Bài tập ngày 14 tháng 01 năm 2011 Bài 1 1.1Giải phơng trình : + = + x 4 x 3 x 2 x 1 2006 2007 2008 2009 . 1.2 Cho P = n 4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. 1.3 Chứng minh A = n 3 - 3n 2 - n + 3 chia hết cho 48 với n là số nguyên lẻ. Bài 2 Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A (R>R). Vẽ dây AM của đờng tròn (O) và dây AN của đờng tròn (O) sao cho AM và AN vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Xác định vị trí của M và N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Bài 3 Cho a, b, c là ba số thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức: N = a 2006 + b 2007 + c 2008 . Đáp án Bài ý Nội dung a (1đ) + = + x 4 x 3 x 2 x 1 2006 2007 2008 2009 + = + x 4 x 3 x 2 x 1 1 1 1 1 2006 2007 2008 2009 + = + x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2006 2007 2008 2009 + = ữ 1 1 1 1 (x 2010) 0 2006 2007 2008 2009 x - 2010 = 0 ( vì + 1 1 1 1 0) 2006 2007 2008 2009 x = 2010 . Vậy phơng trình có nghiệm x = 2010. b P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2 = (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n+1) 2 + 1]. Vì n là số tự nhiên nên (n+1) 2 + 1 2; Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1. Khi đó P = 5 là số nguyên tố. c A = n 3 - 3n 2 - n + 3 =n 2 (n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n - 1)(n +1) 0,25 Thay n = 2k + 1 ( k là số nguyên) ta đợc : A = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k +1) 0,25 Ta thấy (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Vậy A chia hết cho 48 Bài 2 a Chứng minh OM//ON Suy ra đợc ' ' 'O I O N R IO OM R = = Lí luận để chỉ ra I cố định b Kẻ OK vuông góc với AM OH vuông góc với AN. Suy ra góc OAK bằng góc AOH (kí hiệu là ) S AMN = 1 2 AM.AN=2AK.AH=RR.2sin .cos (0,5 đ) áp dụng BĐT 2ab a 2 +b 2 ta đợc: 2sin .cos sin 2 +cos 2 =1. Vậy S AMN RR (0,5 đ) Đẳng thức xảy ra <=> sin =cos <=> =45 0 <=> OM và ON vuông góc với OO. Vậy Max S AMN =RR <=> OM và ON vuông góc với OO. (0,5 đ) H K A I N M O'O Bµi 3 a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1 Tõ a 2 + b 2 + c 2 = 1 => 1, 1, 1a b c≤ ≤ ≤ . Ta cã: a 2 + b 2 + c 2 - (a 3 + b 3 + c 3 ) = 0 ⇔ a 2 (1 - a) + b 2 (1 - b) + c 2 (1 - c) = 0 (1). V× a ≤ 1 => 1 - a ≥ 0, do ®ã a 2 (1 - a) ≥ 0. T¬ng tù ta cã: b 2 (1 - b) ≥ 0, c 2 (1 - c) ≥ 0. Nªn (1) 2 2 2 (1 ) 0 (1 ) 0 (1 ) 0 a a b b c c  − =  ⇔ − =   − =  KÕt hîp víi ®Çu bµi a 2 + b 2 + c 2 = 1 ta ®îc a, b, c { } 0;1∈ trong ®ã cã hai sè b»ng 0 vµ mét sè b»ng 1. VËy N = a 2006 + b 2007 + c 2008 = 1. . Bài tập ngày 14 tháng 01 năm 2011 Bài 1 1.1Giải phơng trình : + = + x 4 x 3 x 2 x 1 2006. 2008 2009 + = + x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2006 2007 2008 2009 + = ữ 1 1 1 1 (x 2010 ) 0 2006 2007 2008 2009 x - 2010 = 0 ( vì + 1 1 1