Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THÀNH CHIÊU

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1

VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THÀNH CHIÊU

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1

VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH PHẠM KỲ ANH

Hà Nội – 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội dưới sựhướng dẫn tận tình chu đáo của GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh đã luôn hướngdẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tácgiả nghiên cứu luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Banchủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV,trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điềukiện thuận lợi và giúp đỡ trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu.Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân vàbạn bè đã ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luậnvăn này

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thành Chiêu

tính chỉ số 1 191.2.3 Phương trình dưới liên hợp 23

2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến

2.1 Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 362.1.1 Giới thiệu về bài toán 362.1.2 Phương trình Hamilton cho bài toán điều khiển tối

ưu rời rạc 38

2

2.1.3 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu 40

2.2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân chỉ số 1 55 2.2.1 Giới thiệu bài toán 55

2.2.2 Phương trình Hamilton và bài toán biên 56

2.2.3 Điều kiện đủ của tối ưu 57

2.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ Pontryagin có chỉ số 1 59

2.2.5 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu 60

3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế 71 3.1 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân thường 71

3.1.1 Cấu trúc của hệ thống sản xuất 72

3.1.2 Điều kiện đạt tới sự cân bằng 74

3.2 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân suy biến 75

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• dimW: số chiều của không gian vectơ W

• kerA: không gian nhân của ma trận A

• imA: không gian ảnh của ma trận A

• rankA: hạng của ma trận A

• span({xi}n

i=1): không gian con sinh bởi hệ vectơ x1, x2, , xn

• W1 ⊕ W2: tổng trực tiếp của hai không gian W1, W2

• W1 ∩ W2: giao của hai không gian W1, W2

• A†: nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose của ma trận A

• diag(A1, A2): ma trận đường chéo khối có các thành phần A1,A2 nằmtrên đường chéo

Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số vàphương trình sai phân ẩn được nhiều nhà nghiên cứu toán học trong nướccũng như ở nước ngoài quan tâm nghiên cứu Nhiều bài toán thực tế (hệthống điện, mô hình dân số, mô hình kinh tế, ) được mô tả bởi phươngtrình sai phân ẩn Mặt khác phương trình sai phân ẩn là kết quả của việcrời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại

số Chẳng hạn, dùng phương pháp Euler hiển áp dụng cho phương trình

vi phân đại số chỉ số 1 thì ta nhận được phương trình sai phân tuyến tính

mô hình kinh tế của tác giả D G Luenberger [8] cho bài toán điều khiển

mô tả bởi phương trình sai phân thường, chúng tôi cũng đưa ra được kếtquả tương tự cho hệ mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số1

Bố cục luận văn như sau:

 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu điều kiện cần cho bài toánđiều khiển tối ưu rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân thường.Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về phương trình sai phẩntuyến tính ẩn chỉ số 1, phương trình dưới liên hợp có chỉ số 1 và công

5

thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, bài toán điều kiện cuối.

 Chương 2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyếntính suy biến

Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp giải bài toánđiều khiển tối ưu dạng toàn phương cho phương trình sai phân ẩn hệ

số hằng bằng khai triển kỳ dị và phương trình Riccati Từ đây ta tìmđược nghiệm tối ưu của bài toán Cuối cùng, chúng tôi đưa ra phươngpháp giải bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyếntính ẩn chỉ số 1 nhờ phép biến đổi Kronecker -Weierstrass và phươngtrình Riccati Kết quả cuối thu được trong chương này là mới

 Chương 3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế

Trong chương này, chúng tôi trình bày điều kiện cân bằng giữacung và cầu để đạt lợi nhuận cực đại mô tả bởi bài toán điều khiểntối ưu tuyến tính rời rạc Tiếp theo chúng tôi mở rộng kết quả trêncho bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc suy biến

Đây là kết quả mới của luận văn và những nội dung chính đã đượctrình trong Seminar của bộ môn Toán học tính toán, Khoa Toán - Cơ

- Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội

1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc

Xét hàm mục tiêu

J =

N −1X

n=0

Φ(xn, xn+1, n) =

N −1X

n=0

Φn

trong đó với mỗi n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) : Rm × Rm → R là hàm

khả vi liên tục Bây giờ ta sẽ tìm điều kiện cần để cực tiểu hàm J

Giả sử rằng, xn = ˆxn+ εηxn, xn+1 = ˆxn+1+ εηxn+1, với x = (ˆˆ x0, , ˆxN −1)

là các điểm cực trị, ε > 0 đủ nhỏ

7

Sử dụng khai triển Taylor ta có

∆J = J (ˆxn+ εηxn) − J (ˆxn)

=

N −1X

n=0

{Φ(ˆxn+ εηxn, ˆxn+1 + εηxn+1, n) − Φ(ˆxn, ˆxn+1, n)}

=

N −1X

n=0

{δxTn∂Φn

∂ ˆxn + δx

T n+1

∂Φn

∂ ˆxn+1} = 0, (1.1)kết hợp

n=0

δxTn∂Φ(xn−1, xn, n − 1)

T n

∂Φ(xn−1, xn, n − 1)

∂xn |n=Nn=0 ,

ta nhận được

N −1X

Phương trình (1.3) là phương trình Euler - Lagrange rời rạc.

1.1.2 Nguyên lý cực đại của bài toán điều khiển tối ưu

Xét phương trình sai phân

xn+1 = f (xn, un, n), với n = 0, 1, , N − 1, (1.4)trong đó xn ∈ Rm, un ∈ Rk Bài toán đặt ra là tìm vectơ điều khiển un đểcực tiểu hàm mục tiêu

J = ϕ(xn, n)|n=Nn=0 +

N −1X

n=0

Φ(xn, un, n), (1.5)

ở đây với mỗi n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) :Rm×Rk →R là hàm khả vi

liên tục, ϕ(., n) : Rm →R là hàm khả vi liên tục tại n = N, n = 0

Xét hàm Lagrange

L = ϕ(xn, n)|n=Nn=0 +

N −1X

n=0

{Φ(xn, un, n) + λTn+1(f (xn, un, n) − xn+1)}

= ϕ(xn, n)|n=Nn=0 +

N −1X

λTn+1ηn+1+

N −1X

n=1

λTnηn = −

N −1X

Định lý 1.1.1 Giả sử un, xn, n = 0, 1, , N − 1 là điểu khiển tối ưu

và quỹ đạo tối ưu của bài toán (1.4) - (1.5) Khi đó tồn tại vectơ λn thỏamãn

Ví dụ 1.1.2 Xét bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc

xn+1 = Axn+ Bun, n = 0, 1, , N − 1, (1.8)với điều kiện ban đầu

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

Trong mục này chúng tôi trình bày một số nghiên cứu của tác giả P K.Anh, H T N Yến [1] về phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 vàtác giả L C Lợi [6] về phương trình dưới liên hợp của phương trình saiphân tuyến tính ẩn chỉ số 1

1.2.1 Khái niệm và các tính chất

Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng

Enxn+1 = Anxn + qn, n = 0, 1, , N, (1.11)trong đó En, An ∈ Rm×m và qn ∈ Rm đã cho Ma trận En giả thiết là suybiến với mọi n và rankEn = r (1 ≤ r ≤ m − 1)

Với mỗi n ≥ 0, gọi Qn ∈ Rm×m là phép chiếu bất kỳ lên kerEn, tức là

Q2n = Qn và imQn = kerEn Khi đó, tồn tại một ma trận không suy biến

Vn ∈ Rm×m sao cho Qn = VnQV˜ n−1, trong đó Q = diag(O˜ r, Im−r).

và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với n = 0, N

Dưới đây là ví dụ về phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

Ví dụ 1.2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.11) với

Ta tính được Sn ∩ kerEn−1 = {0} Vậy phương trình sai phân (1.11) với

En, An xác định như trên là phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Pn = G−1n En, (1.13)(iii)

G−1n AnQn−1,n = Qn, (1.14)

PnG−1n AnQn−1 = 0, QnG−1n AnQn−1 = Qn,n−1 (1.15)

Chứng minh Do Qn là phép chiếu lên kerEn nên Qnx ∈ kerEn với mọi

x ∈ Rm Vì vậy, với mọi x ∈ Rm, EnQnx = 0 hay EnQn = 0 Do đó,

(i) Sn∩ kerEn−1 = {0}

(ii) Ma trận Gn = En+ AnQn−1,n không suy biến

(iii) Rm = Sn ⊕ kerEn−1

Chứng minh (i) ⇒(ii) Do Gn ∈ Rm×m nên Gn khả nghịch khi và chỉ khi

Gn đơn ánh, tức là kerGn = 0 Giả sử x ∈ kerGn, khi đó

(ii) ⇒ (i) Giả sử x ∈ Sn ∩ kerEn−1 Vì x ∈ kerEn−1 = imQn−1 chonên tồn tại y ∈ Rm sao cho x = Qn−1y Mặt khác, x ∈ Sn tức là tồntại η ∈ Rm thỏa mãn Enη = Anx = AnQn−1y Sử dụng giả thiết Gn khảnghịch và các tính chất nêu trong Mệnh đề (1.2.3) ta có

G−1n Enη = G−1n AnQn−1y = G−1n AnQn−1,nQn,n−1y ⇔ Pnη = Qn,n−1y

Tác động Qn từ bên trái hai vế của phương trình trên, ta thu được

Qn,n−1y = 0

Vậy x = Qn−1y = Qn−1,nQn,n−1y = 0 hay Sn ∩ kerEn−1 = {0}

(iii) ⇒ (i) Ta có được từ định nghĩa tổng trực tiếp của hai không gian.(i) ⇒ (iii) Với mọi x ∈ Rm, đặt v = Qn−1,nG−1n Anx, u = x − v Ta có,

v = Qn−1,nG−1n Anx = Qn−1Qn−1,nG−1n Anx ∈ kerEn−1 Hơn nữa,

i=1) và

kerEn−1 = span({hjn−1}m

j=r+1) thì Q˜n−1 = ˜Vn−1Q ˜˜V−1

n−1.Chứng minh (i) Theo Mệnh đề (1.2.4), do phương trình (1.11) có chỉ số 1nên Gn là ma trận khả nghịch Ta có

Ngược lại, với mỗi x ∈ kerEn−1 bất kỳ, ta luôn có x = Qn−1x, khi đó

n−1 là phép chiếu chính tắc lên kerEn−1 song song vớiSn

Do chỉ có duy nhất phép chiếu lên kerEn−1 song song với Sn nên theo (i),

Mệnh đề 1.2.6 Giả sử {Hn}n≥0 và {Kn}n≥−1 là họ các ma trận khảnghịch và giả sử phương trình (1.11) có chỉ số 1 Khi đó (1.11) tươngđương với phương trình sai phân tuyến tính ẩn

¯

Enxn+1 + ¯Anxn = ¯qn, (1.16)với E¯

n = HnEnKn, A¯

n = HnAnKn−1, q¯n = Hnqn, trong đó Hn được gọi

là ma trận tỷ lệ và Kn là ma trận của phép đổi biến xn = Kn−1x¯n Hơnnữa (1.16) cũng có chỉ số 1

Chứng minh Do Hn, Kn là các song ánh tuyến tính nên

rankEn = dim(imEn) = dim(imEnKn) = dim(imHnEnKn)

Ngược lại, với x ∈ ker ¯En−1 , ta có E¯n−1x = 0, suy ra En−1Kn−1x = 0, do

đó x ∈ Kn−1−1 kerEn−1 Vậy Kn−1−1 kerEn−1 = ker ¯En−1

Tương tự, ta được Kn−1−1 Sn = ¯Sn

Như vậy

Kn−1−1 (Sn ∩ kerEn−1) = Kn−1−1 (Sn) ∩ Kn−1−1 (kerEn−1) = ¯Sn∩ ker ¯En−1,

nên S¯n ∩ ker ¯En−1 = {0} hay (1.16) có chỉ số 1 Mệnh đề được chứngminh

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng cặp ma trận không suy biến Hn và Kn

để đưa phương trình (1.11) về dạng đơn giản dễ giải hơn, được trình bàytrong định lý sau (xem [1])

Định lý 1.2.7 Mọi phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 đều có thểđưa về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass

Gn = En+AnQ˜n−1,nlà không suy biến, ta suy raG¯nV˜n = EnV˜n+AnV˜n−1Q˜.

Đặt G˜n = ¯GnV˜n, khi đó G˜n là ma trận không suy biến Ta có thể chọn ma

˜

Q ¯Anz = ˜Q ˜G−1n AnV˜n−1z = ˜Q ˜G−1n Enξ = ˜Q ˜P ˜Vn−1 = 0

Như vậy với mỗi x ∈ Rm, ta có Q ¯˜Anx = ˜Q ¯An( ˜P x) + ˜Q ¯An( ˜Qx) = ˜Qx, cho

nên

˜

Q ¯An = ˜Q (1.19)Kết hợp (1.18), (1.19) và để ý rằng Q = diag(O˜ r, Im−r) ta có thể biểu diễn

¯

An = diag( ¯A11n, Im−r), trong đóA¯11

n là ma trận nào đó thuộc Rr×r Định

lý được chứng minh

1.2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1

Nếu ta đặt điều kiện ban đầu cho phương trình (1.11) là

x0 − x0 = 0 (1.20)với x0 ∈ Rm cho trước, bài toán giá trị ban đầu (1.11) và (1.20) có thể vônghiệm (xem [7])

với x0 = x0 = (α, 2)T Thay n = 0 vào phương trình (1.21), ta nhận được

x(2)0 = −1 Điều này suy ra bài toán trên vô nghiệm

Vì vậy đối với phương trình sai phân ẩn, ta không yêu cầu các vectơ

x0 − x0 bằng vectơ không mà chỉ yêu cầu một số thành phần của nó bằng

0, chẳng hạn

P−1(x0 − x0) = 0 (1.22)Bây giờ ta sẽ thiết lập tính duy nhất nghiệm và xây dựng công thức nghiệmtường minh cho bài toán giá trị ban đầu (1.11) - (1.22)

Định lý 1.2.8 Giả sử phương trình (1.11) có chỉ số 1 Khi đó bài toánCauchy (1.11) - (1.22) luôn có nghiệm duy nhất với mọi vế phải qn ∈ Rmvới n = 0, N và nghiệm được xác định bởi công thức sau:

xn = ˜Pn−1h(

n−1Y

i=0

G−1n−1−iAn−1−i)x0

+ (

n−2X

k=0

n−2−kY

Nghiệm của (1.25) được cho bởi

k=0

(

n−k−2Y

i=0

Pn−1+iG−1n−1+iAn−1+i)u0

+

n−2X

k=0

(

n−k−2Y

i=0

G−1n−1−iAn−1−i)x0

+ (

n−2X

k=0

n−2−kY

i=0

G−1N −iAN −i)x0 + (

N −1X

k=0

N −1−kY

i=0

G−1N −iAN −i)G−1k qk + G−1N qN

i

Bây giờ ta xét mối liên hệ giữa G¯

Mặt khác

PlG−1l AlPl−1 = PlG−1l Al = Pl(Pl + QlVlVl−1−1V˜l−1Q ˜˜V−1

l ) ¯G−1l Al = PlG¯−1

l Alvà

k=0

n−2−kY

i=0

¯

G−1N −iAN −i)x0 + (

N −1X

k=0

N −1−kY

i=0

¯

G−1N −iAN −i)x0 + (

N −1X

k=0

N −1−kY

i=0

¯

G−1N −iAN −i) ¯G−1k qk + ¯G−1N qNi+ ˜QNxN +1

1.2.3 Phương trình dưới liên hợp

Xét phương trình thuần nhất

Enxn+1 = Anxn, n = 0, N (1.27)Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng phương trình dưới liên hợp của phương trìnhsai phân chỉ số 1 (1.27) bằng cách sử dụng dạng Kronecker - Weierstrass(xem [6])

Đặt x¯n = x1n

x2n

!, ở đây x1n ∈ Rr và x2n ∈ Rm−r

Ta nhắc lại rằng, phương trình (1.30) có chỉ số 1 nếu các điều kiện sauthỏa mãn

(i) rankEn−1T = r, với n = 1, N

(ii) Snb ∩ kerET

n = {0}, với n = 1, N − 1,trong đó Snb = {z ∈ Rm : ATnz ∈ imEn−1T }, n = 1, N

Gọi ma trận AN +1 ∈ Rm×m thỏa mãn Gb,N = ENT + ATN +1QbN là ma trậnkhông suy biến

Định lý 1.2.9 Nếu phương trình (1.27) có chỉ số 1 thì phương trình dướiliên hợp (1.30) cũng có chỉ số 1

nξ = 0, do đó x ∈ HnTker ¯EnT.Ngược lại, với x ∈ HnTker ¯EnT suy ra tồn tại ξ ∈ ker ¯EnT sao cho E¯T

Gọi Qbn−1 = Un−1QU˜ n−1−1 là phép chiếu bất kỳ lên kerEn−1T , trong đó

Un−1 là ma trận không suy biến

Đặt Pn−1b = I − Qbn−1 và Gb,n−1 = En−1T + ATnUnQU˜ n−1−1 , n = 1, N

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một số tích chất cho phương trình dưới liênhợp có chỉ số 1(1.30)

Mệnh đề 1.2.11 Nếu Gb,n−1 = En−1T + ATnUnQU˜ n−1−1 không suy biến thì

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (ii) bằng cách tính ma trận Gb,n−1Pn−1b Tacó

Từ đó ta suy ra

Pn−1b G−1b,n−1ATnQbn = Pn−1b Un−1QU˜ n−1 = (I − Qbn−1)Un−1QU˜ n−1 = 0

và Qbn−1G−1b,n−1ATnQbn = Un−1QU˜ n−1 Đẳng thức (iii) được chứng minh.Mệnh đề đã được chứng minh

Mệnh đề 1.2.12 Các khẳng định sau là tương đương:

(i) Ma trận Gb,n−1 = En−1T + ATnUnQU˜ n−1−1 không suy biến;

(ii) Snb ∩ kerET

n = {0};(iii) Rm = Snb ⊕ kerET

n.Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử x ∈ Snb ∩ kerET

n, vì x ∈ kerEnT = imQbn

nên tồn tại y ∈ Rm sao cho x = Qbny Hơn nữa, do x ∈ Snb nên tồn tại

η ∈ Rm thỏa mãn En−1T η = ATnx = ATnQbny Sử dụng giả thiết Gb,n−1 khảnghịch và các tích chất nêu trong Mệnh đề (1.2.11) ta có

(ii) ⇒ (i) Do Gb,n−1 ∈ Rm×m nên Gb,n−1 khả nghịch khi và chỉ khi

Gb,n−1 là đơn ánh, tức là kerGb,n−1 = 0 Giả sử x ∈ kerGb,n−1, khi đó

Hơn nữa, do x ∈ kerGb,n−1 nên x ∈ kerEn−1T = imQbn−1, suy ra

x = Qbn−1x = 0 Vậy kerGb,n−1 = 0 hay Gb,n−1 không suy biến

(ii) ⇒ (iii) Với mọi x ∈ Rm, đặt v = UnQU˜ n−1−1 G−1b,n−1ATnx, u = x − v.

Ta có v = UnQU˜ n−1−1 G−1b,n−1ATnx = QbnUnQU˜ n−1−1 G−1b,n−1ATnx ∈ kerETn Hơnnữa

hay kerEnT ⊂ im ˜Qbn Vậy kerEnT = im ˜Qbn Ta có

b,n = ¯Gn, thật vậy theo Định lý (1.2.7) ta thấy

Định lý 1.2.15 Giả sử phương trình En−1T λn = ATnλn+1− cn, với

n = 1, N, có chỉ số 1 và nghiệm thỏa mãn điều kiện cuối

PNb(λN +1− λN +1) = 0

Khi đó ta có công thức nghiệm

λn = ˜Pn−1b h(

N −nY

i=0

G−1b,n−1+iATn+i)λN +1

+

N −1X

j=n

(

j−nY

i=0

G−1b,n−1+iATn+i)G−1b,jcj+1+ G−1b,n−1cni+ Un−1QU˜ n−2−1 G−1b,n−2cn−1 (1.32)Chứng minh Do phương trình (1.30) có chỉ số 1 nên Gb,n−1 là ma trậnkhông suy biến Nhân lần lượt Pn−1b G−1b,n−1 và Qbn−1G−1b,n−1 vào bên trái hai

vế của phương trình trên, ta được

(

j−nY

i=0

Pn−1+ib G−1b,n−1+iATn+i)λN +1

+

N −1X

j=n

(

j−nY

i=0

Pn−1+ib G−1b,n−1+iATn+i)PjbG−1b,jcj+1 + Pn−1b G−1b,n−1cni+ Un−1QU˜ n−2−1 G−1b,n−2cn−1

G−1b,n−1+iATn+i)λN +1

+

N −1X

j=n

(

j−nY

Như vậy phương trình (1.32) có thể biểu diễn dưới dạng

λn = ˜Pn−1b h(

N −nY

j=n

(

j−nY

i=0

¯

G−1b,n−1+iATn+i) ¯G−1b,jcj+1+ ¯G−1b,n−1cni+ ˜Un−1Q ˜˜Un−2−1 G¯−1b,n−2cn−1

= ¯G−Tn−1En−1T h(

N −nY

j=n

(

j−nY

Bài toán điều khiển tối ưu cho

phương trình sai phân tuyến tính suy biến

Trong chương này chúng tôi trình bày một số nghiên cứu của tác giả

D J Bender và A J Laub [5] về bài toán điều khiển tối ưu dạng toànphương cho hệ động lực mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính ẩn hệ

số hằng Sau đó chúng tôi mở rộng các kết quả cho phương trình sai phântuyến tính ẩn chỉ số 1

2.1 Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy

biến

2.1.1 Giới thiệu về bài toán

Xét bài toán tìm biến điều khiển u = (uT0, , uTN −1)T để cực tiểu hàmmục tiêu

với phương trình trạng thái cho bởi

Exn+1 = Axn+ Bun, (2.2)thỏa mãn điều kiện ban đầu

Ex0 = z0 (2.3)

Ở đây xn ∈ Rm, uk ∈ Rk,E ∈ Rm×m, A ∈ Rm×m,B ∈ Rm×k, W ∈ Rm×m,

S ∈ Rm×k, R ∈ Rk×k và rankE = r ≤ m Cặp ma trận {E, A} là chínhqui tức là det(zE − A) 6≡ 0

Hơn nữa, giả sử rằng các ma trận DN, W, R là đối xứng và các ma trận

và 12xTNETDNExN = 12xTNVTETDNEV xN.

Khi đó ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.1 [5](Phương trình dạng SVD) Giả sử E có khai

triển kỳ dị là UTEV = Σ 0

0 0

!, ở đây Σ = diag(σ1, σ2, , σr) với

B2

!, VTW V = W11 W12

W21 W22

!,

VTS = S1

S2

!và

N −1X

n=0

(Hn − λTn+1Exn+1), (2.6)