C¸c tiÕt luyÖn tËp viÖc gi¶i bµi tËp cña häc sinh vµ viÖc ch÷a bµi tËp cña gi¸o viªn trªn líp ®ang dõng l¹i ë viÖc t×m ra lêi gi¶i , viÖc lµm nµy kh«ng qu¸ khã... Yªu cÇu chøng minh hai[r]
Trang 1“Phơng pháp tìm lời giải các bài toán chứng minh hình học”
I Nhận thức cũ và tình trạng cũ:
Việc dạy tốt học tốt môn toán trong nhà trờng THCS là hết sức quan trọng, là cơ sở,
là tiền đề để giúp học sinh học tốt các môn học khác Đồng thời là nền móng vững chắc để học sinh tiếp tục học tốt môn toán ở các lớp trên Dạy tốt và học tốt môn toán giúp học sinh có phơng pháp tự học, tự tìm tòi có phơng pháp học tốt các môn học khác Để giúp học sinh học tốt môn hình học thì: Việc phát triển năng lực t duy cho các em tìm lời giảI các bài toán chứng minh hình học là rất cần thiết Nhiều học sinh khi gặp bài toán chứng minh hình học còn lúng túng không biết xuất phát từ đâu, suy nghĩ nh thế nào để tìm ra lời giải và trình bày đúng lời giảI của một bài toán chứng minh hình học
Các tiết luyện tập việc giải bài tập của học sinh và việc chữa bài tập của giáo viên trên lớp đang dừng lại ở việc tìm ra lời giải , việc làm này không quá khó Nếu một tiết chữa bài tập nh thế thì giáo viên đã dẫn học sinh đến thế bị động , phụ thuộc vào lời giải của thầy khi tự giải bài tập học sinh sẽ máy móc thiếu sáng tạo Một tiết chữa bài tập nh vậy giáo viên sẽ không khơi dậy đợc óc tò mò , sự sáng tạo , bản chất tò mò ham khám phá của học sinh Việc dạy và học môn toán nh vậy trở nên nhạt nhẽo gây ra sự mệt mỏi của học sinh
II Nhận thức mới và những giải pháp mới:
Vậy để bớc đầu giúp các em biết đặc biệt hoá, khái quát hoá để khai thác sâu hơn, từ đó đa ra những bài toán mới là một yêu cầu cần thiết của ngời giáo viên dạy toán gúp các em phát triển t duy sáng tạo trong học tập
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm chúng tôI rút ra một số kinh nghiệm về
“Phơng pháp tìm lời giải các bài toán chứng minh hình học” Với những ví dụ cụ thể sau giúp học sinh từng bớc hoàn thành các kỹ năng :
- Tìm hiểu đề bài, suy nghĩ tìm tòi lời giải, trình bày lời giải
- Tập khai thác bài toán và tập đề xuất bài toán mới
Bài toán 1 : Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến
thay đổi qua A cắt hai đờng tròn tại M và N Chứng minh rằng khi MN quay quanh
A thì :
Câu a: Góc MBN không đổi.
Câu b: Góc MPN không đổi ,
(P là giao điểm của OM và O’N)
* Tìm hiểu đề bài:
Bài toán cho hai đờng tròn cắt nhau
ở Avà B và một cát tuyến MAN thay
đổi qua A
yêu cầu chứng minh hai góc có giá trị không
đổi khi cát tuyến quay quanh A
* Cách tìm lời giải :
a) Chứng minh BMN và BNM không đổi từ đó suy ra MBN không đổi b) Chứng minh MPN luôn bằng OAO’ không đổi
* Cách giải:
a) Xét tam giác BMN có BMN và BNM là những góc nội tiếp của hai đờng tròn (O) và (O’) chắn cung AmB và cung AnB cố định nên chúng có giá trị không đổi suy ra MBN của tam giác BMN không đổi (vì tổng ba góc bằng 1800)
3 1
A
B
N M
O
O '
P
Trang 2Mà OAO’ = 1800 – (A1 + A3) Từ đó suy ra MPN = OAO’ không đổi
* Khai thác bài toán :
Có thể đặt thêm câu hỏi sau:
Câu c: Chứng minh rằng bốn điểm O; P; B; O’ cùng nằm trên một đờng tròn Câu d: Nếu góc P = 900 Hãy tính OO’ theo các bán kính R và r
Bài toán 2: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và N Qua M ta kẻ hai
cát tuyến AB và CD sao cho MN là phân giác của góc CMB
Chứng minh rằng AB = CD
* Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho (O) và (O’) cắt nhau
và hai cát tuyến AB và CD ; qua
giao điểm M và CMN = NMB
Yêu cầu chứng minh hai cát tuyến bằng nhau
* Cách tìm lời giải:
Do MN là phân giác của CMB nên M1 = M2 Xét các cặp góc nội tiếp bằng nhau MAN = MCN và MDN = MBN Suy ra : ANB = CND
Sau đó chứng minh ΔANC ANC cân và ΔANC ANB = ΔANC CND để có AB = CD
* Cách giải:
Ta có : MAN = MCN (hai góc nội tiếp chắn cung MN trong (O))
MDN = MBN (hai góc nội tiếp chắn cung MN trong (O’))
ANB = CND Mặt khác : AMN + CAN = 1800 (vì AMNC nội tiếp)
M2 = CAN = M1 = CAN Vậy ΔANC CNA cân NA = NC
ΔANC ANB = ΔANC CND AB = CD
* Khai thác bài toán :
Câu1: Vẫn giữ nguyên hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và N nhng thêm
điều kiện sau: OM và ON là hai tiếp tuyến với đờng tròn (O’) ; OO’ cắt cung MN tại P nằm trong (O’) mà MP và NP cắt (O’) theo thứ tự tại M’ ; N’
Chứng minh ba điểm M’ ; O’ ; N’ thẳng hàng
Câu 2: Với bài toán trên ta có thể chứng minh điều ngợc lại : Cho hai cát tuyến AB
và CD bằng nhau Chứng minh MN là phân giác của góc CMB
Bài toán 3: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ A vẽ dây AE bất kỳ rồi vẽ các
tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và E cắt nhau ở G
a) Chứng minh rằng : OG // AE và AOE = EGB
b) Suy ra cách dựng tứ giác ABGE có AB = 3 cm và BGE = 500
* Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho (O) đờng kính AB dây AE
bất kỳ và hai tiếp tuyến tại B và E cắt
nhau ở G Yêu cầu chứng minh hai đoạn
thẳng song song và hai góc bằng nhau
từ đó suy ra cách dựng một tứ giác biết
một cạnh là AB và một góc không kề
2 1
D
B
C
A
N
M
1 2 1
G
A
E
Trang 3* Cách tìm lời giải:
a) Chứng minh hai góc đồng vị A1 = O2 Suy ra OG // AE
Chứng minh AOE = EGB Vì có cạnh tơng ứng vuông góc
b) Dựng tam giác OAE có cạnh AO = 1,5 cm và góc AOE = 500
Dựng các tiếp tuyến tại B và E cắt nhau tại G
* Cách giải:
a) Ta có : O1 = O2 (vì ΔANC OGE = ΔANC OGB) Mà A1 = 1/2EOB
A1 = O2 OG // AE Do đó GE và BG là tiếp tuyến
Suy ra B = E = 900 Suy ra AOE = EGB
b) Dựng đờng tròn tâm O đờng kính AB = 3 cm
Dựng tam giác AOE biết OA = 1/2AB = 1,5 cm và AOE = 500 Từ E và B dựng các đờng vuông góc với OB và OE cắt nhau tại G
Tứ giác ABGE thoả mãn vì AOE = EGB = 500
Bài toán có một nghiệm hình
* Khai thác bài toán :
Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau:
c) Xác định vị trí của E trên (O) sao cho tứ giác AOGE là hình bình hành Khi đó
tứ giác EOBG là hình gì ?
d) Tính chu vi của hình bình hành AOGE và của tứ giác EOBG , theo bán kính R của (O)
Bài toán 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính DE Điểm G trên (O) và điểm H trên
OE Kẻ HI vuông góc với DG và phân giác góc GDE cắt đờng tròn (O) tại K; cắt
IH tại L GL cắt (O) tại M
a) Chứng minh : IH // GE
b) Chứng minh : IHD = GMD
* Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho (O) đờng kính DE và hai
điểm G (O) ; H DE với HI vuông
góc với DG Gọi K và L theo thứ tự là
giao điểm của phân giác góc GDE
với (O) và IH Gọi M là giao điểm
của GL với (O) Yêu cầu chứng minh
hai đoạn thẳng song song và hai góc bằng nhau
* Cách tìm lời giải:
a) Chứng minh hai đờng thẳng EG và HI cùng vuông góc với DG
Suy ra OG // AE
b) Để chứng minh H1 = M2 Ta chứng minh H1 = E ; M2 = E
* Cách giải:
a) Ta có : DGE = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
Mà IH DG (gt) Suy ra HI // GE (vì GE và HI cùng vuông góc với DG) b) HI //GE E = H1 (cặp góc đồng vị)
mà E = M2 (góc nội tiếp cùng chắn cung DG)
H1 = M2 Tức là IHD = GMD
L
1
2 1
2 1 H O
E D
M I
Trang 4* Khai thác bài toán :
Có thể đặt thêm câu hỏi sau :
c) Chứng minh 4 điểm D ; L ; H ; M nằm trên một đờng tròn
d) Chứng minh 3 điểm H ; K ; M thẳng hàng
HD: c) Do H1 = M2 ( câu b) nên H và M nhìn DL dới một góc bằng nhau
Suy ra 4 điểm D ; L ; H ; M nằm trên một đờng tròn
d) GMH = D2 (1) (Góc nội tiếp cùng chắn cung LH)
Mặt khác : GMK = D1 (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung GK)
Từ (1) và (2) suy ra : GMK = GMH
Vậy 3 điểm H ; K ; M thẳng hàng
Bài toán 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O và H là giao điểm của hai
đờng cao AA’ và BB’
a) Chứng minh rằng : CA’ CB = CB’ CA
b) AA’ kéo dài cắt đờng tròn (O) tại H’ Chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua cạnh BC Từ đó rút ra nhận xét điểm H’ thuộc đờng nào
* Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho tam giác ABC nội tiếp đờng
tròn tâm O và trực tâm H Yêu cầu
chứng minh một hệ thức và hai điểm
H và H’ đối xứng nhau qua cạnh BC,
từ đó rút ra nhận xét
* Cách tìm lời giải:
a) Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng CA’A và CB’B
b) Chứng minh BA’ là phân giác góc HBB’ và tam giác HBH’ cân tại B Từ đó suy
ra H và H’ đối xứng qua BC
Nhận xét : Điểm H’ đối xứng của H qua cạnh BC nằm trên (O)
* Cách giải:
a) Ta có : A1 = B1 (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Xét hai tam giác vuông CA’A và CB’B có : A1 = B1 ; A’ = B’
CA’A CB’B
CA '
CA =
CB'
CB hay CA’ CB = CB’ CA
b) A1 = B2 (cùng chắn cung H’C)
mà A1 = B1 B1 = B2 BHH’ có phân giác BA’ vừa là đờng cao nên BHH’ cân A’H = A’H’ Tức H và H’ đối xứng qua BC
Rút ra kết luận : Điểm đối xứng của trực tâm H qua một cạnh của tam giác thì nằm trên một đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó
* Khai thác bài toán :
c) Gọi P là điểm đối xứng của O qua BC Hãy chứng minh tứ giác AOPH là hình bình hành
d) Giả sử A chuyển động trên cung BAC Tìm quỹ tích trực tâm H
Bài toán 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH và đờng tròn (O)
ngoại tiếp tam giác AHC Gọi D là diểm đối xứng của B qua H ; Nối AD cắt (O) tại E Chứng minh rằng :
a) AH2 = HD HC và CH là tia phân giác góc ACE
b) Tam giác HAE cân và HO // EC
2 1
2 1
A '
O
C B
A
H '
B '
H
S
Trang 5* Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho đờng tròn (O) ngoại tiếp
tam giác vuông AHC trong đó đỉnh
A của tam giác vuông ABC và H là
chân đờng cao Lờy trên BC sao
cho HB = HD ; AD cắt (O) tại E
Yêu cầu chứng minh một hệ thức
và một tia phân giác ; Chứng minh
một tam giác cân và hai đoạn
thẳng song song
* Cách tìm lời giải:
a) Xét tam giác vuông ABC với đờng cao AH và áp dụng hệ thức h2 = b’ c’ Để chứng minh C1 = C2 Lu ý : A1 = C2 ; A1 = C1
b) Dựa vào kết quả C1 = C2 của câu a để chứng minh tam giác HAE cân Ngoài ra chứng minh HO và EC cùng vuông góc với AE
* Cách giải:
a) ABC có : AH2 = BH HC = HD HC (vì B và D đối xứng nhau qua H)
A2 = C2 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
A1 = C1 (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Mà A1 = A2 (ABD cân)
A2 = C2
C1 = C2 Nên CH là phân giác của góc ACE
b) C1 = E1 (cùng chắn cung AH)
mà A2 = C2 ; C1 = C2 E1 = A2 HAE cân tại H
Do AEC = 900 ; H và O cách đều A và E nên OH là đờng trung trực của
AE Tức OH AE Vậy EC và OH cùng vuông góc với AE nên EC // OH
* Khai thác bài toán :
Nếu ABD đều có cạnh bằng a Chứng minh rằng :
c) Tứ giác ACEH là hình thang cân
d) Tính theo a và các cạnh và diện tích của tứ giác ACEH
* H ớng dẫn HS giả i:
□ MBCN nội tiếp
Cách2: C/m: góc BCM = góc BNM
□ MBCN nội tiếp
Cách3: C/m: góc MNC = góc ABC
1
2 1
2 1
H
O
C B
A
D
E
Trang 6 □ MBCN nội tiếp
Nhận xét: Từ câu c giáo viên cho học sinh nhận thấy ba điểm A, D, O’ (O’ là trung
điểm của MN) thẳng hàng, nên ta có câu hỏi:
Câu d: Gọi O’ là trung điểm của MN Chứng minh ba điểm A, D, O’ thẳng hàng
Trong hình có bao nhiêu tứ giác nội tiếp ?
* H ớng dẫn HS giả i:
Cách 1: C/m : ba điểm A, D, O’
thuộc đờng trung trực của BC
Cách 2: C/m: AD là đờng trung tuyến
của tam giác cân AMN
Cách 3: C/m: AD và AO’ là
các tia phân giác của
góc MAN
ba điểm A, D, O’
thẳng hàng
* H ớng dẫn HS C/m :
các tứ giác nội tiếp : □ BDO’M ; □ CDO’N
Nhận xét: từ giả thiết ở câu c) ta có câu hỏi:
Câu e: Chứng minh: AB MB = NB CD
* H ớng dẫn HS giải :
Cách 1: C/m ABD NBM (g - g)
⇒AB
BN=
BD BM
CD = BD (gt)
Cách 2: C/m: BM = CN (1)
CND BNA (g - g)
⇒CN
BN=
CD
BA (2)
từ (1) và (2) AB MB = NB CD
Nhận xét: từ kết quả ở câu d) ta thấy các tia BD và CD là các tia phân giác của
góc CBO’ và góc BCO’ nên ta có câu hỏi:
Câu g: Chứng minh D là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BO’C.
* H ớng dẫn HS giải :
Từ □ BCNM nội tiếp ; □ CDO’N nội tiếp
góc C1 = góc N1 ; góc C2 = góc N1
góc C1 = góc C2
CD là phân giác của góc BCO’
Từ □ BCNM nội tiếp ; □ BDO’M nội tiếp
góc B1 = góc M1 ; góc B2 = góc M1
góc B1 = góc B2
BD là phân giác của góc CBO’
AB MB = NB CD
Trang 7Vậy D là tâm đờng tròn nội tiếp
tam giác BO’C
Bài toán 2 : (BT 59 SGK)
Cho hình bình hành ABCD Đờng tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đờng thẳng
CD tại P khác C
Câu a: Chứng minh: AP = AD.
* H ớng dẫn HS vẽ hình : Có hai cách vẽ hình
Bài toán này chúng tôi hớng dẫn HS khai thác bài toán theo hình vẽ ở cách1 với hình vẽ ở cách 2 cũng hoàn toàn tơng tự
* H ớng dẫn HS giải : C/m : AP = AD
Ta chứng minh:
Nhận xét: Qua câu a ta thấy:
- Nếu tứ giác ABCP nội tiếp đờng tròn (O) thì suy ra đợc: góc APD = góc B Nghĩa là nếu một tứ giác nội tiếp đờng
tròn thì góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong
của đỉnh đối diện
- Ta dễ dàng chứng minh đợc mệnh đề
đảo là đúng Từ đó rút ra đợc một dấu
Từ đó với giả thiết bài toán 2 ta có câu hỏi:
Câu b: Kẻ AM DC ; CK AD ; AM CK = H .
Chứng minh tứ giác AHCB nội tiếp
* H ớng dẫn HS giải :
Cách1: C/m : góc AHK = góc ABC □ AHCB nội tiếp
Cách2: C/m : góc HAB + góc HCB = 1800 □ AHCB nội tiếp
Nhận xét: Nếu kéo dài AP và BC cắt nhau tại E Ta chứng minh đợc bốn điểm O,
P, E, B cùng thuộc một đờng tròn Từ đó ta có câu hỏi:
Câu c: Gọi AP BC = E Chứng minh tứ giác OPEB nội tiế
Câu d: Chứng minh tứ giác AOCE nội tiếp
* H ớng dẫn HS giải : (Giải tơng tự câu c)
Nhận xét: Nối AC ; BP ta chứng minh đợc OAC = OBP góc B1 = C1 từ đó ta hỏi
Câu e: Gọi AC BP = I Chứng minh tứ giác OICB nội
Câu g: Chứng minh tứ giác AOIP nội tiếp
* H ớng dẫn HS giải : (Giải tơng tự câu e)
Nhận xét: Ta kẻ PF vuông góc với AB (F thuộc AB) Các điểm Q và N lần lợt là
trung điểm của AC và BP khi đó ta chứng minh đợc tứ giác AFNP là hình bình hành từ đó ta có câu hỏi:
góc APD = góc ABC
Trang 8Câu h: Gọi Q ; N lần lợt là trung điểm của AC và BP F là hình chiếu của P trên
AB Chứng minh tứ giác AFNQ là hình bình hành
Nhận xét: Nếu xét bài toán 2 trong trờng hợp đặc biệt với góc AOB = 1200 ;
góc POC = 900 khi đó ta dễ dàng tính đợc độ dài AB và PC theo R (R là bán kính đ-ờng tròn) khi đó ta có câu hỏi:
Câu k: Cho góc AOB = 1200 ; góc POC = 900 Tính diện tích tứ giác ABCP theo R (với R là bán kính đờng tròn)
III Kết quả đạt đợc:
Năm học 2007 – 2008 chúng tôi đợc phân công giảng dạy môn toán các lớp 9A; 9B; 9C; và 9D
Với việc áp dụng phơng pháp khai thác các bài toán nói trên khi dạy khi dạy các tiết luyện tập ở lớp 9A và 9D, chúng tôi nhận thấy không khí lớp học trở nên sôi nổi , hứng thú hơn nhiều, từ các bài toán đơn giản qua cách khai thác đó học sinh tự tìm ra đợc các bài tập tơng tự và giải các bài tập phức tạp hơn đặc biệt là những học sinh khá giỏi , nhiều học sinh từ chỗ học yếu kém kiến thức lơ mơ , máy móc, thụ động đến nay đã có nhiều tiến bộ hẳn lên
Kết quả bài kiểm tra cuối chơng IV đạt:
9C không ap dụng
9B không ap dụng
Đặc biệt với cách khai thác này chúng tôi vận dụng trong việc bồi dỡng HS giỏi trong năm học 2007 – 2008 đã có 4 em đợc công nhận học sinh giỏi cấp
huyện
IV Bài học kinh nghiệm:
Để có những tiết chữa bài tập áp dụng đợc kinh nghiệm trên đây theo bản
thân ngời giáo viên phải:
+ Không ngừng học tập nâng cao hơn nữa kiến thức toán, khả năng phân tích tổng hợp , đặc biệt hoá , khai thác hoá khi giải các bài tập
+ Có lòng say mê yêu nghề từ đó thờng xuyên mày mò để phát hiện những
cái mà học sinh còn thiếu còn cần để có biện pháp khắc phục
+ Phân nhóm các đối tợng học sinh trong lớp để có cách khai thác các bài
toán tuỳ vào từng đối tợng mà chúng ta đã phân ra Từ đó đặt ra yêu cầu của từng nhóm học sinh đó
+ Cần phải nghiên cứu kỹ để chọn bài toán , phân tích để nắm đợc đặc
điểm và bản chất của bài toán các yếu tố cấu tạo nên bài toán để có thể đặc biệt hoá, hay phát biểu dới dạng bài toán đảo, có thể phát hiện mối liên hệ giữa các yếu
tố tạo nên để thay đổi các mối liên hệ từ đó phát triển các bài toán mới và giải các bài toán đó
Trang 9Ch©u Quang, th¸ng 4 n¨m 2009
C¸c t¸c gi¶