Nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng 1 photon m → e + νµ + νe + g

Việc tính thêm sự đóng góp của tương tác điện từ vào quá trình này e m® + n%+ n + g có ý nghĩa xem xét quá trình phân rã với sự hấp thụ và bức xạ photon vì các hạt tham gia phân rã có ma

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội – 2011

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 Quá trình phân rã muon 4

1.1 Yếu tố ma trận của quá trình phân rã    e  e   4

1.2 Tốc độ phân rã của quá trình    e  e   10

Chương 2 Đóng góp của bổ chính tương tác điện từ cho phân rã muon 13 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá trình    e  e     13

2.2 Phương pháp min cho quá trình    e  e     17

2.3 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho quá trình    e  e     24

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

Phụ lục A Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên 36

Phụ lục B Vận dụng vào mô hình tự tương tác của trường vô hướng Lint  g3 39

MỞ ĐẦU

Quá trình phân rã muon m® e+ n%e + n m, xảy ra do tương tác yếu là một quá trình phân rã điển hình đã được thực nghiệm và lý thuyết nghiên cứu từ lâu Việc tính thêm sự đóng góp của tương tác điện từ vào quá trình này

e

m® + n%+ n + g có ý nghĩa xem xét quá trình phân rã với sự hấp thụ và bức

xạ photon vì các hạt tham gia phân rã có mang điện tích Bài toán này có ý nghĩa trong việc xây dựng lý thuyết thống nhất điện yếu[5; 6; 15] Các lượng tử của trường điện từ là các photon với khối lượng nghỉ bằng không, nên phân kỳ hồng ngoại[17] sẽ xuất hiện trong tất cả các quá trình vật lý mà ta xem xét Mục đích chủ yếu của luận văn này là giới hạn nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng một photon thực m® e+ n%e + n m+ g, và đi sâu vào các phương pháp khử phân kỳ hồng ngoại khác nhau: Phương pháp l min[11; 17] và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đồng thời tiến hành so sánh các kết quả thu được

Nội dung luận văn Thạc sĩ này bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, tài liệu dẫn và hai phụ lục, chúng được trình bày theo trình tự sau:

Chương 1 Ta nghiên cứu quá trình phân rã m® e+ n%e + n m do tương tác yếu gây nên, và tính tốc độ phân rã của quá trình này Chương này gồm hai mục:

Mục 1.1 ta viết Hamiltonien tương ứng m® e+ n%e + n m, vẽ sơ đồ phân rã ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu G, viết yếu tố S –

ma trận Từ yếu tố S – ma trận rút ra được biểu thức cho biên độ bất biến của phép dời chuyển T fi( )m ứng với quá trình kể trên

Mục 1.2 ta tính tốc độ phân rã dựa trên công thức tổng quát và biểu thức biên

độ của phép dời chuyển, tương ứng với giản đồ Feynman đã tìm được ở mục 1.1

Chương 2 Dành cho việc tính toán thêm bổ chính ở bậc thấp nhất của tương tác điện từ cho quá trình phân rã m® e+ n%e + n m gây nên bởi tương tác yếu, có nghĩa trong gần đúng một photon thực mềm m® e+ n%e + n m+ g Chương này gồm ba mục:

Mục 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá trình

nó cho phân kỳ hồng ngoại trong bài toán này

Phần kết luận tóm tắt các kết quả đã nhận được, đồng thời tiến hành so sánh các biểu thức tìm được bằng hai cách tách phân kỳ khác nhau: Phương pháp

min

l [11, 17], Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và thảo luận hướng nghiên cứu bài toán này trong tương lai

Phụ lục A Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên

và dẫn các tích phân cần thiết được tính trong tọa độ cầu của không gian (n – 1) chiều

Phụ lục B Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vào mô hình tự

tương tác của trường vô hướng 3

int

Trong bản luận văn này chúng ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1,

và metric giả Euclide (metric Feynman), tất cả bốn thành phần vector 4-chiều ta

chọn là thực A = (A A0, )r gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số m = (0, 1, 2, 3), và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của vector 4-chiều, ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

A = (A A0, )r = (A A A A0, 1, 2, 3)def = A m

Các vector phản biến là tọa độ

Chương 1 QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ MUON

Trong chương này chúng ta xem xét quá trình phân rã do tương tác yếu gây nên, và tính tốc độ phân rã ở bậc thấp nhất của hằng số tương tác yếu G Với góc độ phương pháp luận ta xét cụ thể quá trình phân rã hạt muon, mà nó đã được nghiên cứu rất kỹ cả lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, và kết quả thu được phù hợp với

sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man cho tương tác yếu của các hạt tích điện [6] Quá trình phân rã diễn ra theo sơ đồ sau đây:

e

m® + n%+ n (1.1)

trong đó m-muon; e - electron; n%- phản neutrino electron; e n - neutrino muy m

Phương trình này thỏa mãn các định luật bảo toàn: xung lượng, năng lượng, điện tích, tích Baryon, tích Lepton

Một số đặc trưng của các hạt trên như[1]:

Khối lượng: 0, 5 , 105, 66 , 0

e e

m

m = = n = n% = -

1.1 Yếu tố ma trận của quá trình phân rã m ® e + n %e + nm

Tất cả các quá trình có sự tham gia của tương tác yếu đều được mô tả bằng lý thuyết (V – A) 1 tương tác giữa các dòng – dòng với hằng số tương tác chung G Cụ

thể trong lý thuyết (V – A) quá trình phân rã (1.1) được mô tả bởi Hamiltonien tương tác như sau:

1

trong đó G là hằng số tương tác yếu Thừa số (1 / 2 đưa vào để duy trì định nghĩa )

đầu tiên của đại lượng G, và G không chứag Còn 5 ( )

( )( ) ( ) (1 5) ( ), ,

l

l l

l l x = y x g l + g y n x l = m e (1.4) Biểu thức cho yếu tố S – ma trận tương ứng với phân rã (1.1) sẽ là[2]:

int

exp

công thức (1.2) hay (1.3) Khai triển S – ma trận theo hằng số tương tác G, ta có:

Công thức (1.6) tương ứng với giản đồ Feynman ở bậc thấp nhất của lý thuyết

nhiễu loạn được trình bày ở (Hình 1.1) Muon với xung lượng p và spin s, phân rã

thành n - neutrino muy với xung lượng q m 3 và spin s 3,

e

n%- phản hạt neutrino electron

với xung lượng q 2 và spin s 2 , electron với xung lượng q 1 và spin s 1

Toán tử trường ( )y x được xác định bằng [5]:

1 2 2 3

3

1 2

( ) ( )

Ta sử dụng các biểu thức giao hoán (1.8) đối với các toán tử sinh, hủy để tính toán các yếu tố ma trận:

thay phương trình (1.12), (1.13) vào phương trình (1.6) và lấy tích phân theo d 4 x ta

thu được biểu thức yếu tố S – ma trận ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với quá trình phân rã điện yếu biểu diễn tại (Hình 1.1) như sau:

( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )

e

e

m m m iG

.(2 ) (2 ) (2 ) (2 )

N

= Õ Õ (1.16)

So sánh (1.14) và (1.15) suy ra được biểu thức cho biên độ của phép dời

chuyển bất biến T cho phân rã muon

Tính bình phương biên độ của phép dời chuyển T (1.17), lấy tổng spin trạng

thái cuối và lấy trung bình các spin trạng thái đầu:

1 2 3

2 2

= - 2 4éêm m e nùú-1T r êg l(1+ g5)q/2g r(q/1+ m e)ú

ë û ë û (1.21) ( ta đã thay (1+ g5)2 = 2(1+ g5) và m v = 0 )

1.2 Tốc độ phân rã của quá trình m ® e + n %e + nm

Công thức tổng quát để tính tốc độ phân rã có dạng [5]:

( ) 2

( 4) 1

trong đó E là năng lượng của hạt ban đầu phân rã, a E E1, 2 E và n p p1, 2, p n

là năng lượng và xung lượng của các hạt sản phẩm của quá trình phân rã;

Ta lấy tích phân theo các xung lượng q , và 2 q 3

Áp dụng công thức tính tích phân sau đây cho (1.28):

m m

Chương 2 ĐÓNG GÓP CỦA BỔ CHÍNH TƯƠNG TÁC ĐIỆN TỪ CHO PHÂN RÃ

MUON 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá

trình m ® e + n %e + nm+ g

Trong chương 1, ta đã tính phần đóng góp vào quá trình phân rã

e

m® + n%+ n , từ tương tác yếu, trong gần đúng bậc nhất (bậc một) theo G –

hằng số tương tác yếu, và đã thu được biểu thức hữu hạn cho tốc độ phân rã Các hạt tham gia quá trình m® e+ n%e + n m có m và e mang điện Chính vì vậy ta phải

kể thêm phần đóng góp của tương tác điện từ, có nghĩa các hạt tích điện trong quá trình phân rã, đồng thời lại tham gia tương tác với trường bức xạ điện từ Hamintonian tương tác điện từ Hintem = J A m m, trong đó dòng điện tích ( ) ( ) e( ) ( ) ( )

J m x = ie y m x g y m x = ie m x g m e x Việc kể thêm đóng góp của bức xạ hãm (bức xạ và hấp thụ photon) sẽ làm các biểu thức biên độ bất biến T của phép dời chuyển và biểu thức cho tốc độ phân rã xuất hiện phân kỳ hồng ngoại [13,17], ở vùng năng xung lượng thấp Các photon thực cũng như hạt ảo có năng xung lượng rất nhỏ so với năng xung lượng của hạt tham gia quá trình phân rã, thì người ta coi

chúng là photon ” mềm”

Phân kỳ hồng ngoại liên quan trực tiếp đến các trường mà lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không Ví dụ, như photon trong QED, graviton trong hấp dẫn lượng tử Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green,

mà còn ở các yếu tố ma trận, nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý thuyết trường lượng tử Khó khăn này chúng ta đã gặp phải ngay cả khi nghiên cứu các bài toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học

cổ điển [9] Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng: Sự bức xạ hay hấp thụ một photon có xác suất lớn hơn sự bức xạ hay hấp thụ hai, hay một số lượng lớn các photon [4] Chính vì vậy trong luận văn này ta mới chỉ tính đóng góp bổ chính của

tương tác điện từ vào quá trình phân rã hạt muon trong gần đúng một photon thực mềm

Việc tách phân kỳ hồng ngoại trong biểu thức của biên độ của phép dời chuyển ở đây được tiến hành đồng thời bằng hai cách: phương pháp

min

l [11, 17] và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

Trong chương này ta tính đến biên độ của phép dời chuyển tương ứng với quá trình phân rã điện yếu, xảy ra đồng thời do hai tương tác: tương tác yếu và tương tác điện từ Đây là bài toán rất phức tạp, trong giới hạn bản luận văn này ta chỉ giới hạn tương tác điện yếu trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu (G) và gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác điện từ (e), đồng thời ta chỉ xem xét các photon thực “mềm” Giản đồ Feynman tương ứng với phân

rã điện yếu muon trong gần đúng bậc nhất như đã trình bày, có thể biểu diễn trong (Hình 2.1) Cụ thể, quá trình phân rã có thể viết như sau:

m l m

trong đó /e và / là các vector phân cực của photon e*

Viết gọn lại dưới dạng:

h.c thay cho phần liên hợp ecmit của số hạng đứng trước

p = m m p = m , ta bỏ qua các giá trị ˆk trong tử số của

(2.4), và xét trong trường hợp photon “ mềm” k ® 0 , (p1- k)2- m m2 = 2p k1

(p + k) - m = 2p k ta thu được:

fi

T g chứa hai thừa số: thừa số thứ nhất là biên độ của phép dời chuyển không có bức xạ photon, còn thừa số thứ hai là dòng của phép dời chuyển J r em Biểu thức để cho J r em là dạng biểu thức duy nhất thỏa mãn phương trình liên tục kJ = 0 có cực điểm tại k = 0, và nó là nguyên nhân của phân kỳ hồng ngoại

Bình phương biểu thức (2.6), lấy tổng theo các trạng thái Spin cuối, trung bình theo trạng thái Spin đầu, và tổng các trạng thái phân cực của photon, ta có:

phương pháp l min[11, 17], và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

2.2 Phương pháp l mincho quá trình m ® e + n %e + nm+ g

Trong lý thuyết trường (trong QED) ta hay gặp phải các phân kỳ hồng ngoại (khi đó các tích phân sẽ không hội tụ ở các vùng năng lượng thấp) Muốn cho các tích phân hội tụ ta phải quy cho photon một khối lượng bổ trợ l min nào đó, trong biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay tạm thời hàm truyền của photon 1 2

min

k » l và trong kết quả cuối cùng ta cho lmin ® 0

Để tiện cho tiện thảo luận kết quả trong mục 2.3 ta viết lại công thức trong (2.15) và ký hiệu là (2.16) Tích phân chứa phân kỳ hồng ngoại có dạng:

trong đó: R được xác định bởi điều kiện 0£ k £ e , E = p2 + m2 , để cho

gọn ta viết l thay thế cho l min và 2 2

dz

=+ - r r + - r r ò + - r r (2.18) với

=

- ++ -

r r

rr

rr

1

,11

k d

rr

t

l

=-

+

r

t

l l

1 1

2 0

2lim ln lim ln lim ln 1

x

m x x

l p

2

1 1

1 ,2

b p

trình này

Cách mô tả phương pháp điều chỉnh thứ nguyên về việc lấy tích phân bức xạ

hãm đã được các tác giả [9] trình bày hết sức trực tiếp

Trước khi thảo luận các vấn đề này tỉ mỉ ta rút ra một số nhận xét: Ở đây có hai

chiến lược khả dĩ trong việc thực hiện phép lấy tích phân, mà chúng đã được tổng

quát hóa Trong hệ nghỉ của hạt phân rã, biểu thức dưới dấu tích phân bao gồm sự

đóng góp các photon mềm cho quá trình phân rã này, đã kéo theo các tích vô hướng

2

p K , trong đó p2 là xung lượng bốn chiều của hạt tích điện ở trạng thái cuối Vì p 2

là vector bốn chiều nên p K2 = p k2 trong đó k là vector bốn chiều chỉ kéo theo

các thành phần bốn chiều K Lúc đó ta có thể chọn hai cách tiếp cận khác nhau

trong việc đưa vào các tọa độ cực:

p và hình chiếu k của K trong không gian con tương ứng với ba thứ nguyên

không gian vật lý Cả hai cách tất nhiên là tương đương nhưng chúng ta có thể tìm

thấy; thứ nhất phương trình (2.42) dẫn đến sự xem xét đơn giản Phương pháp thứ

hai dựa trên phương trình (2.43) dẫn đến các phép lấy tích phân tương tự như kỹ

thuật l min đã làm (xem mục 2.2) và lúc đó không có sự ưu việt lắm trong tính toán,

nhưng có lợi trong việc lĩnh hội sự tương đương của nó với cách tính truyền thống

Trong khi tính tốc độ phân rã, hàm delta của định luật bảo toàn năng xung lượng được sử dụng để lấy tích phân trong không gian pha của các neutrino

Tích phân phân kỳ hồng ngoại có dạng:

Trong đó, vùng lấy tích phân R được xác định bằng định luật bảo toàn năng xung

lượng, mà nó có nghĩa là năng xung lượng cực đại là hàm số của osc q

.cos

m

m m

= là điểm cuối năng lượng của electron Nhận thấy rằng:

loại trừ điểm E2 = E m, nó luôn luôn dương để chia vùng lấy tích phân thành các khoảng 0£ k £ e và

ax

m

e £ £ , trong đó e là đẳng hướng, có nghĩa không

phụ thuộc vào hướng Phân kỳ hồng ngoại chỉ cần xét thảo luận vùng thứ nhất là đủ

Ta sẽ coi tích phân photon mềm là đại lượng đẳng hướng như I( )e Trong phương pháp truyền thống ( )

I e được cho trước với ý nghĩa sau: việc quy cho photon một khối lượng nhỏ: ( )

e p

-

Trong đó n là tham số điều chỉnh và ký hiệu e nhắc nhở ta là K nằm trong e

vùng 0£ K0 = K £ e Trong hệ muon đứng yên phương trình (2.47) có:

p1m = p1m = 0 ; p2m = p2sinq

Khi đó:

2 2

12

n

n n

2 2 1

2

5 ( )

12

116

2

n n

e

b p

+

Việc lấy tích phân theo K trong vùng hội tụ được thực hiện trong n- không

gian và sự mở rộng giải tích kết quả thu được, ta thấy rằng: phân kỳ hồng ngoại có thể biến thành thừa số hóa và có cực điểm tại n = 4

4 5

n n

ò , (2.52) thay (2.52) vào (2.51) và thực hiện phép khai triển theo chuỗi Laurent tại n = 4

2 2 1

4

116

2

n n

-

( ) ( ) ( )

2 1

2

1

11

Phương pháp l min Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

p k p k p k p k k

e

m m

p

-

Tốc độ phân rã cho quá trình

đề này sẽ được tiếp tục trong thời gian tới