Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp phần tử rời rạc sử dụng mô hình chuyển vị

Nhiệm vụ và nội dung Nội dung chính của luận văn là thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Rời rạc sử dụng mô hình chuyển vị để khảo sát các bài toán ổn định khung ph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

_ _

NGUYỄN CÔNG CHÍ

TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI RẠC SỬ DỤNG MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 1:

CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 2:

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2005

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC _ _

_  _

Tp Hồ Chí Minh, ngày………tháng………năm 2005

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : NGUYỄN CÔNG CHÍ Phái : Nam Ngày, tháng, năm sinh : 08 – 11 – 1979 Nơi sinh : Khánh Hoà

Chuyên ngành : Xây Dựng Dân Dụng & Công Nghiệp Mã số : 02103516

I Tên đề tài TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI

RẠC SỬ DỤNG MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ

II Nhiệm vụ và nội dung

Nội dung chính của luận văn là thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Rời rạc sử dụng mô hình chuyển vị để khảo sát các bài toán ổn định khung phẳng với các nút liên kết cứng, liên kết nữa cứng Đồng thời, trên cơ sở đó thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Dây xích để khảo sát các bài toán ổn định khung phẳng Kết quả tính toán sẽ được kiểm chứng bằng giải tích chương trình lập dựa trên phương pháp Phần tử Hữu hạn

III Ngày giao nhiệm vụ 17 – 01 – 2005

IV Ngày hoàn thành 30 – 06 – 2005

V Họ và tên cán bộ hướng dẫn TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Nội dung đề cương Luận văn Thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

Ngày………tháng 07 năm 2005

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

id19118681 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

LỜI CẢM ƠN



Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh, Phòng Đào tạo sau Đại Học và các quý thầy cô Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng đã truyền đạt cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành luận văn này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Nguyễn Thị

Hiền Lương, người thầy tận tụy đã đưa ra những ý tưởng đầu tiên để hình

thành đề tài cũng như đã hướng dẫn tận tụy, đưa ra những ý kiến quý báu, tạo điều kiện thuận lợi về mặt tài liệu cũng như lý luận, giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến những tác giả đã dày công nghiên cứu, viết ra những cuốn tham khảo có giá trị để giúp tôi có đủ kiến thức để vượt qua những mặt trở ngại về nhận thức, giúp tôi đủ tự tin để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Và lời cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Cha Mẹ, người đã nuôi dưỡng và nâng đỡ tôi nên người, xin chân thành cảm ơn những thầy cô đã truyền cho tôi những kiến thức quý báu, xin cám ơn bạn bè đã động viên giúp đỡ để tôi có được ngày hôm nay

Xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2005

Nguyễn Công Chí

MỤC LỤC



LỜI CẢM ƠN

1.1 Lịch sử phát triển và tính cần thiết của đề tài 01 1.2 Khái niệm về sự ổn định – Phân loại ổn định 06

1.3.3 Các giả thiết cơ bản sử dụng trong luận án 11

2.1.2 Biểu diễn hình học của công – Nguyên lý cộng tác dụng 13

2.2.2 Công của nội lực – Năng lượng biến dạng 14 2.3 Lò xo xoay – Năng lượng tích lũy trong lò xo xoay 15 2.3.1 Lò xo xoay – Sự làm việc của lò xo xoay 15

2.4 Các nguyên lý năng lượng – Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng 16 năng lượng

2.4.2 Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng năng lượng 17

id17646604 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2.6 Phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể 23

Chương III Thiết lập các công thức tính toán cho Phần tử Rời rạc 28

sử dụng mô hình chuyển vị

3.1 Chuyển vị, nội lực trong phần tử – Ma trận độ cứng phần tử 28

3.4 Ghép nối các phần tử – Ma trận độ cứng tổng thể – Ma trận độ cứng 32 ứng suất tổng thể

3.6 Thế năng toàn phần của hệ – Hệ phương trình tổng thể 33

Chương IV Thiết lập các công thức tính toán cho Phần tử Dây xích 55

sử dụng mô hình chuyển vị

Chương V Chương trình tính toán ổn định khung phẳng trên 69

MATLAB 6.0 theo các phương pháp Phần tử Rời rạc,

Phần tử Dây xích, Phần tử Hữu hạn

Khảo sát một số bài toán ổn định khung phẳng

5.1 Xây dựng chương trình tính toán ổn định khung phẳng trên Matlab 6.0 69

5.1.2 Xây dựng chương trình tính toán ổn định trên Matlab 6.0 70

5.2 Khảo sát một số bài toán ổn định khung phẳng 74

– 1 –

CHƯƠNG I



TỔNG QUAN

1.1 Lịch sử phát triển và tính cần thiết của đề tài

Khi thiết kế, xây dựng công trình, người thiết kế phải đảm bảo công trình đủ độ bền, độ cứng, và ổn định Đủ độ bền là ứng suất trong cấu kiện không được vượt qua một giá trị cho phép Đủ độ cứng là chuyển vị của công trình không được vượt quá một giá trị giới hạn nào đó Còn ổn định là khả năng bảo tồn dạng cân bằng ban đầu, không chuyển sang dạng cân bằng khác

Bài toán ổn định đàn hồi của thanh chiụ uốn nén đồng thời đã được Euler nghiên cứu cách đây khoảng 250 năm Trong thời gian đó, vật liệu xây dựng có cường độ tương đối thấp, chủ yếu là gỗ và đá nên vấn đề ổn định đàn hồi chưa phải là vấn đề thiết yếu hàng đầu Do vậy, trong một thời gian dài, lý thuyết ổn định của Euler cho các thanh mảnh chưa có ứng dụng thực tế

Từ đầu thế kỷ XX, các vật liệu có cường độ cao được sử dụng rộng rãi, tạo

ra những cấu kiện có hình dáng thanh mảnh Lúc này, bài toán ổn định có một ý nghĩa hết sức quan trọng Người ta nhận thấy rằng công trình bị phá hoại không chỉ vì ứng suất trong cấu kiện vượt quá ứng suất cho phép của vật liệu mà còn vì các cấu kiện không đảm bảo sự ổn định

Từ bài toán ổn định thanh chịu nén trong miền đàn hồi của Euler, các nghiên cứu về ổn định đã phát triển sang các kết cấu khác nhau như dầm, dàn, khung, tấm vỏ…làm việc trong miền đàn hồi cũng như trong miền dẻo, bài toán tuyến tính cũng như phi tuyến

Bài toán xác định tải trọng tới hạn đàn hồi của khung đã được Smith & Merchant thực hiện vào năm 1956 với khung đối xứng một nhịp, nhiều tầng Năm

– 2 –

1958, Bowles & Merchant đã đề xuất ra sự chuyển đổi khung phẳng nhiều nhịp nhiều tầng thành khung một nhịp tương đương Năm 1961, Timoshenko & Gere đã giải bài toán khung chữ nhật Năm 1964, Waters đã giới thiệu những phương pháp xấp xỉ trực tiếp xác định thông số tải trọng tới hạn đàn hồi của khung chữ nhật và khung tam giác Năm 1968, Goidberg đã giải bài toán tải trọng ngang tới hạn của khung giằng, ông đã đưa ra phương trình tải trọng tới hạn đàn hồi của cột trung gian trong khung nhiều tầng và xem ảnh hưởng của dầm như độ cứng giằng trung bình của tầng đó Năm 1975 Horne giới thiệu phương pháp tính bằng cách thêm vào một tải trọng ngang tại nut bằng 1% giá trị tải trọng đứng tại tầng đó, và thực hiện phân tích ổn định đàn hồi tuyến tính của khung Năm 1979, Al-Sarraf đã thực hiện một phương pháp tính toán hệ số tải trọng tới hạn nhỏ nhất của khung chuyển vị ngang và không chuyển vị ngang dựa vào việc xác định các phương trình đường đàn hồi theo các hàm ổn định không kể đến lực cắt Năm

1980, Anderson đã sử dụng khung con để tính toán hệ số tải trọng tới hạn mà Horne đã sử dụng từ trước Năm 1983, Awadalla giới thiệu một cách tính toán trực tiếp tải trọng tới hạn đàn hồi mà dựa trên khái niệm kết cấu không bao gồm các hàm ổn định Năm 1986, Simitses & Vlahinos phân tích ổn định đàn hồi của khung một nhịp nhiều tầng dựa vào các độ cứng xoay Năm 1987, Goto & Chen đã phân tích đàn hồi bậc hai của các dạng khung Năm 1990, Williams & Sharp sử dụng kỹ thuật khung thay thế để tính toán tải trọng tới hạn của khung nhiều tầng chuyển vị ngang Năm 1997, Essa đã đưa ra một sự biểu diễn hệ số chiều dài ảnh hưởng của khung nhiều tầng không giằng Năm 1998, Lokkas tiếp tục khảo sát sự làm việc đồng thời của hai mô hình khung chuyển vị ngang và không chuyển vị ngang, những thou nghiệm cho thấy sự quan trọng là sự tới hạn của cả hai mô hình xảy ra gần như đồng thời khi hệ đạt tới tải trọng tới hạn Gần nay cũng có một số tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu, tính toán bài toán ổn định

khung như Mahfouz, Andrew Whittaker, Vũ Quốc Anh [7], W.Zahlten, S.Du & B.R.Enlingwood & Felow & J.V.Cox …

Để giải quyết bài toán ổn định, chúng ta có thể vận dụng nhiều cách Nhưng nói chung đều dựa một trong ba phương pháp sau:

 Các phương pháp tĩnh học

Nội dung của phương pháp này là tạo cho hệ đang nghiên cứu một dạng cân bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu; xác định giá trị của hệ lực (lực giới hạn) có khả năng giữ hệ ở trạng thái cân bằng mới

Trong [4] gới thiệu một số phương pháp tĩnh học: Phương pháp thiết lập và giải trực tiếp phương trình vi phân; Phương pháp thiết lập và giải các phương trình đại số; Phương pháp sai phân; Phương pháp dây xích Hencky; Phương pháp Galerkin… Trong các phương pháp trên, phương pháp thiết lập và giải trực tiếp phương trình vì phân được xem là phương pháp chính xác, nhưng do khó khăn về mặt toán học, nên chỉ giải được những trường hợp đơn giản và được dùng để kiểm tra tính chính xác của các phương pháp khác

 Các phương pháp năng lượng

Nội dung của phương pháp này là giả thiết trước biến dạng của hệ ở trạng thái lệch Từ biến dạng này, ta thiết lập thế năng toàn phần trong hệ Căn cứ vào các nguyên lý năng lượng và nguyên lý Dirichlet để xác định lực tới hạn của hệ Nếu biến dạng được chọn đúng thì kết quả tìm được là chính xác Thực tế là

ta không biết được chính xác biến dạng nên kết quả tìm được là gần đúng và ta không phán đoán được sai số của phương pháp [4] Độ chính xác phụ thuộc vào việc chọn trước biến dạng của hệ ở trạng thái lệch

Một số phương pháp thuộc loại này gồm:

- Phương pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Dirichlet

- Phương pháp Ritz

- Phương pháp Timoshenko

– 4 –

- Phương pháp Phần tử Hữu hạn (FEM)

- Phương pháp Phần tử Rời rạc (DEM)

 Các phương pháp động học

Sự cân bằng ổn định được biểu diễn dưới dạng động lực học là tổng quát hơn cả Tiêu chuẩn này được xây dựng trên cơ sở nghiên cứu phương trình mô tả chuyển động của hệ bị lệch khỏi trạng thái ban đầu do một nhiễu loạn nào đó gây ra Nếu sau khi nhiễu loạn đó mất đi, hệ dao động tắt dần hay trở về trạng thái ban đầu mà không dao động thì sự cân bằng là ổn định [4] Trong điều kiện tới hạn, tần số dao động riêng của hệ bằng 0

Phương pháp Động lực học áp dụng các phương pháp nghiên cứu trong Động lực học công trình để xác định tần số dao động riêng của hệ Xác định tải trọng tới hạn từ điều kiện tần số dao động riêng của hệ bằng 0

Ở đây, luận văn chỉ đề cập đến Phương pháp Phần tử Rời rạc dựa trên cơ sở năng lượng để giải quyết bài toán ổn định khung phẳng

Phương pháp Phần tử Rời rạc được sử dụng lần đầu tiên bởi H.Hencky (1920) khi phân tích ổn định của thanh một đầu ngàm, một đầu tự do chịu tải trọng tập trung [1], [4] H.Hencky đã thay thế thanh liên tục này bằng mô hình dây xích Hencky hay còn gọi là mô hình Phần tử Rời rạc Ý tưởng ban đầu là thay thế thanh bằng n đoạn thẳng bằng nhau, được nối với nhau bằng các khớp đàn hồi (mô hình dây xích) và sử dụng Phương pháp Sai phân Hữu hạn để xác định lực tới hạn

Phương pháp Phần tử Rời rạc được giới thiệu trong [1] là một phương pháp dựa trên cơ sở năng lượng Mô hình này tương tự như một sợi dây xích bao gồm những thanh thẳng và cứng (gọi là phần tử) được nối với nhau bởi các khớp không ma sát Người ta đặt vào các khớp này các lò xo xoay để tạo cho mô hình một khả năng chịu uốn, còn các phần tử được xem như một loại ống xếp lồng

nhau tương tự kính viễn vọng với lò xo tịnh tiến đặt bên trong để tạo cho mô hình một khả năng chịu kéo nén

Biến dạng của hệ kết cấu liên tục được biểu diễn bằng hình học vi phân trong khi đó biến dạng của mô hình Phần tử Rời rạc được biểu diễn bằng hình học sơ cấp Do đó sẽ có sai số do việc xấp xỉ một đường cong biến dạng liên tục của kết cấu bởi một đa giác gồm các đường thẳng của mô hình Phần tử Rời rạc Tuy nhiên, nếu số phần tử tăng lên vô hạn thì ứng xử của mô hình Phần tử Rời rạc sẽ có khuynh hướng giống hệt như kết cấu thực Ngoài ra, việc biểu diễn biến dạng bằng quan hệ hình học sơ cấp dẫn đến hệ các phương trình đại số tuyến tính và việc giải bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều

Với tính chất đó, phương pháp Phần tử Rời rạc không những được sử dụng trong tính toán ổn định nói chung mà còn được sử dụng trong việc xác định chuyển vị, nội lực, đặc biệt hiệu quả khi giải hệ siêu tĩnh Ngoài ra, phương pháp Phần tử Rời rạc còn tỏ ra hữu dụng khi khảo sát trạng thái sau mất ổn định của

kết cấu (Postbuckling behavior)

Trong [1], M.S.EL Naschie đã giới thiệu Phương pháp Phần tử Rời rạc và áp dụng phương pháp này giải một số bài toán như : xác định nội lực, chuyển vị dầm đơn, tính toán một vài ví dụ ổn định thanh, khung phẳng, tấm … Đối với bài toán ổn định khung phẳng, ông cũng trình bày một vài dạng khung đơn giản một nhịp một tầng với số phần tử ít nên kết quả nhận được có độ chính xác thấp và chỉ mang tính minh hoạ Ngoài ra, các ví dụ đề cập trong [1] chỉ là những bài toán riêng lẻ mà chưa đưa ra một công thức tổng quát chung cho bài toán ổn định khung phẳng

Trong [2], [3], Nguyễn Thanh Sử đã áp dụng Phần tử Rời rạc của El Naschie để khảo sát sự ổn định khung phẳng, với các biến số là các góc xoay tương đối giữa các phần tử, và cho kết quả khả quan Tuy nhiên, phương pháp được trình

– 6 –

bày ở [2], [3] vẫn khó áp dụng cho những hệ phức tạp (khung nhiều tầng nhiều nhịp, khung không gian…), cần có một phương pháp khác có tính tổng quan hơn Một số phương pháp tính toán hiện nay như phương pháp giải tích cho kết quả chính xác nhưng việc tính toán rất phức tạp, phương pháp năng lượng như phương pháp Phần tử Hữu hạn được ứng dụng rộng rãi trong tính toán cùng với sự trợ giúp của máy tính, tuy nhiên khá cồng kềnh khi giải quyết một số bài toán đơn giản và cũng chỉ thu được kết quả gần đúng

Ngày nay, cùng với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật, vật liệu ngày càng có cường độ cao, các kết cấu thanh mảnh ngày càng sử dụng nhiều, đòi hỏi phải tính toán đến ổn định công trình Bên cạnh đó, một số các nghiên cứu đã mở rộng sang các vấn đề về ứng xử của kết cấu sau mất ổn định

… Do đó, vấn đề ổn định công trình có ý nghĩa rất quan trọng, cần phải có những nghiên cứu sâu hơn và rộng hơn nữa

Chính vì vậy, việc tìm hiểu và nghiên cứu một phương pháp mới, đơn gản hơn, có độ chính xác cao đồng thời có thể phục vụ cho những nghiên cứu mở rộng khảo sát trạng thái sau mất ổn định của kết cấu là điều cần thiết

1.2 Khái niệm về sự ổn định – Phân loại ổn định

1.2.1 Khái niệm

Để hiểu rõ hơn về sự ổn định, ta xét sự cân bằng của ba quả cầu ở hình 1.1

Ta có ba dạng cân bằng:

Hình 1.1 – Các dạng cân bằng

Hình 1.1a biểu thị dạng cân bằng ổn định, 1.1b biểu thị dạng cân bằng không ổn định, và 1.1c biểu thị dạng cân bằng phiếm định

Theo [4], vị trí của công trình hay dạng cân bằng của công trình ở trạng thái biến dạng được gọi là ổn định nếu như sau khi gây ra cho công trình một độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đầu bằng một nguyên nhân nào đó rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì công trình có khuynh hướng quay trở về trạng thái ban đầu, còn nếu công trình không trở về trạng thái ban đầu khi bỏ nguyên nhân đó đi thì trạng thái này gọi là không ổn định và lúc đó công trình có khuynh hướng chuyển sang vị trí mới hoặc dạng cân bằng mới

Như vậy, ta thấy rằng tính chất ổn định của công trình là có giới hạn Khi sự ổn định của công trình mất đi thì công trình không có khả năng đảm bảo trạng thái làm việc bình thường

Khi công trình chuyển từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định thì công trình được gọi là mất ổn định Đây là trạng thái tới hạn và tải trọng nhỏ nhất ứng với trạng thái mất ổn định được gọi là tải trọng tới hạn Pcr

1.2.2 Phân loại ổn định

Theo [4], ta chia hiện tượng ổn định thành hai trường hợp:

1.2.2.a Mất ổn định về vị trí

Hiện tượng này xảy ra khi công trình được xem là tuyệt đối cứng không giữ nguyên trạng thái ban đầu mà chuyển sang một vị trí khác Đó chính là mất ổn định lật hay trượt Ta có thể thấy được dạng mất ổn định ở các công trình đập tràn, trụ cầu, tháp nước … Khi đó toàn bộ công trình có chuyển vị tịnh tiến hay chuyển vị xoay hay vừa tịnh tiến vừa xoay

Hiện tượng mất ổn định loại này được gọi là hiện tượng mất ổn định Euler mà theo [4] có các tính chất sau:

- Dạng cân bằng của hệ có khả năng phân nhánh

- Khi vượt qua tải trọng tới hạn sẽ có khả năng phát sinh dạng cân bằng mới, khác dạng trước về tính chất

- Trước trạng thái tới hạn thì dạng cân bằng ban đầu của hệ là duy nhất và ổn định, sau trạng thái tới hạn thì dạng cân bằng ban đầu của hệ là không ổn định

Để thấy rõ hiện tượng này, ta xét bài toán ổn định thanh chịu nén đúng tâm của Euler:





(a) Sơ đồ thanh chịu nén đúng tâm (b) Dạng phân nhánh cân bằng

Hình 1.2 – Thanh chịu nén đúng tâm

- Khi P < Pcr, nếu có một lực nhiễu loạn nhỏ R làm thanh bị uốn cong nhưng khi bỏ nhiễu loạn R thì thanh trở về trạng thái ban đầu Đó là

- Khi P = Pcr, dạng cân bằng bị phân nhánh thành hai dạng, ngoài ra trạng thái cân bằng chịu nén còn có khả năng xuất hiện trạng thái cân bằng uốn dọc khi có nhiễu loạn R Trạng thái này tương ứng với điểm

A trên hình 1.2b

- Khi P > Pcr, trạng thái cân bằng chịu nén vẫn tồn tại song không ổn định (tương ứng nhánh AB) Nếu cho một nhiễu loạn R tác dụng tại điểm đặt lực P theo phương ngang thì thanh uốn cong và khi R không tác dụng nữa thì thanh không trở về trạng thái biến dạng ban đầu mà sẽ chuyển sang trạng thái cân bằng uốn dọc nếu biến dạng của thanh là hữu hạn Dạng cân bằng này tương ứng với nhánh AC và AD trên hình 1.2b

 Loại 2

Lúc tải trọng ban đầu nhỏ sẽ gây ra biến dạng ban đầu trong hệ và khi tải trọng đạt một giá trị nào đó thì biến dạng của hệ phát triển rất nhanh nhưng tính chất của biến dạng không đổi Đặc trưng của hiện tượng mất ổn định loại này như sau :

- Dạng cân bằng của hệ không phân nhánh

- Biến dạng và dạng cân bằng của hệ không thay đổi về tính chất

Ta chủ yếu nghiên cứu dạng mất ổn định loại 1 vì khi xác định khả năng chịu lực của các cấu kiện chịu uốn nén đồng thời, ta cần phải biết giá trị tới hạn của lực dọc trong cấu kiện đó tương ứng với sự mất ổn định loại 1 nên việc nghiên cứu hiện tượng mất ổn định loại 1 có ý nghĩa về mặt lý thuyết và thực tế

– 10 –

1.3 Nhiệm vụ và nội dung của luận án

1.3.1 Mục đích luận văn

Trên cơ sở lý thuyết tổng quát về sự cân bằng ổn định của hệ đàn hồi, sử dụng phương pháp năng lượng, trên cơ sở phương pháp Phần tử Rời rạc được trình bày trong [1], [2], [3], luận văn đề xuất phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể (Modified DEM) và phương pháp Phần tử Dây xích (Chain Element Method – CEM), ứng dụng các phương pháp này trong việc xác định nội lực và khảo sát ổn định khung phẳng có liên kết và nửa cứng

Luận văn đề cập đến những vấn đề sau:

- Thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể sử dụng mô hình chuyển vị trong bài toán tính nội lực và ổn định

- Sử dụng phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể để tính toán ổn định khung phẳng có các liên kết cứng và liên kết nửa cứng

- Thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Dây xích sử dụng mô hình chuyển vị trong bài toán tính nội lực và ổn định

- Lập chương trình tính toán ổn định khung phẳng dựa trên phương pháp Phần tử Rời rạc, Phần tử Dây xích, Phần tử Hữu hạn để tiến hành khảo sát một số bài toán ổn định khung phẳng cụ thể

1.3.2 Nội dung tóm tắt của luận văn

Luận văn bao gồm sáu chương:

- Chương Một: Giới thiệu tổng quan về lịch sử phát triển của ổn định công trình, các phương pháp tính toán ổn định, tính cấp thiết của đề tài, khái niệm, phân loại ổn định

- Chương Hai: trình bày lý thuyết cơ bản về công, công ngoại lực, công

việc thay thế kết cấu đàn hồi bằng mô hình lò xo tương đương Giới thiệu phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie và những vấn đề tồn tại cần khắc phục, trên cơ sở đó nêu lên các hiệu chỉnh phương pháp Phần tử Rời rạc của luận văn

- Chương Ba: Thiết lập các công thức tính toán nội lực và ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể (gọi tắt là phương pháp Phần tử Rời rạc – DEM) sử dụng mô hình chuyển vị

- Chương Bốn: Thiết lập các công thức tính toán nội lực và ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Dây xích sử dụng mô hình chuyển vị

- Chương Năm: Giới thiệu tổng quan về chương trình Matlab 6.0 Thiết lập các chương trình tính toán ổn định khung phẳng theo phương pháp Phần tử Rời rạc, Phần tử Dây xích, Phần tử Hữu hạn Tiến hành khảo sát một số bài toán ổn định khung phẳng cụ thể

- Chương Sáu: Các kết luận và kiến nghị của tác giả luận văn

Đồng thời, phần Phụ lục của luận văn sẽ trình bày các chương trình tính toán được sử dụng trong luận văn

1.3.3 Các giả thiết sử dụng trong luận văn

- Vật liệu là đồng nhất và tuân quy luật ứng xử đàn hồi của định luật Hooke

- Các thanh của khung xem như không co giãn được, khoảng cách giữa các nút khung trước và sau biến dạng xem như không đổi

- Tải trọng bảo toàn dưới dạng lực tập trung đặt tại các nút của cột và dầm

– 12 –

CHƯƠNG II



CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Công – Năng lượng 2.1.1 Công của ngoại lực

Xét một vật thể chịu tác động của lực P, chuyển động theo phương của lực P những đoạn x vô cùng bé:



Không ma sát

Hình 2.1 – Công của ngoại lực

Giả thiết rằng lực P là hằng số trong các gia số chuyển động x vô cùng bé Công do lực P sinh ra trong từng đoạn x là:

x P

0

(2.3)

id6801219 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2.1.2 Biểu diễn hình học của công – Nguyên lý cộng tác dụng

Vẽ biểu đồ P – x, ta có:

Hình 2.2 – Biểu diễn hình học của công

Ta biết rằng biểu thức AP x dx biểu diễn diện tích của hình thang cong được giới hạn bởi đường P x và đoạn dx như hình vẽ Nếu P x kx là đường thẳng (quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị là tuyến tính, k là hằng số) thì ta có biểu diễn hình học của công sẽ là một tam giác:

2

2

1 2

1

kx Px

Trong trường hợp này, nếu có lực P1 gây ra một chuyển vị x1, lực P2 gây ra một chuyển vị x2 thì hợp lực P1 + P2 sẽ gây ra một chuyển vị x1 + x2 Đó chính là nguyên lý cộng tác dụng khi quan hệ tải trọng – chuyển vị là tuyến tính

2.2 Nội lực – Năng lượng biến dạng

2.2.1 Định nghĩa nội lực

Ta biết rằng trong vật thể luôn có các lực liên kết giữa các phần tử vật chất Khi có ngoại lực tác dụng, các phần tử vật chất có khuynh hướng thay đổi vị trí là cho vật thể bị biến dạng Khi đó, lực liên kết sẽ tăng lên để chống lại biến dạng này Độ gia tăng của lực liên kết giữa các phần tử vật chất gọi là nội lực Cường

Quan hệ giữa ứng suất – biến dạng trong giai đoạn đàn hồi được biểu diễn qua định luật Hooke [9]:

Trong đó:   là vectơ biến dạng

  là vectơ ứng suất

 C là ma trận các hệ số đàn hồi là các hằng số

Đối với phần tử thanh dầm, do kích thước mặt cắt ngang rất bé so với chiều dài thanh dầm nên ta sử dụng các ứng suất đã được tổng quát hoá, bao gồm:

 Lực dọc (N) là thành phần lực hướng vuông góc với mặt cắt ngang của cấu kiện

 Lực cắt (Q) là thành phần lực tiếp xúc với mặt cắt ngang của cấu kiện

 Moment uốn (M) là thành phần làm cho cấu kiện xoay chung quanh trục thuộc mặt phẳng của mặt cắt ngang của cấu kiện đó

 Moment xoắn (MT) là thành phần làm cho cấu kiện xoay chung quanh trục vuông góc với mặt cắt ngang của cấu kiện đó

2.2.2 Công của nội lực – Năng lượng biến dạng

Khi hệ chịu tác động của ngoại lực thì hệ sẽ bị biến dạng Khi ngoại lực thôi không tác dụng nữa thì hệ có xu hướng khôi phục lại kích thước và hình dáng ban đầu Như vậy, công của ngoại lực đã chuyển hoá thành một dạng năng lượng tích luỹ trong hệ, được gọi là thế năng biến dạng đàn hồi

Ta có thể xác định thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ qua việc xác định công của ngoại lực tác động lên hệ qua công thức:

A

Với U là năng lượng biến dạng tích luỹ trong hệ, A là công của ngoại lực tác động lên hệ Hoặc ta cũng có thể xác định thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ thông qua nội lực và biến dạng phát sinh trong hệ trong quá trình hệ chịu tác động của ngoại lực Đối với thanh dầm, theo [8] ta có:

EA

N dx

EI

M U

2 2

2

2

1 2

1 2

1

Đối với bài toán khung, ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt đến chuyển vị là không đáng kể, nên thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ sẽ có dạng gần đúng là:



EI

M U

2

2

1

(2.8)

2.3 Lò xo xoay – Năng lượng tích luỹ trong lò xo xoay

2.3.1 Lò xo xoay – Sự làm việc của lò xo xoay

Lò xo xoay là một kết cấu đã được lý tưởng hoá, chỉ có thể chống lại moment tác động lên nó, không có khả năng chống lại tác dụng của lực dọc, lực cắt Mô hình của lò xo xoay được biểu diễn như hình 2.3





Hình 2.3 – Lò xo xoay, mô hình và sự làm việc

Mối quan hệ giữa moment M phát sinh trong lò xo xoay với góc xoay tỷ đối

 được cho bởi công thức sau:



M

C

2.3.2 Năng lượng tích luỹ trong lò xo xoay

Xét một lò xo xoay chịu một lực P tác động như hình 2.3 Vì hệ cân bằng nên ta có:





L

C P PL C

Vì lực P luôn vuông góc với trục nối giữa lò xo và điểm đặt lực nên quãng đường mà lực P sinh công chính là cung tròn vẽ bởi điểm đặt lực P trong quá trình chuyển động Công của lực P sinh ra là:

C Pdx A

2

1 2



C U

2

1 2

2.4.1 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng [9]

Thế năng toàn phần  của một hệ đàn hồi được xác định như sau:

trường chuyển vị ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn phần

 đạt giá trị dừng Như vậy, khi vật thể cân bằng thì:

2.4.2 Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng năng lượng

Xét ba quả cầu nằm trên các mặt đỡ như hình 2.4

Hình 2.4 – Các trạng thái cân bằng

Bằng trực quan ta thấy, trường hợp (a), quả cầu ở trong trạng thái cân bằng ổn định, trường hợp (b), quả cầu ở trong trạng thái cân bằng không ổn định, còn trong trường hợp (c), quả cầu ở trong trạng thái cân bằng phiếm định hay cân bằng trung tính Khảo sát năng lượng của các hệ, ta thấy ở trường hợp (a), bất kì sự chuyển dịch nào của quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng đều làm cho trọng tâm của quả cầu được nâng cao thêm Để tạo ra chuyển dịch ấy, ta phải tiêu tốn một lượng công nào đó Vậy thế năng của hệ tăng lên ứng với bất kì sự chuyển dịch nhỏ nào ra khỏi vị trí cân bằng Trong trường hợp (b), mọi chuyển dịch bất kì ra khỏi vị trí cân bằng đều làm hạ thấp trọng tâm của quả cầu và làm giảm thế năng của hệ Như thế, ở trạng thái cân bằng ổn định, thế năng của hệ là cực tiểu, còn ở trạng thái cân bằng không ổn định, thế năng của hệ là cực đại Nếu trạng thái cân bằng là phiếm định (trường hợp (c)), thì trong quá trình chuyển dịch, năng lượng của hệ không có gì thay đổi [1], [4]

Tổng quát hoá những nhận định trên, ta có nguyên lý Dirichlet được phát

biểu như sau: Nếu hệ ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần đạt

giá trị cực tiểu so với tất cả các vị trí của hệ ở lân cận vị trí ban đầu với những

– 18 –

chuyển vị vô cùng bé; nếu hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định thì thế năng toàn phần đạt giá trị cực đại còn nếu hệ ở trạng thái cân bằng phiếm định thì thế năng toàn phần không đổi [4], [9]

Sự biến thiên thế năng toàn phần của hệ khi chuyển từ trạng thái đang xét sang trạng thái lân cận như sau:

  thì hệ cân bằng phiếm định

Vậy, ta đi tìm lực tới hạn theo phương trình:

A

U 

2.5 Phương pháp Phần tử Rời rạc

2.5.1 Mô hình phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie

Ý tưởng cơ bản của phương pháp Phần tử Rời rạc được El Naschie trình bày

trong [1] là xấp xỉ đường đàn hồi của hệ thành n thanh cứng nối với nhau bởi các

lò xo xoay Mô hình của phương pháp được biểu diễn qua hình 2.5

Theo [8] ta có:

   

EI

M x x

w ''  ' 

Với quy ước M dương khi làm căng thớ dưới của dầm

Có nghĩa là:

M EI

M x EI

M x

U

2 2

2

1 2

EI U

2 2

'

2

1 2

Ta nhận thấy năng lượng tích luỹ trong mô hình Phần tử Rời rạc sẽ tiến đến thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong kết cấu liên tục nếu bỏ qua sự ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc Vậy, mô hình Phần tử Rời rạc sẽ tiến tới mô hình thực khi số chia phần tử đủ lớn

2.5.2 Aùp dụng phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie [1]

Xét hệ kết cấu như trên hình 2.6a

– 20 –

Hình 2.6 – Bài toán dầm đơn giản

Hệ được mô hình như trên hình 2.6b, gồm ba phần tử bằng nhau có chiều dài

Hình 2.7 – Chuyển vị trong hệ Phần tử Rời rạc

Độ cứng lò xo xoay là:

L

EI x

27 2

Aùp dụng (2.14) ta có:

EI

PL P

L

EI A

3

54

1 0

Trong [1], El Naschie cũng nhận thấy rằng, tuy công thức xác định độ cứng

lò xo xoay là

x

EI C



 , nhưng giá trị này không chính xác với lò xo tại vị trí liên kết hệ kết cấu với đất Tại vị trí này, độ cứng của lò xoay thì lớn hơn độ cứng của lò xo xoay trong hệ Để hiệu chỉnh, [1] xét một console chịu tải trọng tập trung như hình 2.8:

Hình 2.8 – Console chịu tải trọng tập trung và mô hình Phần tử Rời rạc

Căn cứ vào đường đàn hồi theo giải tích [8], ta tìm được độ võng của dầm tại vị trí

n

L là:

6

1 3

P



Theo mô hình Phần tử Rời rạc, ta có:

EI n

n C

1 3

2.5.3 Phương pháp Phần tử Rời rạc và cách thiết lập công thức ma trận

theo El Naschie

Phương pháp Phần tử Rời rạc nêu ở 2.5.1 sử dụng các biến số là các góc xoay phần tử Khi chuyển sang sử dụng các biến số là các chuyển vị thẳng và sử dụng ma trận độ cứng phần tử, El Naschie xác định có 02 loại phần tử: một loại có liên kết lò xo xoắn ở một đầu, đầu còn lại là liên kết khớp (ứng với phần tử có liên kết khớp với đất), và một loại có liên kết lò xo xoắn ở hai đầu Mô hình loại đầu tiên như hình 2.9 [1]



k

Hình 2.9 – Mô hình Phần tử Rời rạc

sử dụng các biến chuyển vị nút của El Naschie [1]

Năng lượng tích luỹ trong phần tử là:

1 2

1 2 2

2 2

2

1

k k k k

k u

u C

1 1 2

1 1

2 C2

Khi tiến hành ghép nối các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận độ cứng tổng thể theo cách như phương pháp Phần tử Hữu hạn, El Naschie nhận thấy năng lượng tích lũy tại mỗi khớp đàn hồi là  2 

1 2

2

1



 k k

C  , trong khi thực tế, năng

lượng tích lũy này là  2

1

2

1

k k

C   nên ma trận độ cứng tổng thể thu được không chính xác, phải hiệu chỉnh Trong [1], El Naschie đã hiệu chỉnh bằng cách xác lập

ma trận độ cứng tổng thể từ hệ ban đầu, sau đó so sánh với ma trận được ghép nối từ ma trận độ cứng phần tử và tìm ra ma trận hiệu (submatrix) [1]

2.6 Phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể

Qua phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie trình bày trong [1] và được Nguyễn Thanh Sử áp dụng để tính toán ổn định khung phẳng trong [2], [3], tuy đạt nhiều kết quả khả quan nhưng vẫn còn tồn tại những vướng mắc sau đây:

 Cách xác định độ cứng lò xo xoay trong trường hợp lò xo xoay này liên kết hai phần tử có chiều dài khác nhau, hoặc hai phần tử có độ cứng EI khác nhau, hoặc cả hai trường hợp trên, hoặc liên kết nhiều hơn hai phần tử (ví dụ như nút khung)

 Ý nghĩa vật lý của lò xo xoay liên kết nhiều hơn hai phần tử Cách xác định năng lượng tích luỹ trong lò xo loại này

 Độ chính xác của nghiệm còn thấp

Để khắc phục phần nào những vấn đề trên, tác giả kiến nghị: tại mỗi lò xo xoay liên kết n phần tử, ta phân tích lò xo xoay này thành n lò xo xoay mắc nối tiếp Các lò xo xoay này nối với nhau tại một trục chung, và trục này cũng có thể xoay được trong mặt phẳng Như vậy, mỗi phần tử sẽ có hai lò xo xoay tại hai đầu Mô hình phân tích này được thể hiện trong hình 2.10

Trục chung

  

(a) Mô hình không gian (b) Mô hình phẳng

Hình 2.10 – Mô hình Phần tử rời rạc hiệu chỉnh

Góc xoay của trục chung trong mặt phẳng XY là góc , góc xoay của phần tử quanh trục chung là góc 

Như vậy mô hình mới này đưa thêm vào một trục chung để kết nối các lò xo của các phần tử Trục này vuông góc với mặt phẳng chứa phần tử, có thể xoay quanh chính mình với góc xoay , di chuyển trong mặt phẳng chứa phần tử theo các phương x, y Sự khác nhau giữa mô hình khớp đàn hồi của El Naschie và mô hình khớp đàn hồi biến thể được thể hiện trong hình 2.11

Hình 2.11 – So sánh sự khác nhau giữa các khớp đàn hồi trong mô hình của El

Naschie và mô hình kiến nghị của luận văn Trong đó, (a) là mô hình khớp đàn hồi của El Naschie, (b) là mô hình khớp đàn hồi biến thể của luận văn, (c) là sơ đồ biến dạng của khớp đàn hồi biến thể này Trong mô hình khớp đàn hồi biến thể,   0

Để xác định độ cứng lò xo tại mỗi đầu phần tử, ta xét mô hình sau:

Hình 2.12

Khai triển Taylor đường đàn hồi lân cận điểm (i+1), chỉ xét đến bậc 2:

1 1

1 1

i i i

x

Mà ta biết:

khi x

y

L

x y x y

L x

x

i i

i i

i i

i i

1 1

1 1

1 1

"

0 '

i

L

EI L

EI

M L x

y x

C  2 Nếu hai phần tử cùng độ cứng EI, cùng chiều dài nối với nhau thì lò xo

xoay giữa chúng có giá trị

L EI C

C td  2 Giá trị này trùng với cách tính trong phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie [1]

Chương II đã đề cập đến mô hình và sự làm việc của lò xo xoay, năng lượng tích luỹ trong lò xo xoay

Trong Chương II cũng đã giới thiệu sơ bộ về phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie, các công thức tính toán và ví dụ tính toán cụ thể

Cuối cùng, trong Chương II cũng đã nêu lên một số vướng mắc của phương pháp Phần tử Rời rạc trình bày trong [1], [2], [3], nêu lên cách khắc phục, đồng thời xác lập những công thức cơ bản, làm nền tảng cho việc thiết lập các công thức tính toán ở các chương sau

– 28 –

CHƯƠNG III



THIẾT LẬP CÁC CÔNG THỨC TÍNH TOÁN CHO PHẦN TỬ RỜI

RẠC SỬ DỤNG MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ

3.1 Chuyển vị, nội lực trong phần tử – Ma trận độ cứng phần tử

Xét phần tử như hình vẽ:

Hình 3.1 – Phần tử Rời rạc

Trường chuyển vị nút phần tử là    T

j j i i

i j

i j j

i

q Ph q

q

L L

q q L

q q

0 1 0 1 1

0 1 0 1 1

L

Ph được gọi là Ma trận tính góc nghiêng phần tử

id6853765 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

   

   

 e    e

j j i i e

j i j

j

i i j

i

q S q L

L L

q

q q

0 1 1

1

1 0 0 0

0 0 1 0 1 0

0 1 1

0

0 1

1 0

0 1 1

0

0 1

S

1 0 1

0 1 1

j

i i j

i

q S C C

C C

C M

0

0

là Ma trận độ cứng các lò xo xoay

Thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ là:

                 e  e

T e e

T T T e T

U

2

1 2

1 2

L C DX

L C C

C

L C L

C

L C C

C L C C C

L B C B K

j

j j

i

i i

j j

i i

j i T

T

 K e được gọi là Ma trận độ cứng phần tử

– 30 –

3.2 Ma trận độ cứng ứng suất phần tử [2]

Xét phần tử có các chuyển vị như hình 3.2

Hình 3.2

Phần tử trong quá trình chịu lực sẽ phát sinh nội lục Pe

Công do lực Pe sinh ra sẽ là:

2

1 2

1 cos

P L

1     Với quy ước Pe < 0 làm nén phần tử

Biểu diễn (3.6) dưới dạng ma trận, ta có:

       eus  e

T e e

e T e

DX L

P q A

2 1 0

0 1

0 0 0

0 1 0 1 2

0 0 0

0 1 0 1

DX L P

P eus e là Ma trận độ cứng ứng suất phần tử

3.3 Phép chuyển trục toạ độ [9]

Như ta thấy ở trên, các công thức (3.1) – (3.8) được xây dựng trong hệ toạ độ thích hợp của mỗi phần tử Hệ này được chọn có gốc đặt tại nút i, một trục hướng về nút j, trục còn lại vuông góc với trục phần tử Hệ toạ độ này được gọi

là hệ toạ độ địa phương (local coordinate system) Các bậc tự do của phần tử

được lấy theo hệ toạ độ này

Trong hệ kết cấu, ta thường gặp các phần tử khác nhau về phương Do đó, các bậc tự do của phần tử cũng khác nhau về phương Vì vậy, cần thiết phải có

hệ toạ độ chung cho toàn hệ, và gọi là hệ toạ độ tổng thể (global coordinate

system) Việc chọn hệ trục toạ độ này là tuỳ ý, miễn làm sau cho việc định vị các

phần tử được dễ dàng, nhanh chóng Thường thì ta chọn hệ trục toạ độ để vẽ làm hệ toạ độ tổng thể

Gọi hệ toạ độ địa phương là xyz, hệ toạ độ tổng thể là x’y’z’

Gọi  q e là vectơ chuyển vị phần tử trong hệ toạ độ địa phương,  q e' là vectơ chuyển vị phần tử trong hệ toạ độ tổng thể Ta hoàn toàn có thể biểu diễn:

Với  T e được gọi là Ma trận biến đổi các thành phần chuyển vị nút từ hệ toạ độ

tổng thể x’y’z’ về hệ toạ độ địa phương xyz

Từ (3.4), (3.8) ta có:

                '  ' '

2

1 ' '

2

1 2

1

e e T e e

e e T e T e e

e T e

Với       e e

T e

2

1 2

1

e eus T e e

e eus T e T e e

eus T e

Với       eus e

T e eus T P T

P '  là Ma trận độ cứng ứng suất phần tử trong hệ toạ độ

tổng thể

Gọi  q là vectơ chuyển vị nút tổng thể Nó sẽ là tập hợp tất cả các bậc tự

do của tất cả các nút của hệ và gồm n thành phần

Mỗi phần tử rời rạc như đã xét có vectơ chuyển vị nút trong hệ toạ độ địa phương là    T

j j i i

q  , , , , và trong hệ toạ độ tổng thể là  q e'

Theo mô hình tương thích, các thành phần của  q e' là nằm trong số các thành phần của  q Và do đó, sự liên hệ giữa hai vectơ này có thể được biểu diễn như sau:

Trong đó,  L e là ma trận định vị của phần tử

Công thức (3.9) cho ta xác định thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong một phần tử Vậy thế năng đàn hồi tích luỹ trong toàn hệ là:

 q     L K L    q q  K  q U

n e

T n

e e

e e

2

1 '

2

1

1 1

e K L L

K

1

' được gọi là Ma trận độ cứng tổng thể (kết cấu)

Công thức (3.10) cho ta xác định công do nội lực trong phần tử sinh ra Vậy công do nội lực sinh ra trong toàn hệ là:

 q     L P L    q q  P  q A

n e

T n

e eus us

e e

2

1 '

2

1

1 1

P

1

' được gọi là Ma trận độ cứng ứng suất tổng thể

Trong thực hành tính toán, ta thường sử dụng ma trận liên hệ Boolean thay

3.5 Công của ngoại lực

Giả thiết rằng hệ lực tác động lên hệ kết cấu chỉ đặt tại các nút Gọi  P n là các ngoại lực tập trung tác động lên các nút theo các bậc tự do tương ứng Khi hệ kết cấu có chuyển vị  q thì công do ngoại lực  P n sinh ra là:

   n

T

P q

3.6 Thế năng toàn phần của hệ – Hệ phương trình tổng thể

Thế năng toàn phần của hệ là:

T eus

T T

us A q K q q P q q P A

1

(3.15) Aùp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý Lagrange), ta sẽ có điều kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút [9]:

0

0

2 1

n

q q q

K  P us  q  P n gọi là phương trình để giải (3.17)

Vì  P us phụ thuộc vào  P n nên để giải (3.17) ta phải giải lặp Khi tính toán nội lực trong phần tử với các chuyển vị nhỏ, thường người ta bỏ qua ảnh hưởng của

 P us nên phương trình (3.17) chỉ còn lại là:

2

1 22 21

12 11

n

b n b

P

P q

q K

K

K K

(3.19)