Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần.... Lấy liên tiếp 4 bi trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại trước khi lấy bi tiếp th[r]
Trang 1ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 1 Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi
kề nhau Hỏi có bao nhiêu cách
ĐS : 144
Bài 2 Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Tính số cạnh của đa giác đều đó.
ĐS : n = 7
Bài 3 Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau
ĐS : 192
Bài 4 Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho
trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2
ĐS : 282
Bài 5 Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau,
nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua) Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên
ĐS: 144
Bài 6 Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp
đường tròn tâm O
ĐS : 45
Bài 7 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và
5 em khối 10 Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn
ĐS: C186-C136 −(C126 −C76)−(C116 −C66)
Bài 8 Cho tập hợp X gồm 100 phần tử khác nhau Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn
các phần tử của X
ĐS : 299 -1
Bài 9 Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng Tính số cách chọn 4
viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu
ĐS : 645
Bài 10 Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1
trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải
ĐS: 46 +20491 = 25091
Bài 11 Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2
lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần
ĐS: 1260
Bài 12 Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được thành
lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ĐS:2280
Bài 13 Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C
chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn
ĐS : 51861950
Bài 14 Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn
ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh Tính số cách chọn
ĐS: 624
Bài 15 Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0.
Trang 2ĐS: 32
Bài 16 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4
học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên
ĐS: 225
Bài 17 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn
25000 Tính số các số lập được
ĐS: 360
Bài 18 Tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số
tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số k{1,2, ,n} sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất
ĐS: k = 9
B XÁC SUẤT
2.1 Ví dụ 1: Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không bỏ
vào lại), rồi lần 2 một viên bi Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng
3
P(A)
5
Lời giải:
Gọi A là biến cố lấy một bi xanh lần thứ nhất thì
Gọi B là biến cố lấy một bi trắng lần thứ hai
2
P(B / A)
4
Gọi C là biến cố lấy lần 1 một viên bi xanh, lần 2 một viên bi trắng Nếu A đã xảy ra thì trong bình chỉ còn 2 bi xanh, 2 bi trắng Khi đó
Mà C AB Do đó theo công thức nhân ta có:
3 1 3 P(C) P(AB) P(A)P(B / A)
5 2 10
2.2 Ví dụ 2: Trong một kì thi Thí sinh được phép thi 3 lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9
Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua
kì thi ở lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu
Lời giải
Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đâu lần thứ i (i = 1;2;3)
Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu
Ta có: B A 1(A A ) (A A A )1 2 1 2 3
Suy ra: P(B) P(A ) P(A A ) P(A A A ) 1 1 2 1 2 3
Trong đó:
1
P(A ) 0,9 P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7 P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3
Vậy: P(B) 0,9 0,1.0, 7 0,1.0,3.0,3 0,979
2.3 Ví dụ 3: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng
thưởng xe FORD” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng
Lời giải :
Gọi A là biến cố nắp khoen đầu trúng thưởng
B là biến cố nắp khoen thứ hai trúng thưởng
2
P(A)
20
C là biến cố cả 2 nắp đều trúng thưởng
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng
Trang 3Do đó: P B / A 1
19
Từ đó ta có: P(C) = P(A) P(B/A) =
0,0053
20 19 190 Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là 0,0053
GV: Trần Thị Thu Thanh:
2.4 Ví dụ 4: Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần xuất hiện
mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9?
Lời giải
Giả sử số lần gieo là n
Gọi Aj là biến cố gieo một lần thứ j được mặt 6 (1 j n)
Gọi A là biến cố có ít nhất một lần gieo được mặt 6
Theo yêu cầu bài toán: P(A) 0,9
1 2 n
n
n
A A A A
P(A) P(A ).P(A ) P(A )
Ta có:
Do đó:
n
5
6
Vậy ta phải gieo ít nhất 13 lần
2.5 Ví dụ 5: Có hai hộp: (I) và (II) Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4 bi
vàng Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi Tính xác suất để lấy được bi đỏ
Lời giải:
Gọi A là biến cố chọn được hộp (I)
B là biến cố chon được hộp (II)
H là biến cố chọn được bi đỏ ở hộp (I) hoặc hộp (II)
Cần tính: P(C) P((AH) (BH))
Suy ra: P(C) P(AH) P(BH) P(A).P(H / A) P(B).P(H / B)
Trong đó:
P(A) ; P(B)
1 4 1 6 47
P(H / A) ; P(H / B)
Vậy xác suất cần tìm là
47 90
2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có 3 bi trắng và 7 bi đỏ,lấy lần lượt mỗi lần một viên và không trả lại,hãy
tính:
a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng
(vì A , A , , A1 2 3 độc lập nhau)
n lần
Trang 4Lời giải.
a)Nếu viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ thì trong hộp còn lại 9 viên:trong đó có 3 bi trắng và 6 bi đỏ
Vậy xác suất cần tính là
6 2
9 3 b)Nếu đã biết viên bi lấy lần thứ nhất màu trắng,thế thì trong hộp còn lại 9 viên,gồm hai viên bi trắng và 7 bi đỏ
Vậy xác suất cần tính là
7 9 Nhận xét:Trong bài toán nêu trên nếu ta gọi A là biến cố:viên bi lấy lần thứ nhất màu đỏ,B là biến cố:viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ thì xác suất ở câu a là P(B / A) và xác suất ở câu b là P(B / A)
2.7 Ví dụ 7: Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiên một
bi,rồi lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”
Lời giải.
Gọi A là biến cố “lấy lần thứ nhất được bi xanh”
B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi xanh”
Vì B chỉ xảy ra cùng với A hoặc A ,nên C (BA) (BA)
Cần tính: P(C) P((BA) (BA))
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:
P( C)=P(A) P(B / A) +P( A ) P(B / A)
Do P(A)=
3
8 ,P( A )=
5
8 , P(B / A) =
5
7 , P(B / A) =
4 7 Suy ra
3 5 5 4 5 P(C)
8 7 8 7 8
2.8 Ví dụ 8: Một con súc sắc cân đối, đồng chất được gieo 4 lần Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm.
Hãy tính xác suất để có ít nhất hai lần xuất hiện mặt 6 chấm
Lời giải:
Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:
2 1
4
3 4 4 4 4
1 1 5 P(X 2) C
6 6 6
1 1 1 5 P(X 3) C
6 6 6 6 1
6
Vậy xác suất cần tính là:
III.Bài tập đề nghị
1)Trong một lô sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong đó có 60% sản phẩm loại một.ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô sản phẩm này.Tính xác suất để lấy được sản phẩm loại một
2) Một lô hàng gồm 5 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm giả Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 1;2;3;4
3) Có hai hộp bút: hộp I có 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh Chọn ngẫu nhiên
từ mỗi hộp ra một bút Tính xác suất để có 1 bút xanh và 1 bút đỏ
4) Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6 Tính xác suất
để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần
Trang 55) Trong thùng có 30 bi: 20 bi trắng và 10 bi đen Lấy liên tiếp 4 bi trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại trước khi lấy bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng 6) Xác suất xuất hiện biến cố A là 0,4 Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố xuất hiện không quá
3 lần
7) Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh cho bệnh nhân là 0,8 Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa bệnh thì có chắc chắn 8 người khỏi bệnh Điều đó có đúng không?
GV: Trần Thị Thu Thanh: