Đánh giá độ tin cậy của hệ thống sử dụng mô hình rủi ro tỷ lệ cox

Trong thèng k¶, thíi gian ho¤t ëng cõa mët thi¸t bà s£n ph©m ÷ñc gåi l tuêi thå hay thíi gian sèng cõa thi¸t bà ÷ñc coi l mët bi¸n ng¨unhi¶n vîi ph¥n phèi life distribution cö thº nh÷ ph

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc

sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS Ph¤m ¼nh Tòng, Gi£ng vi¶nTr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi Tæi xinch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§tcõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n - Cì - Tin håc,quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K 17 - 19 (2017 - 2019) Tr÷íng ¤ihåc khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi ¢ tªn t¼nh truy·n ¤tnhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâahåc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Tæi xin c£m ìn sü hé trñ cõa ¤i håc Quèc gia H  Nëi trong · t iQG.18.03 trong to n bë qu¡ tr¼nh l m Luªn v«n

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng n«m 20

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Bòi B¡ M¤nh

Danh möc h¼nh

1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i v  tuêi thå cõa mët èi t÷ñng 61.2 H m ph¥n bè x¡c su§t F (t) v  h m mªt ë x¡c su§t f (t) 81.3 H m tin cªy R(t) 81.4 H m bªc thang λ(t) 121.5 H m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc 121.6 Và tr½ cõa MTTF, tm v  tmode cõa mët ph¥n phèi 141.7 Sì ç khèi cho h» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p v  song song 161.8 H» thèng c§u tróc hén hñp 191.9 Ph¥n phèi mô (µ = 1) 211.10 H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 221.11 H m tin cªy cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 231.12 H m rõi ro cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 231.13 H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sè gi¡

trà cõa tham sè h¼nh d¤ng α v  β = 1 251.14 H m t¿ l» rõi ro cõa ph¥n phèi Weibull, β = 1 252.1 Sì ç khèi qu¡ tr¼nh Weibull PHM cho tö i»n 402.2 H m tin cªy ð còng 1700C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 482.3 H m tin cªy ð còng 1800C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 492.4 H m tin cªy ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 492.5 H m mªt ë ð còng 1700C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 502.6 H m mªt ë ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 502.7 H m ph¥n phèi ð còng 1700C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 512.8 H m ph¥n phèi ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 512.9 ç thà Q-Q cho ph¦n d÷ cõa 32 quan s¡t khæng bà kiºm duy»t 54

Danh möc b£ng

2.1 K¸t qu£ thû nghi»m cho tuêi thå cõa tö i»n 382.2 Ph¦n d÷ t÷ìng ùng 32 quan s¡t khæng bà kiºm duy»t 522.3 Tuêi thå trung b¼nh cõa tö i»n ð c¡c mùc i»n ¡p v  nhi»t

ë 55

Möc löc

1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 6

1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i 6

1.2 Tuêi thå 7

1.3 H m tin cªy 8

1.4 H m t¿ l» rõi ro 9

1.5 Tuêi thå trung b¼nh 12

1.6 Kiºm duy»t v  ch°t cöt dú li»u 14

2 ë tin cªy cõa h» thèng 16

2.1 H» thèng nèi ti¸p v  song song 17

2.2 H» thèng gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con 19

3 Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p 20

3.1 Ph¥n phèi mô 20

3.2 Ph¥n phèi Gamma 21

3.3 Ph¥n phèi Weibull 24

3.4 ×îc l÷ñng tham sè cõa ph¥n phèi tuêi thå 26

2 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) 29 1 Mæ h¼nh 29

1.1 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) 29

1.2 Mët sè v½ dö 30

2 ×îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh 32

2.1 ×îc l÷ñng tham sè mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull 32

2.2 Ph÷ìng sai cõa h» sè ÷îc l÷ñng 34

3 Ph¥n t½ch ph¦n d÷ 35

4 Sü phò hñp cõa mæ h¼nh 36

5 Ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n 37

5.1 Cox PHM cho tö i»n 40

5.2 ×îc t½nh tham sè 41

5.3 C¡c ¤i l÷ñng °c tr÷ng 44

5.4 Ph¦n d÷ 52

5.5 Tuêi thå trung b¼nh 53

Giîi thi»u luªn v«n

1 L½ do chån · t i

ë tin cªy l  x¡c su§t m  mët ìn và hay h» thèng s³ thüc hi»n chùc n«ng

dü ành cõa m¼nh cho ¸n mët thíi iºm n o â trong c¡c i·u ki»n sûdöng cö thº Vi»c x¡c ành ë tin cªy nh÷ l  x¡c ành ch§t l÷ñng cõa thi¸t

bà theo thíi gian hay ch½nh l  x¡c ành tuêi thå cõa s£n ph©m (thi¸t bà).Khi ¡nh gi¡ ë tin cªy cõa s£n ph©m ÷ñc thi¸t k¸, ta ph£i xem x²t chiti¸t v· c¡c tr÷íng hñp g¥y léi s£n ph©m v  cì ch¸ th§t b¤i häng hâc cõaqu¡ tr¼nh sû döng s£n ph©m C¡c nh  s£n xu§t th÷íng ÷a ra giîi h¤ncho ë tin cªy ch½nh thùc ho°c khæng ch½nh thùc cõa s£n ph©m thi¸t bà.Nhúng kh¯ng ành â b­t nguçn tø kinh nghi»m qu¡ khù vîi c¡c s£n ph©mt÷ìng tü, c¡c ti¶u chu©n trong cæng nghi»p, c¡c y¶u c¦u cõa kh¡ch h ngho°c mët mong muèn c£i thi»n ë tin cªy hi»n câ cõa s£n ph©m

Trong thèng k¶, thíi gian ho¤t ëng cõa mët thi¸t bà s£n ph©m ÷ñc gåi

l  tuêi thå hay thíi gian sèng cõa thi¸t bà ÷ñc coi l  mët bi¸n ng¨unhi¶n vîi ph¥n phèi (life distribution) cö thº nh÷ ph¥n phèi mô, ph¥nphèi Weibull º ¡nh gi¡ tuêi thå cõa thi¸t bà s£n ph©m khi thay êic¡c y¸u tè t¡c ëng nh÷ nhi»t ë, ë ©m, ë rung, sèc nhi»t, c¡c kÿ s÷th÷íng sû döng ph÷ìng ph¡p thû nghi»m t«ng tèc trong pháng th½ nghi»m(accelerated life testing)

Cæng tr¼nh l m n¶n t¶n tuêi cõa GS David Cox l  b i b¡o Regressionmodels and life-tables ÷ñc cæng bè tr¶n tªp san Journal of the RoyalStatistical Society n«m 1972 B i b¡o cõa GS Cox cho ¸n nay (sau 48n«m) ¢ câ hìn 45,000 tr½ch d¨n! B i b¡o n y ÷ñc ¡nh gi¡ l  mët trong

100 cæng tr¼nh nêi ti¸ng to n c¦u tø tr÷îc ¸n nay Trong b i b¡o â, æng

mæ t£ mët ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch c¡c dú li»u sèng cán theo mæ h¼nh hçi

qui Mæ h¼nh n y sau n y ÷ñc bi¸t ¸n d÷îi thuªt ngú Cox's proportionalhazards model.

Mæ h¼nh n y phê bi¸n trong h¦u h¸t c¡c ng nh khoa håc, tø y khoa ¸nx¢ hëi håc v  khoa håc k¾ thuªt Ch¯ng h¤n, trong y khoa, mæ h¼nh ÷ñc

¡p döng º nghi¶n cùu sü £nh h÷ðng cõa c¡c y¸u tè nh÷ tuêi, giîi t½nh,chi·u cao, c¥n n°ng, ¸n tuêi thå cõa c¡c b»nh nh¥n ung th÷ sau khi

÷ñc i·u trà; trong khoa håc x¢ hëi, nhi·u nh  khoa håc ¡p döng mæ h¼nh

º nghi¶n cùu thíi gian chung sèng cõa c¡c c°p vñ chçng, tø khi k¸t hæn

¸n lóc li dà; trong khoa håc k¾ thuªt, mæ h¼nh câ thº ÷ñc ¡p döng ºnghi¶n cùu sü £nh h÷ðng cõa c¡c t¡c nh¥n ¸n ë tin cªy cõa m¡y mâc.V¼ vªy, chóng tæi chån · t i "¡nh gi¡ ë tin cªy cõa h» thèng sû döng

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

3.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull v  ùng döng mæ h¼nh v o ph¥nt½ch ë tin cªy cõa tö i»n thõy tinh

3.2 Ph¤m vi nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu ë tin cªy cõa tö i»n b¬ng c¡c thû nghi»m t«ng tèc trongpháng th½ nghi»m, ¡nh gi¡ tuêi thå cõa tö i»n theo c¡c bi¸n £nh h÷ðng(nhi»t ë v  i»n ¡p)

¡p câ £nh h÷ðng lîn ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh v  tuêi thå câ xuh÷îng gi£m khi nhi»t ë thû nghi»m câ xu h÷îng t«ng".

Luªn v«n công mð ra c¡ch ti¸p cªn hé trñ cho vi»c sû döng Weibull PHM

º dü o¡n c¡c °c t½nh ë tin cªy cõa c¡c thi¸t bà i»n tû nâi chung khi

câ ÷ñc bë dú li»u thû nghi»m

5.2 Þ ngh¾a thüc ti¹n

Tø k¸t qu£ cõa Luªn v«n kh¯ng ành r¬ng: Tuêi thå cõa tö i»n câ xuh÷îng gi£m khi nhi»t ë hay i»n ¡p câ xu h÷îng t«ng, ng÷íi dòng câ thºlüa chån mæi tr÷íng l m vi»c câ nhi»t ë th½ch hñp v  i·u ch¿nh i»n ¡phñp l½ º vøa ti»n lñi cho vi»c sû döng công nh÷ k²o d i hìn tuêi thå cõa

• ë tin cªy cõa h» thèng: Tr¼nh b y têng quan v· ë tincªy cõa h» thèng v  cö thº hâa vîi tr÷íng hñp h» thèng ÷ñck¸t nèi nèi ti¸p v  h» thèng ÷ñc k¸t nèi song song; kh¡i ni»m

v  ë tin cªy cõa c§u tróc gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h»con

• Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p: Tr¼nh b y 3ph¥n phèi sèng sât th÷íng ÷ñc sû döng cho bi¸n ng¨u nhi¶ntuêi thå T l : Ph¥n phèi mô, ph¥n phèi Gamma, ph¥n phèiWeibull v  ph÷ìng ph¡p ÷îc l÷ñng tham sè cõa ph¥n phèituêi thå

Ch÷ìng 2 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM)

Tr¼nh b y 5 möc ch½nh: Mæ h¼nh, ÷îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh, ph¥nt½ch ph¦n d÷, sü phò hñp cõa mæ h¼nh v  ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªycõa tö i»n

• Mæ h¼nh: Tr¼nh b y mæ h¼nh t l» rõi ro Cox Sau â cö thºhâa mæ h¼nh Cox vîi tr÷íng hñp rõi ro h¬ng sè (λ0(t) = λ)

v  tr÷íng hñp rõi ro Weibull (λ0(t) = αβαtα−1)

• ×îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh: Tr¼nh b y ÷îc l÷ñngtham sè mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull v  ph÷ìngsai cõa h» sè ÷îc l÷ñng

• Ph¥n t½ch ph¦n d÷: Tr¼nh b y ph¦n d÷ Cox - Snell

• Sü phò hñp cõa mæ h¼nh: Tr¼nh b y 3 thèng k¶ º kiºmtra sü phò hñp cõa mæ h¼nh C¡c thèng k¶ ÷ñc kº ¸n l :

Thèng k¶ kiºm ành (t¿ sè hñp l½), thèng k¶ Score v  thèngk¶ Wald.

• Ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n: Thi¸t lªp

mæ h¼nh Cox vîi t l» rõi ro Weibull kiºm chùng sü £nh h÷ðngcõa nhi»t ë v  i»n ¡p ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh

Ch֓ng 1

Mæ h¼nh ë tin cªy

Ch÷ìng 1, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc têng quan v·: Bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå

v  c¡c °c tr÷ng, ë tin cªy cõa h» thèng v  mët sè ph¥n phèi tuêi thåth÷íng g°p

1 n¸u èi t÷ñng ho¤t ëng t¤i thíi iºm t;

0 n¸u èi t÷ñng th§t b¤i t¤i thíi iºm t

Bi¸n tr¤ng th¡i cõa mët èi t÷ñng ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.1 v  th÷íng

l  bi¸n ng¨u nhi¶n

H¼nh 1.1: Bi¸n tr¤ng th¡i v  tuêi thå cõa mët èi t÷ñng

Tuêi thå khæng ph£i lóc n o công ÷ñc o b¬ng thíi gian nh÷ trong làch.

Nâ câ thº ÷ñc o b¬ng c¡c kh¡i ni»m thíi gian gi¡n ti¸p hìn, ch¯ng h¤n:

• Sè l¦n âng - ng­t ÷ñc vªn h nh;

• Sè ki-læ-met l¡i xe;

• Sè váng quay cõa ê ï tröc;

• Sè chu k¼ cõa mët èi t÷ñng l m vi»c ành k¼

Tø nhúng v½ dö tr¶n nhªn th§y r¬ng, tuêi thå T th÷íng l  bi¸n ng¨u nhi¶nríi r¤c Tuy nhi¶n, câ thº x§p x¿ bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c bði bi¸n ng¨unhi¶n li¶n töc V¼ vªy, trong Luªn v«n s³ luæn x²t r¬ng tuêi thå T l  mëtbi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc K½ hi»u F (t) l  h m ph¥n phèi x¡c su§t v  f (t)

l  h m mªt ë x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T Khi â:

F (t) = Pr(T ≤ t) =

Z t 0

H¼nh 1.3: H m tin cªy R(t)

1.4 H m t¿ l» rõi ro

X¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (t, t + ∆t] vîi

i·u ki»n èi t÷ñng v¨n sèng cho ¸n thíi iºm t l :

• X¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian

(t, t + ∆t] vîi i·u ki»n èi t÷ñng v¨n sèng cho ¸n thíi

iºm t b¬ng t½ch cõa h m t¿ l» rõi ro λ(t) t¤i thíi iºm t vîi

sè gia thíi gian ∆t

N¸u chóng ta ÷a mët sè l÷ñng lîn c¡c möc gièng h»t nhau v o ho¤t ëngt¤i thíi iºm t th¼ t½ch λ(t) · ∆t s³ ¤i di»n cho t l» t÷ìng èi c¡c èi

t÷ñng v¨n ho¤t ëng t¤i thíi iºm t, nh÷ng th§t b¤i trong kho£ng thíigian (t, t + ∆t] ti¸p theo Sû döng cæng thùc:

d

V¼ R(0) = 1 n¶n:

Z t 0

λ(t) dt =

Z t 0

λ(u) du

vîi t > 0 (1.13)

Do â, thu ÷ñc mèi li¶n h» giúa c¡c h m F (t), f (t), R(t) v λ(t) nh÷ sau:

F (t) =

Z t 0

f (u)du = 1 − R(t) = 1 −exp



−

Z t 0

f (u)du = exp



−

Z t 0

f (u)du

= − d

dtlnR(t) (1.17)

Tø cæng thùc (1.12) th§y r¬ng h m tin cªy (h m sèng sât) R(t) ÷ñc x¡c

ành duy nh§t thæng qua h m t¿ l» rõi ro λ(t) º x¡c ành d¤ng cõa λ(t)

cho mët möc cö thº, câ thº thüc hi»n c¡c th½ nghi»m sau:

Chia kho£ng thíi gian (0, t) th nh c¡c kho£ng ríi r¤c câ ë d i b¬ng ∆t.Sau â, cho n möc gièng h»t nhau v o ho¤t ëng t¤i thíi iºm t = 0 Khimët möc th§t b¤i, chóng ta ghi l¤i thíi gian cö thº v  lo¤i bä möc â Vîiméi kho£ng thíi gian ∆t, ghi ch²p c¡c i·u sau:

• Sè möc n(i) th§t b¤i trong kho£ng i

• Thíi gian ho¤t ëng cho c¡c möc cõa c¡ nh¥n trong kho£ngthíi gian i l  (T1i, , Tni), trong â Tji l  möc thù j ¢ ho¤t

ëng trong kho£ng thíi gian i Tji = 0 n¸u möc j th§t b¤itr÷îc kho£ng i, vîi j = 2, , n

biºu thà sè l÷ñng léi tr¶n méi ìn và thíi gi¤n ho¤t ëng trong kho£ng i

v  l  ÷îc t½nh tü nhi¶n cõa t¿ l» rõi ro trong kho£ng i

ành ngh¾a m(i) l  sè c¡c möc ang ho¤t ëng t¤i thíi iºm b­t ¦u cõakho£ng i Khi â:

H¼nh 1.4: H m bªc thang λ(t)

Khi n r§t lîn, câ thº sû döng kho£ng thíi gian r§t nhä N¸u ∆t → 0,s³ k¼vång r¬ng h m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc, nh÷H¼nh 1.5

H¼nh 1.5: H m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc

1.5 Tuêi thå trung b¼nh

Tuêi thå trung b¼nh (MTTF) ÷ñc ành ngh¾a bði:

MTTF = E(T ) =

Z ∞ 0

tf (t) dt (1.18)Khi thíi gian c¦n thi¸t º sûa chúa ho°c thay th¸ mët möc bà häng r§tng­n so vîi tuêi thå trung b¼nh (MTTF) th¼ MTTF công thº hi»n thíi gian

trung b¼nh giúa c¡c l¦n th§t b¤i (MTBF) N¸u thíi gian sûa chúa khængthº bä qua th¼ MTBF bao gçm luæn c£ thíi gian sûa chúa (MTTR).

Tø f (t) = −R0(t), thu ÷ñc:

MTTF = −

Z ∞ 0

tR0(t) dt

Sû döng cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n, thu ÷ñc:

MTTF= −[tR(t)]|∞0 +

Z ∞ 0

R(t) dt

N¸u MTTF < ∞, câ thº chùng minh r¬ng [tR(t)]|∞0 = 0 Tø â suy ra:

MTTF=

Z ∞ 0

R(t) e−stdt (1.20)Khi s = 0 thu ÷ñc:

R∗(0) =

Z ∞ 0

R(t) dt = MTTF (1.21)

Trung và (Median): MTTF ch¿ l  mët trong nhi·u bi»n ph¡p o trungt¥m cõa ph¥n phèi Mët bi»n ph¡p thay th¸ kh¡c l  trung và, ÷ñc ànhngh¾a bði:

R(tm) = 0.5 (1.22)Trung và chia ph¥n phèi l m 2 nûa Mët nûa s³ th§t b¤i tr÷îc thíi gian

tm vîi x¡c su§t 50% v  nûa cán l¤i s³ th§t b¤i sau thíi gian tm công vîix¡c su§t 50%

Mode: Mode cõa ph¥n phèi, k½ hi»u tmode l  thíi gian l m cüc ¤i h mmªt ë x¡c su§t f (t):

f (tmode) =max0≤t<∞f (t) (1.23)H¼nh 1.6 biºu thà và tr½ cõa MTTF, trung và tm v  tmode cõa mët ph¥nphèi

H¼nh 1.6: Và tr½ cõa MTTF, t m v  t mode cõa mët ph¥n phèi

1.6 Kiºm duy»t v  ch°t cöt dú li»u

Kiºm duy»t

X²t T l  bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå

• Kiºm duy»t ph£i: N¸u ch¿ bi¸t T > t tø mët quan s¡t t, th¼ t

÷ñc gåi l  "kiºm duy»t ph£i"

• Kiºm duy»t tr¡i: N¸u ch¿ bi¸t T < t tø mët quan s¡t t, th¼ t

÷ñc gåi l  "kiºm duy»t tr¡i"

• Kiºm duy»t kho£ng: Trong "kiºm duy»t kho£ng" bi¸ta < T < b

nh÷ng khæng bi¸t ch½nh x¡c gi¡ trà cõa T

• Thíi gian kiºm duy»t: N¸u c l  thíi gian m  chóng ta ch¿quan s¡t c khi T > c th¼ c ÷ñc gåi l  thíi gian kiºm duy»t.Thíi gian sèng sât t ÷ñc biºu thà b¬ng:

t = T ∧ c = min(T, c)

• H» sè kiºm duy»t: H» sè kiºm duy»t δ ÷ñc ành ngh¾a bði:

δ = I{T ≤c} =

(

1 n¸u T ≤ c (khæng kiºm duy»t);

0 n¸u T > c (kiºm duy»t),

vîi IA ÷ñc cho bði cæng thùc:

IA = 1 n¸u A x£y ra;

0 n¸u A khæng x£y ra

C¡c kiºu kiºm duy»t

• Kiºm duy»t Lo¤i I : Thíi gian kiºm duy»t l  mët h¬ng sè (¢bi¸t), ch¯ng h¤n nh÷ thíi gian l  5 n«m trong tr÷íng hñpch½nh s¡ch b£o hiºm nh¥n thå 5 n«m; ho°c mët nghi¶n cùu

2 n«m v· c¡c chõ · ¢ câ s®n

• Kiºm duy»t Lo¤i II : Ch§m dùt ngay sau khi quan s¡t th§tb¤i Kiºm duy»t n y th÷íng ÷ñc sû döng trong c¡c b i kiºmtra ë tin cªy, trong â mët b i kiºm tra k¸t thóc khi c¡c s£nph©m th§t b¤i

• Kiºm duy»t ng¨u nhi¶n: iºm b­t ¦u v  iºm k¸t thóc quans¡t l  ng¨u nhi¶n Kiºm duy»t ng¨u nhi¶n l  kiºm duy»t phêbi¸n nh§t trong c¡c mæ h¼nh sèng sât

Ch°t cöt

• Ch°t cöt tr¡i: Ch¿ quan s¡t T = t vîi i·u ki»n T > a vîi

a l  gi¡ trà cho tr÷îc Trong tr÷íng hñp nh÷ vªy, quan s¡t t

÷ñc gåi l  "ch°t cöt tr¡i" t¤i a

• Ch°t cöt ph£i: Ch¿ quan s¡t T = t vîi i·u ki»n T < a vîi a

l  gi¡ trà cho tr÷îc

Sü kh¡c nhau giúa "Kiºm duy»t" v  "ch°t cöt"

• Mët "kiºm duy»t" tl  quan s¡t tr¶n t§t c£ c¡c èi t÷ñng bi¸tr¬ng T > t

• Mët "ch°t cöt" t l  quan s¡t ch¿ tr¶n mët c¡ nh¥n vîi T > a

bi¸t r¬ng T = t n¸u èi t÷ñng ÷ñc quan s¡t

2 ë tin cªy cõa h» thèng

Chóng ta s³ t¼m hiºu c¡ch thùc t½nh h m tin cªy cõa h» thèng, nh÷ l  mët

h m tin cªy cõa c¡c th nh ph¦n cõa nâ V¼ vªy, n¸u ta câ mët h» thèng baogçm k h» thèng con (th nh ph¦n), câ c¡c h m ë tin cªy R1(t), , Rk(t),th¼ ë tin cªy cõa h» thèng l :

N¸u léi cõa mët trong hai h» thèng con lªp tùc g¥y ra th§t b¤i cho c£ h»thèng, ta nâi r¬ng h» thèng con ÷ñc k¸t nèi tu¦n tü (connected in series).Tr¡i l¤i, mët h» thèng bao gçm k h» thèng con ÷ñc gåi l  k¸t nèi songsong, n¸u h» thèng bà léi ch¿ khi t§t c£ c¡c h» thèng con bà léi Trong mëth» thèng k¸t nèi song song ch¿ c¦n ½t nh§t mët h» thèng con ho¤t ëng l 

õ cho to n bë h» thèng ho¤t ëng

D÷îi ¥y, biºu thà k¸t nèi nèi ti¸p v  song song b¬ng mët sì ç khèi, nh÷trong H¼nh 1.7

H¼nh 1.7: Sì ç khèi cho h» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p v  song song

2.1 H» thèng nèi ti¸p v  song song

Ta gåiIi, (i = 1, 2, , k) l  bi¸n ch¿ ành Ii nhªn gi¡ trà 1 n¸u th nh ph¦n

Ci, khæng bà léi trong mët kho£ng thíi gian quy ành (0, t0) v  nhªn gi¡trà 0 n¸u th nh ph¦n Ci bà häng trong kho£ng thíi gian (0, t0) Ký vångcõa bi¸n Ii l :

E[Ii] = P [Ii = 1] = Ri(t0) (1.24)H» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p

H m c§u tróc (series structure function) cõa h» gçm k th nh ph¦n ÷ñck¸t nèi nèi ti¸p l :

ψs(R1, , Rk), vîi R1, , Rk l  c¡c gi¡ trà tin cªy cõa c¡c th nh ph¦n.H» thèng ÷ñc k¸t nèi song song

H m c§u tróc cõa h» gçm k th nh ph¦n ÷ñc k¸t nèi song song l :

V¼ c¦n c¡c th nh ph¦n vªn h nh theo óng thi¸t k¸ n¶n xem x²t mët h mc§u tróc nèi ti¸p Do â, ë tin cªy h» thèng cho t0 = 200 (gií) l :

R(s)sys(t0) = (0.9999)200 = 0.9802

Nh÷ vªy, dò thüc t¸ l  méi th nh ph¦n l  h¦u nh÷ khæng thº bà léi, câ mëtx¡c su§t 0.02 r¬ng th´ s³ häng trong váng 200 gií N¸u méi th nh ph¦nch¿ câ mët ë tin cªy 0.99 th¼ ë tin cªy th´ l :

R(s)sys(t0) = (0.99)200 = 0.134

Gi£ sû r¬ng th´ câ ché trèng cho mët sè linh ki»n dü pháng Do â, taquy¸t ành sû döng c¡c linh ki»n câ ë tin cªy R = 0.99 v  l°p l¤i méilinh ki»n trong mët c§u tróc song song C§u tróc song song cõa c¡c linhki»n tròng l°p ÷ñc coi nh÷ l  mët modulo ë tin cªy cõa méi modulo

l  RM = 1 − (1 − 0.99)2 = 0.9999 Khi â, ë tin cªy cõa (to n bë) h»thèng l :

R(s)sys = R200M = 0.9802

Do â, b¬ng c¡ch thay êi c§u tróc cõa th´ ta câ thº ¤t ÷ñc ë tin cªy0.98 vîi 200 th nh ph¦n, méi th nh ph¦n gçm mët c°p c¡c linh ki»n, méilinh ki»n câ ë tin cªy 0.99

C¡c h» thèng câ thº câ c§u tróc phùc t¤p hìn H¼nh 1.8 cho ta sì ç khèicõa mët h» thèng bao gçm n«m th nh ph¦n

Gåi R1, R2, , R5 biºu thà cho c¡c gi¡ trà ë tin cªy cõa n«m th nh ph¦n

C1, C2, , C5 t÷ìng ùng GåiM1 l  modulo bao gçm c¡c th nh ph¦nC1, C2

v  gåi M2 l  modulo bao gçm c¡c th nh ph¦n kh¡c ð nh¡nh thù hai ëtin cªy cõa M1 cho mët kho£ng thíi gian quy ành l :

RM = R1R2

2.2 H» thèng gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con

Mët h m quan trång kh¡c l  h m c§u tróc cõa k h» con ÷ñc l§y ra tø n

h» thèng con

Kh¡i ni»m: Mët h» thèng ÷ñc gåi l  h» k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con,n¸u h» thèng â gçm n h» thèng con, v  ta c¦n câ ½t nh§t k h» thèng cons³ ho¤t ëng (1 ≤ k < n), trong suèt kho£ng thíi gian quy ành, º choc£ h» thèng ho¤t ëng

Gi£ sû thíi gian ho¤t ëng cõa c¡c h» thèng con l  ëc lªp Khi â, câ thºx¥y düng h m tin cªy cõa c£ h» thèng, b¬ng c¡c suy luªn x¡c su§t ìngi£n

V½ dö, n¸u câ 3 h» thèng con vîi ë tin cªy l¦n l÷ñt l  R1, R2, R3 trongmët kho£ng thíi gian nh§t ành, v  ½t nh§t 2 trong 3 h» con ho¤t ëng th¼

ë tin cªy cõa h» thèng l :

R2(3) = 1 − (1 − R1)(1 − R2)(1 − R3) − R1(1 − R2)(1 − R3)

− R2(1 − R1)(1 − R3) − R3(1 − R1)(1 − R2)

= R1R2 + R1R3 + R2R3 − 2R1R2R3

ë tin cªy cõa h» thèng gçm k h» con l§y ra tø n h» con

N¸u t§t c£ c¡c h» thèng con câ còng gi¡ trà ë tin cªyR, trong mët kho£ngthíi gian nh§t ành, th¼ h m tin cªy cõa h» thèng, trong c§u tróc k l§y ra

tø n, câ thº ÷ñc t½nh b¬ng c¡ch sû döng ph¥n phèi nhà thùc B(j; n, R)

nh÷ sau:

Rk(n)sys = 1 − B(k − 1; n, R)

3 Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p

Ph¥n phèi sèng sât th÷íng ÷ñc sû döng cho bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T

bao gçm: Ph¥n phèi mô, ph¥n phèi Gamma v  ph¥n phèi Weibull

Ph¥n phèi nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  ph¥n phèi mô vîi tham sè µ, k½ hi»u

T ∼ exp(µ) H m tin cªy (h m sèng sât) cõa mët möc l :

R(t) = Pr(T > t) =

Z ∞ t

R(t)dt =

Z ∞ 0

e−µtdt = 1

X²t mët möc m  nâ x£y ra mët lo¤t c¡c có sèc C¡c kho£ng thíi gian

T1, T2, giúa c¡c có sèc li¶n ti¸p l  ëc lªp vîi nhau v  tu¥n theo ph¥n

phèi mô vîi tham sè µ Gi£ sû r¬ng möc â th§t b¤i ð có sèc thù k th¼tuêi thå cõa möc l :

H m tin cªy R(t) vîi mët sè gi¡ trà cõa k ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.11

H¼nh 1.11: H m tin cªy cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1

N¸u k khæng nguy¶n, câ thº sû döng c¡c cæng thùc (1.4) v  (1.10) º t¼m

h m tin cªy R(t) v  h m t¿ l» rõi ro λ(t) Cocozza - Thivent, 1997, p 10

N¸u T1 ∼ Gamma(k1, µ) v  T2 ∼ Gamma(k2, µ) l  ëc lªp th¼ T1+ T2 ∼Gamma(k1 + k2, µ) Do â, câ thº nâi r¬ng, ph¥n phèi Gamma âng vîiph²p to¡n cëng.

Tuêi thå T cõa mët möc ÷ñc gåi l  tu¥n theo ph¥n phèi Weibull vîi tham

sè α > 0 v  β > 0 (T ∼ Weibull (α, β)) n¸u h m ph¥n phèi ÷ñc cho bðicæng thùc:

H¼nh 1.13: H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sè gi¡ trà cõa tham

Khiα = 1, t¿ l» rõi ro l  h¬ng sè; khiα > 1, t¿ l» rõi ro t«ng; khi 0 < α < 1

t¿ l» rõi ro gi£m H m t¿ l» rõi ro λ(t) cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sègi¡ trà cõa tham sè h¼nh d¤ng α ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.14

H¼nh 1.14: H m t¿ l» rõi ro cõa ph¥n phèi Weibull, β = 1.

Tø cæng thùc (1.39), thu ÷ñc:

R



1β

°tf (t) = f (t|θ) l  h m mªt ë v  R(t) = R(t|θ) l  h m tin cªy cõa mëtph¥n phèi vîi tham sè θ (θ câ thº l  mët vectì) K½ hi»u:

• l(ti|θ) = f (ti|θ) = f (ti), ti khæng kiºm duy»t, khæng ch°tcöt;