, c < d  a – c > b – d

vi) Tính chất của phép nhân:

+) Nhân hai vế của BĐT với cùng số dương :

a > b , c>0  a.c >b.c

+) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thứcđổi chiều:

a > b , c<0  a.c <b.cvii) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm :

Nếu m>n>0 thì :

a>1 an < am ;a=1 an = am ;0<a<1 an > am x) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu :

a > b ,a.b >0  1a < 1b Chú ý 2: Ngoài các bất đẳng thức chặt còn, ví dụ a>b, ta còn có những bất đẳng thức không chặt Chẳng hạng a ≥ b (tức là a > b hoặc a = b).Trong các tinh chất trên, nhiều “>” hoặc dấu “<” có thể thay thế bằng các dấu “≥” hoặc “”

4.Các bất đẳng thức trong hình học phẳng

i) Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, giữa đường xiên và hình chiếu

_Trong một tam giác, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên

AH  d, B  H  AH < AB

_Trong một tam giác, trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường

thẳng,đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

C B

A

a) Trong tam giác ABC bất kì, có:

+) AB - AC< BC < AB + AC

+) A ^ B C  A ^ C B  AC  AB

b) Xét n điểm A1;A2;A3;….;An, ta có:

A1An  A1A2 + A2A3 + ……An-1An

c) Quan hệ giữa cạmh và góc trong tam giác :

Tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’,AC = A’C’ thì :

BC  B’C’  ^A  ^A '

iii) Các bất đẳng thức trong đường tròn

Cho đường tròn tâm O bất kì, có AB là đường kính, CD và EF là hai dây bất kì của đường tròn (O), OH và OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây CD và

A'

C B

A

O

H C

D

F K

E

B A

II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

1 Các phương pháp thường dùngchứng minh các bất đẳng thức đại số

b) Chứng minh bất đẳng thức dùng các phép biến đổi tương đương

Ví dụ: Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+ b =1

c) Dùng các tính chất của bất đẳng thưc

Ví dụ:

Cho a +b>1.chứng minh rằng:a4+b4> 18

Giải: ta có:a+b>1>0 (1)  (a+b)2 >1 a2 +2ab +b2 >1 (2) Mặt khác: (a-b)2 0 a2 –2ab +b2 0 (3) Cộng từng vế của (2) và(3): 2(a2 +b2)>1

a2 +b2 > 12 (4) Bình phương hai vế của (4):a4 +2a2b2 +b4 > 14 (5) Mặt khác:(a2-b2)20 a4-2a2b2 +b40 (6) Cộng từng vế của (5) và (6):2(a4+b4) > 14 a4 +b4> 18

Ví dụ:chứng minh rằng :2n>n3 (1) với mọi số tự nhiên n 10

4) Cho a2+b2+c2=1

Chứng minh rằng:abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)  0

b) Dùng các phép biến đổi tương đương

1) Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có:

a2+b2+c2

( a+b+ c)2

3 2)Cho a và b là hai số dương:

Chứng minh :+)(a+b).(a3+b3)2(a4+b4)

+) (a+b)(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)

3)Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác :

1)Cho a3+b3 = 2 Chứng minh rằng: a+b  2

2)Chứng minh rằng nếu có các bất đẳng thức: a+b+c >0, abc> 0 và ab+bc+ca >0 thì a>0, b>0, c>0

3)Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c nào để xảy ra các bất đẳng thức sau:

4a(1-b)>1, 4b(1-c)>1, 4c(1-a)>14)Cho các số dương a, b, c, d

Chứng minh rằng: trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:

c+d>a+b ,ab+cd>(a+b)(c+d), ab(c+d)>(a+b)cd

e) Dùng phương pháp qui nạp toán học:

a Chứng minh rằng:n2>n+5 với mọi số tự nhiên n3

b Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :

i 2n >n2

ii 5n5n3+2 Cho a và b là hai số dương Chứng minh rằng: a

a) Vận đụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc,giữa đường xiên

C B

A

H B

C

O A

Ví dụ 1

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.M là điểm nằmtrong tứ giác ABCD(M  O).Chứng minh rằng MA+MB+MC+MD > AC+BD.Lời giải:

Trong đường (O;R) có góc BAD tù.Suy raBD là dây không qua tâm

 BD < 2R ( trong đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất)

Mặt khác AC là dây bất kỳ của đường tròn (O;R)

B A

Hai tam giác MOH và MOK là các tam giác vuông nên ta có:

1) Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

AD=AB.Chứng minh rằng AB < AC

2) Cho tam giác ABC, các góc B và C nhọn Điểm M nằm giữa B và C.Gọi d

là khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.Chứng minh rằng d  BC

3) Cho tam giác ABC cân tạI A,trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N

sao cho AM = AN.Chứng minh rằng BN > BC+MN2

4) Cho tam giác đều ABC.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM= 13

BC.Chứng minh rằng góc BAM nhỏ hơn 20o

5) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao

cho MB < MC.Lấy điểm O trên đoạn thẳng AM Chứng minh rằng

A ^ O B> A ^ O C

6) Trên dây cung AB của một đường tròn tâm O, lấy hai điểm C và D chia dây

này thành ba đoạn bằng nhau AC= CD=DB Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lược tại E và F Chứng minh rằng A E<E F .

III VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG VIỆC GIẢI TOÁN :

1.Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình và hệ phương trình đặc biệt.

Vậy GTNN của A là –7 khi và chỉ khi x=2.

ii)Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối :

Vậy GTNN của A là 1, khi và chỉ khi x=1 hoặc x = - 13

iii) Đa thức bậc cao:

iv) Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai.

(3 x −1)2+4  − 24 = − 12 = - 12 ⇒ minA = - 12 ⇔ x = 13

Vậy GTNN của A là - 12 khi và chỉ khi x = 13

v) Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức:

Vậy GTNN của A là 2 khi và chỉ khi x = 2.

vi) Các phân thức dạng khác:

ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4 x

x2+1 Giải:

GTLN của A là 4 khi và chỉ khi x = −1

3) Cho tam thức bậc hai P= ax2 +bx +c

a) Tìm GTNN của P nếu a>0

b) Tìm GTLN của P nếu a<0

ii)Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

iv)Phân thức có tử là hằng số , mẫu là tam thức bậc hai

1)Tìm GTNN của A = 3

− 5+4 x − 4 x2 2) Tim GTLN của A = 4

25 x2−10 x+7 v)Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức

6+27

x4− 3 x3+6 x2− 9 x+9 c) C = x

6+512

x2+8 d) D =

4 x2+1 c) C = 2 x +1

x2+2 b)Tìm GTLN và GTNN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến

Ví dụ: Tim GT NN của A = x3 y3 + xy, biết rằng x = y =1

b) B = x + y.

c) Vài điểm chú ý khi tìm GTNN và GTLN của một biểu thức:

i) Chú ý 1: Khi tìm GTNN vàGTLN của biểu thức ta có thể đổi biến

Vậy GTNN của biểu thức A là 2 khi và chỉ khi x = 2

ii) Chú ý 2: Khi tìm cức trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

x4+1 = 1 + 2 x

2

x4+1 Tìm GTLN của A:

Ta có :2x2 0 và x4 > 0

Nên 2 x

2

x4+1 0

Suy ra A1  1+1=2.

⇒ max A1 =2 ⇔ x2 = 1

⇒ min A = 12 ⇔ x = ±1 GTNN cảu A là 12 khi và chỉ khi x = ±1 +cách 2:

⇒ min A = 12

Vậy GTNN của A là 12 khi và chỉ khi x = ±1

GTLN của A là 1 khi và chỉ khi x = 0

iii)Chú ý 3: Nhiều khi ta cần tìmm cực trị của một biểu thức trong từng khoảng của biến sau đó so sánh giá trị cực trị đó để tìm GTLN – GTNN trong toàn bộ tập xác định của biểu thức

Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức

A ¿ y

5 −(x + y) , với x , y là các số tự nhiên Giải:

Ví dụ:Cho x2 + y2 = 52

Tìm GTLN của A = |2 x+3 y|

Giải :

Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là các thành phần của bất đẳng thứcBunhiacôpxki (ax + by)2 (a2 +b2)(x2 +y2).

Theo bất đẳng thức trên ta có :(2x + 3y)2 (22 +32)(x2 +y2), với a =2, b=3

Theo bất đẳng thức trên : (2x + 3y)2  (22 + 32).52

Chú ý : Nếu tìm GTLN của B = 2x + 3y, ta có :

- Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

- Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

Để chứng minh hai mệnh đề trên, ta dùng bất đẳng thức (a+b)2  4ab

-Nếu hai số a và b có a + b = k (k là hằng số) thì từ (a+b)2  4ab,

Ta có ab  k2

4 ⇒ max (ab) = k2

4 ⇔ a = b

- Nếu hai số dương a và b có ab = k (k là hằng số ), thì “ a + b ” nhỏ nhất khi vàchỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất Giá trị nhỏ nhất của (a + b)2 = 4k khi và chỉ khi a = b

Ví dụ : Tìm GTLN của A = (x2 – 3x +1)(21 + 3x – x2)

Giải Các biểu thức (x2 – 3x +1) và (21 + 3x – x2) có tổng không

đổi( bằng 22) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi x2 – 3x +1=21 + 3x – x2

⇔ x2 – 3x –10 = 0 ⇔ x=5 hoặc x = -2 Khi đó A = 11.11=121

Vậy max A =121 ⇔ x = 5 hoặt x = -2

Chú ý 6 : Trong các ví dụ trên, ta chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức, tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm GTNN, GTLN không đòi hỏi thì chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức

Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức : A = |11m −5 n| , vớI m, n là các số nguyên dương

Giải:

Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, còn 5n tận cùng bằng 5.nếu 11m > 5n thì

11m - 5n tận cùng bằng 6, ngược lại 11m < 5n thì tận cùng bằng 4

Ta chỉ ra một trường hợp A = 4, vớI m = 2, n = 3 thì A = 112 – 53 =

|121− 125|=4

Như vậy min A = 4 ⇔ m = 2, n = 3

Ta thấy (2, 3) là cặp giá trị của m v à n để A = 4

- Nhận xét :Việc tìm ra, mọi giá trị của m và n để A = 4, rõ ràng là một việc khó khăn hơn nhiều

Do đó trong quá trình giảng dạy người dạy có thể giúp học sinh rèn luyện các hìnhthái tư duy thông qua việc giải các bài toán về bất đẳng thức

1.Rèn luyện tư duy phân tích

Rèn luyện cho học sinh cách phân tích tìm cách giải cho bài toán

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a+b2  √ab (a,b >0)

Phân tích:

Để có a+b2  √ab thì cần có (a+b)2  4ab

Để có (a+b)2  4ab thì cần có (a+b)2-4ab 0

Để có (a+b)2-4ab 0 thì cần có (a-b)2  0

Mà (a-b)2  0 là bất đẳng thức đúng.Vậy bất đẳng thức a+b2 

√ab được chứng minh

2 Rèn luyện tư duy tổng hợp

Để giải một bài toán, bắt buộc học sinh phải thực hiện việc tổng hợp các kiến thức đã học có liên quan đến bài toán, liên kết cái đã biết với cái cần tìm nhằm tìm

ra hướng giải cho bài toán

Ví dụ:

Cho a, b là hai số thỏa mãn a + b  2 Chứng minh: a3 + b3  a2 + b2

Trong ví dụ này, các kiến thức có liên quan:

a3 + b3 = (a + b)(a2 –ab + b2)

a2 –ab + b2  0

a + b  2

Liên kết cái đã biết vớI cái cần tìm:

a3 + b3 = (a + b)(a2 –ab + b2)  2(a2 –ab + b2)

Vì a2 –ab + b2  0  2(a2 –ab + b2)  0.

Mà 2(a2 –ab + b2) = a2 + b2 + (a - b)2  a2 + b2.Suy ra a3 + b3  a2 + b2, điều cần chứng minh

3 Rèn luyện tư duy trừu tượng hóa, cụ thể hóa

Trong quá trình giải các bài toán về bất đẳng thức, có nhiều tình huống học sinh cần tư duy trừu tượng để tách ra những đặc điểm chung của một lớp các bài toán, nghiên cứu và tìm ra cách giải chung cho lớp các bài toán đó để áp dụng vàoviệc giải các bài toán tương tự sẽ gặp sau này

Nhận xét:

Hai bài toán trên nhìn bề ngoài khác nhau, tuy nhiên chúng vẫn có điểm giống nhau là vế trái của bất đẳng thức có thể viết dưới dạng tổng của một bình phương với một số thực và vế phải là một số thực, để chứng minh các bất đẳng thức có dạng này ta so sánh số thực ở vế phải với số thực ở vế trái Nắm được đặc điểm này ta có thể đưa ra một cách giải chung cho lớp các bài toán tương tự như hai bài toán trên,có dạng chung là ax2 + bx + c  d,với a > 0

Cách giảI chung cho dạng này là :

Biến đổI vế trái: ax2 + bx + c = a(x + 2 a b )2 + c – ( 2 a b )2, rồI chứng tỏ

Trong quá trình giảng dạy, người dạy có thể đưa ra các bài tập có dạng tương

tự nhau, các bài tập có tính quy luật để giúp học sinh rèn luyện tư duy khái quát hóa tương tự hóa

5 Phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán về bất đẳng thức

Ta thấy vế trái của bất đẳng thức là tổng của các phân số khá phức tạp Tuy nhiên các phân số này có quy luật riêng, thừa số cuối ở mẫu của phân số trước bằng thừa số đầu ở mẫu của phân số sau, tử số của các phân số là một số không đổi và bằng hiệu hai thừa số ở mẫu Dạng chung của các phân số này là

= 14− 1

76 = 1876 = 389VP= 133 = 399 > 389

 4 73 +¿ 3

7 10+¿

3

10 13+¿ …+ 73 763 > 133 Với cách phân tích trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức tương tự,ví dụ như:

a) 153 8+¿ 15

8 13+¿

15

13 18+¿ …+ 1593 98 < 5

a) Phân tích, tìm lời giải :

Dựa vào đặc điểm các số hạng và điều kiện của bài toán để tìm GTNN của B ta áp dụng “bất đẳng th ức Côsi”

B = 12 a3 + 12 a2 + 1

a2 + 1

a2 + 1

a2 55

2 a3 = 12 a2 ⇔ a5 = 2 ⇔ a =5

2 a3 = 12 a2 ⇔ a5 = 2 ⇔ a =5

√2

Vậy GTNN của B là 5⋅√5 1

4 ⇔ a = 5

√2 c)Khai thác bài toán :

+) Tìm GTNN của B = a2 + 2

a3 +)Tổng quát : Tìm GTNN của B =an + n

So sánh a + 1a và 2.

- Lời giải sai:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và 1a ta có:

a + 1a 2 √a 1

a = 2

Dấu bằng xảy ra khi :

a = 1a ⇔ a2 = 1 ⇔ a = 1 hoặc a = -1

-Nhận xét: Bài giải sai lầm vì không để ý đến điều kiện của các số a, b trongbất đẳng thức Côsi Điều kiện là a, b 0

-Lời giải đúng là:

+) Nếu a = 0 thì 1a vô nghĩa

+) Nếu a > 0 thì áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a và b ta có a+ 1a 2 √a 1

Chứng minh rằng với mọi số thực a ta có a(1- a) 14

- Lời giải sai :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và a-1 ta có:

a+1− a2 √a (1− a)

⇔ 1

2 √a (1− a)

⇔ a(1- a) 14

Nhận xét: Sai lầm của bài giải này giống sai lầm của bài giải ở ví dụ 1 Chỉ

áp dụng được bất đẳng thức Côsi nếu a và 1- a không âm,nghĩa là

a [0;1]

- Lời giải đúng là: a(1- a) 14 ⇔ a – a2 1

4 ⇔ a2 – a + 14 0 ⇔ (a - 12 )2 0, bất đẳng thức nàyđúng vớ mọi số thực a

2 Sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia.

Ví dụ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2

- Lời giải sai:

(1’)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 +y2 +3.

- Lời giải sai:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 3 khi và chỉ khi x = y = 0

Ví dụ 2: Tìm GTNN của M =(1 + 3 y x ).(1 + 3 z y ).(1 + 3 x z ), vớI

x>0,y>0,z>0

- Lời giải sai:

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số:

Vậy min M = 8√3

9 Nhận xét :không thể chỉ ra được bộ cặp (x, y, z) để cho M = 8√3

Nhân từng vế của (1), (2) và (3) vớI nhau ta được :

(3y + x ).(3z + y).(3x + z) 64xyz

⇔ (3y + x ).(3z + y).(3x + z) xyz1 64

“ Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó Để giải được các bài toán

về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho thích hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải kết hợp nhiều phương pháp một cách thích hợp”(1).Ngoài ra trong quá trình giải các bài toán về bất đẳng thức còn phải chú ý để tránh những sai lầm

Trong quá trình giảng dạy, người dạy phải nắm vững các kiến thức về bất đẳng thức để có thể giúp học sinh học tốt về bất đẳng thức

Hy vọng tiểu luận này có thể góp phần giúp các bạn trong đợt thực tập sắp đến

(1).Thực hành giải toán _NXB Giáo dục-1998

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Thực hành giải toán: Vũ Dương Thụy, Phạm Gia Đức, Hoàng Ngọc Hưng,

Đặng Đình Lăng.NXB Giáo dục,1998

2 Phương pháp giải toán cấp III_ đại số sơ cấp : Nguyễn Đức Đồng, Lê

Hoàng Hóa, Võ Khắc Thương, Lê Quan Tuấn, Nguyễn Văn Vĩnh.NXB Đạihọc quốc gia, 1999

3 Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng: Nguyễn Đức

Tấn NXB Giáo dục

4 Bộ sách giáo khoa và sách bài tập lớp 6, 7,8,9: NXB Giáo dục.

5 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6,7,8,9: Bùi Văn Tuyên NXB