Goïi I, J, K laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc ABC, AHB, AHC1. Chöùng minh AI vuoâng goùc JK.[r]
Trang 11 )
(
1 )
(
3
2 4
ax x x Q
ax x x P
PHÒNG GIÁO DỤC ĐỒNG XUÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2006 – 2007
Môn : Toán 9
Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Phách
Ghi bằng số Ghi bằng chữ Giám thi 1 Giám thị 2
( Thí sinh làm bài trên đề thi )
A Phần trắc nghiệm : (6 điểm)Hãy khoanh tròn chữ cái đứng ở đầu câu trả lới đúng nhất
Câu 1 : Để 22ab là số chính phương thì ab bằng:
Câu 2 : Ước chung nguyên tố của n + 8 và 2n – 5 có thể là : ( n N)
A 3 và 11 B 2 và 3 C 5 và 7 D 3 và 7 Câu 3: 4 2 34 5
x x
M đạt giá trị nhỏ nhất khi :
A x21 B x41 C x43 D Đáp án khác
Câu 4 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 42 13
x
x
A là:
Câu 5 : Cho hai đa thức
P(x) và Q(x) có nghiệm chung khi a bằng:
Câu 6: Giá trị của biểu thức A 3 182 33125 3 182 33125 là
Câu 7: Biểu thức 10 n + 18 n – 28, n N chia hết cho:
Câu 8 : Chữ số tận cùng của 2 999 là :
Câu 9 : Phân số nào sau đây tối giản n
A 2 85
n
n
B 3 59
n
n
C 142 45
n
n
D 22 3 3 2
n n n
Câu 10: Cho hai đa giác đều n - cạnh và m – cạnh có tỉ số hai góc trong của chúng là
7
5
Số cạnh của hai đa giác trên là :
A n = 6; m = 15 B n = 7; m = 30
C n = 6; m = 30 D n = 7; m = 15
Đề chính thức
Trang 2a Tính tổng : 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n1).n.(n1) ( n N)
b Chứng minh rằng: 1 41
3
1 2
1
3 3
3
n
Câu 2: Số đo diện tích một hình vuông là một số tự nhiên gồm 4 chữ số mà 2 chữ số
đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau Tìm số đo hình vuông đó
Câu 3:
a Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 4x2 – 29x + 24
b Cho xyz = 1 Chứng minh rằng: 1
1
1 1
1 1
1
x xy y yz z zx
Câu 4:
a Cho hai số x, y thoả : xy + x + y = -1 và x2y + xy2 = -12
Tính giá trị của biểu thức: M = x3 + y3
b Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2 ( ab + bc + ca )
Câu 5: Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định M là một điểm di động trên đường
chéo AC Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC Xác định vị trí của M trên
AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi I, J, K lần lượt là tâm
đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHB, AHC
1 Chứng minh AI vuông góc JK
2 Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đường tròn
BÀI LÀM :
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
Trang 3………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
Trang 4………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
Trang 5………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
………
………
………
…………
………
………
……
-HẾT -PHÒNG GIÁO DỤC ĐỒNG XUÂN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2006 – 2007 Môn : Toán 9 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
-A Phần trắc nghiệm: Từ câu 1 đến câu 8 mỗi câu 0,5 điểm Câu 1 : D Câu 2 : D Câu 3: C Câu 4 : A Câu 5 : C Câu 6 : B Câu 7 : D Câu 8 : C Câu 9 : C,D (1 điểm) Câu 10 : C (1 điểm) B Phần tự luận : Câu 1: a (1điểm) ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 2 1 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1
4 3 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n S n n S n n n n S b (1điểm) Đặt: 2 3 3 3 1
3
1 2
1
n
Trang 6Ta có:
) 1 (
).
1 (
1 1
3 n n n
n
Do đó: 2 1 12 2( ( 1)1)2 41 ( ( 1)1)2 41
n n
n n n
n
n n S
S
Vì n(n+1) – 2 < n(n+1)
Câu 2: (2,5 điểm)
Số đo diện tích của hình vuông phải tìm có dạng aabb, với a,b N và 1 a 9, 0 b
9
aabb = k2, k N, 32 k 100 ( k là cạnh hình vuông )
11(100a + b) = k2
Do đó: k2 11 k11 k = 11t
100a + b = 11 t2 với 3 t 9 (1)
a+b 11 Với a, b N, 1 a 9, 0 b 9, ta có:1 a+b 18 Từ (2) và (3) a+b = 11
9a +1 = t2
t2 – 1 = 9a (4) Suy ra : t2 – 1 9 (t+1)(t-1) 3
Vì (t+1) – (t-1) = 2
Nên t+1 và t – 1 không đồng thời chia hết cho 3
a Nếu t+1 3 thì (4) t+1 9 , mà 3 t 9
t + 1 = 9
t = 8 a = 7 b = 4 Suy ra : aabb = 7744
Nếu t – 1 3 thì (4) t – 1 9 ( Lọai) Câu 3 :
a (1điểm)
Ta có: x3 + 4 x2 – 29x + 24 = x3 - x2 +5x2 - 5x - 24x + 24
= x2(x - 1 ) + 5x(x - 1) - 24(x - 1) = ( x – 1)( x2 + 5x – 24)
= (x -1 )( x + 8 )( x – 3)
b (1,5 điểm)
Ta có : 1x 1 xy
x xyz
xy x
x yz
y x
x yz
1 1
xy x
xy xyzx
xyz xy
xy zx
z xy
xy zx
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
xy xy
x
x xy
x zx z yz y xy x
Câu 4:
a (1,5 điểm)
Trang 7C D
(a - b ) ( ) ( ) 0 2
1
) a 2 ( ) c 2 ( ) b 2 (a 2
1 bc -ac -ab -c b a
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
a c c b
ca c
bc b ab
) (
2
2 2 2
2 2 2
ca bc ab c
b a
bc ca c b
a c
ab cb b a
c b
ac ab a c
b a
Ta có:
(
1 ) (
y x xy
y x xy
Đặt xy = a và b = x + y a+ b = -1 ; ab = -12
a = -b – 1 b(-b -1) = -12
b2 + b -12 = 0
4 3
3 4
a b
a b
*Với
4 3 4 3
y x xy b a
P = x3 + y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) = (-4)3 – 3.3(-4) = -28
*Với
3 4 3
4
y x xy b
a
P = x3 + y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) = 33 – 3(-4).3 = 27 +36 = 63
b (1,5 điểm)
Xét :
Nên : a2 + b2+ c2 ab +bc + ca
Ta cần chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Theo tính chất ba cạnh trong tam giác ta có:
Câu 5: (2 điểm)
Đặt AE = x, CF = y MF = CF = BE = y
x + y = a
DEF = SABCD – SDAE – SDCF - SBEF A B
2 2
2 ) ( 2
2 2 2
2
2
2
xy
a
xy y x a
a
xy ay ax
a
Ta có: SDEF nhỏ nhất xy lờn nhất
xy
4
) 2 (
2
2 a y x
max (xy) =
4
2
a khi x = y = a2 Lúc đó, điểm M là trung điểm của AC:
min SDEF =
8
3 4
2
1 2
2 2
a
1 Xét AEK, góc ngoài AEB = KAC + ACB
Ta có : BAE = BAH + KAH
Mà : KAC = KAH ; ACB = BAH
AEB = BAE
Tam giác ABE cân tại B có BJ là tia phân giác
K
E
F M
Trang 82, Cộng góc, ta suy ra : IKJ = CBI CBJ + JKC = 1800
Tứ giác BJKC nội tiếp