[r]
Trang 1Chuyên đề 4 : căn bậc hai
A kiến thức cần nắm vững
1 Định nghĩa CBHSH: 2 2
0
x
2. A tồn tại ( xác định, có nghĩa) khi A 0
Chú ý: A 0 với mọi A 0
3
0
A khi A
A khi A
4 A B A B. ( ĐK: A 0; B 0 )
5
B B ( ĐK: A 0; B > 0 )
6.
(ĐK: B 0 )
1
AB
B B B (ĐK: AB 0; B 0 )
8
A A B
B
B (ĐK: B > 0 )
.( )
A B
A B (ĐK: A 0; B 0 ; AB)
B Một số dạng bài tập 1/ Loại I: Tìm TXĐ của biểu thức
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) √−2 x+ 3 b) √x22 c) √x +34 d) √x −52
+ 6
2 Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?
a) √(x −1)(x −3) b) √x2− 4 c) x −2
x +3 d)
2+ x 5− x
e) √x2− 4+2√x − 2 f) 3√x+3+√x2− 9
g) √x+√x +1 h) √x+ 4+√x −1
2/ Loại II: Thực hiện phép tính
1
3 Loại III: Chứng minh đẳng thức
4 Loại IV: Chứng minh bất đẳng thức
5 Loại V: Bài toán rút gọn tổng hợp Bài 1: Cho biểu thức
A1=(1−1√x+
1 1+√x):(1−1√x −
1 1+√x)+ 1
1−√x
Rút gọn biểu thức A1
Tính giá trị của biểu thức A1 khi x=7+4√3
Bài 2: Cho biểu thức A1= ¿ ¿
a) Hỏi rằng khi nào A2 xác định ? b) Rút gọn biểu thức A2
c) Tìm giá trị của x khi A2 = 5 d) Tìm giá trị của x để A2 > 0
Bài 3: Cho biểu thức A3=(x − 1 x +1 −
x −1
x +1):(x22−1 −
x
x − 1+
1
x+1)
a) Rút gọn biểu thức A3
b) Tính giá trị của A3 khi x = √3+√8
d) Tìm giá trị của x khi A3=√5
Bài 4: Cho biểu thức A4=(a a −√a− 1√a −
a√a+1 a+√a ):a+2
a −2
a) Với những giá trị nào của a thì A4 không xác định ? b) Rút gọn biểu thức A4
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị nguyên?
d) Tìm x để A4 > 1
Bài 5: Cho biểu thức A5=x +1
x +3+
10
6 − x2− x+
5
x − 2
a) Tìm điều kiện của x để A5 xác định ? b) Rút gọn biểu thức A5
c) Tìm giá trị của x để A5 > 0 d) Tìm giá trị nguyên của x để A5 có giá trị nguyên
Bài 6: Cho biểu thức B1= x
√x −1 −
2 x −√x
x −√x
Trang 2a) Rút gọn biểu thức B1
b) Tính giá trị của biểu thức B1 khi x=3+√8
c) Hỏi rằng với giá trị nào của x thì B1 > 0? B1 < 0? B1=0?
Bài 7: Cho biểu thức B2= √a+3
2√a − 6 −
3−√a
2√a+6
a) Tìm điều kiện đối với a để B2 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B2
c) Hỏi rằng với giá trị nào của a thì B2 > 1? B2 < 1
d) Tìm các giá trị của a để B2 = 4
Bài 8: Cho biểu thức B3=(1+ √x
x +1):(√x − 11 −
2√x
x√x+√x − x − 1)
a) Rút gọn biểu thức B3
b) Tính giá trị của biểu thức B3 khi x=4+2√3; x=19− 8√3
c) Tìm giá trị của x sao cho B3 > 1? B3 > 3?
d) Tìm giá trị của x khi B3 = 7
Bài 9: Cho biểu thức B4=(√√x −1 x −
1
x −√x):(√x +11 +
2
x −1) a) Rút gọn biểu thức B4
b) Tính giá trị của biểu thức B4 khi x=3+2√2
c) Giải phơng trình B4=√5
Bài 10: Cho biểu thức B5= 1
√x −1 −√x+
1
√x −1+√x+
√x3− x
√x −1
a) Tìm điều kiện đối với x để B5 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B5
c) Tính giá trị của biểu thức B5 khi x=53
9 −2√7
d) Tìm giá trị của x khi B5 = 4? B5 = 16?
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của B5
f) Tìm các giá trị nguyên dơng của x để B5 có giá trị
nguyên
Bài 11: Cho biểu thức C1=2 a − a2
a+3 (a− 2 a+2 −
a+2
a −2+
4 a2
4 − a2)
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C1 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C1
c) Tìm giá trị của a để C1 = 1
d) Khi nào C1 có giá trị dơng? giá trị âm?
Bài12: Cho biểu thức
C2=(√a+√a√b+
a
b −a):(√a+ a√b −
a√a a+b+2√ab)
a) hỏi rằng khi nào thì biểu thức C2 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C2
c) Biết rằng khi a
b=
1
4 thì C2 = 1 Hãy tìm các giá trị của a
và b
Bài 13: Cho biểu thức C3=(√√a+ a a+ 1+1).(1− a −√a
√a −1):1−√a
1+√a
a) Rút gọn biểu thức C3
b) Tính giá trị của biểu thức C3 khi a=27+10√2
Bài 14: Cho biểu thức C4 =a3− a2b− ab2+b3
a3
+a2b− ab2−b3
a) Rút gọn biểu thức C4
b) Tính giá trị của biểu thức C4 khi a=√3 ;b=√2
c) Với giá trị nào của a và b thì C4 = 1 d) Tìm giá trị của tỉ số giữa a và b để sao cho C4= 1
2
Bài 15: Cho biểu thức C5=(x −3+ 1
x − 1):(x −1− 1
x −1):x +2
x
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C5 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C5
c) Tính giá trị của biểu thức C5 khi x=√6+√20
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C5 có giá trị nguyên
Bài 16: Cho biểu thức B= x+2
x+3 −
5
x2
+x −6+
1
2− x
a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của biểu thức B biết x=√ 2
2+√3
c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức C=x¿ ¿
a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị của biểu thức C khi x=√3+2√2
c) Tìm giá trị của x để 3C = 1 d) Tìm các số m thoả mãn: Có số x < 0 sao cho C = m
Trang 3Bài 18: Cho biểu thức D=(2− x 2+ x −
4 x2
x2− 4 −
2 − x 2+ x): x
2
−3 x
2 x2− x3
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D khi |x -5| = 2
Bài 19: Cho biểu thức E= 4 x
2−1+(2 x+1)(x − 1)
9 x2− 4
a) Rút gọn biểu thức E
b) Tìm x để E > 0
Bài 20: Cho biểu thức F= x
2−9 −(4 x −2)(x − 3)
x2−6 x +9
a) Rút gọn biểu thức F
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số
nguyên
Bài 21: Cho biểu thức G=(x −1 x +1 −
x −1 x+1):(x +11 −
x
1 − x+
2
x2−1)
a) Rút gọn biểu thức G
b) Tính giá trị của biểu thức G khi x=√4 +2√3
c) Tìm giá trị của x để G = -3
Bài 22: Cho biểu thức L=(a2+b2
a2−b2)2:[ (a− b a+b +
a
b).(a −b a+b −
a
b) ] a) Rút gọn biểu thức L
b) Tính giá trị của biểu thức L khi a
b=√2
Bài 23:Cho biểu thức M=(a+b a +
a2
b2−a2):(a+b a2 −
a3
a2+b2+2 ab)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của biểu thức M khi a=1+√2;b=1 −√2
c) Tìm giá trị của a và b trong trờng hợp a
b=
1
2 thì M = 1
Bài 24: Cho biểu thức N= a
√ab+b+
b
√ab −a −
a+b
√ab
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính giá trị của biểu thức N khi a=√4 +2√3 ;b=√4 − 2√3
c) CMR: nếu a
b=
a+1 b+5 thì N có giá trị không đổi
Bài 25: Cho biểu thức (2 x −3) ¿ ¿
a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P khi x=√3+2√2
c) Tìm giá trị của x để P > 1
Bài 26: Cho biểu thức
Q=(3√√x −1 x −1 −
1
3√x+1+
8√x
9 x −1):(1−3√x −2
3√x +1)
a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x=6+2√5
c) Tìm x khi Q=6
5
Bài 27: Cho biểu thức
R= 2√a+3√b
√ab+2√a −3√b −6 −
6 −√ab
√ab+2√a+3√b+6
a) Rút gọn biểu thức R b) Cho R= b+10
b − 10 CMR:
a
b=
9 10
c) CMR nếu R= b+81
b − 81 thì khi đó
a
b là một số nguyên chia
hết cho 3
Bài 28: Cho biểu thức S=(x −3+ 1
x −1):(x − 1− 1
x − 1)
a) Rút gọn biểu thức S b) Tìm giá trị của x để S > 5 c) Tính giá trị của biểu thức S khi √12+√140
Bài 29: Cho biểu thức T =1 :(x√x +2 x − 1+
√x +1 x+√x +1 −
√x+1
x −1 )
a) Rút gọn biểu thức b) CMR: T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x ≠ 1
Bài 30: Cho biểu thức U =15√x − 11
x +2√x −3+
3√x − 2
1 −√x −
2√x +3
√x +3
a) Rút gọn biểu thức U b) Tìm giá trị của x khi U =1
2
c) Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tơng ứng của x
Trang 4Bài31:Chobiểu thức (1 − √x
1+√x):(√√x − 2 x +3+
√x +2
3 −√x+
√x+ 2
x −5√x +6)
a) Rút gọn biểu thức V
b) Tìm x để V < 0
Bài 32: Cho biểu thức Y =(x −11 +
1
x+1):(x −11 −
1
x +1)+ 1
x+1
a) Rút gọn biểu thức Y
b) Tính giá trị của biểu thức Y khi x=1+√2
c) Tìm giá trị của x để Y =3
2
Bài 33: Cho biểu thức M=(√x −2
x −1 − √
x+2
x +√x+1)x2−2 x+ 12
a) Xác định x để M tồn tại
b) Rút gọn biểu thức M
c) CMR: Nếu 0 < x < 1 thì M > 0
d) Tìm giá trị lớn nhất của M
e) Tìm x thuộc Z để M là số nguyên
Bài34:Cho biểu thức Q=(√x − y x −√y+
√x3−√y3
y − x ): ¿ ¿
a) Xác định x, y để Q tồn tại
b) Rút gọn biểu thức Q
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
d) So sánh Q với 1
e) So sánh Q và √Q
Bài 35: Cho biểu thức P=(x√x +2 x −1+
√x x+√x +1+
1
1−√x):√x −1
2
a) Rút gọn biểu thức P
b) CMR: P > 0 với mọi x ≥ 0 ; x ≠ 1
Bài 36: Cho biểu thức A=(2 x x32− 1+1−
1
x −1):(1 − x2− 2
x2+x +1)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A, biết x=√ 8
√5+3
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên
Bài 37: Cho biểu thức A=(2 x2−5 x+3 2 x −
5
2 x −3):(3+ 2
1− x)
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 0 c) Tìm x để A= 1
6 − x2
Bài 38: Cho biểu thức
P=(√√ab+1a+1 +
√ab+√a
√ab− 1 −1):(√√ab+1a+1 −
√ab+√a
√ab − 1 +1)
a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P nếu a=2 −√3 ;b=√3 −1
1+√3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu √a+√b=4
Bài 39: Cho biểu thức A= x2+x
x2− 2 x +1:(x+1 x −
1
1 − x+
2− x2
x2− x)
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của √A
Bài 40: Cho biểu thức P=(√√x −1 x+1+
√x
√x +1+
√x
1− x):(√√x −1 x+1+
1 −√x
√x +1)
a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P, khi x= 2−√3
2
c) So sánh P với 1
2
Bài 41: Cho biểu thức P= 2√x −9
x − 5√x +6 −
√x+3
√x −2 −
2√x+1
3 −√x
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P < 1 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
P= a√a −1
a −√a −
a√a+1 a+√a +(√a − 1
√a).(√3a −1√a −
2+√a
√a+1)
a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị nào của a thì P=√a+7
Trang 5c) CMR: với mọi giá trị của a (thoả mãn điều kiện thích
hợp) ta đều có P > 6
Bài 43: Cho biểu thức
P=(√√x −1 x+ 1 −
√x − 1
√x +1):(√x +11 −
√x
1 −√x+
2
x − 1)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P, khi x=√7 − 4√3
2
c) Tìm giá trị của x để P=1
2
Bài 44: Cho biểu thức P=( √2 a+1 a3− 1 −
√a a+√a+ 1).(1+1+√√a a3−√a)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Xét dấu của biểu thức P √1 −a
Bài 45: Cho biểu thức P=√x¿ ¿
a) Rút gọn biểu thức P
b) Xác định các giá trị của x để: (x+1)P = x-1
Bài 46: Cho biểu thức
P=(x −3√x
x − 9 −1):(x+ 9− x√x − 6 −
√x −3
2−√x −
√x − 2
√x +3)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P < 0
Bài 47: Cho biểu thức P=(√2x +3√x +
√x
√x −3 −
3 x +3
x − 9 ):(2√√x −3 x −2 − 1)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P<−1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 48: Cho biểu thức P= √y −√x
2√x +2√y+
√x+√y
2√x − 2√y+
x+ y
x − y
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x, y thoả mãn P > 1
Bài 49: Cho biểu thức
P= 3 x+√9 x −3
x +√x −2 −
√x +1
√x +2+
√x − 2
√x (1 −1√x −1)
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên c) Tìm giá trị của x để P=√x
Bài 50: Cho biểu thức
2 2
.
x K
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định
b) Rút gọn biểu thức K c) Tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất
2 2
.
K
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
2 2( 1) 10 3
M
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức
a) Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất
Bài 53: Cho biểu thức A = √a(2√a+1)
8+2√a −a +
√a+4
√a+2 −
√a+2
4 −√a
a) Rút gọn A b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên (dùng PP BĐT)
Bài 54: Cho biểu thức:
2 10 2 1
Q
Với x 0 và x 1 a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để
1 3
Q
Bài 55: Cho biểu thức
: 1
P
a
a) Rút gọn biểu thức P
Trang 6b) Tìm a để
1 8
a P