Phương pháp hàm số ngược để xây dựng và phát triển phương trình đại số

13 2 Xây dựng một số phương trình đại số giải bằng phương pháp hàm số ngược 14 2.1 Cơ sở của việc vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây dựng phương trình... Lời nói đầuHàm số giữ một vị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2013

Mục lục

1.1 Khái niệm hàm số 6

1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.2 Đồ thị hàm số 6

1.2 Tính đơn điệu của hàm số 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu 7

1.3 Hàm số ngược 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Đồ thị của hàm số ngược 8

1.3.3 Điều kiện đủ để một hàm số có hàm số ngược 9

1.3.4 Ví dụ 9

1.4 Phương trình đại số một ẩn 10

1.4.1 Định nghĩa 10

1.4.2 Nghiệm của phương trình 11

1.4.3 Ví dụ 11

1.5 Phương trình tương đương 11

1.5.1 Định nghĩa 11

1.5.2 Phép biến đổi tương đương 12

1.6 Phương trình hệ quả 12

1.6.1 Định nghĩa 12

1.6.2 Phép biến đổi hệ quả 12

1.7 Phương trình vô tỷ 12

1.7.1 Định nghĩa 12

1.7.2 Ví dụ 13

2 Xây dựng một số phương trình đại số giải bằng phương pháp hàm số ngược 14 2.1 Cơ sở của việc vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây dựng phương trình 14

2.2 Một số dạng phương trình đại số mà có thể giải bằng phương pháp hàm

số ngược 15

2.2.1 Dạng thứ nhất 15

2.2.2 Dạng thứ hai 15

2.2.3 Dạng thứ ba 16

2.2.4 Dạng thứ tư 17

2.2.5 Dạng thứ năm 18

2.3 Các bước thực hiện khi giải phương trình bằng phương pháp hàm số ngược 18

Lời nói đầu

Hàm số giữ một vị trí trung tâm trong chương trình toán ở trường phổ thông.Học sinh nhận biết định nghĩa và nắm một số tính chất cơ bản của hàm số ởcuối cấp Trung học cơ sở, khi học Toán ở bậc Trung học phổ thông khái niệmhàm số được dần hoàn thiện và khi có công cụ mới là đạo hàm để nghiên cứuhàm số thì học sinh đã có qui trình để khảo sát được các hàm số cơ bản

Bên cạnh việc khảo sát được các hàm số cơ bản, đối với học sinh khá, giỏi cóthể gợi ý, hướng dẫn để học sinh nắm vững các tính chất của hàm số, ứng dụngchúng trong giải quyết một số bài toán khác Việc nắm vững các tính chất củahàm số cũng giúp giáo viên có cách nhìn toàn diện về hàm số và khai thác đượcmối liên hệ giữa hàm số với một số bài toán liên quan, đồng thời có thể sángtạo ra các bài toán mới

Vấn đề giải phương trình đại số nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng,chúng ta đã biết đến một số cách giải khác nhau như: phép biến đổi tương đương,phép dùng ẩn phụ, phép dùng biến đổi liên hợp, phương pháp đánh giá Tuynhiên với mỗi phương pháp giải thường chỉ tối ưu với từng trường hợp cụ thể.Mặt khác khi đi sâu nghiên cứu về hàm số ngược của một hàm số, tôi đã nhậnthấy có sự liên quan mật thiết giữa sự tương giao của hai hàm số ngược nhauvới số nghiệm của một phương trình vô tỷ mà có hai vế là hai hàm số ngượcnhau

Do vậy việc giải các phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số ngược làmột vấn đề mới và cần tìm hiểu Mặc dù là một phương pháp mới, xong khi

đã nắm vững được mối quan hệ giữa chúng thì phương pháp này khá hiệu quả.Trong các đề thi Đại học và thi chọn học sinh giỏi bài toán dạng này cũng luônđược khai thác

Với mong muốn áp dụng những kiến thức đã học trong chương trình phổthông và tìm hiểu sâu thêm phương pháp giải toán sơ cấp nên tôi mạnh dạnchọn đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình là: “Phương pháphàm số ngược để xây dựng và phát triển phương trình đại số”

Bản luận văn gồm ba chương, lời nói đầu và kết luận.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: Nhiệm vụ của chương này là hệ thốnglại một số kiến thức cơ bản nhất về hàm số và phương trình đại số làm tiền đề

để xây dựng nội dung của chương 2

Chương 2 Xây dựng một số phương trình đại số giải bằng phươngpháp hàm số ngược: Trong chương này tác giả đi xây dựng cơ sở của việc ápdụng hàm số ngược vào giải toán, đồng thời xây dựng và giải quyết năm bài toántổng quát của phương trình đại số mà giải bằng phương pháp hàm số ngược.Chương 3 Các bài toán liên quan: Trong chương này giới thiệu các bàitoán cụ thể minh họa cho các bài toán tổng quát đã đề cập đến ở chương 2 Saumỗi bài toán minh họa, tác giả đã có những nhận xét về cách giải cũng như sángtác một phương mới từ một phương trình đã biết

Để hoàn thành bản luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn tới người thầykính mến PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉdạy trong suốt thời gian xây dựng đề tài cho đến khi hoàn thành luận văn Tôicũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Toán – Cơ –Tin học, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đãtạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nênbản luận văn không tránh khỏi các thiếu sót, rất mong được các thầy cô và cácbạn góp ý xây dựng

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013

Học viên

Nguyễn Văn Dũng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Khái niệm hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho một tập hợp khác rỗng D ⊂R Hàm số f xác định trên

D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu

là f (x); số f (x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x Vậy hàm số là một ánh

xạ từ tập con D của R vào R và viết

a) Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên (a; b) nếu

1.2.2 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu

Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.b) Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K.Sau đây ta có một định lí mở rộng cho định lí trên như sau:

Định lí 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm

Định nghĩa 1.4 Cho hàm số f có tập xác định là D(f ) và có tập giá trị là

V (f ) Hàm số g xác định trên V (f ) được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu

(f0g)(x) = x, ∀x ∈ V (f ) và (g0f )(x) = x, ∀x ∈ D(f ).

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau

a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số ngược của hàm số y = g(x) thì hàm số

y = g(x) cũng là hàm số ngược của hàm số y = f (x)

b) Nếu y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số ngược nhau thì tập xác định củahàm số này là tập giá trị của hàm số kia và ngược lại

1.3.2 Đồ thị của hàm số ngược

Định lí 1.3 Trong hệ tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số ngược nhau y = f (x)

và y = g(x) là đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Hình 1.2:

1.3.3 Điều kiện đủ để một hàm số có hàm số ngược

Định lí 1.4 Mọi hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập K đều có hàm sốngược

Chứng minh Giả sử hàm số y = f (x) xác định và đồng biến trên K và có tậpgiá trị tương ứng là T

Do T là tập giá trị của y = f (x) nên với mọi y ∈ T đều tồn tại x ∈ K để có

f (x) = y Bây giờ ta đi chứng minh x là duy nhất

Thật vậy, ta giả sử tồn tại x0∈ K, x 6= x0 mà f (x0) = y

Khi đó, xẩy ra hai trường hợp:

a) Nếu x > x0, ta suy ra f (x) > f (x0) ⇔ y > y điều này là vô lý

b) Nếu x < x0, ta suy ra f (x) < f (x0) ⇔ y < y điều này là vô lý

Hai trường hợp trên đều vô lý, nên tồn tại duy nhất x ∈ K để f (x) = y

Do đó theo định nghĩa của hàm số ngược, ta suy ra hàm số y = f (x) có hàm sốngược

Nhận xét 1.2 Trường hợp hàm số nghịch biến được chứng minh tương tự

Chú ý 1.2 Không phải hàm số nào cũng có hàm số ngược trên toàn tập xácđịnh của nó, nhưng nếu xét trên một tập con nào đó của tập xác định thì nóvẫn có hàm số ngược.

Ví dụ 1.3 Hàm số f (x) = x2 xác định trên R nhưng không có hàm số ngượctrên R

Nhưng nếu xét trên khoảng[0; +∞)thì hàm số này có hàm số ngược làg(x) = √

x.Thật vậy trên [0; +∞) ta có:

Chú ý 1.3 Để thuận tiện trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định

D của phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để x ∈ D Điều kiện đó được gọi

là điều kiện xác định của phương trình, gọi tắt là điều kiện của phương trình

Chú ý 1.4 Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoành độ các giao điểm của

đồ thị hai hàm số y = f (x) và y = g(x)

1.4.2 Nghiệm của phương trình

Định nghĩa 1.6 Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình (1.1) nếu

f (x0) = g(x0) là một mệnh đề đúng

Giải phương trình (1.1) tức là đi tìm tất cả các nghiệm của nó, tức là tìmtập hợp S = { x ∈ D| f (x) = g(x)}

Tập S được gọi là tập nghiệm của phương trình (1.1)

• Khi S = ∅, ta nói phương trình (1.1) vô nghiệm

• Nếu |S| = n với n là một số nguyên dương nào đó, ta nói phương trình(1.1) có n nghiệm hay số nghiệm của phương trình (1.1) bằng n

• Nếu |S| = ∞, ta nói phương trình (1.1) có vô số nghiệm

1.4.3 Ví dụ

Ví dụ 1.5 Tập nghiệm của phương trình x2− 3x + 2 = 0 là S = {1; 2}

Ví dụ 1.6 Tập nghiệm của phương trình x2+ 2 = 0 là S = ∅

Ví dụ 1.7 Tập nghiệm của phương trình|x − 1| + |x − 2| = 1là S = [1; 2](trongtrường hợp này |S| = ∞ )

1.5 Phương trình tương đương

1.5.2 Phép biến đổi tương đương

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thànhmột phương trình tương đương đơn giản hơn Các phép biến đổi như vậy đượcgọi là các phép biến đổi tương đương

Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.Định lí 1.5 Cho phương trình f (x) = g(x)có tập xác định là D; y = h(x)là mộthàm số xác định trên D (h(x) có thể là một hằng số) Khi đó trên D, phươngtrình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:

Khi đó ta viết f (x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x)

1.6.2 Phép biến đổi hệ quả

Định lí 1.6 Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phươngtrình hệ quả của phương trình đã cho

f (x) = g(x) ⇒ [f (x)]2 = [g(x)]2.

Chú ý 1.5 Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến một phương trình hệquả thì sau khi giải phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm đượcvào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai

1.7 Phương trình vô tỷ

1.7.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.9 Một phương trình được gọi là phương trình vô tỷ nếu nó chứa

ẩn dưới dấu căn thức

Chương 2

Xây dựng một số phương trình đại

số giải bằng phương pháp hàm số ngược

Chương này sẽ trình bày cơ sở để vận dụng phương pháp hàm ngược vào xâydựng phương trình và đưa ra một số phương trình ở dạng tổng quát mà có thểgiải bằng phương pháp hàm ngược

2.1 Cơ sở của việc vận dụng phương pháp hàm

ngược vào xây dựng phương trình

Định lí 2.1 Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số ngược nhaukhi đó nghiệm phương trình

Nhận xét 2.1 Định lí trên được suy trực tiếp từ Hệ quả 1.1

Nhận xét 2.2 Như vậy việc giải phương trình (2.1) được thay thế bởi việc giảiphương trình (2.2) hoặc (2.3)

Nhận xét 2.3 Để thuận tiện cho những phần sau khi trình bày vấn đề này, ta

sẽ gọi phương trình có dạng (2.1) là phương trình hàm số ngược

Việc giải các phương trình dạng (2.2) hay (2.3) được gọi là phương pháp hàm

số ngược

2.2 Một số dạng phương trình đại số mà có thể giải

bằng phương pháp hàm số ngược

Trong phần này sẽ tập trung nêu các dạng tổng quát của phương trình đại

số mà có thể giải bằng phương pháp hàm số ngược, tức là những phương trình

luôn đồng biến trên R

Do vậy theo Định lý 1.4 thì hàm số f (x) luôn có hàm số ngược là hàm số

luôn đồng biến trên D.

Do vậy theo Định lý 1.4 thì hàm số f (x) luôn có hàm số ngược là hàm số

luôn nghịch biến trên D.

Do vậy theo Định lý 1.4 thì hàm số f (x) luôn có hàm số ngược là hàm số

i

luôn nghịch biến trên D.

Do vậy theo Định lý 1.4 thì hàm số f (x) luôn có hàm số ngược là hàm số

luôn đồng biến trên D.

Do vậy theo Định lý 1.4 thì hàm số f (x) luôn có hàm số ngược là hàm số

g(x) = −2n

r

dx + c

a − b.

Điều này chứng tỏ (2.8) là một phương trình hàm số ngược

2.3 Các bước thực hiện khi giải phương trình bằng

phương pháp hàm số ngược

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2 Đưa phương trình đã cho về dạng (2.1), tức là phương trình có dạng

f (x) = g(x), mà trong đó hai hàm số y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số ngượccủa nhau

(xem 5 dạng cơ bản đã trình bày ở mục 2.2)

Bước 3 Chứng minh với điều kiện của bài toán thì hai hàm số y = f (x) và

y = g(x) là hai hàm số ngược nhau

Bước 4 Thay một trong hai vế của (2.1) bởi x (thường là vế chứa căn).Bước 5 Giải phương trình f (x) = x hoặc g(x) = x

Bước 6 So sánh với điều kiện của phương trình để suy ra nghiệm

Chương 3

Các bài toán liên quan

Trong chương này sẽ giới thiệu một số bài toán minh họa cho phương pháphàm số ngược trong việc ứng dụng để giải một số phương trình đại số có dạngtổng quát đã giới thiệu ở chương 2

Bài toán 3.1 Giải phương trình

luôn có hàm số ngược là hàm số g(x) = √ 3

2x − 1.

Điều này chứng tỏ phương trình (3.2) có hai vế là hai hàm số ngược nhau nêntheo Định lý 2.1 thì nghiệm của phương trình (3.2) cũng chính là nghiệm củaphương trình sau

x3+ 1

2 = x. (3.3)

Ta có (3.3) tương đương với phương trình

.

Nhận xét 3.1 Hình (3.1) minh họa cho kết quả của phương trình (3.1).Nhận xét 3.2 Phương trình (3.1) không cho ở một trong5 dạng phương trìnhtổng quát đã nêu trong Chương 2, tuy nhiên bằng biến đổi đơn giản ta đã đưaphương trình (3.1) về dạng (3.2), từ đây ta thấy rằng phương trình (3.2) thuộcdạng thứ nhất (2.4)

Nhận xét 3.3 Do phương trình (3.2) có hai vế là hai hàm số ngược của nhaunên ta đã sử dụng phương pháp hàm số ngược để giải quyết Lời giải của bàitoán này thật gọn gàng và sáng sủa

Nhận xét 3.4 Từ (3.1), nếu ta sử dụng phép đặt ẩn phụx = t+1thì từ phươngtrình (3.1) ta nhận được phương trình sau

t3+ 3t2+ 3t + 2 = 2 √ 3

Nhận xét 3.5 Từ Nhận xét (3.4), bằng cách thay t bởi x ta có bài toán mớisau đây

Bài toán 3.2 Giải phương trình sau

x3+ 3x2+ 3x + 2 = 2 √3

Nhận xét 3.6 Phương trình (3.6) không thể đưa ngay về một trong 5 dạngphương trình hàm ngược đã trình bày trong Chương 2 được, tuy nhiên theoNhận xét (3.4) ở trên ta có thể kết hợp dùng ẩn phụ và phương pháp hàm sốngược để giải phương trình này

Lời giải Phương trình (3.6) xác định với mọi x ∈R.

Ta có phương trình (3.6) tương đương với phương trình sau

Lời giải Ta có phương trình (3.9) tương đương với phương trình sau

x3− 2

3 = x. (3.11)

Ta có (3.11) tương đương với phương trình

Giải phương trình (3.12) ta được các nghiệm là x = −1, x = 2.

Vậy phương trình (3.9) có tập nghiệm là S = {−1; 2}

Nhận xét 3.8 Hình (3.2) minh họa cho kết quả của phương trình (3.9).Nhận xét 3.9 Từ phương trình (3.9) ta có thể sáng tác được các phương trìnhsau:

Bài tập 3.5 Giải phương trình x3+ 3x2+ 3x − 1 = 3 √ 3

Ta có (3.15) tương đương với phương trình

Giải phương trình (3.16) ta được nghiệm duy nhất là x = 1.

Vậy phương trình (3.13) có tập nghiệm là S = {1}

Nhận xét 3.10 Hình (3.3) minh họa cho kết quả của phương trình (3.13).Nhận xét 3.11 Từ phương trình (3.13) ta có thể sáng tác được các phươngtrình sau:

Bài tập 3.8 Giải phương trình x3+ 6 = √ 3

27(x − 2

3)

3 + 8

81 = x. (3.19)

3 + 2 √

6 3

.Nhận xét 3.12 Hình (3.4) minh họa cho kết quả của phương trình (3.17).Nhận xét 3.13 Từ phương trình (3.17) ta có thể sáng tác được các phươngtrình sau:

Bài tập 3.11 Giải phương trình 27x3− 18x2− 4x − 2 = √ 3

Bài toán 3.6 Giải phương trình sau



8x3+ 2001 2002

Ta có (3.23) tương đương với phương trình

Lời giải Điều kiện xác định của phương trình (3.25) là R

Ta có phương trình (3.25) tương đương với phương trình sau

Như vậy phương trình (3.26) có hai vế là hai hàm số ngược nhau nên theo Định

lý 2.1, nghiệm của phương trình (3.26) cũng là nghiệm của phương trình

Từ đây ta thấy rằng phương trình (3.25) có ba nghiệm phân biệt khi phươngtrình (3.29) có hai nghiệm phân biệt khác m, điều kiện cần và đủ là



∆ > 0 h(m) 6= 0 ⇔



12 − 3m2 > 0 3m2− 3 6= 0 ⇔ m ∈ (−2; 2) \ {±1}

Vậy với m ∈ (−2; 2) \ {±1} thì phương trình (3.25) có ba nghiệm phân biệt.Bài toán 3.8 Giải phương trình sau

2

− 9 4

luôn đồng biến trên khoảng (0; +∞).

luôn có hàm số ngược trên khoảng (0; +∞) là hàm số

Hình 3.6:

Ta có (3.32) tương đương với phương trình

14x2+ 12x − 1 = 0, (x > 0). (3.33)Giải phương trình (3.33) ta được các nghiệm là



.

Nhận xét 3.15 Hình (3.6) minh họa cho kết quả của phương trình (3.30).Nhận xét 3.16 Phương trình (3.30) không cho ở một trong 5 dạng phươngtrình tổng quát đã nêu trong Chương 2, tuy nhiên bằng biến đổi đơn giản ta

đã đưa phương trình (3.30) về dạng (3.31), từ đây ta thấy rằng phương trình(3.31) thuộc dạng thứ hai (2.5)

Nhận xét 3.17 Do phương trình (3.31) có hai vế là hai hàm số ngược củanhau nên ta đã sử dụng phương pháp hàm số ngược để giải quyết

Nhận xét 3.18 Từ (3.30), nếu ta sử dụng phép đặt ẩn phụ x = t − 1 thì từphương trình (3.30) ta nhận được phương trình sau

7t2− 7t =

r

4t + 5

28 . (3.34)

Nhận xét 3.19 Từ nhận xét trên, bằng cách thay t bởi x ta có bài toán mớisau đây

Bài toán 3.9 Giải phương trình sau

Lời giải Phương trình (3.35) xác định với mọi x > 1

Ta có phương trình (3.35) tương đương với phương trình sau

28



t + 12

Bài tập 3.15 Giải phương trình 28x2− 14x = 8x + 5

4



x − 12

2

− 1 8000

luôn đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Ta có (3.40) tương đương với phương trình

x2− 2001x = 0, (x > 1). (3.41)Giải phương trình (3.41) ta được các nghiệm là x = 0, x = 2001

So sánh với điều kiện x > 1, phương trình (3.30) có tập nghiệm là S = {2001}

Bài toán 3.11 Giải phương trình sau