So sánh sự phân tích p delta của khung thép phẳng theo phương pháp thiết kế aisc hiện hành với một số phần mềm phân tích kết cấu thông dụng hiện nay

Trong phần nghiên cứu này, tác giả sẽ tập trung tính toán và so sánh giá trị moment đ-ợc phân tích từ một số ch-ơng trình tính toán kết cấu thông dụng đó với ph-ơng pháp thiết kế thực hà

LỜI CẢM ƠN

******

Xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Văn Yên, người đã giảng dạy và tận tình hướng dẫn tôi thực hiện đề tài tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô đã truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập

Xin cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi, cảm ơn bạn bè đã có nhiều

ý kiến đóng góp Xin cảm ơn các cấp lãnh đạo đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện bài luận luận văn này

SO SAÙNH Sệẽ PHAÂN TÍCH P-DELTA CUÛA KHUNG THEÙP PHAÚNG THEO PHệễNG PHAÙP THIEÁT KEÁ AISC HIEÄN HAỉNH VễÙI MOÄT SOÁ PHAÀN MEÀM

PHAÂN TÍCH KEÁT CAÁU THOÂNG DUẽNG HIEÄN NAY.

*********

TOÙM TAẫT

********

Có một vài sự khác nhau khi phân tích moment bậc hai trong khung phẳng

đ-ợc phổ biến rộng rãi Trong phần nghiên cứu này, tác giả sẽ tập trung tính toán và

so sánh giá trị moment đ-ợc phân tích từ một số ch-ơng trình tính toán kết cấu thông dụng đó với ph-ơng pháp thiết kế thực hành, đó là ph-ơng pháp khuếch đại moment AISC – LRFD (American Institute Of Steel Construction – Load & Resistance Factor Design)

Đầu tiên, là sự tóm l-ợc một cách khái quát một số khái niệm khác nhau khi phân tích bậc hai Những quy tắc tính toán, giải quyết bài toán này mà từng ch-ơng trình phân tích kết cấu ( SAP 2000 và STAAD III) sử dụng và của ph-ơng pháp khuếch đại moment AISC - LRFD sẽ đ-ợc trình bài một cách rõ ràng hơn Một số dạng khung đ-a ra làm thí dụ cũng đ-ợc trình bài cụ thể

Kế tiếp, các dạng khung nói trên sẽ đ-ợc phân tích, tính toán và các kết quả

có đ-ợc sẽ đ-ợc so sánh

Cuối cùng, đ-a ra kết luận cụ thể từ việc tính toán moment bậc hai cho từng ch-ơng trình phân tích kết cấu và đ-a ra những lời khuyên cho ng-ời sử dụng Nhìn chung, kết quả thu đ-ợc từ ch-ơng trình phân tích kết cấu và từ ph-ơng pháp khuếch đại moment AISC có thể chấp nhận đ-ợc và thể hiện t-ơng đối đầy đủ đ-ợc giá trị moment bậc hai trong khung phẳng

MUẽC LUẽC

********

Ch-ơng I: ý nghĩa và mục đích nghiên cứu 4

I.1.ý nghĩa của việc nghiên cứu 4

II.2 Mục đích nghiên cứu 5

Ch-ơng II: Cơ sở lý thuyết và các ph-ơng pháp thực hành xét đến phân tích bậc hai 7

II.1 cơ sở lý thuyết 7

II.1.1 Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp dầm cột chịu nén uốn 7

II.1.1.1 Ph-ơng trình vi phân cơ bản của bài toán dầm cột chịu nén uốn 7

II.1.1.2 Ma trận độ cứng phần tử của bài toán dầm cột chịu nén uốn 19

II.1.2 Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn 24

II.1.3 Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp tải trọng giả tạo 28

II.2 Một số ph-ơng pháp thực hành gần đúng II.2.1 Ph-ơng pháp hai vòng lặp 31

II.2.2 Ph-ơng pháp tải trọng ngang giả tạo 34

II.2.3 Ph-ơng pháp lặp tải trọng thẳng đứng 37

II.2.4 Ph-ơng pháp độ cứng âm 40

II.3.Sự phân tích bậc hai của một số ch-ơng trình phân tích kết cấu 43

Ch-ơng III: Ph-ơng pháp thiết kế thực hành aisc-lrfd .46

III.1 Giới thiệu 46

III.2 Ph-ơng pháp thực hành phân tích bậc hai AISC- LRFD 46

III.2.1 ý nghĩa 46

III.2.2 Các giả thuyết tính toán 47

III.3 Thí dụ áp dụng 61

Ch-ơng IV: Sơ đồ kết cấu, tải trọng của một số khung và kết quả so sánh 65

IV.1 Sơ đồ kết cấu, tải trọng 65

IV.2 Kết quả so sánh 73

Ch-ơng V: Kết luận và kiến nghị 87

Phụ lục1 90

Phụ lục2 112

Phụ lục 3 135

Phụ lục 4 163

CHệễNG I

*******

YÙ NGHểA VAỉ MUẽC ẹÍCH NGHIEÂN CệÙU

I 1 YÙ NGHểA CUÛA VIEÄC NGHIEÂN CệÙU:

Khi phân tích một kết cấu, cần phải phân tích một cách đầy đủ và chính xác, một số đặt điểm riêng cần phải đ-ợc lựa chọn để mô tả riêng cho kết cấu đó và lựa chọn ph-ơng pháp phân tích thích hợp nhằm chỉ ra đ-ợc phản ứng của toàn bộ hệ thống kết cấu đó khi có tải trọng đặt vào Phân tích bậc thứ một, ở đó các quan hệ cân bằng và động học đ-ợc thiết lập theo dạng hình học không thay đổi nói cách khác là không xét đến sự biến dạng hình học của kết cấu, cách phân tích này t-ơng

đối đơn giản, dể thực hiện tuy nhiên không thực sự chính xác vì bỏ qua tải trọng sinh ra do độ võng, độ lệch của kết cấu Hiện nay, theo quy định bắt buộc ở các tiêu chuẩn thiết kế, hầu hết kết cấu đều đ-ợc phân tích bậc hai, theo đó các ph-ơng trình cân bằng và các mối quan hệ động đ-ợc thiết lập dựa trên sự biến dạng của kết cấu, có nghĩa là yêu cầu thiết kế theo điều kiện ổn định

Theo ph-ơng pháp thiết kế các công trình sử dụng kết cấu thép, ngoài các ph-ơng pháp thiết kế có xét đến ảnh h-ởng bậc hai thông dụng, AISC đ-a ra ph-ơng pháp thiết kế khác phụ thuộc vào các hệ số đ-ợc gọi là ph-ơng pháp thiết

kế theo các hệ số tải trọng (Load Resistance Factor Design-LRFD) Ph-ơng pháp này sử dụng các hệ số khuếch đại làm tăng thêm giá trị moment đ-ợc phân tích bậc một trong các phần tử kết cấu Ph-ơng pháp này th-ờng đ-ợc ứng dụng trong thiết

kế các kết cấu khung thông th-ờng, trong tất cả các tr-ờng hợp cột và dầm vuông góc nhau, tuy nhiên ph-ơng pháp này không áp dụng cho tr-ờng hợp cho các khung

bị khuyết phần tử và dầm – cột không vuông góc nhau hau khung có dầm xiên

Phân tích ảnh h-ởng bậc hai của khung đ-ợc tính toán bởi sự kết hợp của

ảnh h-ởng P- đối với kết cấu khung, và ảnh h-ởng P- đối với từng phần tử riêng biệt trong khung Cả hai sự ảnh h-ởng trên góp phần làm tăng thêm độ biến dạng của khung Điều này rất quan trọng khi xét đến sự kết hợp của hai sự ảnh h-ởng trên

I.2 MUẽC ẹÍCH NGHIEÂN CệÙU :

Trong quá trình nghiên cứu, nhận thấy rằng có một vài điểm khác nhau trong quá trình phân tích bậc hai giữa một số ch-ơng trình tính toán kết cấu thông dụng hiện nay Thông qua nghiên cứu này sẽ đ-a ra một số dạng khung khác nhau để tính toán và xác minh lại có hay không sự khác nhau giữa các ph-ơng pháp phân tích bằng cách sử dụng các ch-ơng trình phân tích kết cấu thông dụng để tính toán moment trong phần tử với moment của phần tử đó đ-ợc tính toán theo ph-ơng pháp thiết kế hệ số khuếch đại moment (AISC-RLFD)

CHệễNG II

******

Cễ SễÛ LYÙ THUYEÁT VAỉ CAÙC PHệễNG PHAÙP THệẽC HAỉNH XEÙT ẹEÁN PHAÂN TÍCH BAÄC HAI

ở phân tích bậc một - phân tích đàn hồi, các mối quan hệ cân bằng và động

đều đ-ợc dựa trên sự không biến dạng về hình học của kết cấu Cách tính toán theo phân tích trên có đặc tr-ng là đơn giản và dể thực hiện Tuy nhiên, cho dù thế nào

đi nữa khi có tải trọng ngang tác dụng vào kết cấu thì th-ờng thấy rằng hình dạng của kết cấu hoàn toàn bị biến dạng so vơi hình dạng ban đầu của nó Chen & Lui,

1991 đã đ-a ra yêu cầu là cần phải có sự phân tích khác dựa trên sự biến dạng đó

Đó là sự phân tích bậc 2 Chen & Lui nhận cho rằng phân tích bậc hai, cùng với các ph-ơng trình cân bằng và các mối quan hệ về động học sẽ làm cho kết cấu bị biến dạng và cho rằng điều này rất cần thiết trong quá trình xét đến sự ổn định của kết cấu

Tr-ớc đây, khi sự biến dạng ch-a đ-ợc biết đến, khi các ph-ơng trình cân bằng và các mối quan hệ về động học đ-ợc thiết lập, tính toán bậc hai cần phải tiến hành theo các b-ớc lặp, khi đó kết quả biến dạng hình học của kết cấu tính toán

đ-ợc trong chu kỳ tr-ớc sẽ đ-ợc dùng làm công thức cơ bản cho các quan hệ cân bằng và động học cho chu kỳ tính tiếp theo (Chen&Lui,1991) Nếu nh- xét đến sự phân tích bậc hai một cách đầy đủ và thận trọng có thể gây khó khăn, tẻ nhạt và mất nhiều thời gian và nếu giải quyết một cách chính xác th-ờng không cần thiết Có một vài ph-ơng pháp đơn giản đ-ợc phát triển và tính toán một cách gần đúng để phân tích bậc hai một cách hiệu quả hơn Một số ph-ơng pháp phân tích thông dụng th-ờng đ-ợc sử dụng hiện nay đ-ợc thực hiện bằng tay nh- :

- Ph-ơng pháp hai vòng lặp của Al-Masatrary và Chen 1990

- Ph-ơng pháp tải trọng nằm ngang giả tạo của Adams, 1974

- Ph-ơng pháp tải trọng ngang lặp của Stafford Smith và Gaiotti, 1988

- Ph-ơng pháp độ cứng âm của Nixon, 1975 – sau đó đ-ợc điều chỉnh bởi Ruterberg, 1981

- Ph-ơng pháp điều chỉnh độ võng – góc xoay của Vanderpitte, 1982

- Ph-ơng pháp thực hành AISC-LRFD

- Ph-ơng pháp chuyển vị

II.1 Cễ SễÛ LYÙ THUYEÁT:

II.1.1 Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp dầm cột chịu nén uốn:

II.1.1.1 Ph-ơng trình vi phân cơ bản của bài toán dầm cột chịu nén uốn:

Xét hình II-1, biểu diển một dầm chịu một lực nén dọc trục P ở hai đầu, lực ngang w tác dụng dọc theo chiều dài phần tử và các moment ở đầu phần tử

MAvà MB

Ph-ơng trình vi phân có thể rút ra bằng cách xét một phân tố vô cùng nhỏ ds hoặc dx (hình II-1) biểu diễn hai hệ lực cân bằng tĩnh Các lực V và N tác động

song song và vuông góc với mặt cắt ngang ( hệ tọa độ địa ph-ơng), trong khi các

ds dP

ds

dx

ds M+dM

S

M H w

ds H+

dsdsS+ dS

dsdsdH

MB

P

dM B

M+

x

ds

Hỡnh II.1

lực S và H tác động theo ph-ơng x và y ( hệ tọa độ tổng thể) Hai hệ lực này có mối liên hệ nh- sau:

ds

dH H

ds S

dx

dS S M ds ds

S ds

Với v là chuyển vị ngang của phần tử Sử dụng các ph-ơng trình gần đúng, II.3c) có thể đ-ợc viết lại nh- sau:

dx

dv H S dx

dM

Lấy vi phân ph-ơng trình (II.5c), thay vào các ph-ơng trình (II.5a) và (II.5b), ta có :

0 2 2

2

2

dx

v d H w dx

dx

v EId

Thay (II.7) vào (II.6), với H P, ta có :

0

2 2

2 2

2

2

dx

v d P w dx

v d EI dx

d

(II.8)

Với EI là hằng số, ph-ơng trình (II.8) trở thành:

w dx

v d P dx

v

d

2 4

và f(x) là nghiệm riêng của ph-ơng trình vi phân, các hằng số tích phân A, B, C, D

đ-ợc xác định từ các điều kiện biên của dầm cột chịu uốn nén

Khi không có lực nén dọc trục ( với P = 0), ph-ơng trình (II.9) trở thành :

w dx

v d

Tr-êng hîp 1:

XÐt mét dÇm nh- h×nh II.2, dÇm chÞu t¶i ph©n bè w vµ lùc nÐn däc trôc P

Lêi gi¶i cho ph-¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n nµy lµ:

2 2 2 cos

EIk

w D Cx kx B kx A

C¸c ®iÒu kiÖn biªn :

0 ,

0 ,

0 ,

kx kL tg

kx kx

EIk

wL

v

2 3

2

1 2

cos sin

Moment lín nhÊt trong dÇm khi cã lùc nÐn däc trôc P:

tgu u

u tgu wL

EIv EIv

M M

Hình II.2

1 cos

) / 2 cos(

2 4

4

x L x EIu

wL u

L ux u EIu

2 2

Với x L/2, ph-ơng trình độ võng tại giữa dầm nh- sau:

u EI

wL u

u u u EI

wL

v

384

5 5

2 sec 12 384

4

2 4

Dễ dàng nhận thấy thừa số

EI

wL

384

biểu thị độ võng giữa dầm do tải trọng w gây ra

Thừa số u biểu thị ảnh h-ởng của lực nén dọc trục P đến độ võng

Hỡnh II.2b

A

a

QP

y

B

bL

xP

ua L

ua L

ub u

L

ub u

u L

ub d

QL

M A 2 cos 2 2 cos2 sin 2 sin2 sin2 2

L

ub L

ua L

ub u

L

ua u

u L

ua d

QL

M B 2 cos 2 2 cos2 sin 2 sin2 sin2 2

Với d 2u( 2 2 cos 2u 2usin 2u)

 Trong tr-ờng hợp tải trọng Q tại vị trí giữa dầm (x L/ 2 ):

u QL u

u

u QL

M

M A B

8 sin

) cos 1 ( 2 8

2 2

Dễ dàng nhận thấy thừa số

8

2

QL

biểu thị độ võng giữa dầm do tải trọng Q gây ra

Thừa số u biểu thị ảnh h-ởng của lực nén dọc trục P đến độ võng

Tr-ờng hợp 4:

Ph-ơng trình vi phân cho 2 đoạn trục võng:

x PL

Qc kx kL Pk

kc Q

c L k Q

Q

sinsin

cL-c

Q Pc PL iz z

L

L c z PL

Q

sin sin

QL u

u tgu EI

QL v

48

3 48

3

3 3

biểu thị độ võng của dầm khi chỉ có lực ngang Q tác động

Thừa số u biểu thị ảnh h-ởng của lực dọc P đến độ võng của dầm

Tr-ờng hợp 5:

Moment tại điểm đầu và cuối :

L

ub tgu

L

ub u

ec u e

L

ub tgu

L

ub u

g u e

M

M B 1 2 cot 2 sin2 1 cos2 2 cos2

2Với : e tgu u

Hỡnh II.2d

a P

Tr-êng hîp 6:

z z z z

z z

z qL

M

M

B A

cossin

cos2sin22

0

2

z z z i

z

z PLz z PL

PL PLz

z PLz z

i z i z i z z i z qL

Q A

cos sin

cos cos

4

4 sin

4 cos 2 2 sin

2

2

2 2

2 4 3

)cossin

(

cos2cos2

2

2

z z

z

z z

z qL

y

c L

L z z

z L

L c z L z L

L c z L cz Q

Q A

sin

sin ) ( cos cos

) ( sin

2

2 2

2 2

2 2

2 3

3 3

3

) sin (

) sin cos

cos sin

sin )

( sin sin

) ( sin

cos )

cos(

sin

sin ) ( sin )

( cos ) cos(

) cos(

(

Liz z z

z L

L c z PL z L

L c z PL PLcz

z PL z PL L

L c z PL z z L

L c z PL

L

L c z z z PL cz z PL L

L c z L iz

z L

L c z L iz L

L c z L z iz c z iz

z L

L c z L z L

L c z L z c Q

M B

sin

cos ) ( sin sin

) ( cos sin

L

L c Q Q Q

Q B A

2 2

2 2

L

c Qc L

c L Qc

M B

Tr-êng hîp 8:

wL

Q A vµ Q B 0

z iz

z PL z PLz PL z iz z iz qL

M A

sin

cos2sin2

sin2cos2

2 2

z z

z z wL

M B

sin

sin 2 2

Q

Q A vµ Q B 0

)1))((cos)(cos(

)(sin)

(cos

)(cos)

(cos)

(cos(

2 2

L L

c L z L

c L z z

L L

c L z c

L

c L z z

c L

c L z z L L

c L z z L L

c L z z

c L z z

L

c L z L c L

c L z z L L

c L z z z Q

M B

) ( cos

) ) ( sin )

( cos )

( cos ( cos

Khi P = 0 thì:

)(

4 4

dx

v d P dx

v d

Lời giải cho ph-ơng trình vi phân cơ bản này là:

D Cx kx B kx A

Các điều kiện biên:

, 0 ,

EI

M

v"x 0 A; "x L B (II.18) Lấy đạo hàm ph-ơng trình vi phân (II.16) kết hợp với các điều kiện biên, ta

có các hằng số A, B, C, D:

kL EIk

M kL M

M M

Hỡnh II.3

Thay c¸c h»ng sè A, B, C, D vµo ph-¬ng tr×nh (II.17), ta cã :

B

L

x kx kL EIk

M L

x kx kx

kL

kL EIk

sin

1 1

1 cos

sin sin

cos 1

M M

M M

M M

A

B A

B

sin

1 cos 2

M

sin

cos 1 2 0

EI

M

L x A x

Ta cã hµm chuyÓn vÞ theo (II.20)

MBMA

L

x kx kL EIk

M L

x kx kL

kL

kL EIk

sin

1 1

1 cos

sin sin

cos 1

B A

L x B

B A

B A

x A

M kL kL

kL kL

kL EI

L M kL kL

kL kL

EI L

M kL kL

kL EIk

M kL kL EIk

v

M kL kL

kL kL

EI

L M kL kl

kL kL

kL EI L

M kL kL EIk

M kL kL

kL EIk

v

sin ) (

sin cos

sin ) ( sin

1 sin

cos 1 1

sin

1 1 '

sin ) (

sin sin

sin cos

1 sin

1 1 1

sin

cos 1 '

2 2

2 2

0

Giải MA và MB theo Avà B, ta có:

B jj A ji B

B ij A ii A

s s

L

EI M

s s

L

EI M

Với

kL kL kL

kL kL kL s

s

kL kL kL

kL kL

kL kL s

s

ji ij

jj ii

sincos

22

sin

sincos

22

cossin

2

2

Nếu các nút cho phép chuyển vị một đại l-ơng là , ph-ơng trình (*) trở thành:

jj ji B

jj A ji B

jj A

ji B

ij ii B

ij A ii B

ij A

ii A

s s L s

s L

EI L

s L

s L

EI M

s s L s

s L

EI L

s L

s L

EI M

II.1.1.2 Ma trận độ cứng phần tử theo ph-ơng pháp thanh chịu nén uốn:

Trong ph-ơng pháp này, ma trận vuông 6x6 đ-ợc xây dựng từ các ph-ơng trình độ võng, góc xoay, dùng để thiết lập các mối quan hệ giữa các lực tại các đầu của cấu kiện

Véctơ tải phần tử: r1,r2, ,r6 T Véc tơ chuyển vị: d1,d2, ,d6 T

Xem hình II.4, từ mối quan hệ giữa độ dốc và chuyển vị:

vũ trớ khi chuyeồn vũ

(a)

M a

(b) L

jj A ji B

ij ii B

ij A ii A

s s L s

s M

s s L s

s M

theo đó s ii s jj và s ij s ji Lực cắt S tại đầu phần tử xác định bởi công thức:

L

P M M

Thay vào ph-ơng trình (II.33) và (II.34), (II.35) có thể viết lại nh- sau:

L kL s

s s

s s

s L

EI

Từ mối quan hệ lực dọc trục và chuyển vị, ta có :

u L

EA

trong đó : u là chuyển vị dọc trục phần tử

Từ (II.33), (II.34), (II.35), (II.36) ta có thể đ-a ra ma trận nh- sau:

(II.33)

(II.34)

u I

A sym

L

kL s

s L

s s s

L

s s s

s

L EI P

S M

M

B A

ij ii

ij ii jj

ij ii ij

ii

B A

0 2

0 0

T-ơng đ-ơng:

d k

r r r r r r

B A

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

6 5 4 3 2 1

(II.40)

hoặc t-ơng đ-ơng

r T

Một cách khác, nếu chuyển vị nhỏ, sự liên hệ về động giữa hai hệ trên đ-ợc viết lại:

6 5 4 3 2 1

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

d d d d d d

u

B A

(II.42)

T-ơng đ-ơng:

d T

Kết hợp (II.39), (II.41), và (II.43), ta có :

d k d T k T

Trong đó : k- ma trận độ cứng của dầm-cột, khi có ảnh h-ởng của lực nén dọc trục

P, kích th-ớc 6x6 nh- sau:

2 1

2

4 2

3

2 1

2 2

1 2

4

612

00

2

60

4

612

06

12

00

00

~

L L

sym

I

L L

L L

I

A I

A

L

EI T k T

12sin

3

c

kL kL

6

)cos1(

2

c

kL kL kL kL

4

cos sin

c

kL kL

kL

2

) sin (

víi

kL kL kL

12sinh

3

t

kL kL

6

)1(cosh

2

t

kL kL

kL

4

sinh cosh

t

kL kL kL

2

) (sinh

víi

kL kL

Có thể viết chung một công thức cho cả tr-ờng hợp lực kéo và lực nén nh- sau:

12

)!

12(

11

(II.48a)

6

)!

22(

12

(II.48b)

2

)!

32(

13

(II.48c)

2

)!

42(

)1(26

1

n

n kL n

2 2

là d-ơng khi P là lực kéo và âm khi P là lực nén Các chuổi

trên sẽ hội tụ với độ chính xác cao khi chỉ cần lấy với 10 số hạng đầu

Nếu lực dọc trong phần tử giới hạn 2 P/P e 2, với P e là lực dọc tới hạn theo Euler, thì các giá trị i trên đ-ợc tính xấp xỉ (theo Lui và Chen, 1987) nh- sau:

4 2

2 4

2 4 2

1

183 8

095 0 10

354 1 10

2 4

2 4 2

2

) ( 183

8

095 0 10

354 1 60

2 4

2 4 2

2 4

2 4 2

3

) ( 183

8

071 0 10

013 1 4

136 0 10

533 2 30

1

kL

kL kL

kL

4 2

2 4

2 4 2

2 4

2 4 2

4

) ( 183

8

143 0 10

026 2 4

270 0 ) ( 10 066 5 60

1

kL

kL kL

EI

PL

kL khi P là lực nén

II.1.2 Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn:

Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn dựa trên nguyên lý năng l-ợng Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi đ-ợc xác định là:

dV d U

n

i i i

Đối với khung phẳng, i 1 6, theo hình II.4a

Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, ứng suất và biến dạng dọc trục tuân theo

định luật Hooke:

Thay (II.53) vào (II.52) và lấy tích phân, ta có:

A dA dx

E U

0 2

2

2

12

1

dx

v d y dx

dv dx

du dx

du

(II.55)

với u và v là chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang của phần tử t-ơng ứng

Vì chuyển vị dọc trục th-ờng nhỏ nên 0

2

1

dx

v d y dx

dv dx

du

(II.56)

Thay (II.56) vào (II.54), lấy tích phân, ta có:

dx dx

dv A dx

dv dx

du A dx

v d I dx

du A

E U

L

0

4 2

2

2

2 2

4

Trong đó:

A dA y

I 2 - moment quán tính tiết diện

Nhận thấy rằng, ma trận độ cứng từ hàm thế năng biến dạng (II.57) , biến dạng thành phần u và v của chuyển vị nút phần tử thể hiện bởi d i với (i 1 6)

Có thể thiết lập các hàm xấp xỉ cho u và v nh- sau:

x a a

3 3 2 2 1

6 5

3 0 2

dx

dv d v

d dx

dv d v

L x L

x x

x L

x

và

6 5 3 2

2

3 2

3 3

2 2

2

3 2

3 3

2

2

232

231

d d d d

L

x L

x L

x L

x L

x L

x x L

x L

v

v d N

với N uvà N v là các hàm dạng ma trận , lấy đạo hàm đối với biến x, ta có:

v v v

v u

dx

v d d N dx

dv d N dx

2

2 '

Xét ph-ơng trình (II.52) và (II.57) ta có :

0 2

1 2

1

2

3 2

2 2 2

2

0

r d dx dx

dv dx

dv A dx

du dx

dv A

dx

du dx

dv dx

du A dx

v d dx

v d I dx

du dx

du A E

v u

dx

v d d

N dx

dv d

N dx

0

3

EA k

EA k

Trong đó:

612

00

2

60

4

6120

612

000

0

2

2 2

0

L L

sym

I A

L

L L L

L

I

A L

10

1 ) (

5

6

6 3 2

5 2 5

, 1 4

, 2 5

, 4 2

,

L d

d L k

k k

)4(30

1)(

10

1

3 6 2

5 )

4 , 3 ( 1 )

) 4 ( 30

1 ) (

10

1

6 3 2

5 )

6 , 4 ( 1 )

) (

5

6

1 4 2 ) 5 , 2 ( 1 ) 5 , 5 ( 1

k

) (

15

2

1 4 )

6 , 6 (

30

1

1 4 )

10

1

1 4 )

6 , 2 ( 1 ) 3 , 2 ( 1 ) 6 , 5 ( 1

k k

vµ k2 cã gi¸ trÞ nh- sau:

) )(

(

108 )

( 432 18

140

1

6 3 2 5 2 2 2 5 3 2 6 2 3 )

5 , 2 ( 2 )

d L d d L k

k

k

(II.76a)

) (

72 ) (

108 6

3 280

1

2 5 3 2

2 5 2 6 3 2 3 2 6 )

5 ,

d L d d d

d k

) (

72 ) (

108 6

3 280

1

2 5 6 2

2 5 2 6 3 2 3 2 6 )

d L d d d

d k

) )(

( 3 ) (

18 3

12

140

1

6 3 2 5 2 2 5 6

3 2

6 2 3 )

Ld

) )(

( 6 4

) (

3 280

1

6 3 2 5 6 3 2

6 2 3 )

( 3 ) (

18 3

12 140

1

3 6 2 5 2 2 5 6

3 2

6 2

3 )

k và k2- ma trận các hàm tuyến tính và bậc 2 của chuyển vị phần tử Các

ma trận này đ-ợc tính lại khi có sự thay đổi lực dọc và chuyển vị ngang khi thực hiện các b-ớc lặp

Tuy nhiên, để đơn giản hơn trong quá trình tính toán các b-ớc lặp, nhất là tìm các ma trận độ cứng phần tử, có thể bằng cách biến đổi hàm thế năng biến

dạng (II.57) bỏ đi các vi phân bậc cao

hàm thế năng biến dạng (II.57) đ-ợc viết lại nh- sau:

dx dx

dv P dx

dx

v d I dx

du A

E

2

0 0

2

2

2 2

Trong đó: k0- ma trận độ cứng ban đầu khi phân tích theo yêu cầu thứ nhất

k p- ma trận độ cứng hình học hay ma trận độ cứng ứng suất ban dầu (Gallagher và Padlog, 1963)

152105

6

000

3010

0152

105

601056

000000

2

2 2

L

L sym

L L L

L L

L

P

Lực P d-ơng khi kéo và P âm khi nén

Các ma trận k0 và k p cũng có thể đ-ợc biểu diễn hàm ổn định d-ới dạng chuỗi Taylor

II.1.3 Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp tải trọng giả tạo:

Không nh- ph-ơng pháp vi phân hay phần tử hữu hạn mà ảnh h-ởng của phi tuyến hình học đ-ợc nói đến qua ma trận độ cứng Ph-ơng pháp tải trọng giả tạo (Lui,1988) nói đến tính phi tuyến qua vectơ tải trọng Nh- vậy véctơ tải trọng luôn

đ-ợc tính lại và ma trận độ cứng sẽ không thay đổi trong suốt quá trình phân tích

v d P dx

v d

dx

v d

EI 4

4

(II.81)

Từ (II.81) cho thấy w thể hiện sự hiện diện của P Đối với chuyển vị nhỏ,

đạo hàm bậc hai của chuyển vị ngang v có liên quan đến moment M của phần tử:

EI

M dx

v d

M EI

P

Từ (II.83) cho thấy rằng tải trọng ngang giả định w có thể tỷ lệ với moment

phần tử một hệ số bằng P / EI, trong đó P là lực dọc phần tử và M xem nh- là

moment uốn khi xét đến yêu cầu thứ hai

Tóm lại: Tr-ớc tiên kết cấu sẽ đ-ợc phân tích theo yêu cầu thứ nhất Giá trị

lực dọc và moment có đ-ợc sẽ đ-ợc sử dụng để tính tải trọng ngang giả định theo

(II.83) Tải trọng ngang thực và ảo đ-ợc gắn lại lên phần tử, phân tích theo yêu cầu

thứ nhất sẽ đ-ợc thực hiện lại, do đó giá trị w luôn đ-ợc tính lại sau mỗi lần lặp

Quy trình tính kết thúc khi giá trị M và P không có sự thay đổi đáng kể ở hai lần lặp

kề nhau

b/ Thí dụ minh họa :

Xét một dầm nh- hình (II.6), chịu lực tập trung tại giữa nhịp Q và lực nén

Giá trị M0 chỉ do lực Q gây ra:

4 0

EI

PQL w

4

Kế tiếp, tải trọng ảo này kết hợp với tải trọng Q tác dụng lên phần tử dầm, tiếp tục thực hiện b-ớc nh- trên, ta nhận đ-ợc tải trọng giả định kế tiếp là

2 12

1 1

QPL

w , quá trình thực hiện cho đến khi M và P không còn sự thay

đổi đáng kể Hình II.7c và II.7d

II.2 MOÄT SOÁ PHệễNG PHAÙP GAÀN ẹUÙNG:

II.2.1 Ph-ơng pháp lặp hai lần: ( Two cycles iterative method)

Khi phân tích bậc thứ hai, ph-ơng pháp hai vòng lặp đ-ợc biểu diển bởi công thức sau:

R D

P

M 0 =QL/4

w=PQL/4EI Q

PQL 4EI

L/2 L

Q

L/2 L

Bieồu ủoà moment

Trong đó : K- Ma trận độ cứng của kết cấu

D- Vectơ chuyển vị của kết cấu

R- Vectơ tải trọng của kết cấu

Có thể tóm tắt các b-ớc thực hiện của ph-ơng pháp này nh- sau:

3

2 1

2

4 2

3

2 1

2 2

1 2

*

4

612

00

2

60

4

612

06

12

00

00

~

L L

sym

I A

L

L L

L L

I

A I

A

L

EI T k T k

hoặc (II.74) và (II.79) khi k e* xác định theo ph-ơng pháp phần tử hữu hạn:

4

612

00

2

60

4

6120

612

000

0

2

2 2

0

L L

sym

I A

L

L L L

L

I

A L

A

L EI k

6

000

3010

0152

105

601056

000000

2

2 2

L

L sym

L L L

L L

o Đ-ợc áp dụng sử dụng trong tiêu chuẩn thiết kế BS 5950:2000

o Th-ờng không áp dụng cho việc phân tích các khung nhiều phần tử vì khó khăn trong việc tính toán

 Tóm tắt trình tự giải bài toán theo lựu đồ sau:

Phân tích theo yêu cầu thứ nhất theo (II.84)

Với ma trận độ cứng tổng thể K ban đầu

Xác định nội lực, chuyển vị của

các nút phần tử

Start

For i=1-n phần tử

Tính nội lực theo (II.84) với ma trận độ cứng tổng thể K*, có xét đến yêu cầu thứ hai

II.2.2 Ph-ơng pháp tải trọng ngang giả tạo: ( Fictitious lateral load method- Adams,1994)

Xem hình II.8

Xét một dầm cột nh- hình (II.8), tổng moment phần tử (M M A M B) khi có xét

đến ảnh h-ởng P- , có ph-ơng trình nh- sau:

P Vh

P Vh

i h

V

V+(P /h)

V+(P /h)

Trong đó: P i- Tổng lực dọc của các cột trong tầng thứ i

Có thể tóm tắt các b-ớc thực hiện của ph-ơng pháp này nh- sau:

 B-ớc 1: Phân tích kết cấu theo yêu cầu thứ nhất, xác định chuyển vị ngang từng tầng, lực cắt trong cột mỗi tầng

 B-ớc 2: Tính lực cắt ảo theo (II.87) và tải trọng ngang giả định theo (II.88)

 B-ớc 3: Tải trọng ngang giả định kết hợp với tải trọng ngang thực ban đầu

đ-ợc đặt lên khung và thực hiện phân tích lại theo yêu cầu thứ nhất Quy trình kết thúc khi giá trị moment nhận đ-ợc giữa hai chu kỳ kế tiếp không có

Trình tự tính toán đ-ợc tóm tắt theo sơ đồ thuật toán sau:

Chuyeồn vũ ngang

i caực taàng

Tớnh lửùc caột giaỷ ủũnh V moói taàng i

Tớnh taỷi troùng ngang giaỷ ủũnh

i

H moói taàng

Keỏt hụùp taỷi troùng giaỷ ủũnh

i

H vụựi taỷi troùng ngang thửùc

Tớnh laùi noọi lửùc theo yeõu caàu thửự nhaỏt vụựi caực taỷi troùng mụựi

End

Start

For i=1->n taàng

Nhận xét:

 Ph-ơng pháp này cho kết quả hội tụ nhanh, cho kết quả tốt đối với các phần

tử trong khung không quá mãnh và số l-ợng nhịp nhỏ

 Không chú ý đến ảnh h-ởng P- mà điều này rất quan trọng nếu nh- các phần tử trong khung quá mãnh

 Trong tr-ờng hợp số l-ợng nhịp lớn, lực dọc trong các cột có thể có sự thay

đổi đáng kể nên moment có thể v-ợt quá hoặc d-ới mức dự đoán

 Ph-ơng pháp này t-ơng đối đơn giản vì chỉ có ma trận tải trọng thay đổi trong khi đó ma trận độ cứng không thay đổi Đây là một tiện lợi nếu sử dụng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu

II.2.3 Ph-ơng pháp lặp tải trọng thẳng đứng: ( Iterative gravity load method- Stafford Smith & Gaiotti, 1988)

lg1

P

lg2

Hỡnh II.10

 B-ớc 2: Tải trọng thẳng đứng P đ-ợc gắn lên khung theo tọa độ mới của các nút phần tử do H gây ra đ-ợc tính ở b-ớc 1 Với sự phân tích này, chuyển vị

và moment có xét đến ảnh h-ởng P- do tải trọng ngang H và tải trọng thẳng đứng P ở lần tính thứ nhất là:

1 lg

1 lg

lg - Chuyển vị gia tăng do tải trọng thẳng đứng

M lh- Moment do tải trọng ngang gây ra khi phân tích theo yêu cầu thứ nhất

Mlg1- Moment gia tăng do tải trọng thẳng đứng gây ra

 B-ớc 3: Tiếp tục thực hiện nh- b-ớc 2 tuy nhiên ở đây có sự thay đổi tọa độ các nút phần tử do chuyển vị 1 Khi đó ta có chuyển vị và moment có xét

đến ảnh h-ởng P- do tải trọng ngang H và tải trọng thẳng đứng P gây ra ở b-ớc thứ 3 là:

2 lg 1 2

2 lg 1

M

Các b-ớc lặp theo tải trọng thẳng đứng này đ-ợc tiếp tục cho đến khi sự gia tăng chuyển vị không đáng kể Nếu độ hội tụ sau n lần lặp khi phân tích theo tải trọng thẳng đứng, độ võng và moment của phần tử cuối cùng nhận đ-ợc là :

1

ở ph-ơng pháp này, tọa độ các nút thay đổi ở mỗi chu kì lặp Chính sự thay

đổi này đã làm gia tăng sự chuyển vị của kết cấu Để tránh những rắc rối trong điều chỉnh hình dạng kết cấu trong mỗi lần lặp, tác giả đã đ-a ra các dầm ảo liên kết cứng với cột và có độ cứng kháng uốn bằng không nh- hình(II.10)

Tổng tải trọng thẳng đứng tại mỗi tầng đặt trên các cột ảo và cách tính lặp t-ơng tự nh- trên nh-ng chỉ có tọa độ các nút trên dầm-cột ảo là thay đổi

áp đặt tải thẳng đứng P theo tọa độ mới của các nút phần tử

Tính nội lực, chuyển vị

End