c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. Tìm quyõ tích caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoù. Tìm quyõ tích trung ñieåm AB khi m tha[r]
Trang 1CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Bài 1: (ĐHĐL – 2001) Cho hàm số y=mx2+(2 − 4 m) x +4 m−1
a) Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị trong miền x > 0
b) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 1
Bài 2: (HVQY – 2001) Cho hàm số y= 2 x2+(6 −m)x
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 1
Bài 3: (ĐHSPHN – 2001) Cho hàm số y= x2+2 mx+ 2
x +1 , m là tham số
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ hai điểm đến đt : x + y + 2 = 0 bằng nhau
Bài 4: (CĐSP Hưng Yên) Cho hàm số y= x2− mx+m
x +m , trong đó m là tham số
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m =1
b) Tìm các giá trị của m để hàm số có CĐ, CT Khi đó viết ptđt đi qua điểm CĐ, CT của hàm số
Bài 5: (ĐHDL Bình Dương) Cho hàm số y= x2+mx −1
x −1 , trong đó m là tham số
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 0
b) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Bài 6: (ĐHNN) Cho hàm số y= x2+(m+1)x − m+1
x − m có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 2
b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm thuộc đồ thị (C) đến hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số
c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu luôn cùng dấu
Bài 7: (ĐHĐN) Cho hàm số y= x2+mx −m− 1
x +1 có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = -1
b) Chứng minh rằng họ đường cong (Cm) luôn đi qua một điểm cố định
c) Tìm m để (Cm) có cực trị Xác định tập hợp các điểm cực trị
Bài 8: (ĐHTN) Cho hàm số y= 2 m2x2+(2 −m2)(mx+1)
mx+1 (1)có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 2
b) Chứng minh rằng với mọi m 0, hàm số (1) luôn có cực đại và cực tiểu
Bài 9: (ĐHCSND) Cho hàm số y= x2+mx −8
x − m , có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 6
b) Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT
Bài 10: (HVCTQG – 2001) Cho hàm số : y = (m+2).x3 + 3x2 + mx – 5 với m là tham số
a) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 0
Bài 11: (ĐHH – 2001) Cho hàm số y=x3−3
2mx
2
+1
2m
3
, với m là tham số
Trang 2a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 1
b) Xác định tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : y = x
Bài 12: (HVNH – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 0
b) Tìm tất cả các tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại
và cực tiểu đối xứng nhau qua đt : y=12x −5
2
Bài 13: (HVNH TPHCM – 2001) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1) x + 1 (1)
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 1
b) Chứng minh rằng, với mọi m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1 , x2 với x2 – x1 không phụ thuộc m
Bài 14: (HVQHQT – 2001) Cho hàm số y = 13x3 – mx2 – x + m+1, với m là tham số
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 0
b) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu nhỏ nhất
Bài 15: (CĐSPKTV – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(2m – 1) x + 1 với m là tham số
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 2
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
c) Xác định m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Tính tọa độ điểm CĐ và CT đó
Bài 16: (ĐHDLBD – 2001) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 +3(m2 – 1) x + m3 – 3m với m là tham số a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 2
b) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
Bài 18: (ĐHBKHN – 2000) Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1 với m là tham số a) Xác định các giá trị m để hàm số y = f(x) không có cực trị
b) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 1
Bài 19: (HVQHQT – 2000) Cho hàm số y = 4x3 – mx2 – 3x + m
a) Chứng minh rằng , với mọi m hàm số luôn có CĐ và CT, và hoành độ CĐ và CT luôn trái dấu b) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 0
Bài 20: (ĐHQGTPHCM – 2000) Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m với m là tham số a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 4
b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị của (Cm) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 21: (ĐHANND – 2000) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2
a) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = – 1
Bài 22: (ĐHMBC – 1999) Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + 3mx + 2 (Cm)
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số khi m = 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = 1
c) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho có hai điểm cực trị, gọi x1, x2 là hoành độ của hai
điểm cực trị, hãy tìm m để : x12+x22=6
Trang 3TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
a) y = 1 + 8x – 2x2 b) y = 4x3 – 3x4 c) y= x2
x4+1 d) f(x) = 2x+sin2x trên[− π
2;
π
2]
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y= x2+4 x +4
x (x> 0) b) y=x2
+2
x(x >0)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x3 – 6x2 + 9x , x∈[0 ;4] b) y = 1 + 4x – x2 , x∈[−1 ;3]
c) y = x4 – 3x3 – 2x2 + 9x , x∈[−2 ;2] d) y = x4 – 2x2 + 5 , x∈[−2 ;2]
e) y = x5 – 5x4 + 5x3 + 2 , x∈[−1 ;2]
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y= x2+3
x2+x+2 b) y= 8 x − 3
x2− x+1 c) y= x2+x+1
x ,(x> 0) d) y= x2+2 x +3
x −1 với1<x≤ 3.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = 3x + √10 − x2 b) y =(x+2)√4 − x2 c) y = 2x + √5 − x2
d) y = x + √2− x2với x∈[−2 ;2] e) y =(3− x)√x2
+1với x∈[0 ;2]
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = sin2x – x , với [− π
2;
π
2] b) y = cosx(1 + sinx), với [0 ;2 π]
c) y= cos x+ 2 d) y = 2(1 + sin2xcos4x) – 2 sin x+1 12(cos4x – cos8x)
e) y= sin x −cos x sin x +2 cos x +3 f) y= sin x +1
sin2x +sin x+ 1
g) y = (2sinx + cosx)(2cosx – sinx)
TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số:
a) y = 3 + 2x – x2 luôn luôn lồi b) y = lnx luôn luôn lồi c) y = 2x4 + x2 – 1 luôn luôn lõm
Bài 2: Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:
a) y = x3 – 9x2 + 2x – 3 b) y = 3x5 – 5x4 +3x – 2 c) y = 2x4 – 6x2 + 5
d) y = –x3 + 3x2 – 5x + 2 e) y = 2x3 – 3x2 + 1 f) y = x4 – 4x2 + 1
g) y= x3
x2+a2(a>0) h) y=¿ ¿
Bài 3: Xác định a, b để I(1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2
Bài 4: Xác định a, b để I(1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2 + x + 1
Bài 5: Xác định a, b để I(2;-6) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2 + x – 4
Bài 6: Xác định m để M(-1;2) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = mx3 + 3mx2 + 4
Bài 7: Chứng minh rằng các đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng và viết phương trình
đường thẳng qua các điểm uốn:
a) y= x −2
x2− x+1 b) y= 2 x +1
x2+x+1 c) y= x3
x2+3 a2(a > 0)
d) y= x − m
x2
+1 e) y= x +1
x2
+1
Bài 8: Cho hàm số : y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3x – 5
Trang 4a) Tìm m để hàm số lồi trên khoảng (-5;2).
b) Định m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ xo > m2 – 2m – 5
Bài 9: Chứng minh rằng đồ thị hàm số có phần lồi, phần lõm nhưmg không có điểm uốn.
a) y= 2 x −1 x +2 b) y= x − 5
3 − x c) y= x
2
+1
x d) y= x2+x+1
x +1
TIỆM CẬN Bài 1: Tìm tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số sau:
a) y= 2 − x b) x y= 3 x +1
2 x −5 c) y=
x2+x +1
3 −2 x − 5 x2 d) y= x+1
x2− 3 x +2
Bài 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên:
a) y=2x+1+ x +2 b) 1 y= x
2
+3 x +1
2 x −1 c) y= 4− x2
x − 3 d) y= x2− 6 x+3
x −3
Bài 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: y= x2− 2|x|+2
|x|−1
Bài 4: tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: y= x2cos α+2 x sin α+1
x − 2 Tìm α sao cho khoảng cách từ gốc
O đến tiệm cận xiên là lớn nhất
KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1: Khảo sát hàm số:
a) y = x2 – 4x b) y = 2x2 + 3x – 5 c) y = –x2 + 3x + 4 d) y = −12x2 + 2x−32
Bài 2: Khảo sát hàm số:
a) y = –x3 + x2 – x – 1 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = x3 – 3x2 + 2
d) y = –x3 + 3x2 + 9x + 2 e) y = (1 – x)3 f) y = x3 – 3x2 + 3x + 1
Bài 4: Khảo sát hàm số:
a) y = 12x4 – x2 −32 b) y = 2x2 – x4 c) y = –x4 + 10x2 – 9 d) y = x4 – 1
Bài 5: Khảo sát hàm số:
a) y= x − 1 b) x +1 y= 2 x −1
2 x +2 c) y=
3 x+2
x+2 d) y=
x +3
x +1
Bài 6: Khảo sát hàm số:
a) y= x2− 3 x
x −1 b) y=x − x+1 c) 1 y=− x+ 1
x +1 d) y= − x
2
− x − 1
x +1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DẠNG 1: Hàm Đa Thức Bậc 3.
Bài 1: (ĐHAN –2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết pttt với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy vuông góc với đt y = 3 x
Bài 2: (ĐHANNN – 2001) Cho hàm số y = 3x – x3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dựa vào đồ thi (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Sin x.cos2x + 2.sinx – m = 0 với x[0 ;π]
Trang 5Bài 3: (ĐHBKHN – 2001) Cho hàm số y=13x3− x +m (1) , m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 23.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 4: (HVCTQG – 2001) Cho hàm số : y = (m+2).x3 + 3x2 + mx – 5 với m là tham số
c) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu
d) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
e) Chứng minh rằng từ điểm A(1 ; -4) có thể kẻ 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 5: (ĐHCĐ – 2001) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi qua gốc tọa độ
Bài 6: (HVCĐBCVT – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình y = m(x + 1) + 2 Luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại một điểm A cố định Hãy xác định m để đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc nhau
Bài 7: (ĐHDHN – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3(a – 1)x2 + 3a(a – 2) x + 1, a là tham số
a) Khảo và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0
b) Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp cá giá trị của x sao cho 1≤ x ≤2.
Bài 8: (ĐHĐN – 2001) Cho hàm số y = x3 – (2m+1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung
Bài 9 : (HVHCQG – 2001) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số: y = |x|3−6 x2
+9|x| c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |x|3−6 x2+9|x| – 3 + m = 0
Bài 10: (ĐHH – 2001) Cho hàm số y=x3−3
2mx
2
+1
2m
3
, với m là tham số
c) Khảo sát hàm số khi m = 1
d) Xác định tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : y = x
e) Xác định tham số m để đt y = x cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A,B,C phân biệt sao cho AB=AC Bài 11: (HVNH – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
d) Tìm tất cả các tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại
và cực tiểu đối xứng nhau qua đt : y=12x −5
2
Bài 12: (HVNH TPHCM – 2001) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1) x + 1 (1)
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
d) Chứng minh rằng, với mọi m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1 , x2 với x2 – x1 không phụ thuộc m
Bài 13: (ĐHNN HN – 2001) Cho hàm số y=13x3− x +2
3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tt tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đt y = −3x+2
3
Trang 6Bài 14: (ĐHNN HN – 2001) Cho hàm số y = x3 – 2x2 + x có đồ thị hàm số (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số (C) và đường thẳng y = 4x
Bài 15: (ĐHNL TPHCM – 2001) Cho hàm số y = x3 + 3x2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm tất cả các điểm trên Ox mà từ đó vẽ được đúng 3 tt của đồ thị (C),trong đó có 2 tt vuông góc Bài 16: (HVQHQT – 2001) Cho hàm số y = 13x3 – mx2 – x + m+1, với m là tham số
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
d) Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã khảo sát Hãy tìm tt có hệ số góc nhỏ nhất
e) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu nhỏ nhất
Bài 17: (ĐHQG TPHCM – 2001) Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 3)x2 + 11 – 3m
a) Cho m = 2 Tìm các phương trình đường thẳng qua A(1912 ;4) và tiếp xúc với (C2) của hàm số b) Tìm m để hàm số có cực trị, gọi M1 , M2 là các điểm cực trị Tìm m để các điểm M1 , M2 và B(0 ; -1) thẳng hàng
Bài 18: (ĐHSPHP – 2001) Cho hàm số y = – x3 + 3x2 – 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm trên đường thẳng x = 2 các điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tt đến đồ thị (C)
Bài 19: (ĐHSPHP – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1) x + 1 – m2 với m là tham số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trong khoảng : (− ∞;0) và (4;+∞).
Bài 20: (ĐHTS – 2001) Cho hàm số y = (x+1)2(x – 2) có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Cho đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(2;0) và có hệ số góc K Hãy xác định tất cả các giá trị của k để đường thẳng (Δ) cắt đồ thị hàm số sau tại 4 điểm phân biệt y = |x|3−3|x|−2
Bài 21: (CĐSPMG – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm các điểm trên trục Ox mà từ đó vẽ được đúng 3 tt đến đồ thị (C)
Bài 22: (CĐGTVT – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1) x + 1 – m2 với m là tham số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b) Viết pttt của đồ thị (C) Biết tiếp tuyến đó đi qua M(2\3 ;–1)
c) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: x3 – 3mx2 +3(m2 – 1) x + 1 – m2 = 0 Có 3 nghiệm dương phân biệt
Bài 23: (ĐHDLHP – 2001) Cho hàm số y = x3 + 3x có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) không tồn tại hai điểm mà các tt tại đó vuông góc với nhau Bài 24: (ĐHTL – 2001) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx, với m là tham số
a) Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn của nó Chứng minh rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (0;1) khi và chỉ khi m = – 4
c) Tính diện tích hình phẳng bởi đồ thị (C-4), trục hoành và tt của (C -4) tại điểm uốn của nó
Bài 25: (CĐSPKTV – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(2m – 1) x + 1 với m là tham số
d) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
e) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
Trang 7f) Xác định m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Tính tọa độ điểm CĐ và CT đó.
Bài 26: (CĐYTNĐ – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx +3m + 4 có đồ thi (Cm),với m là tham số a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0, gọi đồ thị là (Co)
b) Viết phương trình tiếp (C0) tại giao điểm của (Co) với trục hoành
c) Xác định m để (Cm) tương ứng nhận điểm I(1;2) là điểm uốn
d) Xác định tất cả các giá trị m để (Cm) tương ứng tiếp xúc với trục hoành
Bài 27: (VĐHMHN – 2001) Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 +2(m – 1) x + 2 với m là tham số
a) Tìm những điểm cố định mà họ đường cong đi qua
b) Chứng tỏ rằng những điểm cố định thẳng hàng và từ đó suy ra họ đường cong có chung một TĐX c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất
e) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thi (C1); tiếp tuyến tại điểm uốn và trục Oy
Bài 28: (ĐHDLPĐ – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(-1;2)
Bài 29: (ĐHDLĐĐ – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng (d): y = 9x + 2003 c) Tìm giá trị của k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 30: (ĐHTL – 2001) Cho hàm số y = –x3 + 3x2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn và tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến đó với tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm cực đại và cực tiểu
Bài 31: (ĐHHĐ – 2001) Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m có đồ thi (Cm),với m là tham số
a) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn đạt cực đại, cực tiểu Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu
b) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trong khoảng :(1;+∞).
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
Bài 32: (ĐHDLBD – 2001) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 +3(m2 – 1) x + m3 – 3m với m là tham số
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
d) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
Bài 33: (ĐHDLKTCN – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A(0;3) Viết phương trình các tiếp tuyến đó
Bài 34: (ĐHVH – 2001) Cho hàm số y = (x – 1)(x2 + mx+ m) (Cm), với m là tham số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2
b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với trục hoành Xác định tọa độ tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp
Bài 35: (CĐSPHN – 2001) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m –1 (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
b) Xác định nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0 tùy theo m
c) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = k(x – 2) + m – 5.Tìm k để đường thẳng (d) là tt của (Cm) Bài 36: (ĐHQGHN – 2000) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Trang 8Bài 37: (ĐHBKHN – 2000) Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1 với m là tham số.
c) Xác định các giá trị m để hàm số y = f(x) không có cực trị
d) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
e) Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau : x3
+3 x2−1 ≤ a¿ có nghiệm
Bài 38: (ĐHSPHN – 2000) Cho hàm số y = x3 + ax2 – 4 (Ca)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 3
b) Xác định các giá trị của a để phương trình x3 + ax2 – 4 = 0 có nghiệm duy nhất
Bài 39: (ĐHNT – 2000) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số Bài 40: (HVQHQT – 2000) Cho hàm số y = 4x3 – mx2 – 3x + m
c) Chứng minh rằng , với mọi m hàm số luôn có CĐ và CT, và hoành độ CĐ và CT luôn trái dấu d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
e) Phương trình 4x3 – 3x = √1− x2 có bao nhiêu nghiệm?
Bài 41: (ĐHHH – 2000) Cho hàm số y = −13 x3+ (m – 1)x2 + (m+3)x – 4 , với m là tham số
a) Xác định m để hàm số đồng biến trong khoảng 0 < x < 3
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
c) Chứng tỏ rằng đồ thị đã khảo sát nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Bài 42: (ĐHDHN – 2000) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + 1, với m là tham số
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2
b) Gọi (C0) làđồ thị hàm số ứng với m = 0 Tìm điều kiện của a, b để đường thẳng y = ax + b cắt (C0) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = AD Khi đó chứng minh rằng đường thẳng y = ax + b luôn đi qua điểm cố định
Bài 43: (ĐHYTB – 2000) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Giọi xo là một nghiệm cũa phương trình : x3 + 3x2 – 1 = 0 chứng minh rằng x0
2
− x0<0
c) Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị y=|x|3+|x|− 1
Bài 44: (ĐHAN – 2000) Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1
a) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà họ đường cong đi qua Tìm quỷ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = -3
c) Hãy xác định các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn x2 + y2 – 2ax – 4ay +5a2 – 1 = 0
Bài 45: (ĐHSPV – 2000) Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 + m , m là tham số
a) Lập bảng biến thiên của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để phương trình x3 – 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 46: (ĐHTM – 2000)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x + 1
b) Cho điểm A(xo ; yo) thuộc (C), tt với (C) tại A cắt (C) tại B khác A tìm hoành độ điểm B theo xo.
Bài 47: (ĐHTN – 2000)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 3x – 4x2
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x – 4x2 – 3m – 4m3 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (1), biết tiếp tuyến đi qua M(1 ; 3)
Bài 48: (ĐHTN 2000) Cho hàm số y = x3 – ax2 + 1, có đồ thị (Ca) trong đó a là tham số
Trang 9a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = - 3.
b) Đường thẳng (d) có phương trình y = 5 tiếp xúc với (C) tại điểm a và cắt tại một điểm B tính tọa độ điểm B
c) tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu (Ca) hki a thay đổi
Bài 49: (ĐHQGTPHCM – 2000) Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m với m là tham số c) Khảo và vẽ đồ thị khi m = 4
d) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị của (Cm) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 50 : (ĐHDLHP –2000) Cho hàm số y = x3 – 3x2 +2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết pttt với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy vuông góc với đt y = 3 x
Bài 51: (VĐHMHN – 2000) Cho hàm số y = x3 – (2m+1)x2 – 9x (1), m là tham số
a) Khảo và vẽ đồ thị khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điển phân biệt lập thành một cấp số cộng
Bài 52: (ĐHGTVT – 2000) Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c
a) Xác định a,b,c để đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0;1) và hàm số đạt cực trị tại x = 1 b) Khảo và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0; b = -3; c = 1 Từ đó biện luận theo k số nghiệm của phương trình : |x|3−3|x|+k =0
Bài 53: (ĐHNN – 2000) Cho hàm số y = 2x3 + 3mx2 – 2m +1
a) Khảo và vẽ đồ thị khi m = 1
b) Tìm trên (C) điểm mà tại đó hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất
c) Với giá trị nào của m hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2)
Bài 54: (ĐHTN – 2000) Cho hàm số y=x¿ có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Đường thẳng (d) đi qua gốc O có hệ số góc m với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 55: (ĐHTN – 2000) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b) Xác định m để (Cm) nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn
c) Với những giá trị nào của m thì đường cong (Cm) tiếp xúc trục hoành
Bài 56: (ĐHANND – 2000) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2
c) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu
d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = – 1
e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;0)
Bài 57: (ĐHCT – 2000) Cho hàm số y = x3 – 3x có đồ thị (c)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Xác định giao điểm (C) với Ox
b) Tìm trên đường thẳng x = 2 các điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tt đến đồ thị (C)
Bài 58: (ĐHDLDT – 2000) Cho hàm số y = x3 – 3mx+ 2m, có đồ thị là (Cm)
a) Hãy xác định m, để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành
d) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Cm) luôn đi qua một điểm cố định duy nhất
e) Tìm điều kiện của m để hàm số đạt CĐ , CT Tìm quỹ tích các điểm cực đại và cực tiểu đó
Bài 59: (ĐHDLĐĐ – 2000) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
Trang 10b) Viết pttt với đồ thị của hàm số trên, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm (0 ; -1).
c) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành
Bài 60: (ĐHHĐ – 2000) Cho hàm số y = 2x3 – 3(m+3)x2 + 18x +7 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b) Tìm các giá trị của m để (1) tiếp xúc với đường thẳng y = 15
c) Chứng minh rằng trên (P) y = x2 + 15 có hai điểm không thuộc (1) với mọi giá trị m
.Bài 61: (ĐHTL – 2000)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2
b) Dựa vào (C) biện luận số nghiệm của phương trình : x2(x + 3) = |m+1|
Bài 62: (ĐHQGHN – 2000 ) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + m – 1
Khảo và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
Tính diện tích hình phẳng hữu hạn được giới hạn bởi (C) và tt của nó tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x
= 2
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trong khoảng (− ∞;0).
Bài 63: (ĐHQGTPHCM – 1999) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3, có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm Bài 64: (ĐHQG – 1999) Cho hàm số y = mx3 – (m – 1 )x2 – (2 + m)x + m – 1 với m là tham số
a) Khảo và vẽ đồ thị (C) khi m = 1
b) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm, từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C)
c) Tìm những điểm cố định mà họ đường cong (Cm) luôn đi qua với mọi m
Bài 65: (ĐHYDTP – 1999) Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 + 2(m2+4m+1)x – 4m(m+1) (Cm)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm m sao cho (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài 66: (CĐKTĐN – 1999) Cho họ đường cong (Cm) : y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1
a) Khảo và vẽ đồ thị (C) khi m = 2
b) Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến với (C) biết chúng đi qua A(0;-1)
c) Định m để (Cm) có hai cực trị và đt đi nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = x
Bài 67: (CĐHQ) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị (Cm)
a) Khảo và vẽ đồ thị (C) khi m = 3
b) Chứng minh rằng, với mọi m (Cm) luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + 7 tại 2 điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm AB khi m thay đổi
c) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc nhau
Bài 68: (CĐSPTPHCM – 1999) Cho hàm số : y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m (Cm)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
b) Khảo và vẽ đồ thị (C) khi m = 1
c) Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến với (C) biết chúng đi qua A(0;6)
Bài 69: (CĐCNDL – 1999) Cho hàm số y = x3 + 1 + m(x+1) (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -3
b) Với giá trị nào của m thì đường cong (1) nhận đt y = x + 1 làm tiếp tuyến Tính tọa độ tiếp điểm Bài 70: (ĐHMBC – 1999) Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + 3mx + 2 (Cm)
d) Khảo và vẽ đồ thị (C) khi m = 0
e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = 1
f) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho có hai điểm cực trị, gọi x1, x2 là hoành độ của hai
điểm cực trị, hãy tìm m để : x1
2
+x22=6