Biết thêm một số phương pháp chứng minh đối với bài toán có liên quan đến số tự nhiên.. về tư tưởng:.[r]
Trang 1CHƯƠNG III.
Ngày soạn:23/10/2009 Dạy ở các lớp:
Lớp Ngày dạy Số hs vắng mặt Ghi chú 11C2
11C5
11C6
I.mục tiêu cần đạt:
1.về kiến thức:
Học sinh nắm được phương pháp và các bước chứng minh quy nạp
Khi nào thì vận dụng phương pháp quy nạp
Giải thích được phương pháp quy nạp
2 về kĩ năng:
Vận dụng thành thạo phương pháp quy nạp trong giải toán
Biết thêm một số phương pháp chứng minh đối với bài toán có liên quan đến
số tự nhiên
3 về tư tưởng:
Tự giác tích cực trong học tập
Biết vận dụng rõ các kn cơ bản và vận dụng được trong từng TH cụ thể
Tư duy các vấn đề một cách lôgic và hệ thống
II Phương pháp:
Thuyết trình giảng giải kết hợp với vấn đáp gợi mở
III.đồ dùng dạy học
IV Tiến trình bài dạy:
Bước 1: ổn định lớp
Bước 2: kiểm tra bài cũ:(ko kiểm tra bài cũ)
Bước 3: Nội dung bài mới
CH1: xét tính đúng sai của các câu sau
đây:
a nếu a>b thì a n>b n
b nếu a>b>1 thì an > bn
CH2:cho các mệnh đề sau:
a số nguyên dương lẻ lớn hơn 1 là số
nguyên tố
b 1+2+3+ .+n= n (n+1)
2 , n∈ N
hãy xem xét tính đúng sai của các mệnh đề
Trang 2trên với 3 số hạng đầu tiên
GV cho hs điền vào bảng ta đc các giá trị
tương ứng trong bảng
P(n) 3<1
+100
9<2 +100
27<3 +100
81<4 +100
243<5 +100 Q(n) 2>1 4>2 8>3 16>4 32>5
Gv đưa ra các câu hỏi:
CH1: xét tính đúng sai của dãy P(i)
TL: ta thấy P(1),P(2),P(3),P(4)đúng còn
P(5) sai
CH2: xét tính đúng sai của Q(i)
TL: ta thấy Q(i) sai
CH3: với mọi n Q(n), P(n) đúng hay sai:
TL:P(n) sai Q(n) đúng
Vì sao P(n) sai Q(n) đúng?
Dựa vào định nghĩa hãy giải thích tại sao
P(n) sai Q(n) đúng?
HD:
Xét tính đúng sai của công thức với n=1
TL:với n=1 công thức trên luôn đúng
Giả sử công thức đúng với n=k ≥1thiết lập
công thức với n=k ≥1
Ta đi cm công thức đúng với n=k+1
I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Hđ1:
Hãy điền vào bảng sau:
n 1 2 3 4 5 P(n)
Q(n)
ĐN:
Để CM những mệnh đề liên quan đến số
tự nhiên n ∈ N❑ là đúng với mọi n mà ko thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
B1: kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1 B2: giả thiết mệnh đề đúng với một sô tụ nhiên bất kì n=k ≥1(gọi là giả thiết quy nạp),chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1 đó là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp
II.VD áp dụng:
VD 1:CM rằng với mọi số tự nhiên
n ≥ 1 ta có đẳng thức
1+2+3+ + n= n (n+1)
2 (1) CM:
Ta CM đẳng thức (1) bằng pp quy nạp
1 khi n=1 vế trái bằng 1,vế phải bằng
n(n+1)
2 =1 vậy đẳng thức(1) đúng với n=1
2 giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kì
n=k ≥1, tức là
1+2+3+ .+k += k (k +1 )
2
Ta đi CM (1) cũng đúng khi n=k+1 tức
Trang 3Xét tính đúng sai của công thức với n=1
TL:với n=1 công thức trên luôn đúng
Giả sử công thức đúng với n=k ≥1thiết lập
công thức với n=k ≥1
Ta đi cm công thức đúng với n=k+1
GV gọi 1 học sinh đứng tại chỗ nhắc lại
các bước chứng minh bằng quy nạp
là:
1+2+3+ + k +(k +1)= (k + 1)(k + 2)
2
Vậy theo giả thiết quy nạp ta có:
[1+2+3+ +k]+( k +1)=[k (k +1 )
2 ]+k+1
¿(k +1)(k2+1)= (k +1) (k +2)
2
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiênn ≥ 1
VD2 CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2
Ta có đẳng thức
n
−b n
(a − b)(a n − 1+a n −2 b+ +ab n −2+b n− 1) (2) CM:
Ta cm (2) bằng pp quy nạp
1 khi n=2,vế trái bằng a2-b2,vế phải bằng:
(a − b) (a+b )=a2− b2
Vậy (2) đúng khi n=2
2 gs (2) đúng với một số tự nhiên bất kì
n=k ≥ 2 tức là
a k − b k= ¿ (a −b )(a k+a k− 1 b+ +ab k − 1+b k)
Ta đi Cm (2) đúng khi n= k+1 tức là:
a k+1+b k+1= ¿ (a − b)(a k+a k −1 b+ +ab k −1+b k) Vậy theo gt quy nạp ta có
a k+1+b k+1=a k+1 −a k b +a k b − b k+1= ¿a k(a − b)+b(a k − b k)=a k(a − b)+¿ +b ( a− b)(a k −1+a k− 2 b+ .+ab k − 2+b k −1)= ¿ (a −b )[a k+b(a k −1+a k −2 b+ +ab k −2+b k − 1)]
(a − b)(a k+a k −1 b+ +ab k −1+b k) Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
HĐ3:CMR (hs tự chứng minh)
Trang 4HĐ3:hãy điền vào bảng sau:
3n
8n
Dự đoán kq?
TL:ta thấy 3n>8n ∀ n ≥3
Hãy Cm bất đẳng thức trên bằng pp quy
nạp
GV yêu cầu hs về nhà xem thêm các VD1,2
trong SGK
*chú ý:SGK
Bước 4: củng cố bài giảng:
Qua bài học cần nắm được thế nào là pp Cm bằng quy nạp các bước cm bằng quy nạp
Bước 5: về nhà học kĩ phần lí thuyết và làm các bài tập trong SGK(82,83)
V Tự rút kinh nghiệm sau giờ giảng