Phương trình đại số lyapunov và một số tính chất liên quan

Mục lục1 Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của phương 1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục.. LỜI MỞ ĐẦUPhương trình ma trận Lyapunov và tựa Lyapunov xuất hiện nhiều trong các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Hà Bình Minh

Hà Nội - 2014

Mục lục

1 Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của phương

1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục 6

1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc 8

2 Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục 10 2.1 Các phương pháp vectơ hóa 10

2.1.1 Phương pháp Bellman (1959) 11

2.1.2 Phương pháp MacFalane (1963) 12

2.1.3 Phương pháp Bingulac (1970) 16

2.2 Phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận 19

2.3 Phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng 21

3 Các tính chất của nghiệm phương trình Lyapunov 24 3.1 Đánh giá nghiệm 24

3.1.1 Đánh giá giá trị riêng 24

3.1.2 Ví dụ minh họa 25

3.2 Đánh giá vết 28

3.3 Đánh giá định thức 31

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học khoa học và Tự Nhiên

Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Bình Minh, người đã tận tình hướng dẫn

và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tấm gương đam mê nghiên cứu khoahọc, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp chotôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văncủa mình Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hếtlòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luậnvăn thạc sĩ này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Học viên

Phạm Thanh Nga

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình ma trận Lyapunov và tựa Lyapunov xuất hiện nhiều trong các

tư tưởng toán học và kỹ thuật khác nhau như lý thuyết điều khiển, lý thuyết hệthống, tối ưu hóa, hệ thống điện, xử lý tín hiệu số, đại số tuyến tính, phươngtrình vi phân Theo định nghĩa của Lyapunov về sự ổn định (hay được gọi là

sự ổn định theo tư tưởng Lyapunov), người ta có thể kiểm tra sự ổn định củamột hệ thống bằng cách xác định các hàm Lyapunov Trong toán học, các hệthống tuyến tính xử lý rất dễ dàng và ta có thể biểu diễn xấp xỉ tuyến tính chocác hệ thống phi tuyến, kết quả phân tích của các nhà toán học cũng như kỹthuật thường dựa vào mô hình tuyến tính Vì vậy, nghiệm của phương trình matrận Lyapunov sẽ cho chúng ta hiểu sâu hơn về cách thức hoạt động của các hệthống động lực học

Phương trình Lyapunov được ứng dụng không chỉ trong nghiên cứu tính

ổn định của các hệ thống tuyến tính mà còn được ứng dụng trong bài toánđiều khiển và bài toán lý thuyết hệ thống đều dựa vào phương trình Lyapunovhoặc phương trình tựa Lyapunov: khái niệm về Grammian điều khiển và quansát(Chen, 1984), phép biến đổi cân bằng(Moore, 1981), sự tăng cường tính ổnđịnh để biến đổi các tham biến(Patel và Toda, 1980; Yedavalli, 1985), nghiêncứu giảm bậc mô hình và giảm bậc điều khiển(Hyland và Bernstein, 1985, 1986;Bernstein và Hyland, 1985; Safonov và Chiang, 1989), cấu trúc thay đổi củakhông gian lớn(Balas, 1982), thiết kế dự toán(Chen, 1984)

Trong luận văn này, tôi giới thiệu phương pháp giải phương trình ma trậnLyapunov và các phương pháp giải gần đúng cho hệ thống thời gian liên tục.Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định củaphương trình vi phân

Trong chương này, tôi giới thiệu về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồngthời đưa ra và chứng minh cụ thể các định lý về tính ổn định tiệm cận, các ví

dụ minh họa

Chương 2 Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

Rn×n.

Định nghĩa 1.1 Hệ động lực tuyến tính (1.1) được gọi là ổn định tiệm cậnnếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A nằm trọn trong nửa trái của mặtphẳng phức.

Lý thuyết ổn định của Lyapunov được xây dựng như sau

Định lý 1.1 Điểm cân bằng x = 0 của hệ động lực động lực tuyến tính (1.1)

là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một hàm khả vi vô hướng liên tục V (x) thỏamãn các điều kiện sau:

số Lyapunov (gọi tắt là phương trình Lyapunov) sau

= −xTQx

< 0, (do Q là ma trận xác định dương)

Như vậy, tính ổn định tiệm cận của hệ (1.1) liên quan đến sự tồn tại nghiệmđối xứng, xác định dương của phương trình Lyapunov Từ đó ta có kết quả sau:Định lý 1.2 Hệ động lực động lực tuyến tính (1.1) là ổn định tiệm cận nếu vàchỉ nếu với mỗi Q = QT > 0 tồn tại duy nhất nghiệm P = PT > 0 của phươngtrình Lyapunov sau

ATP + P A + Q = 0

Định lý 1.2 có thể mở rộng cho trường hợp Q = CTC ≤ 0 Ở đây không cầnthiết Q > 0 Trong trường hợp đó hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếucặp (A, C) là quan sát được và phương trình đại số Lyapunov có nghiệm duynhất P = PT > 0 Tính quan sát được của cặp (A, C) có thể kiểm tra một cách

dễ dàng nhờ vào tiêu chuẩn Kalman

Cho một hệ tuyến tính rời rạc bất biến theo thời gian

x(k + 1) = Ax(k), x(k0) = x0 (1.4)Đối với hệ động lực động lực rời rạc (1.4), ta chọn hàm Lyapunov có dạngtoàn phương như sau Giả sử rằng, với Q là một ma trận đối xứng, xác địnhdương, phương trình đại số Lyapunov rời rạc sau

• V (k) = 0 khi và chỉ khi x(k) = 0, do P là ma trận xác định dương.

ATP A − P + Q = 0

trong đó A, P, Q ∈ Rn×n.

Trong các phương pháp được đưa ra dưới đây, chúng ta nhóm lại thành cácphương pháp: phương pháp vectơ hóa, phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận,phương pháp ma trận phản đối xứng, và các phương pháp đưa ma trận A vềcác dạng đặc biệt

Trong các phương pháp vectơ hóa, phương trình ma trận Lyapunov sẽ đượcđưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính nhờ vào việc đưa ma trận cần tìm

P về dạng vectơ.

2.1.1 Phương pháp Bellman (1959)

Phương pháp này được lần đầu được giới thiệu bởi Bellman năm 1959 Sửdụng tích Kronecker, phương trình (2.1) được đưa về dạng tương đương sauđây:

Do đó, việc giải phương trình Lyapunov được đưa về việc giải hệ phươngtrình tuyến tính sau:

Điều kiện để hệ phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất

Để phương trình đại số (2.2) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là matrận A không suy biến Ta biết rằng giá trị riêng của A được tính theo giá trịriêng của A theo công thức sau:

λk(A) = λi+ λj, i, j = 1, 2, , n, k = 1, 2, , n2,trong đó λi, i = 1, , n là các giá trị riêng của ma trận A Rõ ràng, ta thấyrằng, nếu ma trận A là ổn định tiệm cận (tức là tất cả các giá trị riêng của matrận A nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức), thì 0 /∈ λ(A), và do đó A là khôngsuy biến Tóm lại, ta có:

Kết quả 2.1 Nếu các giá trị riêng của ma trận A nằm ở nửa bên trái mặtphẳng phức thì hệ phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình (2.2) trong phương pháp nêu trên có nhiều ẩn số thừa Điềunày là do ma trận cần tìm P là ma trận đối xứng, nên chỉ cần tìm 12n(n + 1) số

phần tử của P , không cần tìm tất cả n2 số phần tử của P Phương pháp sauđây được đưa ra bởi MacFalane năm 1963 cải tiến phương pháp của Bellman

1959 (ta chỉ cần giải 12n(n + 1) phương trình tuyến tính để tìm 12n(n + 1) ẩnsố)

Theo phương pháp này, việc giải phương trình (2.1) tương đương với việcgiải hệ phương trình tuyến tính sau:

Ma trận A được xây dựng dựa trên thuật toán sau

Thuật toán 1 Xây dựng một bảng có chỉ số hàng là (k, l) và chỉ số cột là(i, j) Các ô của bảng này được xác định dựa theo các điều kiện sau:

Giả sử ma trận A được cho bởi

q222q23q33

Sử dụng Thuật toán 1, ta xác định được ma trận A theo bảng sau:

(k, l)(i, j) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 2) (2, 3) (3, 3)

Ta đưa về việc giải hệ phương trình sau để xác định các phần tử của P :

00

−1 2

Thuật toán (thuật toán 2) xác định ma trận U được xây dựng như sau.Bước 1 Xây dựng ma trận L như sau:

. . . . .

Để thu được ma trận U , ta nhân các hàng 1, 4, 6 của ma trận V với 2

Ví dụ 2.5 Tìm nghiệm P của phương trình

ATP + P A + Q = 0,trong đó

Áp dụng công thức thu được từ ví dụ trên, ta tìm được

Giải hệ, ta thu được

Nghiệm của phương trình Lyapunov

ATP + P A + Q = 0,được viết dưới dạng sử dụng hàm mũ ma trận như sau:

P =

Z ∞ 0

Để tính toán hàm mũ ma trận eATt, ta sử dụng định lý Cayley - Hamilton

để biểu diễn eATt dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {I, AT, , (AT)n−1} Matrận mũ eATt được xác định theo công thức sau

eATt = a1(t)In+ a2(t)InAT + · · · + an(t)(AT)n−1, (2.8)trong đó a1(t), a2(t), · · · , an(t) được tính toán bằng phương pháp thông thường.Sau khi tính được ma trận mũ eATt, ta tìm nghiệm P theo phương phápsau Trước tiên ta phân tích Q = Γ ΓT, với Γ ∈ Rn×r Đặt M là ma trận sau:

M := hΓ, ATΓ, (AT)2Γ, · · · , (AT)n−1Γi

Khi đó

P =

Z ∞ 0

ai(t)aj(t)dt

(2.9)

Ví dụ 2.6 Giải phương trình Lyapunov

ATP + P A + Q = 0,với

Γ =



10

1 4 1 4

1 12





Ma trận M được tìm theo công thức

1 4 1 4

1 12

Ưu điểm rõ rệt nhất của phương pháp này là để tìm ma trận phản đối xứng

S ở Bước 1, ta chỉ cần tìm 0.5n(n − 1) biến từ 0.5n(n − 1) phương trình Nhưvậy, so với các phương pháp trước, số biến cần tìm giảm từ 0.5n(n + 1) xuống0.5n(n − 1) Điều này rất có ý nghĩa đối với các hệ cỡ lớn có hằng trăm biến







Khi đó ta có

P = 1

2(S − Q)A

−1.Trong đó,

11 24

1 16 9

8

1 4

1 8 1

16

1 8

1 16















11 24

1 16 9

8

1 4

1 8 1

16

1 8

1 16









11 24

1 16 9

8

1 4

1 8 1

16

1 8

1 16

3.1.1 Đánh giá giá trị riêng

Định lý 3.1 Giả sử α1, α2, , αn là các giá trị riêng của P , β1, β2, , βn làcác giá trị riêng của Q, λ1, λ2, , λn là các giá trị riêng của A, σ1, σ2, , σn

là các giá trị riêng của ATA Giả thiết P, Q là những ma trận xác định dương

và các giá trị riêng có thứ tự sắp xếp như sau:

0 < αn ≤ αn−1 ≤ · · · ≤ α1

0 < βn ≤ βn−1 ≤ · · · ≤ β1

0 < σn ≤ σn−1 ≤ · · · ≤ σ1Re[λ1(A)] ≤ Re[λn−1(A)] ≤ · · · ≤ Re[λ1(A)] < 0Khi đó ta có đánh giá sau:

λmax(P ) = α1 ≥ β1

2σ

1 2

1

= λmax(Q)2λ

1 2

1

= λmin(Q)2λ

1 2

−0.0122 −0.0043 −0.0064 0.0057 0.00260.0303 0.0656 0.0206 0.0026 0.0330

Vectơ riêng của ATA là

|λmax(A + AT)|, (3.2)đúng khi λmax(A + AT) < 0

Chứng minh Nhân hai vế của phương trình (2.1) với các vectơ riêng của A, tứclà

x∗(ATP + P A)x = −x∗Qxtrong đó ∗ dùng để mô tả liên hợp phức Khi đó, chúng ta có

Phần tiếp theo của các bất đẳng thức (3.1) và (3.2) được chứng minh bằngcách sử dụng lập luận rằng với µ > 0 và một vectơ y 6= 0, hệ thức P y = µy đưa(2.1) về dạng

µy∗(A + AT)y = −y∗Qy

Chọn µ = λmax(P ), phương trình sau cùng dẫn đến cận trên được cho trong(3.2) Nếu chọn µ = λmin(P ) sẽ dẫn đến cận dưới trong (3.1) Chú ý rằng cậntrên trong (3.2) đúng khi λmax(A + AT) < 0

Sử dung MATLAB ta thu được

Giải P , ta tính được: λmax(P ) = λ1(P ) = 0.5461, λ2(P ) = 0.2642,

Những định lý dưới đây cho ta đánh giá vết của ma trận P

Định lý 3.4 Vết của ma trận đối xứng xác định dương P được cho bởi các bấtđẳng thức sau:

2

2tr(A) , (Kwon et al, 1985)trong đó |Q| là định thức của ma trận Q

Định lý 3.5 (Wang et al., 1986) Cho As = A+A2 T Khi đó vết của ma trận

P có cận trên và dưới được xác định như sau:

(iii) tr(P ) ≥ −tr(Q)

2tr(A).Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề dưới đây

Bổ đề 3.1 Giả sử X, Y ∈ Rn×n là đối xứng và Y ≥ 0, khi đó

λmin(X)tr (Y ) ≤ tr (XY ) ≤ λmax(X)tr (Y )

2tr (P )λmin(As) ≤ −tr (Q)

Vậy (i) và (ii) được chứng minh Hơn nữa do λmin(As) > tr (As) với λmin(As) <

0, và 2tr (A) = tr (As) nên (iii) được chứng minh

Định lý 3.6 Cho ma trận P , A và Q như trong phương trình (2.1) Khi đó

i (Q)i

2 12tr(A),

Giá trị riêng của ma trận As là xác định dương, vì vậy cận trên và dưới đượcđưa trong Định lý 3.5 có thể được ứng dụng Với Q = I, Định lý 3.5 cho đánhgiá sau:

1.2453 ≤ tr(P ) ≤ 25.8509,trong khi Định lý 3.6 cho đánh giá

Định lý 3.7 Nếu λi(A) + λj(A) 6= 0, i, j = 1, 2, · · · , n và Q là ma trận xácđịnh dương, khi đó nghiệm P của phương trình 2.1 thỏa mãn

|P | ≥ (−1)

n|Q|

2n|A| .Cùng với giả thiết của Định lý 3.7 (Mori et al, 1989) có thể thu được cậndưới khác của định thức P

Ta có nghiệm của phương trình Lyapunov như sau:

4sin2α =⇒ |P | −→ ∞ nếu α −→ 0 và |A| = |Q| = 1.

Cận trên của định thức của P được là:

|P | ≤h1

ntr(Q)

in

abs|AT + A|−1, λ1(AT + A) < 0, (3.4)trong đó abs|AT + A| là trị tuyệt đối của định thức |AT + A| Lưu ý, kết quả thuđược không mâu thuẫn trong Ví dụ 3.6

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày được những nội dung sau đây:

• Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục (Cácphương pháp vectơ hóa, phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận và phươngpháp sử dụng ma trận phản đối xứng)

• Các tính chất của nghiệm phương trình Lyapunov (Đánh giá nghiệm,đánh giá vết, đánh giá định thức)

Nếu có thể chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu về đề tài này trong thời gian sắptới Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên trong luận văn này không tránhkhỏi những thiếu sót nhất định Tôi rất mong được sự góp ý quý báu của thầy

cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[3] Barnett, M., (1974), Simplification of Lyapunov matrix equation ATP A −

P = −Q, IEEE Trans, Automatic Control, vol 19, 446 - 447

[4] Geromel, J and J Bernussou, (1979), On bounds of Lyapunov matrix tion, IEEE Trans, Automatic Control, vol 24, 482 - 483

equa-[5] M.W.Hisch and S Smale (1974), Differential equation, Dynamical systemsand Linear algebra, Academic Press, New York

[6] W.A.Coppel (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential tions, D C Heath, Boston

equa-[7] Zoran Gajic et al (1995), Lyapunov matrix equation in system stabilityand control, Academic Press