các bài ôn thi học sinh giỏi §ò «n thi sè 1 1 gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 t×m gi¸ trþ nhá nhêt cña bióu thøc 3 chøng minh r»ng nõu vµ th× ta cã 4 cho c¸c sè thùc x y z t sao cho t×m gi¸ trþ lín nhêt vµ

Chøng minh r»ng:.[r]

Đề ôn thi số 1

1/ Giải phơng trình:

3

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2x 1

S x

x 3



 

 .

3/ Chứng minh rằng nếu

0 x

2



 

  

thì ta có:

4/ Cho các số thực x, y, z, t sao cho:

x y z t 0

   





 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = xy +yz + zt + tx

5/ Giải và biện luận phơng trình: x 3 2 x 4    x 4 x 4  a, (x 4) .

6/ Tính giá trị của biểu thức:

7/ Giả sử a, b, c là ba số dơng thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng:

3

a (b c) b (c a) c (a b)      .

8/ Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm:

1 a

x 2xy 7y

a 1











9/ Chứng minh rằng:

1 sin

14 3cos

7 2sin

14











10/ Cho x là số thực thoả mãn đẳng thức: (3 2 2) x ( 2 1) x  Chứng minh rằng:3

x

( 2 1) 2cos

9



11/ Giải phơng trình:

2



12/ Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn: a MA2 2 b MB2 2 c MC2 2 2b c2 2.

13/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

T tan tan tan



, với A, B, C là ba góc của tam giác ABC

14/ Cho đa thức f (x) x 4ax3bx2cx d với a, b, c, d là những hằng số Giả sử

f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30 Hãy tính

f (12) f ( 8)

15 10

 

 15/ Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng:

52

16/ Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên Hai trong các số đó là các

số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50 Hãy tính giá trị nhỏ nhất mà cạnh thứ ba có thể nhận đợc

17/ Cho đa thức P(x) 16x 5 ax4bx3 cx2dx e Hãy xác định các hệ số a, b, c, d, e sao cho P(x) 1,   x  1;1

Đề ôn thi số 2 1/ Cho x, y, z là các số thực dơng Chứng minh rằng:

2/ Với mỗi giá trị không âm của tham số a, hãy giải bất phơng trình:

a x 6a x  x 9a 3 0   3/ Tìm a, b, c sao cho f (x) ax 2bx c thoả mãn điều kiện: f (x) 1,   x  1; 1 và

sao cho biểu thức

8

3

đạt giá trị lớn nhất

4/ Giải bất phơng trình: 9x216 2 2x 4 4 2 x    .

5/ Giải các phơng trình: a/

3 2





 b/ 3 7x 1  3 x2  x 8 3 x2  8x 1 2  6/ Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của sinC, nếu biết

2

m, m



7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G và nội tiếp trong đờng tròn bán kính R Các đờng trung tuyến xuất phát từ A, B, C kéo dài cắt đờng tròn theo thứ tự tại D, E, F Chứng minh rằng:

R GD GE GF   AB BC CA  .

8/ a) Chứng minh rằng:

sin ( ) sin ( ) sin ( )

b) Giả sử (x; y; z) là nghiệm của hệ phơng trình:

x y(4 y)

y z(4 z)

z x(4 x)







 Hãy tìm các giá trị mà tổng S = x+y+z có thể nhận đợc

9/ Cho tứ giác ABCD có

0

AD 3, ABDACD 60 , E và F là tâm các đờng tròn

nội tiếp các tam giác ABD và ACD,

3 1 EF

2





Tính BC

10/ Chứng minh bất đẳng thức:

3 cos x cos 2x cos 4x cos8x

2

11/ Giải hệ phơng trình:

(2 x)(3x 2z) 3 z

z 3









12/ Xét phơng trình: x2  3x 1 m x  4 x2 , trong đó m là tham số, x là ẩn số.1

a) Tìm nghiệm thực của phơng trình khi cho

3 m

3



b) Tìm tất cả các tham số thực m để phơng trình có một số lẻ nghiệm thực

13/ Với mỗi số thực m, gọi (P )m là đồ thị của hàm số y 5x 2mx (30m 2 4m 1999)

vẽ trong mặt phẳng toạ độ Oxy Xét đờng tròn (C )m

đi qua ba giao điểm của(P )m

với các trục toạ độ Chứng minh rằng khi m thay đổi các đờng tròn (C ) luôn đi qua một điểm cốm

định Xác định toạ độ của điểm cố định này