- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]
Trang 1CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ
A- LÝ THUYẾT
Một số giới hạn thường gặp:
1.Giới hạn đặc biệt:
1
nn ; 1
k
n
lim n 0 ( 1)
; lim
2.Định lí :
a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì
lim (u n + v n ) = a + b
lim (u n – v n ) = a – b
lim (u n v n ) = a.b
lim n
n
v b (nếu b 0) b) Nếu u n 0, n và lim u n = a
thì a 0 và lim u n a
c) Nếu u n v n ,n và lim v n = 0
thì lim u n = 0
d) Nếu lim u n = a thì limu n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1
1
u q
q1
1 Giới hạn đặc biệt:
lim n , lim n k (k )
lim q n (q1)
2 Định lí:
a) Nếu limu n thì 1
n
u
b) Nếu lim u n = a, lim v n = thì lim n
n
u
v = 0 c) Nếu lim u n = a 0, lim v n = 0
thì lim n
n
u
v =
n n
neáu a v neáu a v
d) Nếu lim u n = +, lim v n = a thì lim(u n v n ) = 0
0
neáu a neáu a
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định
B- BÀI TẬP Bài 1: Tính các giới hạn sau:
n n
2 2
lim
c)
3
2 lim
n
n n d) n n n n
3 2
lim
e)
2 2
2 lim
n n
f)
n
2
1 4 lim
2 2
lim
4
n n
h)
3 3
lim
i)
2 3
lim
j)
2 3 6
1 lim
1
k)
3 3
lim
n n
l)
lim
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) 1 3
lim
4 3
n n
1
4.3 7 lim
2.5 7
n n
n n
lim
n n
1
lim
1 5
n n n
lim
2
n n
Trang 2e) 1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
1 2.3 6 lim
2 (3 5)
n n
n n
n n
5 1
5 2
lim
n 1 n
( 1) 4.3 lim
( 1) 2.3
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
lim 4n 3n 1 b) 6
lim 2n6n 3 c) 4 2
lim 2n n n d) 2
lim 3 2 n8n
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a) lim n2 2n 3 n b) lim n 1 n c) lim n2 1 n22
d)
n
lim n 2n n f) lim n2 2 3n32n
Bài 5:Tổng của cấp số nhân vô hạn
n 1
n 1
1
1 1 1 , , , , ,
2 6 18 2.3
Bài 6: Tính giới hạn sau: a)
2
lim
3n 1 n
2n 3
1 2 2 2 lim
2
1 2 3 n lim
2n n 1
Bài 7: Cho dãy số (un) với un 2 2 2 2 n.Tính giới hạncủa (un)
Bài 8:Hãy biễu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,271414…dưới dạng số hữu tỉ
VẤN ĐỀ 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ
A- LÝ THUYẾT
1-Một số dạng thường gặp
Dạng 1:Tính giới hạn hàm bằng phép thế :
0
0 lim ( )
x x
f x f x
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
3
4
x x
Dạng 2: Dạng vô định 0
0: Tìm 0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
(với
lim ( ) lim ( ) 0
x x f x x x g x
Phương pháp: Khử dạng vô định
Chia tử và mẫu cho xx0:
( )
f x
Nếu
0
1 1
( ) lim ( )
x x
f x
g x
có dạng 0
0 thì lại chia tử và mẫu cho xx0 và khử tiếp
Trang 3hợp, trước khi chia tử và mẫu cho xx0
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
2 3
2 15 ) lim
3
x
a
x
2 2 2
4 ) lim
x
x b
2 2 3
6 ) lim
x
x x c
2 2 1 2
) lim
x
d
2 2 1
) lim
1
x
e
x
2 2 1 2
) lim
x
f
) lim
x
g
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
0
2 ) lim
9 3
x
x a
3 2 ) lim
x
x b
2 ) lim
x
c
) lim
49
x
x d
x
2 5
5 ) lim
25
x
x
e
) lim
3
x
x f
x
3 0
)lim
x
g
)lim
x
h
DẠNG 3: DẠNG VÔ ĐỊNH
[
( ) lim ( )
x
f x
g x
Đặt nhân tử chung n
x của tử và mẫu sau đó rút gọn (với n là số mũ bậc cao nhất của biến x)
Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn)
0
,
3 3
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
2
2
2 3 1 ) lim
2 3 4
x
a
2 2
) lim
x
b
) lim
x
x c
x
2
) lim
2
x
x d
x
DẠNG 4:
Khử dạng vô định : Nhân và chia biểu thức liên hợp nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn
thức
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
x
) lim 9 3 1 3
x
x
) lim 3 1 9 1
x
x
x
Trang 43 3 2
x
x
2- Giới hạn vô cực Bài 6: Tìm các giới hạn sau:
2 4
1
4
x
x
x
3
x
d
x
3- Giới hạn một bên
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
2
1
1 )lim
1
x
x
a
x
2 1
1 )lim
1
x
x b
2 1
3 2 ) lim
1
x
x x e
x
2 2 5
5 10 )lim
25
x
x x f
x
Bài 8: Cho hàm số
2 2
, 1 1
( )
, 1 2
x x
f x
x
x
Tìm
lim ( ) ; lim ( )
x f x x f x
x f x
(nếu có)
Bài 9: Cho hàm số
2 2
4
x
x
Với giá trị nào của m thì hàm số y f x( )có giới hạn khi x2 Tính giới hạn này
Bài 10: Cho hàm số 2
6
x x
x
Với giá trị nào của m thì hàm số y f x( )có giới hạn khi x3 Tính giới hạn này
Trang 5Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí