Mục tiêu của luận án là nghiên cứu các điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp tại từng điểm.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
Nguyễn Hải Sơn
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHÔNG CÁCH BIỆT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐƯỢC CHO BỞI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH
Ngành: TOÁN HỌC
Mã số: 9460101
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2019
Trang 2Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học:
1 TS Nguyễn Thị Toàn
2 TS Bùi Trọng Kiên
Phản biện 1: GS TSKH Vũ Ngọc Phát
Phản biện 2: PGS TS Cung Thế Anh
Phản biện 3: TS Nguyễn Huy Chiêu
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1 Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội
2 Thư viện Quốc gia Việt Nam
Trang 3Mở đầu
Lý thuyết điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học
và các lĩnh vực khoa học khác Nó được phát triển mạnh mẽ và có hệ thống từnhững năm cuối của thập niên 50, khi hai nguyên lý cơ bản được thiết lập: nguyên
lý cực đại Pontryagin và nguyên lý quy hoạch động Bellman Cho đến nay, lý thuyếtĐKTƯ đã phát triển theo nhiều hướng khác nhau như ĐKTƯ không trơn, ĐKTƯrời rạc, ĐKTƯ được cho bởi phương trình vi phân thường (ODEs), ĐKTƯ được chobởi phương trình đạo hàm riêng (PDEs),
Trong những thập kỉ gần đây, rất nhiều tác giả nghiên cứu định tính cho bài toánĐKTƯ được cho bởi ODEs, PDEs và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Mộttrong những kết quả đó là việc đưa ra các điều kiện tối ưu cho bài toán ĐKTƯ.Điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic
là một chủ đề hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu Chủ đề này có giá trị về cả
lý thuyết và ứng dụng Các điều kiện cần bậc hai không những cung cấp các tiêuchuẩn để loại đi các điểm dừng nhưng không là điểm cực trị, mà nó còn giúp chúng
ta trong việc xây dựng các điều kiện đủ cho một điểm dừng là điểm cực trị của bàitoán Các điều kiện đủ bậc hai đóng vai trò quan trọng trong giải số cho bài toántối ưu phi tuyến, phân tích các thuật toán bậc hai tuần tự và nghiên cứu tính ổnđịnh của ĐKTƯ Chúng ta sẽ điểm lại một số kết quả về chủ đề này
Đối với bài toán điều khiển phân tán, tức là biến điều khiển chỉ tác động trongmiền Ω của không gian Rn, E Casas, T Bayen và các cộng sự đã đưa ra các điềukiện cần và đủ bậc hai cho bài toán với ràng buộc thuần nhất điều khiển, tức là
với u là biến điều khiển và các ràng buộc thuần nhất trạng thái Đặc biệt, E Casas
đã thiết lập điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển Dirichlet và bài toán điềukhiển Neumann với ràng buộc (1) khi hàm mục tiêu không chứa biến điều khiển u.Hơn nữa, C Meyer và F Tr¨oltzsch đã đạt được các điều kiện đủ bậc hai cho bài toánRobin với ràng buộc hỗn hợp ở dạng tuyến tínha(x) ≤ λy(x)+u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Ωvới y là biến trạng thái và hữu hạn các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức.Đối với bài toán điều khiển biên, tức là biến điều khiển u chỉ tác động trên biên
Γ của miền Ω, E Casas, F Tr¨oltzsch và các cộng sự đã đưa ra điều kiện cần và đủbậc hai với ràng buộc thuần nhất điều khiển tại từng điểm, tức là
a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Γ
Năm 2006, A R¨osch và F Tr¨oltzsch đã đưa ra điều kiện đủ bậc hai cho bài toánvới ràng buộc hỗn hợp tuyến tính một phía c(x) ≤ u(x) +γ(x)y(x) h.k x ∈ Γ
Trang 4Lưu ý rằng trong các kết quả trên, các hàm a, b thuộc không gian L∞ Bởi vậy,biến điều khiển u cũng thuộc L∞ Điều này dẫn đến các nhân tử Lagrange phảithuộc không gian đối ngẫu (L∞)∗ Tuy nhiên, chúng ta biết rằng việc miêu tả khônggian đối ngẫu (L∞)∗ không hiển như không gian đối ngẫu (Lp)∗, 1 ≤ p < ∞ Gầnđây, B T Kien và các cộng sự đã thiết lập điều kiện cần bậc hai của bài toán điềukhiển phân tán Dirichlet với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái ở dạng
a(x) ≤ g(x, y(x)) +u(x) ≤ b(x) a.e x ∈ Ω,
a, b ∈ Lp(Ω), 1 < p < ∞ và các ràng buộc thuần nhất trạng thái Điều này thúc đẩychúng ta nghiên cứu và phát triển các bài toán sau:
(OP1) : Thiết lập các điều kiện cần bậc hai của bài toán điều khiển biên Robinvới ràng buộc hỗn hợp điều khiển–trạng thái ở dạng a(x) ≤ g(x, y(x)) + u(x) ≤b(x) h.k x ∈ Γ, ở đây a, b ∈ Lp(Γ), 1< p < ∞;
(OP2) : Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai của bài toán ĐKTƯ với ràng buộc hỗnhợp điều khiển-trạng thái khi hàm mục tiêu không phụ thuộc vào biến điều khiển.Giải các bài toán (OP1) và (OP2) là mục tiêu đầu tiên của luận án
Sau khi các điều kiện cần và đủ bậc hai được thiết lập, chúng sẽ được so sánh vớinhau Theo J F Bonnans, nếu sự khác nhau giữa các điều kiện cần và điều kiện đủbậc hai chỉ là tính chặt và không chặt của các bất đẳng thức thì ta nói rằng điềukiện tối ưu không cách biệt là đạt được Việc đưa ra các điều kiện tối ưu bậc hai màkhông có khoảng cách giữa các điều kiện cần và điều kiện đủ là một bài toán khó.Năm 1998, J F Bonnans đã thiết lập các điều kiện tối ưu bậc hai không cách biệtcho một bài toán ĐKTƯ với ràng buộc thuần nhất điều khiển và hàm mục tiêu làtoàn phương theo cả biến trạng thái y và biến điều khiển u Kết quả này được đưa
ra dựa trên tính chất đa diện (polyhedric) của tập ràng buộc và lý thuyết về cácdạng Legendre Tuy nhiên, bài toán sau chưa có lời giải:
(OP3) : Tìm các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán ĐKTƯ được chobởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp từng điểm
Giải bài toán (OP3) là mục tiêu thứ hai của luận án
Tính ổn định nghiệm của các bài toán ĐKTƯ cũng là một chủ đề quan trọngtrong tối ưu và phương pháp số Nghiên cứu tính ổn định nghiệm là đánh giá cáctính chất liên tục của ánh xạ nghiệm theo tham số, như là tính nửa liên tục dưới,nửa liên tục trên, liên tục H¨older, liên tục Lipschitz
Theo hướng này, chúng ta xét bài toán sau:
(2)
Trang 5ở đó y ∈ Y, u ∈ U lần lượt là các biến trạng thái và điều khiển; µ ∈ Π, λ ∈ Λ là cáctham số, F : Y × U ×Π → R là hàm mục tiêu trên không gian Banach Y × U ×Π
và Φ(λ) là tập ràng buộc (tập chấp nhận được) của bài toán
Chúng ta biết rằng nếu hàm mục tiêu F(·, ·, µ) là lồi mạnh, và tập ràng buộcΦ(λ) là lồi, thì ánh xạ nghiệm của bài toán (2) là đơn trị Hơn nữa, A Dontchev
đã chỉ ra rằng dưới một số điều kiện, thì ánh xạ nghiệm là liên tục Lipschitz theotham số Bằng việc sử dụng kĩ thuật của định lý hàm ẩn, K Malanowski đã chứngminh rằng ánh xạ nghiệm của bài toán (2) cũng là một hàm liên tục Lipschitz theotham số nếu các điều kiện tối ưu bậc hai yếu và các ràng buộc chuẩn tắc được thỏamãn tại điểm tham chiếu
Khi các điều kiện trên không được thỏa mãn, ánh xạ nghiệm nói chung khôngđơn trị Trong trường hợp này, chúng ta phải sử dụng các công cụ của giải tích đatrị và giải tích biến phân để giải bài toán Năm 2012, B T Kien và các cộng sự đãđạt được tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm cho bài toán ĐKTƯ chứa tham
số trong trường hợp hàm mục tiêu là lồi theo cả hai biến và tập ràng buộc là lồi.Gần đây, tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm đã được đưa ra bởi B T Kien
và V H Nhu cho các bài toán, mà ở đó hàm mục tiêu có thể không lồi theo cả haibiến và tập ràng buộc không lồi Chú ý rằng các tác giả mới chỉ xét các bài toánđược cho bởi phương trình vi phân thường và phương trình elliptic nửa tuyến tínhvới điều khiển phân tán Từ đó, chúng ta nhận thấy cần nghiên cứu bài toán sau:(OP4) : Thiết lập các điều kiện đủ cho ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiểnbiên chứa tham số là nửa liên tục trên và liên tục
Đưa ra lời giải cho bài toán (OP4) là mục tiêu thứ ba của luận án
Tóm lại, mục tiêu của luận án là nghiên cứu các điều kiện tối ưu không cách biệt
và tính ổn định nghiệm của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic nửatuyến tính với ràng buộc hỗn hợp tại từng điểm Cụ thể, nội dung chính của luận
và chỉ ra điều kiện tối ưu không cách biệt là đạt được trong trường hợp này;
(iii) Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển phân tán và bài toánđiều khiển biên khi hàm mục tiêu độc lập với biến điều khiển u, và chỉ ra rằngđiều kiện tối ưu không cách biệt là chưa đạt được trong trường hợp này;
Trang 6(iv) Đưa ra các điều kiện đủ cho một bài toán điều khiển biên chứa tham số saocho ánh xạ nghiệm là nửa liên tục trên và liên tục theo tham số.
Ngoài lời nói đầu và danh mục các tài liệu tham khảo, luận án gồm bốn chương:
• Chương 0 trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả về giải tích biến phân,không gian Sobolev và phương trình đạo hàm riêng;
• Chương 1 trình bày kết quả về các điều kiện tối ưu không cách biệt của bàitoán điều khiển phân tán;
• Chương 2 trình bày kết quả về các điều kiện tối ưu không cách biệt của bàitoán điều khiển biên Các kết quả trong Chương 1 và Chương 2 là câu trả lờicho các bài toán (OP1), (OP2) và (OP3);
• Chương 3 trình bày các kết quả về tính nửa liên tục trên và tính liên tục củaánh xạ nghiệm cho bài toán điều khiển biên chứa tham số Đây là lời giải chobài toán (OP4)
Các kết quả chính của luận án là nội dung của ba bài báo được công bố trongcác tạp chí SIAM Journal on Optimization, Set-Valued and Variational Analysis vàOptimization
Các kết quả đó được trình bày tại:
• Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội,11-2016
• Hội nghị Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XV, Ba Vì, 04-2017
• Hội nghị Tính toán Hiệu năng cao lần thứ 7, tại Viện Nghiên cứu cao cấp vềToán (VIASM), 03-2018
• Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 08-2018
• Xê-mi-na "Tối ưu và Điều khiển" tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam
Trang 71.1 Điều kiện cần bậc hai
Cho U là không gian Banach và E là không gian Banach khả ly với các không gianđối ngẫu U∗ và E∗ tương ứng Chúng ta xét bài toán sau
(P) min
u∈U f(u) sao cho G(u) ∈ K,
ở đó, K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong E; G : U → E và f : U → R là cáchàm khả vi Frechét bậc hai trên U Kí hiệu Φad := G−1(K) là tập ràng buộc của bàitoán (P)
Định nghĩa 1.1.1 Một hàm ¯u ∈ Φad được gọi là một nghiệm tối ưu địa phươngcủa bài toán (P) nếu tồn tại ε > 0 sao cho
Trang 8Trong trường hợp này, ta nói rằng ¯u là điểm chính quy Xét hàm Lagrange của bàitoán (P):
L(u, e∗) = f(u) +he∗, G(u)i với e∗ ∈ E∗
Kí hiệu Λ(¯u) là tập gồm các nhân tử e∗ ∈ E∗ thỏa mãn
∇uL(¯u, e∗) = ∇f(¯u) +∇G(¯u)∗e∗ = 0, e∗ ∈ N(K, G(¯u))
Tập Λ(¯u) là một tập lồi, khác rỗng và compact yếu* trongE∗ Để thiết lập các điềukiện bậc hai, chúng ta cần nón tới hạn tại ¯u:
C(¯u) := {d ∈ U | h∇f(¯u), di ≤ 0, ∇G(¯u)d ∈ T[(K, G(¯u))}
Tập K được gọi là đa diện tại ¯z ∈ K nếu với bất kì v∗ ∈ N(K,z), ta có¯
T[(K,z)¯ ∩(v∗)⊥ = cl[cone(K −z)¯ ∩(v∗)⊥]
ở đó (v∗)⊥ = {v ∈ E | hv∗, vi = 0} Hơn nữa, bài toán (P) được nói là thỏa mãn điềukiện đa diện mở rộng mạnh (strongly extended polyhedricity) tại ¯u ∈ Φad nếu tập
C0(¯u) là trù mật trong C(¯u), ở đó
C0(¯u) := {d ∈ C(¯u) | ∇G(¯u)d ∈ cone(K − G(¯u))}
Bổ đề 1.1.3.1 Giả sử rằng ¯u là điểm chính quy, mà tại đó điều kiện polyhedricity
mở rộng mạnh được thỏa mãn Nếu ¯u là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán(P), thì với mỗi d ∈ C(¯u), tồn tại một nhân tử e∗ ∈ Λ(¯u) sao cho
∇2uuL(¯u, e∗)(d, d) = ∇2f(¯u)(d, d) +he∗, ∇2G(¯u)(d, d)i ≥ 0
Cặp (¯y,u) thỏa mãn các ràng buộc (1.2)–(1.3), được gọi là chấp nhận được của bài¯toán (DP) Với một cặp (¯y,u) cho trước, các kí hiệu¯ g[x], h[x], L[x], Ly[x], L[·] ,lần lượt thay thế cho g(x,y(x),¯ u(x)), h(x,¯ y(x)), L(x,¯ y(x),¯ u(x)),¯ Ly(x,y(x),¯ u(x)),¯L(·,y(·),¯ u(·)), ¯
Definition 1.1.4 Một cặp chấp nhận được (¯y,u) được gọi là một nghiệm tối ưu địa¯phương của (DP) nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi cặp chấp nhận được (y, u) thỏamãn ky −yk¯ W2,p (Ω)+ku −uk¯ Lp (Ω) ≤ , ta có
F(y, u) ≥ F(¯y,u).¯
New York.
Trang 9Chúng ta đưa ra một số giả thiết sau cho bài toán (DP).
(A1.1) L : Ω× R × R → R là một hàm Carathéodory thuộc lớp C2 đối với (y, u),L(x,0,0)∈ L1(Ω) và với mỗi M >0, tồn tại số dương kLM và hàm rM ∈ L∞(Ω) saocho
|Ly(x, y, u)|+|Lu(x, y, u)| ≤ kLM |y|+|u|p−1
(A1.2) Hàm g là liên tục và thuộc lớp C2 đối với biến thứ hai và thỏa mãn các tínhchất: g(·,0)∈ Lp(Ω) và với mọi M > 0, tồn tại hằng số Cg,M > 0 sao cho
gy(x, y) + gyy(x, y) ≤ Cg,M,
Với mỗi u ∈ Lp(Ω), phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất yu ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω)
và tồn tại hằng số C > 0 sao cho
Trang 10Vì p > N/2 nên ¯y = y(¯u) ∈ C( ¯Ω) Bởi vậy, hy[·] ∈ L∞(Ω) Do đó, với mỗi u ∈ Lp(Ω),phương trình sau có nghiệm duy nhất z ∈ W2,p(Ω)∩ W01,p(Ω):
−∆z+hy(·,y)z¯ = u trong Ω, z = 0 trên Γ
Điều này dẫn tới toán tử A := ∇yH(¯y,u) =¯ −∆ +hy(·,y) là một song ánh Bởi định¯
lý hàm ẩn, tồn tại lân cận Y0 của ¯y, lân cận U0 của ¯u và ánh xạ ζ : U0 → Y0 sao cho
H(ζ(u), u) = 0 với mọi u ∈ U0 Hơn nữa, ζ thuộc lớp C2 và đạo hàm của nó đượccho bởi công thức sau
Bổ đề 1.1.9 Giả sử ζ : U0 → Y0 là ánh xạ điều khiển-trạng thái, xác định bởi
ζ(u) = yu Khi đó, ζ thuộc lớp C2 và với mỗi u ∈ U0, v ∈ Lp(Ω), zu,v := ζ0(u)v lànghiệm duy nhất của phương trình tuyến tính hóa
Nói cách khác, ζ0(¯u) = A−1 Hơn nữa, với mọi v1, v2 ∈ Lp(Ω), zu,v1v2 := ζ00(u)(v1, v2)
là nghiệm duy nhất của phương trình
đó, từ Bổ đề 1.1.8, ta thấy rằng (¯y,u) là nghiệm tối ưu địa phương của (DP¯ ) nếu
và chỉ nếu ¯u là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán cùng dạng với bài toán(P) sau đây:
f(u) := F(ζ(u), u) → inf (1.13)
ở đó G(u) := g(·, ζ(u)) + λu Kí hiệu Φp := G−1(K) là tập ràng buộc của (1.13)–(1.14), tức là Φp = {u ∈ Lp(Ω)| G(u) ∈ K}
Định nghĩa 1.1.10 Hàm ¯u ∈ Φp được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của (1.13)–(1.14) nếu tồn tại ε > 0 sao cho
f(u) ≥ f(¯u) ∀u ∈ BU(¯u, )∩Φp
Hàm Lagrange của bài toán (1.13)–(1.14) là
L(u, e∗) = f(u)+he∗, G(u)i=
Trang 11ở đây p0 là số liên hợp của p.
Với ¯u ∈ Φp cho trước, nón tới hạn của bài toán (1.13)–(1.14) được xác định bởi
ở đó Ωa := {x ∈Ω | G(¯u)(x) = a(x)}, Ωb := {x ∈ Ω | G(¯u)(x) = b(x)}
Định lý 1.1.15 Giả sử các giả thết (A1.1)–(A1.3) được thỏa mãn và ¯ulà một nghiệmtối ưu địa phương của bài toán (1.13)–(1.14) Khi đó, tồn tại duy nhất e∗ ∈ Lp0(Ω)
và ¯φ ∈ W2,p0(Ω)∩ W01,p0(Ω) sao cho các khẳng định sau là đúng:
(i) Phương trình liên hợp:
1.2 Điều kiện đủ bậc hai
Để có được điều kiện đủ bậc hai cho bài toán ĐKTƯ elliptic, chúng ta thường sửdụng hai chuẩn khác nhau Trong mục này, thay cho việc sử dụng phương pháp haichuẩn, chúng ta khai thác cấu trúc của hàm mục tiêu để đưa ra một nón tới hạnchung của bài toán trong trường hợp p = 2, N ∈ {2,3} và hàm mục tiêu có dạng
L(x, y, u) = ϕ(x, y) +α(x)u+β(x)u2, (1.23)
ở đó ϕ : Ω× R → R là một hàm cho trước và α, β ∈ L∞(Ω)
Trong phần tiếp theo, chúng ta cần các giả thiết sau:
Trang 12(A1.1)0 Hàm ϕ : Ω× R → R là một hàm Carathéodory thuộc lớp C2 đối với biếnthứ hai, ϕ(x,0) ∈ L1(Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Kϕ,M > 0 và một hàm
ϕM ∈ L2(Ω) sao cho
∂ϕ
∂y(x, y)
≤ ϕM(x),
∂2ϕ
∂y2(x, y)
... Đặc biệt, ¯u
là nghiệm tối ưu địa phương toán (1.13)–(1.14) L2(Ω)
Từ Định lý 1.1.14 Định lý 1.2.2, đạt điều kiện tối ưu khôngcách biệt trường hợp
Tiếp theo, đưa điều. .. v2)
là nghiệm phương trình
đó, từ Bổ đề 1.1.8, ta thấy (¯y,u) nghiệm tối ưu địa phương (DP¯ )
và ¯u nghiệm tối ưu địa phương toán dạng với toán( P) sau đây:
f(u)... W01,p0(Ω) cho khẳng định sau đúng:
(i) Phương trình liên hợp:
1.2 Điều kiện đủ bậc hai
Để có điều kiện đủ bậc hai cho toán ĐKTƯ elliptic, thường sửdụng