[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI OLYMPIC CỤM HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC
NĂM HỌC 2009-2010
Môn : TOÁN 11
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang gồm 04 câu
Câu 1: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài ba cạnh, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
B A
B
tan 1 tan tan
1 tan tan
=
− +
Câu 2:(6 điểm )
1 Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga Có 5 hành khách lên tầu Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách bước lên?
2.Cho : C1n+1+C2n+1 + +Cnn+1 =220 −1
Chứng minh rằng : ( 0 ) (2 1 )2 ( 201n)2 2010
Câu 3: (5 điểm):
1.Tính giới hạn : lim 31 3x 1 5x 15
x
x 0
→
2.Cho dãy số (un) :
1
n
n 1
n
u 1
3.u 1 u
+
=
−
= + Tìm u2010
Câu 4: (6 điểm)
Cho tứ diện ABCD, M là một điểm thay đổi trên cạnh BC Mặt phẳng (α ) qua M song song với hai đường thẳng AB,CD và cắt các cạnh BD,AD,AC lần lượt tại N,I,K
1 Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNIK lớn nhất?
2 Giả sử M là trung điểm của BC, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD sao cho AP AB
5
2
4
3
= Gọi R là giao điểm của mặt phẳng (MPQ) và CD
Tìm tỉ số
CD
CR
_Hết
Trang 2SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HÀ
NỘI CỤM HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI VÀ THANG ĐIỂM
KÌ THI OLYMPIC CỤM HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC
NĂM HỌC 2009-2010
Môn : TOÁN 11
1
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
4 4
sin sin
sin 4
1 sin
sin sin
0 sin
) cos(
) cos(
) ( cos
sin )
cos(
) cos(
cos
sin cos
cos sin
sin
cos cos sin
sin tan
1 tan tan
1 tan tan
R c
b a R C B
A R
C B
A
C B
A B
A B
A
C B
A
B A
C
C B
A B
A
B A B
A C
B A
B A
=
− +
⇔
=
− +
⇔
=
− +
⇔
= +
+
−
⇔ +
= +
−
−
⇔
=
−
+
⇔
=
−
1.0
0.5 0.5
1 +Mỗi khách có 3 cách chọn toa cho mình, không gian mẫu Ω có số phần
tử là |Ω|= 35=243
+Gọi A1là biến cố một toa có 3 người khách, hai toa còn lại mỗi toa một
người
Có 3 cách chọn toa có 3 khách Mỗi cách chọn toa có 3 khách sẽ có 3
5 C
cách chon 3 trong 5 khách lên toa đó Hai khách còn lại có 2 khả năng lên
hai toa còn lại
=>tập hợp mô tả biến cố A1 có số phần tử là ΩA1 =3 3
5
C 2=60 +Gọi A2 là biến cố có 2 toa mỗi toa có hai khách lên tầu còn toa còn lại
chỉ có một khách
tương tự => tập hợp mô tả biến cố A2 có số phần tử là 2 2
+mà các biến cố A1 ,A2 xung khắc và A= A1∪A2 theo qui tắc cộng ta có
xác suất của biến cố A là: P(A)=P(A1)+P(A2)=
243 243 81
0,5
0,5
0,5
1.0
2
2 Xét (1+1)2n+1= 0 1 2n 1
+ + + + + + (*) mà
C C + − k 0;1;2 ;n
Vậy (*) ⇔ 22n+1= ( 0 1 n )
2 C + +C + + C+ +
C + +C + + C+ + =2 => 1 n 2n
C + + C+ + =2 −1
=>22n-1=220-1=>n=10
Ta phải chứng minh: ( 0 ) (2 1 )2 ( 2010)2 2010
+xét khai triển (1 x+ )4020 có hệ số của x2010 là : 2010
4020
C (1) +mặt khác : (1 x+ )4020 =(1 x+ )2010 1 x( + )2010=
thực hiện phép nhân hai đa thức ta có hệ số của x2010 là :
1.0
0.5
0,5
Trang 3j B
C
D A
M
K
I
N
( 0 ) (2 1 )2 ( 2010)2
C + C + + C kết hợp với (1) ta có đpcm 1.5
1
Tính I1= 3 5
x 0
1 3x 1
x
→
5
3x
→
Tính I2= 5
x 0
1 5x 1 lim
x
→
Đặt 5 1 5x + =t
=>I2= (5 ) 4 3 2
−
=>I=I1+I2=1+1=2
1,0
1.0
3
2 Đặt ui=tanαi (với αi ∈R, i=1;2;3; n, ) ta có :
1 3 1
3
u1 1
un
n
=
−
= +
+ ⇔
1
n
tan n tan
6
6 tan n.tan 1
6
α =
π
π
Ta chọn 1
n
k 4
k
π
α = + π
π
α = α − + π +
ta có dãy( αn) là cấp số cộng với công sai d=
6
π
−
α2010= α1+2009
6
π
−
= k 335
+ π − π + =>
u2010=tan α2010=tan
4 6
π π
+
1 1
3 1
1 3
+
+
−
−
1.0
1.0
1.0
1 Vẽ đúng hình :
Chứng minh được MNIK là hình bình hành
Đặt AB = a, CD = b, x
CB
CM
= ( x∈(0;1)), góc (AB, CD) =α ( không đổi)
-Tính KM=ax
Tính MN= (1-x)b
Tính SMNIK = x(1-x)absinα
Áp dụng BĐT Côsi SMNIK ≤ sinα
2
ab x x
= sin α
4
1
ab (không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi x=1
2
=>KL: SMNIK lớn nhất khi M là trung điểm của BC
1.0
1.0
1.0
4
2 Đặt AB = a;AC = b;AD = c,x=
CD
CR Ta có PQ a c
4
3 5
2 +
−
=
Trang 4b a PM
2
1 10
1 +
5
2
b c x b a
PR= − + + −
Vì M,N,P,Q đồng phẳng nên : PR=k PQ+l PM
0 4
3 2
1 10
5
2 5
2
=
− +
+
− +
+
−
Mà ABCD tứ diên=>AB = a;AC = b;AD = c không đồng phẳng
=
−
=
=
−
⇔
k x
l x
l k
4 3 2 1
4 4
11
9
=
→ x
1.0
1.0
1,0 (Thí sinh giải bằng cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)