- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS TAM HƯNG ĐỀ THI HSG LỚP 6
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề số 1
Bài 1: Thực hiện phép tính( tính hợp lý nếu có thể )
a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16
b/ 23 53 - 3 {400 -[ 673 - 23 (78 : 76 +70)]}
Bài 2: M có là một số chính phương không nếu :
M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) ( Với n N , n 0 )
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a/ (3100+19990) 2
b / Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Bài 4 : So sánh A và B biết :
A =
1 17
1 17
19
18
+
+ ,
B =
1 17
1 17
18
17
+ +
Bài 5: Tím tất cả các số nguyên n để:
a) Phân số 1
2
n n
+
− có giá trị là một số nguyên b) Phân số
2 30
1 12 +
+
n
n
là phân số tối giản
Bài 6: Cho góc xBy = 550 Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A B, C B ) Trên đoạn
thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300
a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm
b/ Tính số đo góc DBC
c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz
ĐÁP ÁN Bài 1 (2đ)
a) 16(123+ 321 - 44):16
= 400
b) 8.125-3.{400-[673-8.50]}
= 1000-3.{400-273}
=619
Bài 2 (M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) ( Với n N , n 0 ) Tính số số hạng = ( 2n-1-1): 2 + 1 = n
Trang 2Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : 2 = 2n2 : 2 = n 2
KL: M là số chính phương
Bài 3 (1đ)
a) Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
= (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1
19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 )
= (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1
Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) ; ( a ) N
Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6
Vì 4a 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4
Bài 4
Vì A =
1 17
1 17
19
18 +
+ < 1 A=
1 17
1 17 19
18 +
+ <
16 1 17
16 1 17 19
18 + +
+ +
)
(17 1 17
1 17 17 18
17 +
+ =
1 17
1 17 18
17 +
+ = B
Bài 5
a) 1
2
n
n
+
− là số nguyên khi ( n+1) (n-2)
Ta có (n+1) = (n −2) 3+
Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)
(n-2) Ư(3) = − −3; 1;1;3
=> n −1;1;3;5
b) Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 ( dN* ) 12n+1d,30n+2d
5(12n+1)−2(30n+2) d (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d = 1
Vậy phân số đã cho tối giản
Bài 6
z
D
C A
y x
B
Trang 3Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C :
AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm
Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Ta có đẳng thức : ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD
=550 – 300 = 250
c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai
tiaBz và BD
Tính được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
- Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia
Bz và BA
Đề số 2
Câu 1: (5 điểm)
a) Tìm x biết (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750
b) Tìm x; y Z biết 2x + 124 = 5y
c) Tìm kết quả của phép nhân A =
s
c /
100 6
666
s
c /
100 9
999
Câu 2 : (4 điểm)
a) Chứng minh rằng :
72
8
102014+
là một số tự nhiên
b) Cho abc 7 Chứng tỏ rằng 2a + 3b + c 7
c) Cho các số tự nhiên từ 11 đến 21 được viết theo thứ tự tùy ý, sau đó đem cộng mỗi số đó với số chỉ thứ
tự của nó ta được một tổng Chứng minh rằng trong các tổng nhận được bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10
Câu 3 : (2 điểm) Cho S =
49
5
23
5 22
5 21
5 20
5 + + + + + Chứng minh rằng 3 < S < 8
Câu 4 : (4 điểm) Tìm 3 số có tổng bằng 420, biết rằng
7
6
số thứ nhất bằng
11
9
số thứ hai và bằng
3
2
số
thứ ba
Câu 5 : (5 điểm)
a) Cho góc xOy bằng 800, góc xOz bằng 300 Tính số đo góc yOz ?
b) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc không
cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD
ĐÁP ÁN Câu 1
a) Ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750
=> 100x + 101.50 = 5750
Trang 4=> 100x = 700 = > x = 7
b) +) x = 0 => 20 + 124 = 5y => 125 = 5y
=> 53 = 5y => y = 3
+) x 0 => 2x + 124 là số chẵn => 2x + 124 = 5y là vô lý
Vậy x = 0 và y = 5 thì thỏa mãn đề bài
c) A =
s
c /
100
6
666
s
c /
100 9
999 = A =
s
c /
100 6
666 (1
s
c /
100 0
00 - 1)
=
s
c /
100
6
s
c /
100 0
000 -
s
c /
100 6
666
=
s
c /
99 6
666 5
s
c /
99 3
333 4
Câu 2
a) Chứng minh : 102014 + 8 8
102014 + 8 9
Mà (8; 9) = 1 => 102014 + 8 72
=>
72
8
102014+
là một số tự nhiên
b) abc 7 => 100a + 10b + c 7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) 7
=> 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) 7
Mà 7(14a + b) 7 => ( 2a + 3b + c) 7
c) Khi xét 1 số tự nhiên khi chia cho 10
=> Có thể xảy ra 10 trường hợp về số dư 0;1;2; ;9 (1)
Mà các số tự nhiên từ 11 > 21 gồm (21 - ) + 1 = 11 số
Biết mỗi số cộng với đúng số thứ tự của nó được 1 tổng
=> Có 11 tổng , mỗi tổng đều có giá trị là 1 số tự nhiên (2)
Từ (1) và (2) => Trong 11 tổng trên chắc chắn có 2tổng có cùng số dư khi chia cho 11
=> Luôn hai tổng có hiệu chia hết cho 10
Câu 3
Xét tổng S =
49
5
23
5 22
5 21
5 20
5
+ + + +
Mà
50
5 49
5
; ;
50
5 22
5
; 50
5 21
5
; 50
5 20
50
5
S (1)
Lại có :
20
5 49
5
; ;
20
5 22
5
; 20
5 21
5
; 20
5 20
Trang 5=> S <
20
150 20
5
30 = => S < 8 (2)
Từ (1) và (2) => 3 < S < 8
Câu 4
Lập luận => Số thứ nhât bằng
22
21
số thứ hai
Số thứ ba bằng
22
27
số thứ hai
=> Tổng của ba số bằng
22
70 22
27 21
22+ + = số thứ hai
=> Số thứ hai là : 420 :
22
70 = 132
=> Số thứ nhất là : 132 126
22
=> Số thứ nhất là : 132 162
22
27
=
Câu 5
a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mp đối nhau bờ chứa tia Ox :
Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz
=> góc yOz = 800 + 300 = 1100
+) TH2: Hai tia Oy và Oz cùng nằm trên một nửa mp bờ chứa tia Ox
z
x
y
O
Trang 6Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy
=> góc yOz = 800 - 300 = 500
b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a
=> Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD +) TH2: Trong hai nửa mp đói nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D
=> Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
+) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp còn lại chứa 3 trong số
bốn điểm A; B; C; D
=> Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
Suy ra điều phải chứng minh
Đề số 3
Bài 1 ( 4,0 điểm):
a, Tính M =
b, So sánh A và B biết A = 2010 2011 2012
2011+2012+2010 và B = 1 1 1 1
3+ + + +4 5 17
Bài 2 ( 4,0 điểm):
a, Tìm x biết 1 25 2, 75 7 3 0, 65 7 : 0, 07
b, Tìm các số tự nhiên x, y sao cho ( )x y = và , 1 2 2 7
25
x y
Bài 3 ( 4,0 điểm):
a, Tìm chữ số tận cùng của số
b, Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng
Bài 4( 2,0 điểm):
O
y
z
x
Trang 7Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd Chứng minh rằng A = an + bn + cn + dn là một hợp
số với mọi số tự nhiên n
Bài 5( 6,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB
a, Chứng tỏ rằng OA < OB
b, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O
c, Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn NP tại một điểm E nằm giữa N và P
ĐÁP ÁN Bài 1
a) N =
2 9 2012 2
1 2012
3 9 5
2 9 2012 4
1 9
7 2012 7
N =
9 2012 2
9 3 2 2012
5
9 1006 2
2012 7 2
9
7
−
−
− +
N =
9 1006 9
3 2012
5
9 503 2021 7
−
−
−
N = 9620
979
b)
3
8 8
1 5 5
1 2
2
1
17
1
10
1 9
1
5
1 4
1 3
1
3
2012
1 2010
1 2011
1 2010
1 3
2010
2 1 2012
1 1 2011
1 1
+ +
+
+
+
=
+
+
=
+ +
− +
−
=
B
B
B
A
A
A
Từ đó suy ra A > B
Bài 2
a, Câu a:( 2,0 điểm)
Trang 85 437 7
7
5 535
535 5
:
14 8
1
61
7
x
x
x
x
x
x
− =
− =
=
=
=
Câu b: 2,0 điểm
Vai trò của x, y bình đẳng Giả sử x y, ta có
2 2
7 25
x y
+
7(x2+y2)=25(x+y)
x(7x – 25) = y(25-7y)
Suy ra 7x – 25 và 25 – 7y cùng dấu vì x, y là các số tự nhiên
a, Nếu 7x – 25 < 0 thì 25 – 7y < 0
Suy ra x < 4, y > 4 ( trái với điều giả sử)
b, Nếu 7x – 25 > 0 thì 25 – 7y > 0 Vậy x 4,y4
Thử các số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta được x = 4
Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò của x, y như nhau nên (x,y) = (3,4)
Bài 3
Tìm chữ số tận cùng của 141414là 6
Tìm chữ số tận cùng của 9 là 9 99
Tìm chữ số tận cùng của 2 là 2 34
Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng (6+9+2): là 7
b, Câu b: 2,0 điểm
a, Câu a: 2,0 điểm
Trang 96, ab = 1 ( Không thỏa mãn
Vậy bộ ba số cần tìm là 1, 4, 5 hoặc 1, 3, 8
Bài 4
Giả sử t = (a,c) Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = 1
ab = cd suy ra a1bt = c1dt , Suy ra a1b = c1d
Mà (a1,c1) = 1 suy ra b chia hết c1 , đặt bc1k
Do đó d = a1k
Ta có A = a1 tn + c1 kn + c1 tn + a1 kn
A = ( a1 + c1 )(kn + tn)
Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A là hợp số
Bài 5
a) Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau
Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B
Vậy OA < OB
b, Câu b : 2,0 điểm
Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB
Suy ra OM = (1/2) OA, ON = (1/2) OB
P
H
A
E
Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là a, b, c
Ta có a + b + c = abc/2
Giả sử abc thì a + b + c 3c
Do đó abc 3c
2 hay ab 6
Có các trường hợp sau
1, ab = 6 suy ra c = 3,5 ( loại )
2, ab = 5 Suy ra a = 1, b = 5 , c = 4 ( Loại)
3, ab = 4 Suy ra a = 1, b = 4 , c = 5( thỏa mãn)
a =2, b = 2, c = 4 (Thỏa mãn)
4, ab = 3 Suy ra a = 1, b = 3, c = 8 ( thỏa mãn)
5, ab = 2 ( Không thỏa mãn)
Trang 10Theo câu a vì OA < OB nên OM < ON
M, N thuộc tia OB nên M nằm giữa O và N
Suy ra OM + MN = ON
Suy ra MN = ON – OM
MN = (1/2) OB – (1/2) OA = (1/2) (OB – OA)= (1/2) AB
AB có độ dài không đổi nên MN không đổi
c, Câu c: 2,0 điểm
Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O
Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP
P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP
Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E năm giữa N và P
Đề số 4
Bài 1(3 điểm)
a.Tính nhanh:
A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
b.Chứng minh : Với kN* ta luôn có :
( 1)( 2) ( 1) ( 1) 3 ( 1)
k k+ k+ − −k k k+ = k k+
Áp dụng tính tổng :
S = 1.2 2.3 3.4 + + + +n n.( + 1)
Bài 2: (3 điểm)
a Chứng minh rằng : nếu (ab cd+ +eg) 11 thì : abcdeg 11
b Cho A = 2+22+23+ + 2 60 Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15
Bài 3(2 điểm) Chứng minh :
12 13 14 1
2 +2 +2 + +2n < 1
Bài 4(2 điểm)
a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC
b.Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm Tính số giao điểm của chúng
ĐÁP ÁN
Bài 1
Trang 11a 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
1.5.6 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6
2 1.3.5 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5
b.Biến đổi :
k k( +1)(k+2) (− k−1) (k k+ =1) k k( +1) ( k+2) (− k−1)=3k k( +1)
Áp dụng tính :
( )
( )
( )
3 1.2 1.2.3 0.1.2
3 2.3 2.3.4 1.2.3
3 3.4 3.4.5 2.3.4
3.n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1
Cộng lại ta có :
3
Bài 2 a.Tách như sau :
abcdeg 10000= ab+100cd+eg=(9999ab+99cd) (+ ab cd+ +eg)
Do 9999 11;99 11(9999ab+99cd) 11
Mà : (ab cd+ +eg)11 (theo bài ra) nên : abcdeg 11
b.Biến đổi :
*A =( 2) ( 3 4) ( 3 4) ( 59 60) ( ) (3 ) 59( )
2+2 + 2 +2 + 2 +2 + + 2 +2 =2 1 2+ +2 1 2+ + + 2 1 2+
3 2+2 + + 2 3
*A = ( 2 3) ( 4 5 6) ( 58 59 60)
2+2 +2 + 2 +2 +2 + + 2 +2 +2 =
2 1 2+ +2 +2 1 2+ +2 + + 2 1 2+ +2 = ( 4 58)
7 2+2 + + 2 7
*A = ( 2 3 4) ( 5 6 7 8) ( 57 58 59 60)
2+2 +2 +2 + 2 +2 +2 +2 + + 2 +2 +2 +2 =
2 1 2+ +2 +2 +2 1 2+ +2 +2 + + 2 1 2+ +2 +2 =
15 2+2 + + 2 15
Bài 3 Ta có :
( ) 2
n n n =n −n
Áp dụng : 12 1 1 1; 2 1 1; ; 12 1 1
2 −2 3 −2 3 n n 1−n
−
12 13 14 1
2 +2 +2 + +2n < 1 1 1
n
−
Trang 12Bài 4 a.Xét hai trường hợp :
*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA
Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau B nằm giữa A và C
AC = AB + BC = 12 cm
*TH 2 : C thuộc tia BA
C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = 4 cm
b - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm
- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm
-Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là :
10100 : 2 = 5050 giao điểm
Đề số 5
Câu 1 : Tính các giá trị của biểu thức
a A = 1+2+3+4+ +100
2003
5 19
5 17
5 5
2003
4 19
4 17
4 4 : 53
3 37
3 3
1 3
) 53
3 7
3 3
1 3 ( 4 5
1
+ + +
+ + +
−
− +
−
− +
c C =
100 99
1
5 4
1 4 3
1 3 2
1 2
1
1
+ + + + + Câu 2: So sánh các biểu thức :
a 3200 và 2300
b A =
1717
404 17
2 171717
121212
−
17
10
Câu 3: Cho 1số có 4 chữ số: *26* Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9
Câu 4: Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! +2! +3! + +n! là số chính phương?
Câu 5: Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B đi ngược chiều nhau Xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút Biết rằng để đi cả quãng đường AB Xe thứ nhất cần 2 giờ , xe thứ hai cần 3 giờ Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc mấy giờ?
Câu 6: Cho góc xOy có số đo bằng 1200 Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy =75 Điểm B nằm 0 ngoài góc xOy mà :BOx =135 Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? 0
ĐÁP ÁN
Câu 1 : Tính giá trị biểu thức :
a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng
S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp
C
B
A
Trang 13= 50 10 = 5050
b) A =
2003
5 19
5 17
5 5
2003
4 19
4 17
4 4 : ) 53
3 37
3 3
1 3 (
) 53
3 37
3 3
1 3 ( 4 5
1 1
+ + +
+ + +
−
− +
−
−
+
−
Ta có : A = -
) 2003
1 19
1 17
1 1 ( 5
) 2003
1 19
1 17
1 1 ( 4 : 1
4 5
6
+ + +
+ + +
= -6 4 4 : 6 4.5 6
5 1 5= −5 4 = −
c) B =
3 2
1 + 4 3
1 + 5 4
1 +
6 5
1 + +
100 99 1
Ta có : B = 1 -
2
1 + 2
1 -3
1 + 3
1 -4
1 + +
99
1 -100
1 = 1 - 100
1
= 100 99
2) Câu2 So sánh
a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100
2300 =(23)100 =8100
Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300
b) A =
101 : 1717
101 : 404 17
2 10101 : 171717
10101 : 121212 1717
404 17
2 171717
121212
− + +
− +
17
4 2 12 17
4 17
2 17
=
A
Vậy A =
17
10 hay A =B =
17 10
3) Để số có 4 chử số*26*, 4chữ số khác nhau mà 4 chữ số *26* chia hết cho cả 4 số 2; 5;3;9 Ta cần
thoả mản : Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn
Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5.Số đó vừa chia hết cho 3 và9 Nên
số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9
Vậy : Chữ số tận cùng của số đó là 0 *260 Chữ số đầu là số 1
Do đó số đã cho là 1260
4 ) Bài 4 Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! là bình phương của một số tự nhiên
Xét : n = 1 1! = 12
n = 2 1! +2! = 3
n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32
n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33
Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với một số chẳn bằng sốcó
chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3 Nên nó không phải là số chính phương
Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n!là số chính phương
5 )
1 giờ xe thứ nhất đi đươc
2 1 quảng đường AB