Nghiên cứu ổn định kết cấu dạng tấm không hoàn hảo có độ võng lớn và có chiều dày thay đổi

Việc khảo sát ổn định kết cấu tấm gần đây được nhiều tác giả trong nước quan tâm nhất như: Đào Huy Bích [7] nghiên cứu ổn định phi tuyến của tấm nhiều lớp, Nguyễn Thị Hiền Lương 27] khảo

ĐẶNG THỤY MINH TƯỜNG

ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH KẾT CẤU DẠNG TẤM KHÔNG HOÀN HẢO CÓ ĐỘ VÕNG LỚN

VÀ CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI

Chuyên ngành : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã số ngành : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH – tháng 5 năm 2004

Cán bộ huớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… tháng …… năm 2004

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : ĐẶNG THỤY MINH TƯỜNG Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 25/9/1976 Nơi sinh: Cần Thơ

Chuyên ngành : Xây dựng DD&CN Mã số: 23.04.10

I- TÊN ĐỀ TÀI : NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH KẾT CẤU DẠNG TẤM KHÔNG HOÀN

HẢO CÓ ĐỘ VÕNG LỚN VÀ CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Tổng quan

• Cơ sở lý thuyết của tấm có độ võng lớn và chiều dày thay đổi:

- Cơ sở lý thuyết của tấm có độ võng lớn

- Oån định tấm độ võng lớn có chiều dày thay đổi

• Oån định của tấm không hoàn hảo có bề dày thay đổi

• Khảo sát một số trường hợp với ví dụ số và so sánh

• Kết luận và kiến nghị

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 18/6/2003

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ :

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

TS.Nguyễn Thị Hiền Lương PGS.TS.Chu Quốc Thắng

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

Tp HCM, ngày tháng năm 2004

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

LỜI CẢM ƠN

Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Cao đẳng Xây dựng Miền Tây tỉnh Vĩnh Long đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi làm việc và học tập trong những năm qua

Chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Hiền Lương đã hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành Luận Văn tốt nghiệp này

Chân thành cảm ơn những người thân, các bạn bè đồng nghiệp đã động viên và chia sẽ với tôi những lúc khó khăn trong công việc cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu tại Trường

Đặng Thụy Minh Tường

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Nhìn lại quá trình phát triển bài toán khuyết tật hình học trong ổn định

kết cấu và tính cấp thiết của đề tài 1

1.2 Vấn đề ổn định kết cấu tấm 4

1.3 Các dạng khuyết tật hình học ban đầu của tấm 5

1.4 Nhiệm vụ luận văn 6

1.5 Các phương pháp được sử dụng trong luận văn 7

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA TẤM CHỊU UỐN 8

2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng 8

2.1.1 Các khái niệm cơ bản 8

2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm 9

2.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff 10

2.2.1 Giả thuyết Kirchhoff 10

2.2.2 Phương trình động học 10

2.2.3 Quan hệ giữa mômen và ứng suất 12

2.2.4 Quan hệ giữa lực cắt và ứng suất trượt 14

2.2.5 Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình 14 2.3 Lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán) 18

2.3.1 Giả thuyết tấm mỏng độ võng lớn 18

2.3.2 Các mối quan hệ trong tấm mỏng độ võng lớn 19

2.3.3 Tấm mỏng độ võng lớn vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng

trong mặt trung bình 19

2.4 Khái niệm cơ bản về ổn định 24

2.4.1 Khái niệm 24

2.4.2 Các tiêu chuẩn ổn định 24

2.5 Bài toán ổn định tấm 27

2.5.1 Phương trình cơ bản của bài toán ổn định tấm độ võng nhỏ có

chiều dày không đổi 27

2.5.2 Năng lượng biến dạng trong tấm 27

2.5.3 Các điều kiện biên trong tấm chữ nhật 29

2.6 Các phương pháp xác định tải trọng tới hạn 29

2.6.1 Phương pháp giải tích 30

2.6.2 Phương pháp năng lượng (Phương pháp Ritz) 30

2.6.3 Phương pháp Boobnov-Galerkin 31

2.7 Tính toán ổn định tấm chữ nhật độ võng nhỏ có chiều dày không đổi 32

CHƯƠNG 3: ỔN ĐỊNH TẤM CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI 36

3.1 Mở đầu 36

3.2 Ổn định đàn hồi của tấm độ võng lớn khi chịu lực nén theo một phương 37

3.2.1 Phương trình cơ bản tấm độvõng lớn có chiều dày thay đổi 37

3.2.2 Các quy luật thay đồi chiều dày 38

3.2.3 Tổ hợp các điều kiện liên kết biên 40

3.3 Tính toán ổn định tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi với quy luật

tuần hoàn theo phương x 46

3.3.1 Phương pháp 1: Xác định tải trọng tới hạn bằng

phương pháp kết hợp nhiễu loạn-trọng số dư

(Hybrid Perturbation Residuals Weighted Method) 46

3.3.2 Phương pháp 2: Xác định tải trọng tới hạn bằng

phương pháp Boobnov-Galerkin và xấp xỉ liên tiếp

(Boobnov-Galerkin and Approximate Method) 56

3.4 Tính toán ổn định tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi với quy luật

tuần hoàn theo hai phương x và y 65

3.5 Kết luận chương 3 70

CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG ĐỘ VÕNG LỚN

CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI 72

4.1 Tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi theo quy luật tuần hoàn theo phương x trong trường hợp xác định tải trọng theo phương pháp 1 72

4.1.1 Khi tấm có bốn cạnh tựa (TTTT) 72

4.1.2 Khi tấm có hai cạnh ngàm hai cạnh tựa (NNTT) 75

4.1.3 Khi tấm có bốn cạnh ngàm (NNNN) 78

4.2 Tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi theo quy luật tuần hoàn theo

phương x trong trường hợp xác định tải trọng theo phương pháp 2 83

4.2.1 Khi tấm có bốn cạnh tựa (TTTT) 83

4.2.2 Khi tấm có hai cạnh ngàm hai cạnh tựa (NNTT) 86

4.2.3 Khi tấm có bốn cạnh ngàm (NNNN) 88

4.3 Tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi theo quy luật tuần hoàn theo

phương x, y trong trường hợp xác định tải trọng theo phương pháp 1 96

4.4 Kết luận chương 4 101

CHƯƠNG 5: ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI VÀ

CÓ KỂ ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA ĐỘ CONG BAN ĐẦU 103

CHƯƠNG 6: TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH PANEL TRỤ CÓ CHIỀU DÀY

THAY ĐỔI CHỊU TẢI THEO PHƯƠNG DỌC TRỤC 131

6.1 Tính toán và khảo sát bài toán panel trụ có chiều dày thay đổi với

quy luật tuần hoàn theo phương x 131

6.2 Kết luận chương 6 135

CHƯƠNG 7: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN 136 TÀI LIỆU THAM KHẢO 138

PHỤ LỤC A 142

PHỤ LỤC B 166

PHỤ LỤC C 180

Hiện tại có rất nhiều cuốn sách trình bày có giá trị về mặt lý thuyết ổn định và trình ứng dụng của nó với kết cấu, nhiều đến mức một số tác giả bình thản với lời bình luận một cách châm biếm rằng nếu họ đặt thêm vào trong tủ sách của họ dù chỉ một cuốn, nó sẽ bị mất ổn định do trọng lượng của sách Cho nên chúng ta cần phải nghiên cứu và lựa chọn để giải quyết những bài toán hiện đại

Những bài toán đầu tiên vềà hiện tượng mất ổn định đàn hồi khi uốn dọc của thanh chịu nén được Leonhard Euler nghiên cứu vào năm 1744 ([34]), con người mới bắt đầu nghiên cứu về ổn định trong kết cấu Vào thời điểm này vật liệu chủ yếu là gỗ và đá, vì cường độ vật liệu này tương đối thấp, các cấu kiện cần có tiết diện mặt cắt ngang lớn nên ổn định đàn hồi chưa phải là thiết yếu hàng đầu Do đó một thời gian dài bài toán Euler không có ứng dụng thực tế nào Mãi đến thế kỷ XX cùng với sự phát triển các ngành công nghiệp, lúc các cầu thép cho xe lửa bắt đầu xây dựng được khá phổ biến, thì vấn đề mất ổn định trong kết cấu chịu nén mới có tầm quan trọng thực tế Đương nhiên, việc dùng thép dẫn đến các kiểu kết cấu gồm những thanh mảnh chịu nén, những tấm mỏng và vỏ mỏng Kinh nghiệm của những nhà khoa học cho rằng, trong những số trường hợp các kết cấu như thế có thể không bị phá hủy do xuất hiện những ứng suất cao quá cường độ của vật liệu mà do không đảm bảo được sự ổn định đàn hồi của các cấu kiện mảnh hoặc có thành mỏng

Aûnh hưởng của hiện tượng khuyết tật hình học ban đầu (initial geometric

imperfections) trong ổn định vỏ trụ được Warner Koiter nghiên cứu đầu tiên vào

năm 1945 ([11, 20, 21]), đã chứng minh hiện tượng này ảnh hưởng đáng kể đến tải trọng tới hạn trong kết cấu vỏ Sau đó, Ông và nhiều nhà khoa học khác tiếp tục nghiên cứu vấn đề này với các loại kết cấu khác nhau và những ứng dụng của nó

Từ quan điểm của những nhà khoa học và kỹ thuật, lĩnh vực phát triển ổn định kết cấu có thể được chia làm hai thời kỳ Thời kỳ thứ nhất từ năm 1744 khi Leonhard Euler công bố với thế giới công thức nổi tiếng về tải trọng tới hạn của cột Thời kỳ thứ hai, khi Warner Koiter trình bày luận án tiến sĩ ở Đại học kỹ

thuật Delft ([11]) Ông chứng minh sự ảnh hưởng tác hại của khuyết tật hình học

ban đầu đến khả năng chịu tải của kết cấu vỏ Trong suốt hai thế kỷ, thời kỳ sau

Euler và trước Koiter, các kỹ sư và các nhà khoa học đã có những đóng góp nổi bật trong việc tính toán khả năng ổn định của kết cấu mái Cùng với sự phát triển của cách mạng khoa học kỹ thuật, nhiều vấn đề mới được đặt ra trong thế kỷ XX Do nhu cầu hiện đại và sự phát triển kết cấu nhẹ, khái niệm ổn định trở nên cần thiết và phải được nghiên cứu để ứng dụng hợp lý

Lorenz, Southwell và Timoshenko đã tìm cách mở rộng công thức Euler cho trường hợp vỏ trụ mỏngï May mắn, các chuyên gia về ổn định đã quan tâm tới việc dùng thí nghiệm để kiểm chứng những kết quả nghiên cứu Điều này dẫn đến nhận xét đáng ngạc nhiên và thất vọng Đó là: kết quả thực nghiệm không làm sáng tỏ lý thuyết mà hầu hết các số liệu đều thấp hơn nhiều so với

những tính toán trước đó Koiter đã khẳng định sự khuyết tật hình học là không

thể tránh khỏi Sự sai lệch từ hình dáng lý tưởng ban đầu đóng một vai trò quyết định trong việc giảm đáng kể khả năng chịu tải của vỏ hình trụ và những kết cấu

khác Chính vì vậy khái niệm sự nhạy cảm với khuyết tật hình học (imperfection

sensitivity) được đặt ra Đây là hướng nghiên cứu mới mẻ và đóng góp thiết thực

cho lĩnh vực ổn định kết cấu sau hai trăm năm phát triển Những công việc mang tính lý thuyết được thực hiện bởi Budiansky và Hutchinson ở Đại học Harvard, Thompson ở Đại học College London và G W Hunt ở Đại học Bath ([11]) Những nghiên cứu thực nghiệm được Singer ở Viện kỹ thuật Israel thực hiện, sự kết hợp lý thuyết và thực nghiệm được nghiên cứu bởi Arbocz ở Đại học kỹ thuật Delft ([11]), chỉ mới kể đến một số tác giả ở đây, nhưng là phương tiện để đem sự chú ý với kinh nghiệm được chuẩn bị đầy đủ này và vẫn còn là lĩnh vực

bí ẩn với những khái niệm và sự thúc đẩy mới Đó là những người đã có những đóng góp đáng kể vào lĩnh vực nghiên cứu này

Trong lĩnh vực thiết kế kỹ thuật cho hầu hết các ngành hàng không, hàng hải, xây dựng … mặc dù các nhà kỹ thuật đã đầu tư đáng kể vào việc nghiên cứu

ổn định tấm vỏ, song cho đến nay họ vẫn chưa chấp nhận hoàn toàn khái niệm sự

nhạy cảm với khuyết tật hình học mà mới chỉ đưa các yếu tố nói trên vào hệ số

an toàn (knockdown factor) Hệ số an toàn được xác định sao cho tích số của nó

với tải trọng tới hạn theo công thức cổ điển đạt cận dưới tất cả các kết quả thực nghiệm có được, cách tiếp cận này được mọi người đón nhận tuy không tránh khỏi những thất vọng Điều được mọi người đón nhận là nhiều kết cấu tấm vỏ mỏng đưa vào sử dụng không phải chịu tải vượt quá khả năng của chúng, tất nhiên thiết kế dưới khả năng chịu tải vẫn tốt hơn là thiết kế quá khả năng Ngược lại, điều làm người ta thất vọng là trong vài thập kỷ qua các kết quả nghiên cứu đã bị bỏ qua và không được đưa vào ứng dụng trong thực tiễn kỹ thuật

Do đó, việc tiếp tục khảo sát ảnh hưởng khuyết tật ban đầu là rất cần thiết

nhằm phản ánh chính xác hơn sự làm việc và ứng xử của kết cấu thực trong kỹ thuật

Người ta phải thừa nhận rằng từ năm 1958, khi V V Bolotin ([11]) ở

Viện nghiên cứu năng lượng Moscow đưa khái niệm ngẫu nhiên (randomness)

vào lý thuyết ổn định đàn hồi, làm cho lý thuyết ổn định trở nên thực tế hơn, do kết hợp với việc phân tích các khuyết tật ban đầu Chúng ta nhận thấy rằng, khuyết tật ban đầu không giống nhau trong từng loại kết cấu, thậm chí khi chúng là sản phẩm của cùng một quá trình sản xuất Lý do chính làm các nhà thiết kế

miễn cưỡng thừa nhận tính ưu việt của các kết quả nghiên cứu về sự nhạy cảm

với khuyết tật hình học là các nghiên cứu này phụ thuộc vào sự hiểu biết ban đầu

về khuyết tật hình học của loại kết cấu cụ thể Một ý tưởng về khuyết tật hình

học có thể được đo lường và kết hợp trong phân tích dự đoán tải trọng tới hạn đã được thực hiện Ví dụ, Horton ở Viện nghiên cứu kỹ thuật Georgia đã kiểm tra quy mô lớn của vỏ có đường kính 60-ft và Arbocz, Williams ([11]) đã đo lường khuyết tật vỏ gia cố sườn có đường kính 10-ft ở trung tâm nghiên cứu NASA Tuy nhiên cách tiếp cận này cho kết quả chính xác đối với mẫu thực nghiệm duy nhất mô phỏng kết cấu thực nhưng lại không có ý nghĩa thực tiễn như một phương pháp chẩn đoán tổng quát Thông tin về hình dạng và độ lớn của sự khuyết tật trong từng phần kết cấu là quá riêng biệt và khó áp dụng vào những kết cấu khác giống nó, thậm chí khi chúng được sản xuất bởi cùng một qui trình thiết kế trong nhà máy

Với sự sai lệch lớn trong những kết quả thực nghiệm, người ta thấy việc áp dụng lý thuyết nhạy cảm về độ không hoàn hảo vào thực tiễn là phụ thuộc vào việc phân tích xác suất của khuyết tật hình học và tải trọng tới hạn Bởi vì người kỹ sư không muốn thiết kế vượt quá hoặc dưới khả năng chịu tải của kết

cấu Để tiến hành việc phân tích ổn định ngẫu nhiên có hiệu quả, các công cụ tính toán giải tích và phương pháp số đáng tin cậy là rất cần thiết

Mãi đến năm 1979, khi Elishakoff ([11]) công bố nghiên cứu đáng tin cậy về sự mất ổn định của cột hữu hạn không hoàn hảo với cơ sở đàn hồi phi tuyến, phương pháp đó đã được đề xuất là hợp lý để hướng dẫn tính toán kết quả nghiên cứu khi phân tích sự không hoàn hảo ban đầu

1.2 Vấn đề ổn định kết cấu tấm

Đối với kết cấu tấm là dạng kết cấu điển hình trong thực tế và kỹ thuật Trước khi đưa kết cấu vào sử dụng, việc tính toán ổn định kết cấu là nhiệm vụ rất quan trọng Với lý do đó, bài toán ổn định tấm chữ nhật luôn thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước Việc khảo sát ổn định kết cấu tấm gần đây được nhiều tác giả trong nước quan tâm nhất như: Đào Huy Bích ([7]) nghiên cứu ổn định phi tuyến của tấm nhiều lớp, Nguyễn Thị Hiền Lương (27]) khảo sát ổn định tấm đàn - dẻo ba chiều chịu nén, Vũ Công Hàm ([39, 40, 41]) nghiên cứu ổn định đàn dẻo của tấm mỏng chữ nhật chịu tải trọng phức tạp…

Ngày nay, khảo sát hiện tượng khuyết tật hình học ban đầu được nghiên cứu sâu rộng trong nhiều lĩnh vực khác nhau với rất nhiều phương pháp mới hiệu quả Vấn đề này đang là một xu hướng mới trong khảo sát ổn định kết cấu bởi tính thiết thực và hiệu quả của nó trong ứng dụng thực tiễn Gần đây, việc khảo sát hiện tượng này được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như Nguyễn Văn Phó ([30]) khảo sát ảnh hưởng sai lệch ban đầu trong thanh bằng phương pháp đánh giá ngẫu nhiên, Ikeda K., and Murota K ([18]) xác định tải trọng tới hạn của kết cấu thanh có xét đến khuyết tật ban đầu, Koiter W T ([22, 23]) nghiên cứu ổn định vỏ trụ chiều dày thay đổi và kết hợp với độ cong ban đầu Khảo sát hiện tượng độ võng ban đầu và chiều dày thay đổi trong tấm mỏng đã được Timoshenko ([33, 34]) đề cập, tuy nhiên còn một số vấn đề cần được nghiên cứu thêm Bài toán tấm có chiều dày thay đổi chịu uốn được Timoshenko ([33]) tính toán và khảo sát nhưng với quy luật đơn giản Việc khảo sát ổn định chúng với các dạng thay đổi khác nhau là điều khá mới mẻ và chưa được nghiên cứu

Tấm có thể chia làm ba loại: tấm mỏng độ võng nhỏ, tấm mỏng độ võng

lớn và tấm dày Vì vậy, để nghiên cứu ổn định của kết cấu tấm, các lý thuyết tấm khác nhau đã được nghiên cứu: lý thuyết tuyến tính cho tấm mỏng độ võng nhỏ, lý thuyết phi tuyến cho tấm mỏng độ võng lớn, lý thuyết chính xác…

Các kết quả tính toán ổn định theo lý thuyết uốn tấm tuyến tính hay cổ

điển (dựa trên cơ sở giả thuyết Kirchhoff) cho tấm mỏng độ võng nhỏ chỉ đúng

khi độ võng là nhỏ so với bề dày

Khi độ võng không nhỏ so với bề dày của tấm, ta phải kể đến biến dạng của mặt trung bình và phải dùng biểu thức biến dạng có chứa các thành phần

gradient chuyển vị bậc cao Trong trường hợp này phải sử dụng lý thuyết ổn định

phi tuyến với hai phương trình von Kármán cho hàm ứng suất Airy và hàm độ

vỏng

Giải bài toán ổn định phi tuyến đồng thời cho ta khảo sát trạng thái sau

mất ổn định của kết cấu (post-buckling behaviour) Trong thiết kế hàng không,

khi trọng lượng kết cấu là vấn đề được quan tâm hàng đầu, khả năng chịu lực thêm của tấm sau khi mất ổn định còn tiếp tục được khai thác

1.3 Các dạng khuyết tật hình học ban đầu của tấm

Tấm hoàn hảo là tấm có chiều dày không đổi, là trường hợp đặc biệt của tấm, nó được lý tưởng hóa trong tính toán thiết kế Nhưng trong quá trình lắp đặt, chế tạo và sử dụng sẽ nảy sinh những sai lệch gây ra sự khuyết tật hình học so với lý tưởng ban đầu Những sự sai lệch này sẽ có ảnh hưởng nhất định đến đặc trưng vật liệu, hình dáng hình học và khả năng chịu tải của chúng Khi nghiên cứu dạng này người ta thường chia làm ba nhóm: 1.Tấm có chiều dày thay đổi

2 Tấm có độ võng ban đầu 3 Tấm có sườn hoặc dầm bị đặt sai lệch vị trí

• Tấm có chiều dày thay đổi: Theo Koiter (1945) và Budiansky,

Hutchinson (1964) ([11]) sự sai khác với hình dáng lý tưởng ban đầu đóng vai trò quan trọng trong việc làm giảm khả năng chịu tải của kết cấu Một nguyên nhân làm suy giảm thêm khả năng chịu tải được Koiter và các tác giả xác định là chiều dày thay đổi của kết cấu (1994) ([22]) Đây là dạng khuyết tật hình học ban đầu, nguyên nhân do yêu cầu cấu tạo nào đó bắt buộc chiều dày tấm thay đổi theo qui luật nhất định ( bậc 1, bậc 2, tuần hoàn… ) Hoặc khi chế tạo, do những sai sót không dự đoán được làm cho chúng thay đổi chiều dày không còn đúng như thiết kế ban đầu Hơn nữa, trong quá trình sử dụng tấm có chiều dày không đổi có thể bị mài mòn hoặc bị ăn mòn làm mất mát thể tích và chiều dày của chúng bị thay đổi Tất cả các trường hợp trên đều có những ảnh hưởng nhất định đến tính ổn định của kết cấu tấm Giá trị tải trọng tới hạn có thể tăng hoặc giảm tùy thuộc vào hình dáng

thay đổi của chúng

• Tấm có độ cong ban đầu: Nếu tấm chịu tác động của một tải trọng nào

đó gây ra cho chúng một độ cong ban đầu nhỏ so với chiều dày tấm Hoặc do thiết kết mà tấm có một độ cong ban đầu trước khi chịu tải

trọng mới Đây cũng là một dạng khuyết tật hình học ban đầu Nghiên cứu của Elishakoff và Koiter ([23]) kết hợp phương pháp số và phương pháp giải tích cho thấy tác động của chiều dày thay đổi trở nên đáng

kể tải trọng tới hạn khi kết hợp với độ cong ban đầu

• Tấm có sườn hoặc dầm bị đặt sai lệch vị trí: Do sự thiếu chính xác

trong chế tạo và lắp đặt, sự sai lệch hình học luôn luôn có, có thể lớn đến mức ảnh hưởng đến tải trọng tới hạn và hình dáng ổn định của chúng Khi một sườn hoặc một gối tựa không còn đúng vị trí như thiết kế ban đầu (bị lệch sang phải hoặc sang trái) lúc đó xảy ra sự sai lệch

vị trí hình học Về mặt hình học sẽ tạo ra một số nhịp có chiều dài lớn hơn tính toán ban đầu và một số nhịp có chiều dài nhỏ lại Điều này làm cho chúng sẽ phân phối lại nội lực và biến dạng Khi khảo sát tính toán cần có những phương pháp chính xác thể hiện được những sai

lệch rất nhỏ có thể xảy ra

d a/2

b O

a/2

H.1.1 Biểu diễn sự sai lệch của sườn khỏi vị trí ban đầu

1.4 Nhiệm vụ luận văn

Trong luận văn này hai vấn đề về khuyết tật hình học ban đầu trong tấm

được nghiên cứu: 1 Khảo sát ổn định tấm mỏng độ võng lớn có chiều dày thay

đổi với các điều kiện biên khác nhau 2 Khảo sát ổn định tấm mõng độ võng lớn có chiều dày thay đối và có độ cong ban đầu với các điều kiện biên khác nhau

• Với tấm mỏng độ võng lớn có chiều dày thay đổi: Xác định hệ số tải

trọng tới hạn ứng với hai dạng quy luật thay đổi chiều (tuần hoàn theo phương x, tuần hoàn theo hai phương x, y) với các tổ hợp liên kết biên khác nhau Một số yếu tố ảnh hưởng ổn định tấm mỏng độ võng lớn với chiều dày thay đổi như: tỉ lệ các cạnh, thông số thay đổi chiều dày được khảo sát và so sánh với trường hợp tấm có chiều dày không đổi

Đây là bài toán phi tuyến hình học, cho nên phương pháp nhiễu loạn

(Perturbation method) kết hợp phương pháp Boobnov – Galerkin trọng

số dư, và phương pháp Boobnov – Galerkin với xấp xỉ liên tiếp được sử dụng để xác định tải trọng tới hạn Hàm độ võng được chọn dưới dạng các chuỗi lượng giác để thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán

• Với tấm mỏng độ võng lớn có chiều dày thay đổi và có độ cong ban

đầu: Xác định hệ số tải trọng tới hạn ứng với một dạng quy luật thay

đổi chiều dày kết hợp với một dạng quy luật độ cong ban đầu (cả hai quy luật đều tuần hoàn theo phương x) với các tổ hợp liên kết biên khác nhau Một số yếu tố ảnh hưởng ổn định tấm mỏng độ võng lớn với chiều dày thay đổi như: tỉ lệ các cạnh, thông số thay đổi chiều dày, thông số độ cong ban đầu được khảo sát và so sánh với trường hợp tấm

có chiều dày không đổi Đây là bài toán phi tuyến hình học, cho nên

phương pháp năng lượng được sử dụng để xác định tải trọng tới hạn Hàm độ võng được chọn dưới dạng các chuỗi lượng giác để thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán

1.5 Các phương pháp được sử dụng trong luận văn

Phương pháp Kết hợp Nhiễu loạn – Trọng số dư (Hybrid Perturbation

Weighted Residual Method), phương pháp kết hợp Boobnov-Galerkin và xấp xỉ

liên tiếp (Boobnov-Galerkin and Approximate method), phương pháp năng lượng (Energy method)

Chương 2

Cơ Sở Lý Thuyết Của Tấm Chịu Uốn

2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

Tấm là vật thể lăng trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước

hai phương còn lại

Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai mặt biên trên và biên dưới của

tấm, khi chịu uốn mặt trung bình bị cong đi

Chu vi tấm là giao tuyến của mặt trung bình và các mặt bên cạnh tấm

Trong luận văn, sẽ giải quyết bài toán ổn định tấm, trạng thái ứng suất phẳng được nghiên cứu, khi có một tải trọng bên ngoài tác dụng lên mặt trung bình tấm (Hình H.2.1)

H.2.1 Trạng thái ứng suất phẳng trong tấm

H.2.2 Sự lý tưởng hoá tính toán trong tấm hai phương

Để tiện nghiên cứu và khảo sát thường chọn hệ trục tọa độ Oxyz như (Hình H.2.2) Mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung bình của tấm, trục z hướng xuống Vị trí gốc tọa độ O sẽ được chọn tùy ý vào hình dạng, chu vi và đặc trưng liên kết biên sao cho phù hợp với các bài toán cụ thể

2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm

Có rất nhiều mô hình lý thuyết được xây dựng để nghiên cứu về sự làm việc của tấm Tùy theo hình dáng hình học, mức độ chính xác và trạng thái ứng suất tấm khảo sát, có thể chia ra các mô hình hay dùng sau:

Mô hình Kirchhoff (Kirchhoff model): Sử dụng cho tấm mỏng với biến

dạng nhỏ, các thành phần lực cắt được bỏ qua trong khảo sát ([33, 34]) Sử dụng lý thuyết này khảo sát những kết cấu tấm mỏng trong kỹ thuật Tấm được gọi là

tấm mỏng nếu

5

180

Mô hình von Kármán (von Kármán model): Về cơ bản mô hình này phát

triển từ mô hình Kirchhoff để sử dụng cho tấm mỏng với biến dạng lớn, các

thành phần lực cắt được bỏ qua trong khảo sát ([33, 34]) và được đặc trưng bằng việc các ứng suất uốn được đi liền bởi các ứng suất màng kéo hay nén tương đối lớn trong mặt phẳng trung bình, các ứng suất màng ảnh hưởng đáng kể đến moment uốn khi tính toán tấm có độ võng hữu hạn Lý thuyết của mô hình này rất quan trọng cho việc phân tích và khảo sát kết cấu tấm mỏng sau khi mất ổn

định (post-buckling) trong kỹ thuật Tấm được gọi là tấm mỏng có độ võng lớn

nếu

5

180

b : kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình

h : gọi là chiều dày của tấm Trường hợp tổng quát chiều dày của tấm phụ thuộc vào x, y h = h(x,y)

Mô hình Ressner – Mindlin (Ressner – Mindlin model): Lý thuyết tấm dày

với biến dạng nhỏ, các thành phần lực cắt được tính toán khảo sát Sử dụng lý thuyết này khảo sát những kết cấu trong động lực học hay kết cấu dạng tổ ong,

kết cấu tường trong xây dựng Tấm được gọi là tấm dày nếu

Mô hình chính xác (Exact model): Phân tích chính xác các tác động lên

tấm bằng cách sử dụng lý thuyết đàn hồi 3 chiều ([27])

Các mô hình này có thể kết hợp các tính chất về vật liệu, hình dáng hình học cũng như các hình thức tổ hợp điều kiện biên Trong phần này sẽ tập trung

vào mô hình Kirchhoff và phát triển lên mô hình von Kármán, bởi vì nó là nền

tảng cơ bản để khảo sát kết cấu tấm mỏng cũng như những vấn đề luận văn cần nghiên cứu

2.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff

2.2.1 Giả thiết Kirchhoff

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff dựa trên các giả thiết sau:

• Giả thiết về các đoạn thẳng pháp tuyến: Các đoạn thẳng vuông

góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu tải và độ dài của chúng là không đổi

+ Từ giả thiết này dễ dàng thấy rằng các góc vuông tạo bởi phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình (có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn vuông góc trong quá trình biến dạng, như vậy không có sự trượt trong mặt phẳng đó, hay γyz = 0 , γzx = 0

+ Vì độ dài các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ thấy rằng biến dạng dài theo phương z bằng không hay εz = 0

• Giả thiết về mặt trung bình: Tại mặt trung bình tấm không có biến

dạng nén hay trượt Khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa, từ đó dễ thấy mặt trung bình có các chuyển vị u0 = v0 = 0

• Giả thiết về sự tương tác giữa các lớp của tấm: Sự tương tác giữa

các lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ qua Tức là ứng suất pháp σz có thể bỏ qua vì nhỏ so với σx ,σy

• Giả thiết về độ võng của tấm: Khi mất ổn định độ võng của tấm rất

bé so với chiều dày của tấm wmax << h0

2.2.2 Phương trình động học

H.2.3 Quá trình biến dạng của mặt trung bình

Từ hình H.2.3 và các giả thiết trên, εz = 0 nên từ công thức Cauchy: εz

x,y: w = w(x,y) Điều này có ý nghĩa tất cả các điểm nằm trên đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình đều có cùng độ võng

Độ dốc của mặt trung bình theo phương x, y là

0

=

∂

∂+

w yz

y

w z

=

∂

∂+

w zx

x

w z

1 x y f x

w z

2 x y f y

w z

0 ) , (

1 0

0 =u = = f x y =

u x z (2.6)

0 ) , (

2 0

0 =u = = f x y =

u y z (2.7) Vậy các thành phần chuyển vị ux, uy, uz là

y

x

w z

Kết hợp các thành phần biến dạng và chuyển vị :

u z z

ε

xy y

x

y x

w z x

u y

w x

u z

u x z

xz

γ

=

∂

∂ +

w y

u z

2.2.3 Quan hệ giữa mômen và ứng suất

Mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mxy và các thành phần ứng suất σx, σy,

τxy, được biểu diễn hình H.2.4

H.2.4 Trạng thái ứng suất và moment uốn trong tấm

Vật liệu là đồng nhất trên toàn bộ tấm, vật liệu tấm tuân theo định luật Hooke Các thành phần ứng suất được biểu diễn dạng ma trận:

x

z

κ κ κ

23 22 21

13 12 11

xy y x

33 32 31

23 22 21

13 12 11

xy

y

x

E E E

E E E

E E E ε

ε

E E E

E E E

E E E

M

h

h x

zdxdz dx

M

h

h y

M

h

h xy

M

h

h yx

κ κ κ κ

κ κ

2 D

D D

D D D

D D D

2 E

E E

E E E

E E E 12

h M

M

M

33 32 31

23 22 21

13 12 11

xy y x

33 32 31

23 22 21

13 12 11 3

D ij = ij với i, j = 1, 2, 3 được gọi là hệ số độ cứng trong tấm Chúng có thứ nguyên (lực nhân với chiều dài) Đối với vật liệu đồng nhất, đẳng hướng có module đàn hồi E và hệ số Poisson ν :

xy y x

2 ) 1 ( 2

1 0

0 1

0

1

M M M

κ κ κ

ν ν

ν

Với

) 1 (

D : độ cứng chống uốn trong tấm

Nếu các thành phần Mx, My và Mxy được tìm thấy thì các thành phần ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất là:

2 min

min max, 6

yx

xy xy

h

M

σ

2.2.4 Quan hệ giữa lực cắt và ứng suất trượt

Các thành phần lực cắt trong mặt phẳng (x,y) được ký hiệu Qx, Qy, được biểu diễn hình H.2.5 Đơn vị của Qx, Qy là lực / chiều dài (N/cm, Kg/m)

Sử dụng phương trình cân bằng Euler các thành phần τxz, τyz có thể biểu diễn dạng parabol thay đổi theo chiều dày,

)

41( 22

max

h

z xz

xz =τ −

h

z yz

yz =τ −

τ (2.15)

H.2.5 Trạng thái ứng suất trượt và lực cắt trong tấm

đỉnh của các parabol này , chỉ xảy ra ở giữa bề mặt z = 0 và là hàm chỉ phụ thuộc vào x,y

h

h xz x

max 2

h

h yz y

max 2

2

3

max =

2.2.5 Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình

Tấm có thể làm việc vừa chịu uốn vừa chịu kéo bởi các tải trong ngang q (vuông góc với mặt phẳng tấm) và các tải trọng X, Y, Nx, Ny, Nxy trong mặt trung bình của tấm

• Phương trình cân bằng do tải trọng ngang q

Do tất cả các thành phần ứng suất, biến dạng hay nội lực của tấm đều được biểu diễn qua hàm độ võng của mặt trung bình (Hình H.2.6) Nên trước hết

ta cần tìm hàm độ võng w = w(x,y)

Khảo sát sự cân bằng một phân tố mặt trung bình có kích thước dx, dy với các lực tác dụng lên phân tố như hình H.2.6

H.2.6 Phương trình cân bằng phân tố trong tấm

Từ phương trình cân bằng chiếu lên phương x ta có

0

= +

∂

∂ +

∂

∂

qdxdy dydx

y

Q dxdy x

Hay q

y

Q x

Q x y = −

∂

∂ +

∂

∂

dxdy Q dydx y

M dxdy x

M

x yx

x yx

y

M x

M

=

∂

∂ +

M x

M y

x

M x

M x xy y = −

∂

∂ +

2

2

• Phương trình cân bằng do tải trọng tác dụng trong mặt trung bình

Để dẫn phương trình vi phân mặt võng trong trường hợp này, ta lại xét điều kiện cân bằng của một phân tố được cắt ra khỏi tấm bởi hai cặp mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ xz và yz Khi đó các lực tác dụng trong mặt trung bình của tấm được biểu diễn như trên hình H.2.7, chiếu các lực này lên trục x, y Giả sử không có lực thể tích tác động theo 2 phương này, ta rút ra phương trình cân bằng sau:

=

∂

∂ +

∂

∂

y

N x

∂

∂

x

N y

N y xy

(2.25)

Nx(b)

dx x

dx x

dy y

Nyx Nyx+∂∂ 

dy y

Ny

Ny+∂∂ 

H.2.7 Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm

Khi chiếu các lực này lên trục z và kể đến độ võng của tấm Lực pháp tuyến Nx

có hình chiếu lên trục z , khi bỏ qua các vô cùng bé bậc cao:

dxdy x

w x

N dxdy x

w y

N dxdy y

w y

w

∂

∂

∂ +

w x

N dxdy y x

∂

∂

∂ 2

(2.28)

dx y x

w y

∂

H.2.8 Độ võng của phân tố dxdy

Ta cũng nhận biểu thức tương tự đối với hình chiếu lên trục z của lực trượt Nyx =

Nxy

Do đó lực trượt Nxy có hình chiếu lên trục z là:

dxdy x

w y

N dxdy y

w x

N dxdy y x

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂+

∂

∂+

−

=

∂

∂+

w N y

w N x

w N q y

M y

x

M x

M

xy y

x y

xy

2

2 2

2 2

2 2

2

y

w x

w D

M x

∂

∂+

2

x

w y

w D

M y

∂

∂+

w D

∂

∂ +

∂

∂ +

=

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂

y x

w N y

w N x

w N q D y

w y

x

w x

w

xy y

x

2 2

2 2

2 4

4 2 2

4 4

4

2 1

Nếu có cả lực thể tích tác động trong mặt phẳng trung bình của tấm, các phương trình vi phân cân bằng của phân tố trên hình H.2.7 trở thành

0

= +

∂

∂ +

∂

∂

X y

N x

0

= +

∂

∂ +

∂

∂

Y x

N y

∂

∂ +

∂

∂ +

=

∂

∂ +

w X y x

w N y

w N x

w N q D y

w y

x

w x

w

xy y

x

2 2

2 2

2 4

4 2 2

4 4

2.3 Lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán)

2.3.1 Giả thiết tấm mỏng độ võng lớn

Vì khi khảo sát tấm mỏng độ võng lớn được dựa vào mô hình tấm mỏng Kirchhoff, do vậy một số giả thiết của mô hình Kirchhoff vẫn được áp dụng cho tấm mỏng độ võng lớn Tuy nhiên, các giả thiết của tấm mỏng Kirchhoff chỉ được áp dụng hoàn toàn khi nào tấm bị uốn thành mặt khả triển

Chẳng hạn, tấm bị uốn thành mặt trụ Trong những điều kiện khác, tấm bị uốn kèm theo biến dạng của mặt trung bình, những tính toán cho thấy rằng, nếu độ võng của tấm nhỏ hơn chiều dày tấm thì có thể bỏ qua ứng suất tương ứng ở mặt trung bình Nếu độ võng không nhỏ, thì khi rút ra phương trình vi phân của tấm chịu uốn, cần đưa thêm những ứng suất ấy vào Như vậy, ta sẽ đi tới các phương trình phi tuyến và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều

Lý thuyết độ võng nhỏ của tấm được nhận từ phần trước bằng cách giả sử chuyển vị rất nhỏ Một cách đáng tiếc, kết quả chỉ đúng với chuyển vị rất nhỏ Khi độ võng lớn bằng chiều dày của tấm, kết quả không còn đúng Điều này trái ngược rõ ràng với lý thuyết của dầm, vì phương trình tuyến tính đúng với điều kiện là độ dốc của đường cong chuyển vị là nhỏ so với 1

Như đã biết lý thuyết độ võng lớn của tấm là do von Kármán đề xuất ([45]) Trong lý thuyết này được giả sử như sau:

(H1) Tấm là mỏng, chiều dày h phải nhỏ hơn kích thước đặc trưng L trong mặt phẳng của tấm, nghĩa là h << L

•

(H2) Độ lớn của độ võng w cùng bậc với chiều dày h của tấm, nhưng nhỏ

so với kích thước đặc trưng L của tấm, nghĩa là w=O(h), w<<L

Vì vậy, lý thuyết von Kármán của tấm khác với lý thuyết tuyến tính của tấm chỉ

ở năng lượng nào đó giữ lại của đạo hàm ∂w/∂x và ∂w/∂y trong quan hệ chuyển

vị và biến dạng

Bây giờ chúng ta có thông số nhỏ cơ bản h Chuyển vị đàn hồi w được giả định là cùng bậc với độ lớn như h Nói một cách hợp lệ, số hạng độ võng lớn nói đến trong thực tế là w không nhỏ nữa so với h Do đó, hình bị biến dạng khác nhiều với hình ban đầu Chúng ta không thể mô phỏng theo độ võng biến dạng nhỏ mà phải cẩn thận hơn Cho ví dụ, nếu chúng ta giữ lại tọa độ vuông góc, vơi mặt phẳng z cố định như mặt phẳng trung bình ban đầu của tấm ở vị trí không biến dạng, thì giới hạn của tích phân ngang qua chiều dày tấm của tấm chịu lực có thể không từ -h/2 tới h/2

2.3.2 Các mối quan hệ trong tấm mỏng độ võng lớn

Lý thuyết hiện tại bị hạn chế là biến dạng nhỏ nhưng góc xoay lớn vừa phải, nên các mối quan hệ được thừa nhận như trong lý thuyết tấm Kirchhoff:

• Quan hệ giữa moment và ứng suất

• Quan hệ giữa lực cắt và ứng suất trượt

Tuy nhiên khi xét phương trình động học trong trường hợp này chúng ta phải kể đến các góc xoay khi mặt trung bình bị biến dạng Nó sẽ được nhắc đến khi ta xét tấm chịu lực ở phần sau

2.3.3 Tấm mỏng độ võng lớn vừa chịu lực ngang vừa lực tác dụng trong mặt trung bình

Khi xét sự cân bằng một phân tố tấm theo phương vuông góc với mặt phẳng tấm, Saint – Venant thiết lập phương trình cơ bản của bài toán tấm mỏng chịu uốn như sau:

∂ +

∂

∂ +

=

∂

∂ +

w X y x

w N y

w N x

w N q D y

w y

x

w x

w

xy y

x

2 2

2 2

2 4

4 2 2

4 4

4

2

1

Trong trường hợp độ võng không còn bé nữa, lúc này các lực Nx, Ny, và Nxy

không chỉ phụ thuộc vào ngoại lực trên mặt phẳng xy mà còn phụ thuộc cả vào biến dạng tại mặt trung bình của tấm, loại biến dạng này gắn liền với hiện tượng uốn Giả sử trong mặt phẳng xy không có lực thể tích, và tải trọng thì tác động vuông góc với tấm, ta được phương trình cân bằng của phân tố trong mặt phẳng

∂

∂

y

N x

N y

N x

Ta sẽ suy ra phương trình thứ ba cần thiết để xác định ba đại lượng Nx, Ny, và

Nxy khi có xét đến biến dạng tại mặt trung bình của tấm chịu uốn

z

dx O

u

A A1

(∂u/∂x)dx B1

H.2.9: Quan hệ của độ dãn dài tương đối toàn phần

Gọi u, v và w lần lượt là các thành phần chuyển vị theo trục x, y và z tại một điểm bất kỳ trên mặt trung bình của tấm chịu uốn Xét một đoạn thẳng rất ngắn

AB nằm trong mặt phẳng này và theo phương x (Hình H.2.9), có thể thấy rằng độ dãn dài của đoạn thẳng do chuyển vị u tạo ra sẽ bằng dx

x

u

∂

∂ Độ dãn dài cũng

của đoạn thẳng đó do chuyển vị w tạo ra bằng dx

x

w 2

.2

u x

Tương tự như thế, biến dạng theo phương trục y sẽ được biểu thị bằng tổng:

v y

∂

∂

x

v y

A1O1B1 chính là biến dạng trượt ứng với chuyển vị w Để tìm độ chênh lệch này,

ta xét góc vuông B2O1A1 trong đó B2O1 song song OB Quay mặt phẳng B2O1A1

quanh O1A1 một góc ∂w/∂y sao cho nó trùng với mặt phẳng B1O1A1 và điểm B2

trùng với điểm C Chuyển vị B2C bằng (∂w/∂y)dy và nghiêng với phương thẳng đứng B2B1 một góc ∂w/∂x Vì vậy, B1C bằng (∂w/∂x) (∂w/∂y)dy và góc CO1B1

bằng (∂w/∂x)( ∂w/∂y) góc này chính là biến dạng trượt ứng với chuyển vị w Cộng biến dạng trượt này với biến dạng trượt do chuyển vị u và v tạo ra, ta được:

y

w x

w x

v y

∂

∂+

2 2 2 2

2

2 2

2

y

w x

w y

x

w y

x x

y

xy y

xy xy

x y y

y x x

N hG

N N hE

N N hE

1

)(

1

)(

νε

thì ta được phương trình thứ ba đối với các đại lượng đang cần tìm Nx, Ny, và Nxy

Việc giải ba phương trình này sẽ rất đơn giản, nếu ta đưa ra khái niệm về

hàm ứng suất Airy Hiển nhiên là các phương trình (2.43) sẽ đồng nhất được

thỏa mãn nếu đặt:

F E

y

F x

F E

x

F y

F E

xy y x

∂

∂

∂+

2 2

2

2

2 2

2

)1(211

νγ

νε

νε

∂

∂

∂ +

∂

∂

2

2 2

2 2 2 4

4 2 2

4 4

4

2

y

w x

w y

x

w E

y

F y

x

F x

∂

∂

∂

∂ +

=

=

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂

y

w Y x

w X y x

w y x

F y

w x

F x

w y

F q D

y

w y

x

w x

w

.

2

.

1

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

4

4 2 2

4 4

4

(2.47)

Phương trình (2.46) và (2.47) được von Kármán giới thiệu vào năm 1910 và

chúng được mang tên Ông

Các phương trình (2.46) và (2.47) cùng với những điều kiện biên sẽ xác định hai hàm F và w Biết hàm ứng suất rồi thì nhờ phương trình (2.44), ta có thể xác định được ứng suất trong mặt trung bình của tấm Từ hàm w xác định được mặt võng của tấm Dùng công thức ở trường hợp độ võng nhỏ trong lý thuyết Kirchhoff có thể tìm được moment nội lực

y x

w D

M M

x

w y

w D M

y

w x

w D M

yx xy

y x

2 2

2

2

2 2

2

)1( νν

ν

Như vậy, việc nghiên cứu tấm có độ võng lớn được đưa về giải hai phương trình vi phân phi tuyến (2.46) và (2.47) Ta không thể tìm ra nghiệm của các phương trình này trong trường hợp tổng quát Tuy nhiên, có thể tìm được nghiệm với những phương pháp gần đúng như đã nêu ở trên

Đặc điểm quan trọng nhất của những phương trình (2.46) và (2.47) là hệ phương trình kép và phi tuyến Những số hạng khá dễ dàng giải thích, những số hạng phi tuyến trong phương trình (2.47) miêu tả như sự phản hồi của ứng suất màng gây ra khi uốn Trong cách khác, chúng ta có thể nhắc lại từ phương trình hình học vi phân đó, nếu một mặt được miêu tả bởi phương trình z = w(x,y), tổng hoặc độ cong Gauss được cho bởi đại lượng

2 2 2

2 2

w y

w x

của mặt thì bằng với tích số của độ cong chính tại một điểm Độ cong Gauss biến mất khi mặt là khả triển Do đó, vế bên phải của phương trình (2.46) biến mất khi mặt võng là khả triển Nếu tấm phẳng biến dạng thành mặt không khả triển, mặt trung bình của tấm sẽ bị giãn dài và vế bên phải của phương trình (2.46) không biến mất Vì vậy, số hạng phi tuyến ở vế phải phương trình (2.46) xuất hiện là vì sự giãn dài mặt trung bình của tấm phẳng do uốn thành mặt không khả triển Khi số hạn phi tuyến được bỏ qua, những phương trình này quy về những phương trình tương ứng của lý thuyết độ võng nhỏ

Có nhiều bài báo về lý thuyết của tấm Một số dành hết để chứng minh đặc biệt những thừa nhận (H1)-(H6), hoặc loại bỏ chúng hoặc tổng quát hóa; người khác thì quan tâm với bài toán giá trị riêng Chúng ta sẽ kết luận của chúng ta ở đây, đơn thuần chỉ ra rằng cấu trúc toán học của chuyển vị trong mặt phẳng của tấm độ võng nhỏ giống như bài toán phẳng của đàn hồi tuyến tính, trong khi về cơ bản những phương trình độ võng lớn thì phi tuyến Lý thuyết độ võng lớn của tấm bao gồm những bài toán quan tâm về ổn định, phản ứng lại, chấn động, cộng hưởng điều hòa dưới nước, lớp biên, …Hướng dẫn rõ ràng của Euler và Lagrange miêu tả ứng suất và biến dạng là nền tảng cho lý thuyết độ võng lớn của tấm Chúng ta có thể tham khảo thêm về tài liệu lý thuyết của vỏ, chẳng hạn Atluri (1984) ([45])

2.4 Khái niệm cơ bản về ổn định

2.4.1 Khái niệm

Ổn định là hiện tượng thông thường khi có một kết cấu mảnh bị tác động

phần lớn bởi lực nén Một kết cấu chịu tác dụng bởi lực Pth, nếu vượt quá lực này kết cấu có thể có nhiều hơn một trạng thái cân bằng và kết cấu sẽ mất ổn định thì lực đó được gọi là lực tới hạn Chẳng hạn trường hợp thanh chịu nén của Euler ban đầu nó có hình dạng thẳng sau khi chịu tải hình dạng bị cong đi Khi P

< Pth kết cấu ổn định và khi P > Pth kết cấu bị mất ổn định

2.4.2 Các tiêu chuẩn ổn định

Phân tích ổn định kết cấu là một khía cạnh quan trọng trong thiết kế kỹ thuật Để thuận tiện nghiên cứu người ta chia ra ba tiêu chuẩn ổn định:

• Tiêu chuẩn trạng thái cân bằng không tầm thường ( The criterion

of non – trivial equilibrium state):

Khảo sát sự cân bằng hình H.2.11:

H.2.11 Trạng thái cân bằng và trạng thái cân bằng ổn định

Điều kiện cân bằng:

C

Một lời giải thông thường của phương trình (2.50) sẽ là δ = 0, nghĩa là trạng thái không bị uốn là trạng thái cân bằng Tuy nhiên, phương trình cũng có thể thỏa mãn nếu − =0

• Tiêu chuẩn động học (Dynamic criterion)

Khi xét sự ổn định theo tiêu chuẩn động học, ta phải tính đến lực quán tính Do đó, một khối lượng tập trung m đặt tại đỉnh của thanh đứng như trong hình H.2.12

mδ

ψ

H.2.12 Mô hình động học

Theo nguyên lý D’Alembert, bằng cách thiết lập một lực quán tính

như một ngoại lực ngược chiều với sự chuyển động, phương trình chuyển động được tìm từ điều kiện cân bằng

•

x m

mL L

Phương trình (2.53) được gọi là phương trình tần số Một cách tổng quát, nếu λ

>0 thì δ =aeλtsẽ vượt quá giới hạn khi t tiến đến vô cùng, khi đó kết cấu dược

xem như mất ổn định Mặt khác, nếu λ <0 thì sẽ giảm khi t tiến đến vô cùng và δ tiến tới không Vì vậy, λ = 0 ứng với trạng thái tới hạn Khi λ = 0 từ phương trình (2.53) xác định được lực tới hạn

• Tiêu chuẩn năng lượng ( Energy criterion)

Khảo sát tiêu chuẩn năng lượng cùng một mô hình với hai tiêu chuẩn trên Năng lượng toàn phần:

2

12

2.5 Bài toán ổn định tấm

2.5.1 Phương trình cơ bản của bài toán ổn định tấm độ võng nhỏ có chiều dày không đổi

Khi khảo sát bài toán ổn định có nhiều thành phần lực tác dụng lên tấm trừ trường hợp lực tác dụng theo phương ngang Trong những phần khảo sát tiếp theo chỉ khảo sát trường hợp lực tác dụng trong mặt phẳng tấm dọc phương x Phương trình vi phân độ võng lực tác dụng trong mặt phẳng tấm theo phương x là:

0)

2

2 4

4 2 2

4 4

∂

∂

∂+

∂

∂

x

w N y

w y

x

w x

w

2.5.2 Năng lượng biến dạng trong tấm

Khi nghiên cứu ổn định của tấm mỏng và nhất là tấm không hoàn hảo, phương pháp năng lượng trở nên rất hữu hiệu khi sử dụng giải quyết bài toán phi tuyến về mặt hình học

Xét trường hợp tấm bị uốn do tải trọng ngang nào đó Gọi u, v, w lần lượt là 3 thành phần chuyển vị theo các phương x, y, z tại một điểm bất kỳ trong mặt trung bình của tấm khi uốn

Thành phần biến dạng trong mặt trung bình của tấm là:

u x

v y

y

w x

w y

u x

∂

∂+

∂

∂

=γTrong trường hợp tấm có độ võng nhỏ, nên bỏ qua mọi sự co dãn trong mặt trung bình tấm thì εx =0, εy =0, γxy =0

y

w x

w y

u x

∂

Năng lượng biến dạng do mặt trung bình bị biến dạng thêm là:

dxdy N

N N

U m ( x x y y xy xy)2

Năng lượng biến dạng do uốn bởi các thành phần moment:

dxdy M

M M

w x

w N y

w N x

=

- Trường hợp độ võng nhỏ ta bỏ qua biến dạng trong mặt trung bình tấm Thế các biểu thức (2.64), (2.65), (2.66) vào phương trình (2.67) và chỉ xét thành phần lực Nx tác động trong mặt trung bình tấm ta được:

dxdy x

w N y

x

w y

w x

w y

w x

2 2

2 2

2

2 2

2

)1(22

- Trường hợp độ võng lớn, thế các phương trình, thế các biểu thức (2.64), (2.65), (2.66) vào phương trình (2.67) và chỉ xét thành phần lực Nx tác động trong mặt trung bình tấm ta được:

dxdy x

w N y

x

w y

w x

w y

w x

w D

dxdy y

w x

w x

v y

w x

w y

u x

v x

v y

u y

u

y

w x

u x

w y

v y

v x u

y

w x

w y

w y

v y

v x

w x

u x

u h E

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

) 1 ( 2 2

1

2 2

2 2

1

2

1 2

1 2

4

1 )

1 ( 2

2.5.3 Các điều kiện biên trong tấm chữ nhật

Trong mặt phẳng trung bình của tấm, chọn hệ trục xy theo phương hai cạnh tấm

• Cạnh tự do: Nếu một cạnh tấm hoàn toàn tựa tự do chẳng hạn cạnh

x = a, khi đó dọc cạnh này không có moment uốn, moment xoắn và lực cắt Điều kiện biên trong trường hợp này là:

0 )

2

3 3

w x

0

2

2 2

• Cạnh tựa đơn: Nếu tấm có cạnh y = 0 tựa đơn, độ võng w ở những

điểm trên cạnh đều bằng không Đồng thời cạnh này có thể xoay tự

do quanh trục x, tức moment My bằng không Điều kiện biên trong trường hợp này là:

2 2

∂

∂

=

y x

w y

• Cạnh ngàm: Nếu cạnh bị tấm ngàm, độ võng mọi điểm trên cạnh

bằng không và dọc theo cạnh này, mặt phẳng tiếp xúc với mặt võng trùng với mặt trung bình của tấm lúc ban đầu Giả sử trục x trùng với cạnh ngàm Điều kiện biên trong trường hợp này là:

• Cạnh tựa đàn hồi và cạnh ngàm đàn hồi: Nếu cạnh x = a của tấm

chữ nhật được gắn với một dầm đỡ, độ võng dọc theo cạnh này sẽ khác không và đúng bằng độ võng và góc xoay sẽ đúng bằng góc xoay của dầm Gọi EI là độ cứng chống uốn của dầm và GJ là độ cứng chống xoắn của dầm Điều kiẹân biên trong trường hợp này là:

a x a

w EI y

x

w x

w D

∂

∂

4

4 2

3 3

3

) 2 ( ν

a x a

w GJ y

w x

w D

∂

∂

2

3 2

2 2

2

2.6 Các phương pháp xác định tải trọng tới hạn

Có nhiều phương pháp xác định tải trọng tới hạn trong bài toán ổn định trong phần này chỉ giới thiệu các phương pháp, một trong số những phương pháp đó có liên quan đến các phương pháp được sử dụng trong khảo sát và tính toán sau này

2.6.1 Phương pháp giải tích

Phương pháp giải tích là phương pháp cho lời giải chính xác Phương pháp này có thể tìm chính xác hàm độ võng bằng cách tích phân trực tiếp phương trình

vi phân Hạn chế của phương pháp này là chỉ áp dụng một vài trường hợp đặc biệt trong bài toán tấm có chiều dày không đổi Khi tìm được nghiệm chứa các hằng số tích phân dựa vào điều kiện biên và điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường xác định được tải trọng tới hạn và các dạng mất ổn định của hàm độ võng

2.6.2 Phương pháp năng lượng ( Phương pháp Ritz)

Phương pháp này rất có hiệu quả khi chưa biết lời giải chính xác của phương trình hoặc khi tấm có sườn gia cố hoặc tấm có chiều dày thay đổi, mà ta chỉ cần tìm giá trị gần đúng của tải trọng tới hạn Đây là phương pháp cân bằng giữa năng lượng uốn và công sinh ra do ngoại lực tác dụng Nếu công này bé hơn năng lượng uốn ở từng dạng mặt võng có thể xảy ra theo phương ngang thì dạng cân bằng của tấm là ổn định Ngược lại, nếu công ấy lớn hơn năng lượng uốn của một mặt võng nào đó theo phương ngang thì tấm sẽ mất ổn định Vậy tải trọng tới hạn sinh ra khi tổng năng lượng uốn và công do ngoại lực sinh ra bằng không:

0

=Ω++

),()

,

1

1f x y a f x y a f x y a

trong đó hàm tuân theo các điều kiện biên hình học của

w được chọn sao cho thể hiện đầy đủ dạng mặt võng của tấm Thế hàm độ võng này vào phương trình thế năng phụ thuộc các hệ số a

),()

,(),,

Phương trình (2.76) sẽ là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất a1,

a2 … an trong trường hợp tính toán tấm theo lý thuyết độ võng nhỏ, nếu tính toán tấm theo lý thuyết độ võng lớn nó sẽ là hệ phương trình đại số phi tuyến Khi định thức của hệ này bằng không thì mới tồn tại nghiệm a1, a2 … an khác không

Buộc định thức này bằng không, ta rút ra phương trình siêu việt xác định tải trọng tới hạn cho bài toán ổn định tấm

2.6.3 Phương pháp Boobnov-Galerkin

Khi biết độ võng ảo δw của tấm ta có thể tính công tương ứng của tải

∇∇

y y

D w

x x

D w

w y

D y

x

w y x

D y

w x

∇∇

=

y y

D w

x x

D w

2 2

2 2

2 2

2 2

2

)2

)(

1(

x

w N x

w y

D y

x

w y x

D y

w x

D

x

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

k k w a

Biểu diễn dưới dạng tổng quát:

0)

0)

Ψ

∫∫ wδw dxdy

0)

Ψ

∫∫ wδw n dxdy

Sau khi có n phương trình, tìm tải trọng tới hạn bằng điều kiện sao cho các hệ số

an khác không Ta sẽ được một định thức n hàng n cột chứa các hệ số an, buộc định thức này bằng không ta sẽ tìm được biểu thức xác định tải trọng tới hạn

Với phương pháp này kết hợp với phương pháp nhiễu loạn và phương pháp xấp xỉ liên tiếp để tính toán và khảo sát bài toán tấm mỏng độ võng lớn có chiều dày thay đổi ở chương 3

2.7 Tính toán ổn định tấm chữ nhật độ võng nhỏ có chiều dày không đổi

Trong phần này ta xác định lại các công thức xác định lực tới hạn của tấm độ võng nhỏ có chiều dày không đổi với các tổ hợp điều kiện biên để làm cơ sơ cho việc khảo sát ổn tấm mỏng độ võng lớn sau này

2.7.1 Ổn định tấm chữ nhật có bốn cạnh tựa đơn

Khảo sát tấm chữ nhật chịu nén trong mặt trung bình bởi lực N0 phân bố

trên các cạnh x = 0 và x = a (Hình H.2.13)

H.2.13 Tấm chữ nhật 4 cạnh tựa đơn chịu tải trọng trong mặt trung bình

b

NxO

y

a

x

Nx

Chọn hàm độ võng lúc tấm mất ổn định sao cho thoả mãn điều kiện biên

hình học (2.71), hàm độ võng có dạng:

x m A

w

N m

N

n mn

ππ

sin sin

x

w y

w x

w y

w x

w D

2 2

2 2

2

2 2

2

)1(22

2 2

2 2 2

1 1 2 4

m A D

ab U

2 2 2

1 1 2

4 2

1 1 2 2

m A D

ab A

m N

b

m n

mn mn

m n th

π

suy ra

1 1

2 2

2

2 2 2

1 1 2 4

A m

b

n a

m A D

ab N

π

(2.88)

Trị số cực tiểu của biểu thức (2.74) là:

2 2

2 2

2 2

2 4

=

b

n a

m m

D a

2 2

=

b a

m m

D a

Khi m = 1, biểu thức (2.90) trở thành

2 2

a b

D

2.7.2 Ổn định tấm chữ nhật có hai cạnh ngàm hai cạnh tựa

Chọn hàm độ võng lúc tấm mất ổn định thoả mãn điều kiện biên hình học

x A

sin

2cos1

Nxb

H.2.14 Tấm chữ nhật 2 cạnh tựa 2 cạnh ngàm

chịu tải trọng trong mặt trung bình Tích phân biểu thức năng lượng biến dạng uốn (2.78) thu được:

3 3

4 2

2 4 2 11

4 3 8 16

b b

a a DA

=