de cuong on tap hki toan 11 «n tëp häc k× i líp 11 «n tëp häc k× i a phần đại số ch­¬ng i hµm sè l­îng gi¸c i hµm sè l­îng gi¸c c¸c d¹ng bµi tëp c¬ b¶n 1 d¹ng 1 t×m tx§ cña hµm sè l­îng gi¸c ph­¬ng

2) Một lô hàng gồm 5 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm giả. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng.. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Lấy [r]

ôn tập học kì i

A PHẦN ĐẠI SỐ :

Chơng I: Hàm số lợng giác

I Hàm số lợng giác:

Các dạng bài tập cơ bản

1 Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lợng giác

* Phơng pháp giải: Sử dụng tính chất:

- Các hàm số ysin ,x ycosx xác định với mọi x  

2

x k k  

- Hàm số: ycotx xác định với mọi x k k ,  

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số:

1 sin

4

y

x 





Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số:

y

x







Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1)

1

y

x



2

x

y 

3)

2 sin

2

x y

x





1 cos

1

y

x



2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số yf x 

:

Định nghĩa: Cho hàm sốyf x 

có TXD là: D

* Hàm số f x 

x D x D

f x



 





(D là tập đối xứng)

f -x

* Hàm số f x 

x D x D

f x



 





(D là tập đối xứng)

f -x

* Ph ơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm TXĐ D của hàm số

 Nếu D không là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số yf x 

không chẵn, không lẻ

 Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp bớc 2:

Bớc 2: Với mọi x D , nếu

 Nếu f x f x 

thì hàm số yf x 

là hàm chẵn

 Nếu f x  f x 

thì hàm số yf x 

là hàm lẻ

 Nếu f x f x 

thì hàm số yf x 

là hàm không chẵn, không lẻ

u ý tính chất:

*  x : sinx  sinx

*  x : cosx cosx

*

 

2

*  x \k k,  : cotx  cotx

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: ysin 3x

Vậy hàm số là hàm số lẻ

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

4) yxsinx

5) y 1 cos x 6) y x  sinx

3 Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lợng giác:

* Phơng pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lợng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về

một biểu thức tối giản và lu ý rằng:

1) Hàm số ysin ,x ycosx có chu kì T 2

2) Hàm số ytan ,x ycotx có chu kì T  .

3) Hàm số ysinax b y , cosax b 

với a 0 có chu kì

2

T a





4) Hàm số ytanax b y , cotax b 

với a 0 có chu kì T a





5) Hàm số f1

có chu kì T1

, hàm số f2

có chu kì T2

thì hàm số f f1 f2

có chu kì

 1, 2

T BCNN T T

Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số

3 1 cos 2

2 2

y  x

Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau:

* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Phơng pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lợng giác

Chú ý: * Hàm số ysin ,x ycosx có TGT là: 1;1

* Hàm số ytan ,x ycotx có TGT là: 

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 3 1 cos x

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1) y 3 2 sinx

2)

3

y x x  

II Phơng trình lợng giác

1 Ph ơng trình l ợng giác cơ bản

* Dạng 1: sin x a  a 1

nghiệm tổng quát:

;

k













Đặc biệt:

2

2



 







Tổng quát:

       

   

2

2

f x g x k

f x g x k









* Dạng 2: cos xa  a 1

nghiệm tổng quát: xarccosa k 2 ; k 

Đặc biệt: cosxcos  x  k2 ; k  Tổng quát: cos f x cosg x   f x g x k2 ; k 

* Dạng 3: tan x a x 2 k k;





Đặc biệt: tanxtan  x  k k;   Tổng quát: tan f x tang x  f x g x k k;  

* Dạng 4: cot x a x k k ;  nghiệm tổng quát: x  k k;  

Đặc biệt: cotxcot  x  k k;   Tổng quát: cot f x  cotg x  f x g x k k;  

Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau:

1)

1 cos 2

2

x 

4) tan 3xcotx 5)

1 cot



Bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:

4)

4

x x 

2



2 Ph ơng trình bậc hai đối với một hàm số l ợng giác.

* Định nghĩa: Là phơng trình có dạng at2bt c 0a0

trong đó t là một trong bốn hàm số lợng giác: sin , cos , tan , cotx x x x

* Cách giải:

Bớc 1: Đặt t bằng hàm số lợng giác có trong phơng trình;

Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;

Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mãn điều kiện);

Bớc 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phơng trình lợng giác cơ bản  nghiệm x

Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau:

1) 2cos2x 5cosx 3 0 2) 1 5sin x2cos2 x0

3) 3 cot2x 4cotx 3 0 4) 2

3

(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lợng giác nh là một ẩn nh ví dụ này)

Bài 1: Giải các phơng trình sau

1) cos 2xsin2x2cosx 1 0 2) cos 2x5sinx 2 0

Bài 2: (Các phơng trình đa về phơng trình bậc nhất, bậc hai) Giải các phơng trình

1) cos cos 2x x 1 sin sin 2x x 2) 4sin cos cos 2x x x 1

3) sin 7x sin 3xcos5x 4) cos2 x sin2xsin 3xcos 4x

5)

23

2

x

x x

6)

1

4

7)

2

x x x

8) 3cos2 x 2sinx 2 0 9) sin6xcos6x4cos 22 x 10) 2 tanx 3cotx 2 0

11) cos 3xcos 2xcosxsin 3xsin 2xsinx

3 Ph ơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x:

* Dạng phơng trình: sina x b cosx c a b c ( , , 0) (*)

* Cách giải:

Cách 1:

Chia hai vế của phơng trình cho a2 b2 ta đợc phơng trình:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Vì:

Nên ta đặt

2 2

2 2

cos sin

a

a b b

a b



















a b



a b



 là phơng trình lợng giác cơ bản đã biết cách giải!

Chú ý: Điều kiện đề phơng trình có nghiệm là: a2 b2 c2

Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt

a

  (Tự làm) Cách 3: Sử dụng công thức tính sin , cosx x theo tan2

x

t 

(tự làm)

Ví dụ: Giải các phơng trình sau:

Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau:

1) 3sinx 4 cosx1 2) 2 sinx 2cosx 2

4 Ph ơng trình thuần nhất đối với sin x và cos x:

* Dạng phơng trình: asin2x b sin cosx x c cos2x0 (*)

* Cách giải:

Cách 1:

Bớc 1: Nhận xét cosx 0 hay x 2 k k,





không là nghiệm của phơng trình;

Bớc 2: Chia cả hai vế của phơng trình cho cos2x  ta đợc phơng trình”0

2

a x b x c  Bớc 3: Giải phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đa về phơng trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x (Học

sinh tự giải cách này)

Chú ý: Nếu phơng trình có dạng tổng quát:

Ta biến đổi nh sau: (**)

a dsin2x bsin cosx x c dcos2x 0

Đây là phơng trình có dạng (*)

Ví dụ: Giải các phơng trình:

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2x0

2) 2sin2x 5sin cosx x cos2x2

Bài tập : Giải các phơng trình sau

1) 4sin2x3 3 sin 2x 2cos2x 4) 4 cos2x2sin cosx x5sin2x2

2) 2sin2x3cos2 x5sin cosx x 5) 2cos2x 3sin 2xsin2x1

3) sin2x 3sin cosx x1

5 Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

* Dạng phơng trình: asinxcosxbsin cosx x c

* Cách giải:

Đặt

4

t  x x x 

2

2

t

2

2

1

2

t

at b   c bt  at b c  Giải phơng trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phơng trình :

t

Ví dụ: Giải phơng trình : 3 sin xcosx4sin cosx x 3 0

Bài tập tự giải:

1) sinxcosx 2sin cosx x 1 0

2) 3 sin xcosx 4sin cosx x0

6 Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

* Dạng phơng trình: asinx cosxbsin cosx x c

* Cách giải:

Đặt

4

t  x x x  

2

2

t

2

2

1

2

t

at b   c bt  at b c  Giải phơng trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phơng trình :

t

Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau:

1) 6 sin x cosxsin cosx x 6 0

4) sinx cosx 4sin 2x1 2) sin3x cos3x1 6) 1 cos x 1 sin x 2

3) 3 sin x cosx 4sin cosx x 3 0

7) 3 sin xcosx2sin cosx x 3 0

đại số tổ hợp

I, Quy tắc cộng:

1, Nếu có 8 đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý hỏi học sinh có bao nhiêu cách mợn một quyển sách từ th viện

2, Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lúc lắc, nớng mỡ chài, nớng lá cách có 3 món gà:xối mỡ, quay

tứ xuyên, rút xơng và 2 món cua : rang muối , rang me Hỏi nhà văn Vơng Hà có mấy cách gọi món lai rai

II, Quy tắc nhân.

1, Một bé có thể mang họ cha là Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ đệm có thể là Văn, Hữu, Hồng, Bích, hoặc

Đình, Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, TRí, Đức, Ngọc hoặc Dũng Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé

2, Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho nam và nữ

đứng xen nhau

3, Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?

4, Có bao nhiêu số có thể lập từ các chữ số: 2, 4, 6, 8 nếu

a, Số đó nằm từ 200 đến 600

b, Số đó gồm 3 chữ số khác nhau

c, Số đó gồm 3 chữ số

III, Hoán vị

1, Giải pt:

2

2, Giải bất pt:

( 2)!

n

n



3, Liệt kê tất cả các hoán vị của {a,b,c}

4, Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f}

5, Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} với phần tử cuối cùng là a

6, Có 6 ứng cử viên chức thống đốc bang Tính số cách in tên ứng cử viên lên phiếu bầu cử

7, Có bao nhiêu cách xắp xếp 6 ngời ngồi xung quanh một bàn tròn "hai cách gọi là nh nhau nếu cách này xoay bàn đi ta đợc cách kia"

IV Chỉnh hợp:

1, Tính giá trị:

2, Giải pt:

2

a A   A b A  A  n 

3, Giải bất pt:

4, Tìm miền giá trị của hàm số:

7 3

x

f x A





5, a, Tìm x thoả mãn:

8

A  A  A

b, Từ các chữ số 1,2,5,7,8 lập đợc bao nhiêu số tự nhiêncó 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276

6, Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên

7, Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì, ba trong cuộc đua có 12 con ngựa

8, Có 100 vé đánh số từ 1 tới 100 đợc bán cho 100 ngời khác nhau Ngời ta sẽ trao 4 giải thởng kể cả giải

độc đắc Hỏi

a Có bao nhiêu cách trao giải thởng

b Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng giải độc đắc?

c Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng một trong các giải?

d Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 không trúng giải?

V Tổ hợp.

1 Cho tập S = {1, 2, 3, 4, 5}

a Liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của S

b Liệt kê các tổ hợp chập 3 của S

2 Tính giá trị:

3 Chứng minh rằng:

C C  C  C  C  C 

4 CMR:

50 100

10

5 CMR

2 2



6 Giải pt:

7

2

x

x



Xác suất có điều kiện

1 Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cựng một phộp thử.

Xỏc suất cú điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đó xảy ra, kớ hiệu là P(B/A) với

P(A) > 0 là

 

P AB P(B / A)

P(A)



*Cụng thức cộng xỏc suất

P(A B) P(A) P(B) P(AB)   

*Cụng thức nhõn xỏc suất

P(AB) P(A)P(B / A)

P(ABC) P(A)P(B / A)P(C / AB)





Mở rộng cho tích n biến cố:

P(A A A ) P(A )P(A / A ) P(A / A A A ) 

*Tính chất

P(B / A) 1 P(B / A) 

P(B / A) P(B)

P(AB) P(A)P(B)

2 Các ví dụ:

2.1 Ví dụ 1: Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không bỏ vào

lại), rồi lần 2 một viên bi Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng

2.2 Ví dụ 2: Trong một kì thi Thí sinh được phép thi 3 lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9

Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu

2.3 Ví dụ 3: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng

thưởng xe FORD” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng

2.4 Ví dụ 4: Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần xuất hiện

mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9?

2.5 Ví dụ 5: Có hai hộp: (I) và (II) Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4 bi vàng

Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi Tính xác suất để lấy được bi đỏ

2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có 3 bi trắng và 7 bi đỏ,lấy lần lượt mỗi lần một viên và không trả lại,hãy tính:

a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng Nhận xét:Trong bài toán nêu trên nếu ta gọi A là biến cố:viên bi lấy lần thứ nhất màu đỏ,B là biến cố:viên

bi lấy lần thứ hai màu đỏ thì xác suất ở câu a là P(B / A) và xác suất ở câu b là P(B / A)

2.7 Ví dụ 7: Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiên một bi,rồi

lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”

2.8 Ví dụ 8: Một con súc sắc cân đối, đồng chất được gieo 4 lần Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6

chấm Hãy tính xác suất để có ít nhất hai lần xuất hiện mặt 6 chấm

III.Bài tập đề nghị

1)Trong một lô sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong đó có 60% sản phẩm loại một.ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô sản phẩm này.Tính xác suất để lấy được sản phẩm loại một

2) Một lô hàng gồm 5 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm giả Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 1;2;3;4

3) Cĩ hai hộp bút: hộp I cĩ 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II cĩ 8 bút đỏ và 4 bút xanh Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút Tính xác suất để cĩ 1 bút xanh và 1 bút đỏ

4) Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6 Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần

5) Trong thùng cĩ 30 bi: 20 bi trắng và 10 bi đen Lấy liên tiếp 4 bi trong đĩ mỗi bi lấy ra đều hồn lại trước khi lấy bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra cĩ 2 bi trắng 6) Xác suất xuất hiện biến cố A là 0,4 Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố xuất hiện khơng quá 3 lần

NhÞ thøc newton

Bài 1: Tìm hệ số của x6 trong khai triển (− 2 x +1

x2)12

Bài 2: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức (2x −

4

x)5

Bài 3: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển (x❑2 + 1x)❑12

Bài 4: Biết hệ số của x trong khai triển của 2 (1 3x) n là 90 Hãy tìm n

Bµi 1: T×m CSC biÕt:

a Gåm 4 sè h¹ng: Tỉng cđa chĩng b»ng 4; tỉng c¸c b×nh ph¬ng cđa chĩng b»ng 24

b Gåm 5 sè h¹ng: Tỉng cđa chĩng b»ng 5; tÝch cđa chĩng b»ng 45

c

23 17

2 2

17 23

30 450







2 Cho cÊp sè céng biÕt

a

7 3

7 2

8

u u







2 3 5

1 6

10 17





9 6

3 11

29

u u







 T×m CSC vµ tÝnh u15; S34

3 TÝnh sè h¹ng ®Çu u1 vµ c«ng sai d cđa cÊp sè céng   un

, biÕt:

a

1 5

4

14

S







4 7

10 19

u u











3 T×m CSC cã 8 sè h¹ng biÕt tỉng c¸c sè h¹ng b»ng 44 vµ hiƯu gi÷a sè h¹ng cuèi vµ ®Çu b»ng 21

4 Cho CSN biÕt u1=-3; q=-2 Sè -768 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu?

5 T×m CSN gåm 5 sè h¹ng biÕt:T×m sè h¹ng ®Çu vµ c«ng béi cđa CSN, biÕt:

a

3

5

3

27

u

u









4 2

3 1

25 50





4 2

5 3

72 144







6 T×m CSN biÕt:

a

1 4

3 2

27

u u







1 3 5

7 1

65 325





1 2 3 4

5 6 7 8

30 480







1 CÊp sè céng   un

cã S 6 18 vµ S 10 110

a LËp c«ng thøc sè h¹ng tỉng qu¸t un

b TÝnh S20

2 TÝnh sè c¸c sè h¹ng cđa cÊp sè céng   an

, nÕu:

2 2

42

n n







B PHẦN HÌNH HỌC :

PHÉP BIẾN HÌNH : Bài 1 :Trong mặt phẳng Oxy, cho M(1;- 2) và đường thẳng d cĩ phương trình x-3y+5=0 Tìm ảnh của M

và d

a) Qua phép tịnh tiến theo v



=(-2;1)

b) Qua phép đối xứng trục Ox

c) Qua phép đối xứng tâm O

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) cĩ phương trình x2+y2-6x+6y-7=0

a) Tìm ảnh của (C) qua phép quay tâm O gĩc quay 900?

b) Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O gĩc 900 và phép đối xứng trục Oy ?

Bài 3: Cho hình vuơng ABCD, tâm O Vẽ hình vuơng AOBE

b) Tìm ảnh của hình vuơng AOBE qua phép đồng dạng cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm A gĩc quay -450 và phép vị tự tâm A tỉ số

DA

OA ?

Bài 4:Trong mặt phẳng Oxy, cho N(2;- 2) và đường thẳng d cĩ phương trình -x+2y-2=0 Tìm ảnh của M

và d

a) Qua phép tịnh tiến theo v



=(-2;1)

b) Qua phép quay tâm O gĩc quay 900

c) Qua phép đối xứng tâm O

Bài 5:Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) cĩ phương trình x2+y2-4x+4y-1=0

a) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy?

b) Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép qua phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O tỉ số -2?

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O Gọi E,F,G,H,I,J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,

AD, AH, OG

a) Tìm ảnh của hình thang AIOE qua phép tịnh tiến theo véctơ AO ?

b) Tìm ảnh của hình thang AIOE qua phép dời hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véctơ AO và phép đối xứng qua đường trung trực của OG ?

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:

*Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ta cần :

+ Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng

+ 2 mặt phẳng lần lượt chứa 2 đường thẳng song song ta tìm 1 điểm chung giao tuyến là đường thẳng

Đi qua điểm chung và song song với 2 đường thẳng ấy