Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn giới thiệu tới các bạn những nội dung về phương pháp trưởng giả Gradient; phương pháp sử dụng nguyên lý biến phân Ekeland; phương pháp sử dụng ánh xạ đa trị.

Một số phương pháp nghiên cứu

bài toán điểm tới hạn

Võ Giang Giai

Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM , 2004

CHƯƠNG I:

PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT

I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ:

Trong suốt chương này, nếu không nói gì thêm thì ta luôn hiểu rằng là không gian Banach và phiếm hàm thuộc lớp

X R

n n

v df

v f X

0 , 0 , , ( ∀k α > 0 ∃r≥ δ > ∀v∈X −k < f v < − α v >r⇒ df v > δ (1)

(b) Giả sử f thoả đồng thời 2 điều kiện sau:

(i) ∀k,α > 0 , ∃r ≥ 0 ,δ > 0: ∀v∈X, −k < f( )v < − α , v >r⇒ df( )v > δ(ii) Nếu ∀{ }v n bị chặn ( )

*

n n

n

v df

N n v

f X

Vì vậy ∃k0,α0 > 0 và { }v n ⊂ X sao cho:

( ) ( )

n v

v f k

n n

0 n

0

( ∀n∈N*)

(2) (3) (4)

Từ (2) và (4) suy ra ∃{ }v nk hội tụ (Vì thoả điều kiện f ( )−

, k N k

Điều này dẫn đến mâu thuẫn với { }v n k hội tụ

(b) Xét dãy { }v n ⊂ X,{f( )v n } bị chặn dưới,

ta cần chứng minh ∃{ }v n k hội tụ

Quả vậy, giả sử { }v n không bị chặn, tức là:

{ }v n k

, k N k

Phiếm hàm gọi là riêng, nếu f ∀K là tập compact trong R thì f −1( )K

là tập compact trong X ‰

Gọi W ={v∈X /df( )v = 0} và K là tập c ompact trong R

Ta cần chứng minh W ∩ f −1( )K là tập compact trong X

Xét dãy { }v n ⊂W ∩ f −1( )K

( ) { }

K v f

n n

lim n

n

n v df

v f

n k

n

v df v

df

v f v

f

( ) ( )

K v f

K f

v 1 ⇔v∈W ∩ f−1( )K

Vậy ∃{ }v n k hội tụ về v∈W ∩ f− 1( )K .‰

1(Vì thuộc lớp f C ) (Vì K là tập Compact)

Hệ quả 6:

Nếu f thoả điều kiện ( )C và W ={v∈X /df( )v = 0} thì là tập đóng

trong R

( )W f

lim n

n

n v df

v

f bị chặn (Vì { }y n hội tụ)

(Vì { }v n ⊂W) Mặt khác f thoả điều kiện ( )C , nên ∃{ }v n k hội tụ về v∈X

n k

n

v df v

df

v f v

f

(Vì thuộc lớp ) f C1

( ) ( )

v f y

k

n

( ) ( )

v f y

( )W f

y∈

⇒

Vậy f(W) là tập đóng trong R ‰

Định lý 7:

Cho là không gian Hilbert, X f :X →R thuộc lớp C2

Khi đó ∀v∈X theo định lý Riesz ∃!∇f( )v ∈X: df( )( )v w = ∇f( )v,w ,

f dt

Khi đó tồn tại khoảng lớn nhất (ω − , ω +) (− ∞ ≤ ω− < ω+ ≤ +∞) chứa để

(6) có duy nhất nghiệm trên (xem ở [4]) .‰

0

t

Trang 6

Định lý 8:

Cho X là không gian Hilbert, thuộc lớp thoả điều kiện , gọi

R X

dãy t n → +∞ (tương ứng t n → −∞) sao cho: ( )

→

0

lim

q df

ϕ ,với ⎨⎧a≤s≤t<ω +

⎩ a cố định ∈(ω−,ω+) ( )

f ϕ

( )

2 2

s

dr r f

dr ϕ (Do bất đẳng thức Holder)

Do đó ω+ = +∞

Khi đó +∞∫ ∇ ( ) = ∫+ ∇ ( ( ) ) ∈[ +∞)

dr r f dr

r f

ω ϕ

Ta cần chứng minh luôn tìm được dãy t n → +∞ : ∇f(ϕ( )t n ) → 0 (7)

Thật vậy, theo định lý trung bình:

n a

n t

⇒ ∇f(ϕ( )t n )2 → 0

⇒ ∇f(ϕ( )t n ) → 0 Tức là (7) đúng

Gọi ϕ là nghiệm của (6) thoả ϕ( )0 = p n

Trang 8

Khi đó theo định lý 8 ∃{ } ( ) ( ) ( )

q df X q

n n

N k k

c n c q f c

k

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất tại f q∈X ‰

II ĐỊNH LÝ MINIMAX:

Định nghĩa 10:

gọi là vectơ giả gradient của tại

X

hai điều kiện sau:

w

(i) w ≤ 2df( )v

(ii) ( )( ) ( )2

v df w v

3 2 3

v df w

v df

v df w

(8)

Hơn nữa liên tục tại df v và df( )v > 0, nên tồn tại quả cầu mở tâm v: B v

df( )v ≤ df( )u ≤ f( )v , ∀u∈B v

6

7 6

u df w

u df w

u df

u df w

i i

ξ

= Φ

i

j j

i v

v

~ i

v

v w v

B

\ w / w v inf v

Trang 10

W v d X v U

c f W c v f W v W

v df X v W

c v f X v c f

c v f X v f

, / /

0 /

/ /

1 1

v = , liên tục đều

(ii) Nếu A đóng thì d( )v = 0 ⇔v∈A

Mà A đóng nên v∈A .‰

∗ Nếu v∈D∩W Giả sử bổ đề trên sai, tức là:

\

\ f Uδf

2 W , v d

n

1 c v f n

1 c

n

c n

d

c v~

f c c

d

c v~

f c

d

W v~

c c

d

0 W , v~

d c

(Do bổ đề 14)

Dẫn đến mâu thuẫn Vậy bổ đề được chứng minh ‰

Nhận xét:

(i) Qua việc chứng minh này, suy ra được rằng: “Nếu c>0 (tương

ứng c<0) thì bổ đề 15 vẫn còn đúng khi thay điều kiện ( )C bởi điều kiện ( )+

, 2

2 1

δ δ

− +

ε ε

ε ε

c c

c c

f f B

f f

X A

A v d v

, ,

, +

0

\ ,

1

δ

δ

U v

U X v v

Lưu ý: Các kết quả này sẽ được sử dụng cho các bổ đề và định lý về

sau trong chương này .‰

, 1

1 , 1

t

t t t

Khi là hàm Lipschitz địa phương trên và

Φ là hàm số tìm được ở định lý 12

t t

1 ,

<

≤

≥

t t

1 Φ = Φ

v

Như vậy Φ~( )v ≤ 1 , ∀v∈X

Mặt khác đều là các hàm Lipschitz địa phương trên và g , h, Φ X

ξ là hàm Lipschitz trên [0 , +∞)

Khi đó ∀v∈X, ∃B v (quả cầu mở tâm v) sao cho g , h, Φ là các hàm Lipschitz trên B v, vì vậy:

v s

s

dr r v,

( ) { }∈( − +)

⇒ ϕ v,t t ω ,ω là dãy Cauchy trong X

( ) ( v t ) ( ( ( )v t ) )

df ϕ , Φ~ ϕ ,

−

=

( ) ( v t )g( ( )v t ) ( )h( v t ) ( ( ( )v t ) ) ( )v t

df , , , Φ , Φ ,

−

= ϕ ϕ ϕ ξ ϕ

( ) ( v t ) ( )h( v t ) ( ( ( )v t ) )df( ( )v t ) ( (v t )

g ϕ , ϕ , ξ Φ ϕ , ϕ , Φ ϕ ,

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) )2

,

,

, ,t h v t v t df v t v

−

≤

R t X

f t

( ) {v W f v c} W f ( )c

W c = = ∩ −1 là tập compact (Do định lý 5)

d n, c < 1

⇒

n n W v d w v W

w n ⊂ c : n − n < n, c +1 < 2

∃

⇒

n w

⎪

⎧v −w < 2

n nNhư vậy ⎨

→ w

k k

n

w w w

v w v

k k

→

− +

< w w

w v

v

k k

n

n (Do (17) và (18))

∪ứng minh định lý này, ta c àn chứng min

δ ε ε

f f

f \ \ ∪ , 1 là đủ (Do ∪δ ⊂ ∪ nên ϕ (( c+ε \ ) )⊂ϕ (( c+ε \ c−ε)\ ∪δ, 1)

f f

Ta cần chứng im nh (19), quả v : ậy

Lúc này ta có ( )∉ c− ε

f t v,

c v f

c t v

εα

c

c t

v df s v

0

,

,

, ϕ ϕ ϕ

ξ

0

2

, ,

ϕ ξ

øng vectơ giả gradient của f rên )

0

,

, ϕ ϕ

v b

0

,

d b

b v t

⇒ <d v,W c −d ϕ v,t ,W c (Do bổ đề 14)

đi đến mâu thuẫn)

,t df v t v

t dt

, 1

1 , 1

t

t t t

, 2

−

≤ Φ

−

≤

t v

t v df t

dt

d

ϕ

ϕα

(Vì Φ là trường vectơ giả gradient của f trên ) Χ~

1 ,

t dt

t dt d

αδ

Cùng với (20) ta có ( ) ( )

2 δ δ

εα

ε

c

c t c

α

εϕ

ε

2 0

,

t

c t v f

2 δ δ

Định lý 19 (định lý Deformation):

Với giả thiết như định lý 18, ta có kết quả mạnh hơn ϕ( c+ ε )⊂ c− ε

∈

f v

f \ ∪ , 0 (không nhất thiết là t0 phải bằng 1)”

(25)

∗ Kết hợp với phần nhận xét của bổ đề 15, ta cũng kết luận

được rằng: “Nếu c>0 (tương ứng c<0) thì (25) vẫn còn đúng

khi thay điều kiện ( )C bởi điều kiện ( )+

C (tương ứng ( )−

Ngoài ra ε cũng có thể chọn ∈( )0 ,c (tương ứng (0 , −c))” ‰

Định nghĩa 20:

Cho tập hợp Χ ≠φ và ℑ ≠φ là họ các tập con của X Ta nói rằng ℑ

thoả tính chất ( )p C, nếu F∈ ℑ thì ϕ( )F, 1 ∈ ℑ ‰

Định lý 21 (Định lý Minimax):

Cho f thoả điều kiện ( )C Gọi ℑ ≠φ là họ các tập con của thoả tính chất ( và

Chứng minh:

Ta có c {f( )v v F}

= ℑ

∈ sup / inf

f F F

Do đó , nếu c không phải là giá trị tới hạn của f thì W c =φ

Theo định lý 19, ta có ϕ( c+ ε )⊂ c− ε

f

f , 1 nên ( ) − ε

ε ⊂

ϕ F , 1 f cMà ϕ(Fε, 1)∈ ℑ

Dẫn đến mâu thuẫn với (26) ‰

Nhận xét: Qua việc chứng minh này và phần nhận xét của định lý 19,

ta kết luận được rằng: “Nếu c>0 (tương ứng c<0) thì nguyên lý Minimax vẫn

còn đúng khi ta thay điều kiện ( )C bởi ( )+

∗ Giả sử f bị chặn trên:

Áp dụng định lý Minimax với ℑ ={ }X , ta có:

c= sup{f( )v /v∈X} là giá trị tới hạn của f

⇒ ∃v1∈W : f( )v1 =c

đạt giá trị lớn nhất tại

f

∗ Giả sử f bị chặn dưới:

Áp dụng định lý Minimax với ℑ ={ { }v /v∈ Χ}, ta có:

c= inf{f( )v /v∈X} là giá trị tới hạn của f

III ĐỊNH LÝ 23 (ĐỊNH LÝ MOUTAIN PASS):

Cho f thoả đồng thời các điều kiện sau:

(i) Điều kiện ( )+

F v v f

γ

γ inf max /

sup

1 , 0Từ (ii) và (iii) ta có e > α

Vì vậy ∀γ ∈ Γ, đặt g( )t = γ( )t − α ,t∈[ ]0 , 1

thì ⎩⎨⎧ ( ) ( )=− ( − )<

0 1

∈

⇒c β ,

Lúc này chọn ε ∈( )0 ,c thì theo (iii),(iv) và bổ đề 17 ta có:

∗ Hoặc f( )v ≠ 0 , ∀v∈ Χ , 0 < v < α

∗ Hoặc e > α “ ‰

Trang 24

∗ F gọi là một hệ động học

∗ u+ gọi là một chuyển động với điểm xuất phát u0

∗ C( )u+ gọi là quỹ đạo của chuyển động u+

v u u u

1

0 0

n p v

w

n p u

w u w

n p p

p

Khi đó dãy chứa w+ w0 =u,w m+ 1n+ =w và w p+1∈F( )w p , ∀p∈N

Vậy là một chuyển động (với điểm xuất phát là u) chứa w và w+

( )u C

w∈ 0 ‰

Trang 26

Định lý 3:

Cho hệ động học F:X ~ > X và f : X → ,[0 +∞] thoả mãn:

( ) ( ) ( )u f v d u v f( )u F

v X

Khi đó:

(i) Nếu f( )u < +∞ thì tồn tại một chuyển động u+ với điểm xuất

phát là u hội tụ tới u

(ii) Nếu thêm điều kiện đồ thị của F là đóng thì u∈F( )u

Chứng minh:

Xét u0 =u∈X : f( )u < +∞

Dùng qui nạp ta xây dựng được dãy { }u n :

( ) ( ) ( )

+

1 1

1

, 0

0

n n

n n n

n n

u f u f u

u d

u f

u F u

,

M

N n

M N

Từ (1) suy ra {f( )u n } là dãy giảm không âm nên hội tụ

Kết hợp với (2) ta có { }u n là dãy Cauchy trong đầy đủ, do đó: X

X u

Như vậy u0,u1, ,u n, →u

Lúc này Graph∋(u n,u n+1) ( )→ u,u

Do đó, nếu Graph đóng thì ( )u,u ∈Graph hay u ∈ F( )u .‰

Chứng minh:

Áp dụng định lý 3 với F( )u ={ }g( )u ,u∈X

ta có ngay kết luận của định lý 4 ‰

Định nghĩa 5:

Cho hệ động học F:X ~ > X và f : X → ,[0 +∞] không đồng nhất với + ∞

Lúc đó F gọi là tán xạ liên kết với hàm (gọi tắt là tán xạ) nếu f

0

1 1

0

k

i i k

i

i i k

n

v

n n

n n

v diameterC

v C v

C

1 1 0

0 1 0

n khi v

C diameter

v C v

C

n n

n n

: , 0

220

0 1 0

φ

N n

∗ v ∈i+1 C0( )vi ⇒ ∃ chuyển động +

i

u chứa i i 1

k i

i

0 v , u v

u = i = +

Lúc này ta xây dựng chuyển động như sau: u +

∗ k0 + 1 phần tử đầu tiên: 0

∗ ki + 1 phần tử (kế lần i): i

⇒ u∈C0( )v m ⊂C0( )u k (Do (3) và (5))

⇒ u∈C0( )u k ⇒ ( )k

N k u C

∈

∈ ∩

Trang 28

Vì diameter C0( )u k → 0 (khi k → +∞) Nên C ( ) { }u k u

N k

Xét u và chuyển động trong định lý 6 (thì u+ u n →u)

Hơn nữa F nửa liên tục dưới tại u, nên ∀w∈F( )u ta luôn ∃w n ∈F( )u n

hội tụ tới w

Khi đó w k ∈C0( )u n , ∀k ≥n, k, n∈N

Cho k → +∞ , ta được w∈C0( )u n , ∀n∈N (Vì C0( )u n đóng)

N n

u f X u

0

: thì ∃u∈C0( ) ( ) { }u :F u = u

Chứng minh:

Xét u và chuyển động trong định lý 6 u+

Ta có C0( )u n đóng,∀n∈N nên { } ( )n

N n

u C

Trang 30

Định lý 9:

Cho f : X → ,[0 +∞] không đồng nhất với + ∞ Khi đó hệ thống động học

G được định bởi G( )u ={v∈X / f( ) ( )v +d u,v ≤ f( )u} là một tán xạ liên kết với và

f

Chứng minh:

Ta có: ∀u∈X : u∈G( )u nên G≠φ và G là một hệ thống động học và

cũng là một tán xạ (Vì ∀u∈X, ∀v∈G( )u , ta có f( ) ( )v +d u,v ≤ f(u))

Vấn đề còn lại ta phải chứng minh G( )u =C0( )u, ∀u∈X

≤ +

v f w v d w f

u f v u d v f

, , (Vì f( )u < +∞ nên f( ) ( )v, f w < +∞)

Ta có G là hệ động học lớn nhất liên kết với Và nếu f u là điểm bất

biến của G thì u cũng chính là điểm bất biến của (với là một hệ động học bất kỳ liên kết với )

∗ Nếu u là điểm bất biến của G, khi đó:

u u G

u G u F

Chứng minh:

Đặt G( )u ={v∈X / f( ) ( )v +d u,v ≤ f( )u} (như trong định lý 9)

Vì u nửa liên tục dưới nên G( )u đóng (6)

Theo định lý 9 thì G là tán xạ (7)

Hơn nữa f( )u0 < +∞, nên kết hợp (6),(7) và hệ quả 8 ta suy ra:

0

0

0 :

u G u C

v v G u C v

⇒

v u v f v u d u f

u f v u d v f

, ,

, 0

0

.‰

Nhận xét: Qua việc chứng minh trên ta nhận thấy rằng các định lý và

hệ quả (liên quan đến tán xạ ở trên) vẫn còn đúng khi ta thay điều kiện bị

chặn dưới bởi 0 bởi điều kiện bị chặn dưới .‰

f f

Định lý 12 (nguyên lý biến phân Ekeland):

Cho f : X → R∪{ }+ ∞ nửa liên tục và bị chặn dưới Lấy ε,h> 0 và

sao cho

X

uε ∈ f( )uε ≤ε + inf f ,với inf f = inf{f( )u /u∈X}

Khi đó ∃vε ∈X thoả:

(i) f( )vε ≤ f( )uε

h v u

d ε, ε ≤ 1(iii) f( )u > f( )vε −ε.h.d(u,vε), ∀u≠vε

≤ +

ε ε

ε

ε ε

ε ε

y u v u d u g v g

u g v u d v g

, , '

, '

−

ε ε

ε

ε ε

ε ε

ε

ε

v u v u d h f u

f f v

f

f u

f v u d h f v

f

, , inf inf

inf ,

inf

<

≤ +

ε ε

ε

ε ε

ε ε

ε

ε

v u v u d h u f v f

u f v u d h v

f

, ,

,

≤

+

≤ +

≤

≤ +

≤

ε ε

ε

ε ε

ε ε ε

ε ε

ε

ε ε

ε

v u v u d h u f v f

v f f

u f v u d h v

f

u f v f

, ,

inf ,

.

ε

ε ε

ε ε

εh d u v u v v

f u f

h v u d

u f v f

, ,

1 ,

.‰

Hệ quả 13:

Cho f :X →R nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Khi đó:

Nếu f khả vi Gateaux thì tồn tại { }v n ⊂ X thoả:

với inf = inf{f( )u /u∈X} ( )

inf

n

n

v f

f v

f X

Trang 32

u f v f

n n

n n

1

h n

−

≥

− +

+

≤

≤

0 , ,

1

1

t X u v tu v n v

f tu v f

n v

f

n n

n n

= +∞

→

0 , ,

lim

t X u n

u t

v f tu v f

v f

n n

n

Cho ,ta được: t→ 0 +

( ) ( )( )

→

X u n

u u

v f

v f

n

n n

, '

→

+∞

→

X u u

v f

v f

n n

n n

, 0 '

→

+∞

→

0 '

lim

lim

n n

n n

v f

⊂

∀

0

: '

n

n n

v f

v f v

thì ∃v∈{v n/n∈N} ( ): f' v = 0 .‰

Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland

X

∈ Ω

, 0 '

n n n

v f

N n v

f

v f

→

0 '

sup lim inf

lim

v f

v f v

f v

n n

n

.‰

Định lý 16:

Cho X là không gian Banach phản xạ, phiếm hàm khả vi

Gateaux, lồi, nửa liên tục dưới yếu trên X và

R X

( )v → +∞

f khi v → +∞ thì f thoả điều kiện (C yếu) trên X

, 0 '

:

n n n n

v f

N n v

f

v f X v

Xét { }v n là dãy con của { } ( ) ( n

n n n

v

+∞

→ +∞

lim :

( ) { }

n v f

v khi v

∃ (dãy con của { },

n

v ) bị chặn ⊂ X

n v

∃ (dãy con của { },

n

v ) hội tụ yếu tới v∈X

(Vì X là không gian Banach phản xạ)

⇒ (f( )v ) f( )v n f( )v

n n

+∞

→ +∞

→

,

lim sup

⇒ f( )v f( )v f( )v

X v n

Chứng minh tương tự f( )v f( )v

X v n

Từ (8) và (9) ta có f( )v f( )v

X v n

nlim → +∞ = inf ∈ và f'( )v = 0

inf :

n

n n

v f

f v

f X v

Ta xét 2 trường hợp:

(i) Hoặc ∃{ }u n dãy con của { } ( )vn : 'f un ≠ 0 , ∀ n ∈ N

(ii) Hoặc ∃{ }u n dãy con của { } ( )v n : f' u n = 0 , ∀n∈N\ A

(với φ ≠ A là tập hữu hạn ⊂N)

∗ Xét trường hợp (i):

Vì thoả điều kiện (C yếu), nên: f

( )u f( )u f

⇒ inf f ≥ f( )u

⇒ inf f = f( )u

Điều này chứng tỏ định lý 17 luôn đúng

∗ Xét trường hợp (ii):

Đặt S ={u∈X / f'( )u = 0}≠ φ

o Nếu S = X thì f =const và định lý 17 hiển nhiên đúng

o Nếu S ≠ X thì ∃w∈X \S , do đó f'( )w ≠ 0

1 , 0

1 − t < n+

t

n

αϕ

1 ,

=

∈

− +

=

2 2 1

2 2

2

1 1

1

1 1

n

n n n

n n n

n

n n n

n

t t

S u t w t u

S u t w t u

αδ

1

1 1

1 '

u f u f

n n

1

1 ' 2

+

<

n u

2 1

n

u f

' max 1 , 0

2 2

+

<

−

n u f u

Hơn nữa f( )u n1 = f( )u n nên ( ) ( )

1

1 2

+

<

−

n u f u

Như vậy

( ) ( ) ( )

, 0 inf

2 2 2

n n n

u f

N n u

f

f u

f

Kết quả này đã được chứng minh ở trường hợp (i)

Vậy định lý đã được chứng minh ‰

CHƯƠNG III:

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ

f d x f

Định lý 3 (định lý Minimax):

Cho X,Y là các không gian Banach, φ ≠M lồi ⊂ X , φ ≠ N lồi ⊂Y và Phiếm hàm f :M×N →R

( )u, v 6 f( )u,v thoả đồng thời các điều kiện sau:

(i) ∀v∈N, 6u f( )u,v lồi và nửa liên tục dưới

(ii) ∃v0∈N:u6 f(u,v0) inf compact, tức là {u∈M/ f(u,v0)≤r}

tương đối compact, ∀r∈R

(iii) ∀u∈M, 6v f( )u,v lõm và nửa liên tục trên

(iv) ∃u0∈M :v6 f(u0,v) sup compact, tức là {v∈N/ f(u0,v)≥r}

tương đối compact ∀r∈R

Khi đó f( )u v f( )u v

M u N v N

v M

,

Nhận xét:

∗ Định lý 2 đã được trình bày ở [6]

∗ Và định lý 3 cũng đã được trình bày ở [1], vì vậy luận văn chỉ sử dụng kết quả mà không chứng minh lại .‰

Trang 38

Định lý 4 (định lý Ambrosetti - Rabinowitz):

Cho liên tục và khả vi Gateaux, liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu và đồng thời thoả các điều kiện sau:

R X

:

u f

m u f X

X , 1 , 0 C c / c

c

c c

=

=

=

= 1 , 0 0 ,

0 1 0 ,

Khi đó C ,0 C là các không gian mêtric đầy đủ với:

(c1,c2)= max{c1( )t −c2( )t /t∈[ ]0 , 1}

d

Đặt tiếp I:C→R

c 6 I( )c = max{f( )c( )t /t∈[ ]0 , 1}

Thì I nửa liên tục dưới

Hơn nữa xét ϕ( )t = c( )t − α, c ∈ t C, ∈[ ]0 , 1

0 0

αϕ

αϕ

⇒ I( ) ( )c ≥ I cε − ε d(c , cε), ∀ c ∈ C (Do định lý 12 của chương II)

−

≥

− +

0

0 ,

,

C

h c

h c d c

I h c I

γ γ

ε

ε

h h

c I h c I

t h h

c f v

c f u

t

1 , 0 :

1 , 0 / 0 sup 0

' ε γ ε

u hv

+ Φ

− + Φ

≤

Lúc này vi phân dưới của Φ tại u là:

( )={ ≥ ∫ = Φ

∂ u μ 0 / dμ 1và sup μ ⊂M( )}u

với ⎩⎨⎧ ( )={∈[ ] ( )= Φ( ) }≠φ

μ

u t

u t

θ 6 Φ( )θ = max{θ( )t /t∈[ ]0 , 1}