Mô hình hóa động cơ áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- 10 - CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN I.1 Hiệu ứng thuận và nghịch Như chúng ta đã biết vật liệu áp điện là loại vật liệu đặc biệt, trong nó tồn tại hai sự chuyển đổi qua lại g

- 2 -

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

Chương I: Tổng quan về vật liệu áp điện I.1 Hiệu ứng thuận và nghịch 10

I.2 Vật liệu áp điện 11

Chương II: Các phương trình chủ đạo và rời rạc hoá phương trình II.1 Các phương trình cơ bản của vật liệu áp điện 16

II.2 Rời rạc hoá phương trình 17

II.2.1 Công thức tích phân 17

II.2.2 Bài toán xấp xỉ và rời rạc hoá 19

II.2.3 Ký hiệu kỹ sư 21

Chương III: Mô hình phần tử hữu hạn III.1 Phần tử tổng quát 24

III.1.1 Các phép biến đổi 24

III.1.1.1 Tổng quát 24

III.1.1.2 Ma trận Jacobi 26

III.1.1.3 Tính toán các ma trận phần tử hữu hạn 27

III.1.1.4 Tích phân Gauss 29

III.1.2 Thành lập ma trận độ cứng K 30

III.1.2.1 Công thức tính K UU 30

III.1.2.2 Tính ma trận K φφ 30

III.1.2.3 Tính ma trận K Uφ 31

III.1.3 Thành lập ma trận khối lượng M UU 31

III.2 Phần tử tam giác 32

III.2.1 Tổng quan 32

III.2.2 Ma trận độ cứng phần tử tam giác 33

III.2.2.1 Ma trận độ cứng cơ 33

III.2.2.2 Ma trận tương tác cơ điện 34

III.2.2.3 Ma trận độ cứng điện 35

III.2.3 Ma trận khối lượng 35

- 3 -

Chương IV: Đặc tính vật liệu áp điện PZT-5 và giải bài toán động lực học

IV.1 Đặc tính của vật liệu áp điện PZT-5 37

IV.1.1 Trường hợp tổng quát 37

IV.1.2 Vật liệu áp điện PZT-5 trong không gian ba chiều 37

IV.1.3 Vật liệu áp điện PZT-5 trong không gian hai chiều 39

IV.2 Phương pháp Time Newmark 39

Chương V: Động cơ áp điện dùng sóng truyền V.1 Giới thiệu 43

V.2 Nguyên lý hoạt động 47

Chương VI: Ứng dụng trên mô hình động cơ hai chiều VI.1 Mô tả bài toán 50

VI.2 Chương trình NAAME-PIEZO 52

VI.2.1 Phần mềm GMSH 52

VI.2.2 Phần mềm MATLAB 55

VI.2.3 Công cụ CALFEM 55

VI.2.4 Cấu trúc chương trình tính toán 56

VI.3 Modes dao động, tần số dao động, mode trùng 57

VI.4 Đáp ứng theo thời gian 59

Chương VI: Kết luận và hướng phát triển 63

Tài liệu tham khảo 64

Phụ lục 65

- 10 -

CHƯƠNG I

TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN

I.1 Hiệu ứng thuận và nghịch

Như chúng ta đã biết vật liệu áp điện là loại vật liệu đặc biệt, trong nó tồn tại hai sự chuyển đổi qua lại giữa biến dạng và điện áp [4], ta gọi hai hiệu ứng đó là hiệu ứng thuận và hiệu ứng nghịch:

• Hiện ứng thuận (direct effect): khi vật liệu áp điện bị biến dạng do ngoại lực tác dụng thì chúng sẽ sinh ra điện áp trên các điện cực của chúng (electrodes), xem Hình 1 (b) & (c) Hiệu ứng này được ứng dụng trong lãnh vực chế tạo cảm biến áp điện (cảm biến lực, cảm biến gia tốc)

điện trường (nhờ vào các điện cực) thì chúng bị biến dạng, xem Hình

1 (d) & (e) Hiệu ứng này được ứng dụng trong lãnh vực chế tạo động cơ áp điện (piezomotor), bộ tác động áp điện (piezoelectric actuator), bộ tạo cộng hưởng (piezoelectric resonator),

- 11 -

I.2 Vật liệu áp điện

Vào năm 1880, hai anh em Pierre và Jacques Curie là những người đầu tiên khám phá ra hiệu ứng áp điện trên một số tinh thể [4], với khả năng tạo ra điện áp thay đổi tương ứng với sự thay đổi của lực tác dụng Như ta đã biết đó là hiệu ứng thuận

Vào năm 1922, Langvin cho trình làng cơ cấu chấp hành đầu tiên dựa trên tinh thể thạch anh Các khám phá về vật liệu áp điện (PZT – Titano-ziranate de plomb) đã mở ra các ứng dụng mới trong công nghiệp Các cảm biến sử dụng vật liệu áp điện được phát triển và ứng dụng trong lĩnh vực sóng âm sử dụng dưới nước (sonar), kiểm tra mối hàn bằng sóng siêu âm, làm sạch bằng sóng siêu âm, v.v… Các kỹ thuật dùng cho cảm biến (đo lực, đo gia tốc, …) cũng được hòan thiện Việc sử dụng vật liệu áp dụng trong cơ cấu chấp hành về vị trí cũng được nghiên cứu, tuy nhiên để điều khiển được nó với khoảng cách 0.5mm cần đến điện thế hàng ngàn vôn

Cơ cấu chấp hành đa lớp (MLAS-Multilayer Actuators), dựa trên kỹ thuật cao của tụ điện đa lớp, xuất hiện trên thị trường từ năm 1988 Vì MLAS dễ sử dụng nên chúng nhanh chóng được ứng dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau Áp điều khiển cho chúng chỉ đến 200V

Vật liệu áp điện là các tinh thể kết tinh có cấu trúc bất đối xứng tạo ra moment lưỡng cực điện và nó chịu ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi và điện trường cung cấp

Vật liệu áp điện là vật liệu ferroelectric [5] khi ở nhiệt độ dưới điểm Curie: quá trình phân cực làm vật liệu phân cực chính nó Khi quá trình phân cực xảy ra vật liệu chịu một điện trường cao tại nhiệt độ Curie Nếu vật liệu ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ Curie thì nó không còn là vật liệu áp điện nữa Nó có thể phân cực trở lại nếu có thêm một số điều kiện

- 12 -

Trong vật liệu gọi là điện môi (dielectric material) [4], các nguyên tử cấu thành được xem là bị ion hoá với một mức độ nào đó và tích điện dương hoặc âm Trong các tinh thể ion như thế, khi tác động một điện trường, các cation bị thu hút bởi cathode và các anion bị thu hút bởi anode do tương tác tĩnh điện Các đám mây điện tử cũng biến dạng, tạo nên các lưỡng cực điện (electric dipole)

Hiện tượng này được biết đến như là sự phân cực điện của chất điện môi, và sự

phân cực được mô tả một cách định lượng như là tổng các lưỡng cực điện trên một đơn vị thể tích Hình 1.2 chỉ ra một cách hệ thống nguồn gốc của phân cực điện Có ba loại: phân cực điện tử (a), phân cực ion (b) và phân cực liên quan đến sự sắp xếp lại các lưỡng cực điện (c)

Hình 1.2: Nguồn gốc vi mô của các phân cực điện

Vật liệu áp điện có nhiều cách biến dạng khác nhau [10] tùy theo chiều phân cực của vật liệu (xem Hình 1.3)

- 13 -

Hình 1.3: Các kiểu biến dạng cơ bản của vật liệu áp điện dưới tác dụng của điện

trường theo các phân cực khác nhau

- 14 -

CHƯƠNG II

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO VÀ RỜI RẠC HÓA PHƯƠNG TRÌNH

II.1 Các phương trình cơ bản của vật liệu áp điện

Trước tiên, xem xét một vật liệu cách điện một chiều không chịu tác

động của ngoại lực Ta biết rằng chuyển vị D (C/m2) quan hệ với điện trường E

(V/m) qua hệ số điện môi ε [2] Mối quan hệ được thể hiệïn như sau:

trong đó:

D là đại lượng đặc trưng cho chuyển vị điện (C/m2),

ε là hệ số điện môi của vật liệu áp điện (F/m),

E là điện trường (V/m)

Nếu bây giờ xem xét một vật liệu đàn hồi một chiều, ứng suất T (N/m2)

và biến dạng S, chúng có mối quan hệ theo định luật Hooke như sau:

sT T E

trong đó:

T là ứng suất,

E là suất đàn hồi Young,

S là biến dạng,

s là nghịch đảo của E, gọi là độ mềm

Trong trường hợp đối với vật liệu áp điện, các phương trình cơ học và

điện trường tương tác nhau như sau:

dE T s S

T

E

) 3 2 (

trong đó d là hằng số áp điện có thể được diễn dịch theo hai cách sau:

- 15 -

ứng suất cơ học T, khi không kể điện trường E εT là hằng số điện môi xét

ở ứng suất T không đổi

Phương trình (2.3) và (2.4) có thể viết lại dưới dạng sau:

E s

d S s

E s

d S

trường bằng không,

Đối với vật liệu áp điện được xem xét trong không gian ba chiều, dạng

các phương trình cơ bản vẫn giữ nguyên nhưng các số hạng không còn là vô

hướng nữa mà là ở dạng tensơ Vì vậy, đối với vật liệu áp điện dược xem xét

trongkhông gian ba chiều, các phương trình tensơ được viết lại như sau:

E e S C

E S e

trong đó:

T là tensor ứng suất (bậc hai),

S là tensor biến dạng (bậc hai),

E là vectơ điện trường,

D là vector chuyển vị điện,

- 16 -

CE là tensor đàn hồi (bậc bốn),

e là tensor các hệ số áp điện (bậc 3), et∗ là chuyển vị của e,

εS là tensor của các hằng số điện môi (bậc 2)

Có thể viết tường minh hơn hai phương trình trên như sau:

k kij kl

E ijkl

j

s ij kl ikl

Cùng với hai phương trình trên chúng ta xem xét các phương trình liên

quan đến phần cơ học và điện

Các phương trình chủ đạo trong cơ học đàn hồi liên quan đến vấn đề cân

bằng lực được thể hiện dưới dạng phương trình Newton xem xét trong môi

trường liên tục:

T t

U = ∇ ⋅

∂

∂ 2

∂

∂ +

∂

∂

z

k y

j x

Các chuyển vị này liên quan đến tensơ biến dạng (trong trường hợp biến

dạng bé) theo quan hệ sau nay (viết theo chỉ số Einstein)

i

U x

U S

2

Để đơn giản hoá cách viết chúng ta có thể biểu diễn quan hệ ở (2.14)

dưới dạng vectơ:

U

trong đó ∇ˆlà toán tử gradient đối xứng

Các phương trình chủ đạo liên quan đến phần điện được diễn tả bởi định

luật Gauss (liên quan đến điện tích) Chúng ta giả thuyết rằng vật liệu áp điện

không tích luỹ điện tích Hay nói cách khác môi trường áp điện được giả thuyết

- 17 -

là môi trường cách điện lý tưởng, điều này có nghĩa rằng không có điện tích tự

do Điều này dẫn đến phương trình sau:

U = ∇ ⋅

∂

∂ 2

II.2 Rời rạc hóa phương trình

Để chuyển bài toán vi phân được định nghĩa ở trên sang bài toán tuyến

tính để có thể giải được bằng phương pháp số, chúng ta lần lượt thực hiện hai

bước sau [2]:

¾ Chuyển sang bài toán xấp xỉ bằng cách rời rạc hoá

II.2.1 Công thức tích phân

Trong phần này chúng ta chuyển bài toán vi phân sang bài toán tích phân

Việc này đồng nghĩa với việc chuyển dạng mạnh của bài toán sang dạng yếu

(weak formulation), để làm được điều này chúng ta xem xét các hàm thử vector

ν và các hàm thử vô hướng ϑ Gọi ξ và ζ là các không gian của các hàm thử,

chúng ta có thể dẫn ra các biểu thức sau từ các bài toán vi phân: Lấy tích phân

theo thể tích ta được:

E S

e

với S= ˆ ∇U và E = - ∇φ, chú ý rằng V là thể tích tính toán

Chúng ta sẽ biến đổi vế phải của (2.20) bằng cách sử dụng công thức

δ

(2.24) với ∂V là biên của thể tích V và n là pháp tuyến ngoài của thể tích V

Ngoài ra lợi dụng tính đối xứng của tensor ứng suất, ta có thể viết:

j ji j

i ij j

,

i ij

x

v T x

v T x

v T

δ

Bây giờ chúng ta sử dụng các phương trình (2.25) và (2.26) (các phương

trình áp điện) Nếu chúng ta thay phương trình áp điện thuận D=e.S+εs.E và

phương trình (2.27), ta được:

V

s E S

( ε ∇ϑdV = ∫ ( ⋅ )

V

n D

δ

Tiếp tục sử dụng các quan hệ S= ˆ∇U và E = -∇φ để diễn tả phương trình

(2.28) theo điện thế và trường chuyển vị, ta có:

δ

δ

Tóm lại chúng ta có thể biểu diễn bài toán yếu tương quan đến các bài

toán vi phân bên trên như sau:

T

δ

II.2.2 Bài toán xấp xỉ và rời rạc hóa

Trước tiên ta xây dựng hai công thức xấp xỉ cho điện thế và chuyển vị

điện như sau:

∑

=

= Ni i

i a 1

U ,

~

13

r i

Với ai và bir lần lượt là hàm dạng vô hướng của ϕ và U

Lưu ý rằng: bi1 = bi1i , bi2 = bi2j , bi3 = bi3k với i, j, k là các vector đơn vị

Nếu chúng ta chọn đúng các hàm dạng này, các giá trị φi và r

i

là thế (potential) và các thành phần chuyển vị của nút Trong lý thuyết phần tử

hữu hạn chúng gọi các số hạng sau cùng này là bậc tự do hoặc connector Bằng

cách thay thế vào bài toán yếu các điện thế và các chuyển vị bằng các xấp xỉ

tương ứng là bir và ak chúng ta có:

t i V

r k

r i E r i r

r k

dS b T V

r k

- 20 -

( )D n a dS k N dV

a a e dV

a b e U

V

k N

k i

S i r

k

r i

r

, ,

,

1 1

Chú ý rằng hai phương trình sau cùng (2.35) và (2.36) tương đương với 4N

phương trình tuyến tính và chúng ta có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:

K K U M

U

U UU UU

0

(2.37) trong đó:

Chúng ta cũng có thể dẫn ra các công thức dạng ma trận các vectơ F và Q

tương ứng với các lực cơ tác động lên các nút và các điện tích tác động cũng trên

nút đó Các định nghĩa F và Q được cho như sau:

= +

−

V

r k n r

F

δ

' '

).

(

~ )

Cũng cần lưu ý rằng, để việc xác định các ma trận đúng theo các tương quan

của nó, các bậc tự do cũng cần được xắp xếp theo đúng thứ tự:

U = [ chuyển vị của nút 1 theo phương x

chuyển vị của nút 1 theo phương y

chuyển vị của nút 2 theo phương x

chuyển vị của nút 2 theo phương y

…

chuyển vị của nút k theo phương x

chuyển vị của nút k theo phương y

…

- 21 -

chuyển vị của nút N theo phương x

chuyển vị của nút N theo phương y];

φ = [ thế tại nút 1

thế tại nút 2

…

thế tại nút k

…

thế tại nút N ];

II.2.3 Ký hiệu kỹ sư

Thực tế chúng ta không làm việc với các tensor bậc ba và bậc bốn (như

điều này, cần thiết phải sử dụng các ký hiệu mới Cụ thể, thay vì viết:

U

S= ˆ∇

trong đó:

S là tensor bậc hai (có chín thành phần)

∇ˆ là tensor bậc ba (có 27 thành phần)

U là vector (có 3 thành phần)

Nhờ tính đến đối xứng của biến dạng, ta có thể viết lại như sau:

S’ = BU

trong đó:

S’ là vector (có 6 thành phần)

B là ma trận (6×3)

U vẫn giữ nguyên là vector

y z

x y

z y x

0 0

0

0 0

0 0

0 0

γγγεεε

Tương tự thay vì viết:

E e S C

T= E⋅ − t ⋅

trong đó:

S là tensor bậc 2 (có 9 thành phần)

CE là tensor bậc 4 (có 81 thành phần)

T là tensor bậc 2 (có 9 thành phần)

et là tensor bậc 3 (có 27 thành phần)

E là điện trường (có 3 thành phần)

Tính đến sự đối xứng của tensor, ta viết lại như sau:

T’ = H⋅S’ - e’t⋅E

trong đó:

S’ là vector (có 6 thành phần)

H là ma trận (6×6)

- 23 -

e't là ma trận (6×3)

E vẫn giữ nguyên là vector (có 3 thành phần)

Chúng ta có thể viết T’ một cách tường minh như sau:

=

xz yz xy z y x

Trong khi đó quan hệ D = e⋅S+εs⋅E được chuyển thành:

D = e’.S’+εs.E với e’ và S’ giống như trên

Chú ý: để giản lược các ký hiệu từ đây về sau khi viết T, S, e ta hiểu ngầm là T’, S’ và e’

- 24 -

CHƯƠNG III

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

III.1 Phần tử tổng quát

Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một phần tử khối (6 mặt) Điều này

cho phép dễ dàng tiếp cận các mô hình phần tử giản dị hơn, ví dụ phần tử tam

giác, tứ giác (hai chiều) Một phần tử khối này có 8 nút và sử dụng một trường

xấp xỉ tuyến tính (các hàm dạng tuyến tính) Mỗi nút có 3 bậc tự do, do đó phần

tử cơ này có tất cả là 24 bậc tự do Ngoài ra khi xét nó là phần tử điện, tại mỗi

nút có một bậc tự do của thế, do đó có thêm 8 bậc tự do về thế Như vậy phần tử

này có tất cả là 32 bậc tự do, gồm cả cơ và điện

III.1.1 Các phép biến đổi

III.1.1.1 Tổng quát

Để chuyển từ phần tử thực sang phần tử tham chiếu xác định trong không

gian tham chiếu, chúng ta phải thực hiện một biến đổi thoả mãn [2]:

¾ Nút và biên tương ứng với nhau

Gọi x, y và z là các toạ độ của một điểm trong không gian mô hình hoá

(thực) và ξ, η, ζ là các toạ độ của một điểm trong không gian tham chiếu

Gọi: ξ là vector có các thành phần (ξ, η, ζ)

x là vector có các thành phần (x, y, z)

F là hàm chuyển đổi được định nghĩa như sau:

x = F(ξ) (3.1)

- 25 -

Với mục đích đơn giản hóa, ta luôn xét hàm F là hàm đa thức và miền

(diện tích) tham chiếu đơn giản nhất Ví dụ, ta xét phần tử khối có miền:

ξ ∈ [-1,1]; η ∈ [-1,1]; ζ ∈ [-1,1]

là một miền đơn giản

Nếu hàm chuyển đổi là hàm đa thức thì có thể viết, ví dụ, cho biến x,

Các đa thức xác định hình học cũng giống như các đa thức được sử dụng

trong trường chuyển vị Các phần tử được xem xét trong điều kiện như vậy gọi là

phần tử đẳng tham số (isoparametric elements) W’ là vectơ các hàm dạng

- 26 -

Ngoài ra, chúng ta giả sử thêm rằng trường xấp xỉ là như nhau theo x, y,

và z Theo cách này, trong các phần phát triển trước, r

i

i i

Cũng vậy, nếu ta không chỉ xem xét biến x, mà là vector x=[x y z]T, quan

hệ nối kết x với các giá trị nút được viết như sau:

1

8 2

1

8 2

1

b00 b00b00

0b0 0b00b0

00b 00b00b

Một cách tương tự, thế bên trong của phần tử có thể được nội suy từ thế

tại các nút Các thế tại các nút này được sắp xếp trong một vectơ cột có 8 thành

phần φc Chúng ta dùng cùng hàm dạng để nội suy thế như trong nội suy trường

chuyển vị Vì vậy, chúng ta có thể tính thế bên trong của phần tử như sau:

trong đó W’ là vector cột chứa tất cả các hàm dạng

W’ = [b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8]

III.1.1.2 Ma trận Jacobi

Chúng ta có thể mô tả ma trận chuyển đổi Jacobi theo các điểm của phần

tử như sau:

δδη

δδη

δδξ

δδξδ

ξ

z y x

z y x

z y x

x

Chúng ta có thể tính toán ma trân này theo phương pháp số tại tất cả các

điểm của phần tử biết rằng x = Wx c Điều này đòi hỏi chỉ cần biết các đạo hàm

của các hàm dạng theo ξ, η và ζ vì xc là hằng số Vì vậy chúng ta dễ dàng tính

được J-1 bằng phương pháp số.

III.1.1.3 Tính toán các ma trận phần tử hữu hạn

Một cách tổng quát, ta có thể đưa các ma trận KUU, KUφ, Kφφ và MUU ở

dạng công thức sang dạng tương đương [2] như sau:

X=∫

V

FdV (3.10)

với X là một ma trận ở dạng công thức

F phụ thuộc vào ma trận X đang xem xét (dạng của nó được tường minh

về sau)

Chuyển qua phần tử tham chiếu, bằng cách sử dụng công thức chuyển đổi

ta có thể viết:

vậy chúng ta nên chuyển đổi các toán tử đạo hàm B và ∇ Điều này được thực

hiện như sau:

z z

y y

y y

x x

x x

∂

ζ ζ

∂ +

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ ξ

∂ +

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ ξ

∂ +

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ ξ

Chúng ta chú ý rằng các hàm dạng đã được viết theo các biến ξ η vàζ

Một cách tổng quát, chúng ta có tất cả các thông tin để tính ma trận X

detJ Vì vậy, chúng ta phải buộc tích phân số để có ma trận X

Để làm được điều này, X được tính theo cách sau:

k

j i j k

FPPP

,

det),,

Công thức này sẽ được chi tiết hoá ở phần tiếp theo

Chúng ta thấy rằng ma trận X được tính như là một tổng có các trọng số Pi

Pj Pk của các giá trị F⋅detJ được tính toán trên một số điểm của miền (phần tử)

- 29 -

Chúng ta, vì vậy phải đi xác định các điểm tính toán và các trọng số Có

rất nhiều phương pháp để tích phân Tuy nhiên, trên thực tế, người ta sử dụng

phương pháp Gauss có độ chính xác khá tốt với một số điểm tích phân hữu hạn

III.1.1.4 Tích phân Gauss

Trong phương pháp này, vị trí của các điểm tích phân cũng như các trọng

số (đôi khi còn gọi là trọng số tích phân [2]) được xác định theo cách cực tiểu

hoá sai số do tích phân số Chúng ta không đi sâu vào chi tiết tính toán chỉ đưa ra

kết quả của tích phân một chiều với 1, 2 và 3 điểm tích phân

Liên quan đến tích phân cho các bài toán ba chiều (tổng quát), chúng ta

lần lượt viết:

ζηξζ

ηξ

X

] 1 , 1 [ 1 , 1 [ 1 , 1 [

1 , 1 [

d J det ) , , ( F P P

≅ ] 1 , 1 [ j, j i

d J det ) , , ( F P P

≅

k ,j i j k

Jdet),,(FPP

- 30 -

Trong tích phân ba chiều này, các hệ số P cũng giống như các hệ số trong

trường hợp một chiều

III.1.2 Thành lập ma trận độ cứng phần tử K

Vì là phần tử khối có 8 nút và mỗi nút có ba bậc tự do chuyển vị, ma trận

độ cứng KUU có kích thước là 24×24

Xem xét theo ký hiệu kỹ sư, ma trận độ cứng có thể viết dưới dạng:

V

1 1 1

t W

K εS∇W det' Jdξdηdζ

F = -(∇W’)t εS∇W’

III.1.2.3 Tính ma trận KUφ:

Ở (2.40) ta đã có:

) (K Uφ (k-1)⋅3+r’,i =∫ ⋅ ∇

Ma trận trên có kích thước 24×8, nó diễn tả sự mối liên quan của các bậc tự do thế và chuyển vị cơ của phần tử

F = (BW)tet∇W’

III.1.3 Thành lập ma trận khối lượng phần tử M UU

thước 24×24 Theo lý thuyết ở trên (2.38) ta có:

) (M UU (k-1)⋅3+r’,(i-1)⋅3+r =∫

M ρ Wt WdV (3.17)

Sau khi tích phân số, ta được:

- 32 -

F = ρ Wt W

III.2 Phần tử tam giác

III.2.1 Tổng quan

Ở phương trình (3.1) chúng ta đã phân tích phần tử hữu hạn cho vật liệu áp điện và thu được biểu thức tổng quát cho phần tử khối Tuy nhiên biểu thức này thì chưa thể sử dụng trực tiếp cho động cơ áp điện tuyến tính (hai chiều) Theo yêu cầu của bài toán, chúng ta phải có một phần tử tam giác ứng suất phẳng Việc này có thể được thực hiện nhanh chóng nhờ vào các kết quả đã phát triển cho phần tử ba chiều (tổng quát)

Trong bài toán hai chiều thì vectơ T và S được diễn tả dưới dạng:

σσ

γε

0z0

00x

Hàm dạng trong không gian hai chiều được suy ra từ (3.7) và (3.8) trở thành:

3 2

1

b0b0b0

0b0b0

1

)]

zz(x)xx(z[A2

1

)]

zz(x)xx(z[A2

13 23

23

12 13

23

12 13

23

zxz

xz

x

x0

x0x

0

0z

0z

0z

A2

2 2

1 1

zx1

zx1

zx1det2

1

là diện tích của phầân tử tam giác

III.2.2 Ma trận độ cứng phần tử tam giác

III.2.2.1 Ma trận độ cứng cơ

Người ta mô tả ma trận độ cứng cơ của phần tử tam giác bằng ma trận

- 34 -

với H là ma trận các hệ số đàn hồi

Bởi vì chiều dày của phần tử tam giác không đổi và H, BW là hằng số

cho mỗi phần tử Ta có thể tính được Kuu bằng công thức sau:

với t là chiều dày của phần tử,

A là diện tích phần tử

III.2.2.2 Ma trận tương tác cơ điện

biểu diễn mối quan hệ giữa cơ và điện, là một trong những đặc trưng của phần tử

áp điện Đối với phần tử tam giác ta có:

dVe

)(

K

V

t T

với BW, et, ∇W’ là các hằng số

Chúng ta có thể viết Kuφ lại như sau:

KUφ=(BW)Tet∇W’tA (3.28)

trong đó et là ma trận đặc tính của vật liệu áp điện

hiện như sau:

bx

bxb

3 2 1

3 2 1

12 31 23

xxx

000

zzzA2

1

III.2.2.3 Ma trận độ cứng điện

tử áp điện có kích thước là 3×3 cho phần tử tam giác Trong trường hợp này nó

áp thêm một thế tại mỗi nút của tam giác, ta có ma trận Kφφ:

( )φφ =−∫ ∇ ε∇

V

s T j,

trong đó εs là ma trận các hằng số điện môi của vật liệu áp điện

III.2.3 Ma trận khối lượng

Ở phương trình (3.17), ta đã đề cập đến ma trận khối lượng Đó là một đại

lượng quan trọng để phân tích bài toán động lực học Với phần tử tam giác, ta sử

dụng các điểm Gauss để tính ma trận khối lượng Từ phương trình (3.17) ta có:

dV

V

T

UU =∫ρW W M

với ρ là trọng lượng riêng của vật liệu

Như vậy ta có:

trong đó G là kết quả của tính toán các điểm Gauss,

2 0 1 0 1

2 0 1 0

2 0 1

2

0 2

12 1

sym

(3.31)

- 37 -

CHƯƠNG IV

ĐẶC TÍNH CỦA VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN PZT-5

VÀ BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC

IV.1 Đặc tính của vật liệu áp điện PZT-5

Sử dụng ký hiệu kỹ sư, ta có thể viết các phương trình chủ đạo theo dạng

như sau:

E S

D= ⋅ − S⋅

e ε (4.1)

E S

IV.1.1 Trường hợp tổng quát

Ta xét vật liệu mang tính tổng quát, tức là vật liệu không đẳng hướng

Trong trường hợp này ta có:

hệ số khác nhau

• Ma trận các hằng số điện môi (3×3) cũng là ma trận đối xứng, được mô tả

bởi 6 hệ số khác nhau

• Cuối cùng, ma trận áp điện (6×3) được mô tả bởi 18 hệ số

Như vậy ta cần 45 hệ số để xác định 3 ma trận đặc tính

vật liệu áp điện Tuy nhiên, có một số vật liệu có các đặc tính đặc biệt (tính đối

xứng chẳng hạn), cho phép giảm được rất nhiều hệ số trong các ma trận đặc tính

đề cập

Trong khuôn khổ nghiên cứu, ta xem xét trường hợp cụ thể của vật liệu áp

điện PZT-5, là loại vật liệu được sử dụng rất rộng rãi trong việc chế tạo các bộ

tác động Đó là một loại vật liệu dạng đẳng hướng ngang (transverse isotropic)

IV.1.2 Vật liệu áp điện PZT-5 trong không gian ba chiều

- 38 -

Vật liệu PZT-5 được xem là vật liệu đẳng hướng ngang là một trường hợp đặc biệt của vật liệu trực hướng (orthotropic) [1][5]

Trước tiên ta xác định ma trận Hooke cho vật liệu trực hướng Ta gọi:

trường),

• νij là các hệ số Poisson,

• Gij là các hệ số biến dạng trượt

Tất cả các hệ số này được xác định bằng thực nghiệm Ta có thể viết một

ma trận (6×6) đơn giản hơn bằng dạng nghịch đảo nó:

0G

1

sym

00G

1

000E

1

000E

vE

1

000E

vE

vE1

yz xy 3

2

yz 2

1

xz 1

xy 1

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

33 31 31

15 15

p p p

p

p

mô tả trong không gian 3 chiều

hằng số:

0 0

0 0

0 0

C C

IV.1.3 Vật liệu áp điện PZT-5 trong không gian hai chiều

Ma trận đặc tính của PZT-5 trong không gian hai chiều được suy từ ma trận đặc tính của PZT-5 trong không gian ba chiều bằng phương pháp đơn giản là khử các hệ số liên quan đến chiều y

Cụ thể, ma trận Hooke của vật liệu PZT-5 trong không gian hai chiều (x,z) như sau:

E E

v E

1

0 1

0 1

3

1 1

0 0 0

p p

33

11 S

C00

000

00C

IV.2 Phương pháp Time Newmark

Có nhiều phương pháp giải bài toán động lực học với lực cưỡng bức tổng quát Phương pháp được sử dụng trong đề tài là phương pháp Time Newmark

- 40 -

Phương pháp Time Newmark là phương pháp tích phân trực tiếp cho phép giải

bài toán động lực học [9] Vector trạng thái của hệ thống tại thời điểm tn+1=tn+h

từ vector trạng thái đã biết ở thời điểm tn bằng khai triển chuỗi Taylor của các

chuyển vị và vận tốc:

s n s s n

n n

s

h t

f

h t hf t f h t

!

) (

"

2 ) ( ' ) ( )

n

n

t

t n

n q q( )d

++

+

1 1 1

n

n

t

t n n

n

n q q (t )q( )d

Việc xấp xỉ bây giờ chính là việc các số hạng tích phân chưa gia tốc Do

đó, chúng ta biểu diễn q&&(τ) trong khoảng thời gian [t n , t n+1 ] dưới dạng hàm của q&& và n

) ( ) )(

( ) (

2

) ( ) ( ) )(

( ) (

2 1 )

4 ( 1

) 3 ( 1

2 )

4 ( )

3 (

+

− +

− +

=

+

− +

− +

=

+ +

+

ττ

ττ

τ

ττ

τττ

n n

n

n n

n

t q

t q q

q

t q

t q q

1 ( )

q q

q&&τ = −τ &&n +γ&&n+ + τ τ − γ − n + (4.14)

Tương tự, nhân hai vế của (4.13) với (1-2β) và β, ta được:

( ) ( 1 2 ) 2 ( 3 ) ( )[ 2 ] ( 2 ( 4 ) )

q q

q&&τ = − β &&n+ β&&n+ + τ τ − β − n + (4.15)

Do đó, thay (4.14) và (4.15) vào các số hạng tích phân của (4.11) và

(4.12), ta được:

n n n tn

tn

r q h q h ) ( d ) (

- 41 -

∫+1 + − τ τ = − β 2 + β 2 +1+

1 tn

tn

n n n

n ) q ( ) ( ) h q h q r ' t

( && && && (4.16)

Va sai số tương ứng là:

)qh(O)(qh)(

n

4 3 3

2

2

−γ

=

)qh(O)(qh)('

n

4 4 3

3

6

−β

với tn <~τ<tn+1

Các hằng số γ và β được tính chọn như sau: γ = 1/2 , β = 1/4 tương ứng với

giá trị gia tốc trung bình: q&& (τ) = (q&&n +q&&n+1) / 2 trên khoảng thời gian

Thay thế công thức (4.16) vào công thức (4.11) và (4.12) ta được công

thức xấp xỉ của phương pháp Newmark:

q & β && β&& (4.18)

Xét phương trình động lực học của cơ hệ có dạng như sau:

)

(t

P Kq q C q

M && + & + = (4.19)

tuyến tính, có nghĩa là M, C và K độc lập với q, và chúng ta đưa biểu thức tính

(4.18) vào phương trình chuyển động tại thời gian tn+1 để tính được gia tốc q&&n+1:

là ma trận đối xứng và xác định dương có các tính chất của M, C và K Sử dụng

bước thời gian không đổi, ma trận [M+γhC+βh2K] được nghịch đảo một lần

cho tất cả các vòng tính Khi đó chúng ta tính các vận tốc và các chuyển vị q& n+ 1

và q n+1 theo các công thức (4.18).

Phương pháp Time Newmark được thể hiện qua sơ đồ khối [9] sau:

* 1

* 1 1

* 1 n 1

q& + = & + −γ && +

1 2

* 1

Hình 5.1 trình bày cấu trúc cơ bản của động cơ TWUM [4], nó gồm có một nguồn năng lượng cao tần, một thiết bị tạo rung đóng vai trò như stator, một thiết bị trượt đóng vai trò như rotor Thiết bị rung gồm có một thành phần áp điện tạo dao động cho tấm đàn hồi, còn thiết bị trượt (rotor) là một thành phần chuyển động được phủ một lớp chịu ma sát nhằm tiếp nhận lực đẩy tối đa từ stator Như vậy, khác với động cơ điện truyền thống sử dụng tương tác điện từ trường – cơ, các loại động cơ TWUM không sử dụng nguyên lý ma sát

Hiện tại, ở Trường Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh, việc tìm kiếm và nghiên cứu ứng dụng loại vật liệu này cũng chỉ mới khởi xướng từ vài năm nay Các ứng dụng đặc sắc nhất chỉ mới khai thác hiệu ứng thuận nhằm vào việc chế tạo các loại cảm biến đo lực dao động Các ứng dụng khai thác hiệu ứng nghịch để chế tạo các loại actuator mới chỉ bắt đầu Các loại động cơ áp điện đã nói cũng là mục tiêu cho các nghiên cứu sắp đến Việc chọn lựa kết cấu, chiến lược điều khiển, thiết kế và chế tạo đòi hỏi các mô phỏng số nhằm tiết kiệm chi phí và quan trọng hơn là tối ưu hoá khả năng của thiết bị

Ngoài ra cũng cần nhấn mạnh đến việc nghiên cứu chế tạo vật liệu cho các ứng dụng này Nguồn vật liệu này rất phong phú, có thể thấy rõ qua các cung cấp của các hãng Piezocom, Msiusa, PI,… Một số đơn vị trong nước (chủ yếu bên quân đội) cũng đã dần thương mại hoá các sản phẩm này

Năng lượng cơ Bộ tạo sóng

Tấm trượt

- 45 -

Hình 5.2: Động cơ siêu âm đầu tiên (1973)

Động cơ áp điện dùng sóng truyền có nhiều đặc tính “quyến rũ” do đó chúng được ứng dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau như trong y tế, trong công nghiệp, … Chúng có kích thước nhỏ và trọng lượng rất nhẹ, có thể tạo ra moment lớn ở tốc độ vòng quay nhỏ, đáp ứng nhanh, có thể được sản xuất hàng loạt và khi hoạt động chúng không tạo ra tiếng ồn vì tần số kích thích stator thường trên

20 kHz

Các ưu điểm của loại động cơ này có thể kể ra như sau:

1 Tốc độ thấp và moment lớn –> điều khiển trực tiếp,

2 Đáp ứng nhanh, dãy tốc độ rộng, thắng gắt và không bị rơ (khe hở) –> dễ điều khiển, độ phân giải vị trí rất tinh,

3 Tỉ lệ giữa năng lượng trên khối lượng cao và hiệu suât cao,

4 Vận hành êm,

5 Kích thước nhỏ gọn và khối lượng nhỏ,

6 Cấu tạo đơn giản và dễ chế tạo,

7 Ít bị ảnh hưởng bời từ trường bên ngoài và cũng không sinh ra từ trường

Bên cạnh đó, chúng cũng có một vài hạn chế, cụ thể:

1 Cần có một nguồn năng lượng cao tần,

2 Tuổi thọ thấp do truyền động ma sát

- 47 -

Hình 5.5: TWUM lắp đặt tại Bộ môn Kỹ thuật Tàu thuỷ (ĐHBK Tp.HCM)

V.2 Nguyên lý hoạt động

Hoạt động của động cơ áp điện (Hình 5.6, 5.7 và 5.8) nhờ vào sóng truyền được tạo ra do sự biến dạng của vật liệu áp điện khi chúng được cấp điện áp theo tần số xác định Trong một động cơ piezo có ba thành phần chính: thành phần tạo sóng truyền được chế tạo từ vật liệu PZT (gốm áp điện) được gắn chặt với thành phần thứ hai là stator, thành phần này lại được ép chặt với thành phần thứ ba là rotor

Hình 5.6: Dao động từ stator truyền qua rotor bằng ma sát