[r]
Trang 1HÖ ph¬ng tr×nh
A-Giải và biện luận các hệ
phương trình sau :
1) Giải và biện luận các hệ
phương trình :
1
2
)
6
3
1 2 3
1
)
1
2
3
1
2
4
2
)
1
)
x
m
y
m
y
d
y
x
m x m y m
m
c
y
m
x
m
y
m
x
m
b
m
y
m
x y
mx
a
2) Cho hệ phương trình:
2 3 2
3 1 1 2
m my x
m
m y
m
mx
a) Giải hệ với m = 3
b) Tìm m để hệ phương trình
đã cho có nghiệm duy nhất
(x;y) Khi đó hãy tìm hệ thức
liên hệ giữa x và y không phụ
thuộc vào m
B-Giải các hệ phương trình:
I-Hệ đối xứng loại 1:
28 3
11
2
2
y x y
x
xy
y
x
2)
21 7
2 2 4
4
2
2
y x y
x
xy y
x
3)
5 6 13
y
x
x
y
y
x
4)
30 11
2
2y xy
x
y x
xy
5)
26 2
3
3
y
x
y
x
6)
xy y
x
xy y
x
2 3
2 7 1
1
7)
2 2 8
3 3
xy y x y x
8)
1 1
3 3 2 2
y x y x
9)
6 1
2
2y xy x
y xy x
10)
1 2
2 2
y x xy
y x y x
11)
3 3 2
2
xy y x
x
y y
x
14 2
3
2 2 2 2
y x x y y x
xy y x
9 4 3
xy
y x y
x
6 7 4
2 2
xy
y x y
x
15)
4
2 8 2
2 2
y x
xy y
x
16)
21 2 5
2
x
x
y y x
II-Hệ đối xứng loại 2:
1)
2 3
2
2 3
2
2 2
2 2
x y y
y x x
2)
1 2
1 2
3 3
x y
y x
3)
x y
y x
3 3
4)
2
2
3 2
3 2
y x y
x y x
5)
x y
y x
2 1 2 1
3 3
6)
x x y
y y x
1 2
1 2
2 2
7)
2 2 2 2
2 3
2 3
y x x
x y y
8)
x y y
y xy y
y x x
x xy x
2
3 2
2
3 2
9 2 2
9 2 2
III-Các dạng khác :
1)
2 2
2
2 2
5 1
6
x y
x
x xy
y
2)
2 2
2
9 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
3)
7 5 2
7 2 5
y x
y x
4)
4 7 9
4 7 9
x y
y x
5)
4 4 9 9 5
y x y x y x
19 2 3
3 2
y x
y y x
7)
1 3 3
6 6
3 3
y x
y y
x x
8)
2 2
3 3
3
6 19 1
x xy
y
x y
x
9)
y x y
xy x
y x y
xy x
7 19 2 2
2 2
2
6 4
9 2
2
x
y x x
x
11)
4 2 2 2 2
x
y x y x
12)
0 15 13
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
13)
2 2
2 8 4
x xy
y xy
14)
4 7
1
4 7
1
x y
y x
15)
2 3 2
2 3 2
2 2
2 2
y x
y
x y
x
16)
4 1 1
3
y x
xy y
x
17)
1 2
1 1
3
x y
y y x
x
18)
2
3
y x y
x
y x y
x
19)
1 1
2 3
2 2 3
4
xy x
y
x
y x y x
x
4 5 2
1
4 5 2
4
2 3
2
x xy
y
x
xy xy y x y
x
(KA-08)
21)
6 6 2
9 2 2
2
2 2 3 4
x xy
x
x y
x y x
x
(KB-08) 22)
y x x
y y
x
y x y x
xy
2 2 1 2
2 2 2
(KD-08) 23)
2 2
7 1
y xy
y
x
y x
xy
(KB-09)
0 1 5 0 3 1
2 2
x y
x
y
x
x
(KD-09)
C- Giải hệ có chứa tham số:
1) Cho hệ
0 0
2
x
a ay x
a) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt ?
b) Gọi x1;y1 ; x2;y2 là các nghiệm của
hệ đã cho , chứng minh rằng :
x2 x12y2 y12 1
2) Cho hệ phương trình:
3
.
3
ab y
b x
a
y b x
a
a) Giải hệ khi a = 1; b = 9
b) Tìm mọi giá trị của a và b để hệ có nghiệm
duy nhất x=1;y=1
3) Cho hệ phương trình :
m x y x y y x y x
1 1 1 1 3 1 1
a) Giải hệ với m = 6 b) Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phương trình :
1 2
2
x
m y xy x
a)Giải hệ khi m = -3 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
5) Cho hệ phương trình :
1
1 1 1
2 2
xy y x
y x k y
x
a) Giải hệ khi k = 0 b) Tìm k để hệ có nghiệm duy nhất
6) Xác định tham số a để hệ sau có nghiệm duy
nhất :
a x y
a y x
2 2
1 1
7) Tìm a để hệ phương trình sau có đúng một
nghiệm :
a x
x y
a y x
3 5 5
3
2 2
2
8) Cho hệ :
2 2
x a y x
a)Giải hệ với a = 2
b) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y
xy
F 2 trong đó (x;y) là nghiệm của hệ
9) Cho hệ :
m x
y
m y
x
2 1
2 1
với m > 0 a) Giải hệ với m = 9
Trang 2HÖ ph¬ng tr×nh
b) Xác định m để hệ có nghiệm
10) Tìm m để hệ phương trình sau có
nghiệm
10 15 1 1
5 1 1
3 3 3
y y x
x
y y x
x
(KD-07)
11) Tìm m để hệ
m y
y x x y x
3 1 1
có nghiệm
12) Tìm m để hệ
1 0 2
xy x
m y x
có nghiệm duy nhất
HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI
A-Giải và biện luận :
1 1
m
m
m m
1
2 1
1
m
m
D y
Nếu
0 3 2
0
; 0 1
0
x
y x
D m
D D
m D
2 1 0
m m
2 1 2 1
m m D
D y
m D D x
y x
Biện luận : Nếu m = - 1 thì hệ có vô số nghiệm (x;y) thoả mãn - x + 2y = 1
Nếu m = 2 thì hệ vô nghiệm
Nếu m 1 ;m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
2 1 2 1
m m y
m x
m m
m m
2 3 1
4 2
m
m
2 3 1
4 2
m
m
1 1
2 2
Nếu
2
1
m thì hệ vô nghiệm
Nếu m = 0 thì hệ có vô số nghiệm (x;y) thoả mãn : x + 2y = - 1
Nếu
0 2 1
m
m
thì hệ có nghiệm duy nhất
1 2
3 1 2
7
m y
m x
c)
6 5 6
1
1
; 18 9 3
6
3 2
; 4 2 3
1
3 2
m
m m
D m
m m D m m m
m m
Nếu m = 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x;y) thoả mãn x + y = 2
Nếu
2 0
m m
thì hệ có nghiệm duy nhất
m m y m x
2 3 2 9
d)
m y x y m x m x m
y
my
mx
y
x
x
m
y
m
y
y
2 3 0 3 3 2
3
3
1
2
3
( với x y )
m
m D
m m m
m D
m m m
3
0 3
; 3 2
3 0
; 15 2
3
3 3
Nếu
0
15
m
m
thì hệ vô nghiệm Nếu
0 15
m m
thì hệ có nghiệm
15 3
15 3
m
m m
y
m
m m
x
Vì : Nếu m 15 thì hệ có nghiệm
15 3 15 3
m m m
y
m m m
x
Để (x;y) là nghiệm của hệ đã cho thì :
15
3 15
m m
m m m m m
m m m
m m
2) a) Với m = 3 hệ trở thành :
11 11 2 21 9 3 4 2 3 7 3 8 4 6
y x y x y x y x y x
2
1
m m
m m
2 3
1 3
1
m m
m m
2 3 2
3 1
m m
m m
D y
thì hệ vô số nghiệm (x;y) thoả mãn - x + 2y = 1 thì hệ vô nghiệm
Trang 3HÖ ph¬ng tr×nh
3
1 0
2 3
m m m
m
Khi đó nghiệm duy nhất của hệ là :
2 3
2 9
2 3
2
m m y
m x
Từ đó ta có hệ thức liên hệ giữa x và y
không phụ thuộc vào m là : 4x + y = 3
B- Giải các hệ phương trình :
I- Hệ đối xứng loại 1 :
Đặt S x y; P x.y S2 4P
6 5
; 21 10 28
3
2
11
2
P S P
S
S
P
S
P
S
Với
21 10
P
S
ta có
7
3
; 3
7 21
10
y
x y
x xy
y x
Với
6 5
P
S
3 2
; 2 3 6 5
y x y x xy y x
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x;y) là : (-7;-3) ; (-3;-7) ; (3;2) ; (2;3)
2)
21 7 7 21 7 21
7
2 2 2 2 2
2
2
2
4
4
2
2
y xy xy y y y
x
xy
y
y
y
x
xy
y
x
2 3
xy y x
2 1
; 1 2 2
3
y x y
x
xy
y
x
2 1
; 1 2 2
3
y x y x xy
y x
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x;y) là : (1;2) ;(2;1) ; (-2;-1) ; (-1;-2)
3)
3 2 2 3 6 5 5
13 2 6
5
13
6
5
6
13 2 2
y x y x
xy y y
xy xy y
y
xy
y
y
x
y
y
x
(với x 0 ;y 0)
4)
1
; 5 2
; 3 5 6 30
30
2
2
y y y y xy y xy y y
xy
y
xy
xy
y
y
xy
Vậy hệ có 4 nghiệm (x;y) là : (2;3) ; (3;2) ;(1;5) ; (5;1)
5)
3 1
; 1 3 3
2
26
3
2
x y x xy
y
y
xy
y
y
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là : (3;-1) ; (-1;3)
2 1
; 1 2 2 3 2
3
2
7
y x y x xy
y
x
xy
y
x
xy
xy
y
x
vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là : (1;2) và (2;1) 7)
0 2
; 2 0 0 2 2
2
8 3
3
y x y x xy y x xy
y
x
y
x
xy
y
x
8)
vonghiem y y xy y x xy y x y
x
xy
y
x
xy
y
2 2 0 1
3
1
2
9)
217 3 17 3
;
217 3 17 3 2
3
6
y x y x vn xy
y
xy
y
y
xy
xy
y
10)
vn y y xy
y x xy y x y
x
xy
y x
xy
y
5 0 1
1
2 2
2
11) Điều kiện : x.y > 0 Ta có :
3 0 5 2 2 3
0
5
2
3
9
2
xy y xy xy y xy
y
xy
y
x
xy
y
x
y
y
x
3 3
; 2 3 2
; 1 2
2
2
y y
y y
xy
y
x
xy
y
x
12)
12 2 3 3 12
2
3
2
xy y x xy y x y
x
y
x
xy
xy
y
x