Bổ chính SUSY QCD cho sinh cặp SQUARK trong quá trình hủy cặp e+ e với tham số phức

Nếu tự nhiên là siêu đối xứng, ngoài việc ta sẽ có một lý thuyết trường lượng tử tự tái chuẩn và ngoài việc thống nhất boson với fermion, ta còn có cơ hội để xây dựng một lý thuyết trườn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Đức Vinh

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK

THAM SỐ PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên Ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã Số : 60.44.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Đức Vinh

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK

THAM SỐ PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội-2011

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I : MSSM TRONG NGÔN NGỮ TRƯỜNG THÀNH PHẦN 4

1.1 SM 4

1.2 Siêu đối xứng, SUSY 12

1.3 Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường 18

1.4 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT 20

1.5 MSSM 22

1.6 Vi pham siêu đối xứng 28

CHƯƠNG II : LAGRANGIAN VÀ ĐỈNH TƯƠNG TÁC TRONG MSSM 35

2.1 Phổ khối lượng của siêu hạt đồng hành 35

2.1a Lĩnh vực sfermion 35

2.1b Lĩnh vực trường Higgs vô hướng 36

2.1c Lĩnh vực chargino 37

2.1d Lĩnh vực neutralino 38

2.2 Lagrangian tương tác và quy tắc Feynman trong MSSM 38

2.2.1.Quark-quark-gauge boson: 40

2.2.2 Squark-squark-gauge boson: 41

2.2.3 Quark-quark-Higgs boson: 42

2.2.4 Squark-squark-Higgs boson: 43

2.2.5 Quark-squark-chargino 47

2.2.6 Quark-squark-neutralino 48

2.2.7 Tương tác với gluino 49

2.2.8 Squark-squark-gauge boson-gauge boson 50

2.2.9.Tương tác bốn squark 53

2.2 Hàm truyền của các hạt 53

CHƯƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO CẶP SQUARK VỚI THAM SỐ PHỨC 55

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU DẪN (REFERENCES) 62

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, càng ngày càng có nhiều cơ sở để tin rằng thế giới

tự nhiên thực sự là siêu đối xứng [1] Nếu tự nhiên là siêu đối xứng, ngoài việc ta sẽ có một lý thuyết trường lượng tử tự tái chuẩn và ngoài việc thống nhất boson với fermion,

ta còn có cơ hội để xây dựng một lý thuyết trường tương thích về hấp dẫn Nó cũng là một đảm bảo để lời giải đối với bài toán phân hóa tương tác thành các bậc khác nhau

sẽ không bị ảnh hưởng bởi các bổ chính bức xạ Điều này cũng có nghĩa là, các siêu hạt đồng hành1có thể tồn tại ở trong vùng năng lượng cỡ TeV và do đó không ít cơ hội

để chúng ta tìm thấy chúng trong các điều kiện kỹ thuật hiện nay

Các kết quả nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành sẽ cho phép ta xây dựng thử nghiệm những mô hình bán hiện tượng luận cho các quá trình sinh hủy và tán

xạ phi đàn tính sâu của các hạt cơ bản Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu bán hiện tượng luận về stop và sbottom (siêu hạt đồng hành của quark đỉnh, top quark, và quark đáy, bottom quark) trong khuôn khổ của sự mở rộng tối thiểu mô hình tiêu chuẩn, mà ta sẽ gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu Để tránh dài dòng, ta

sẽ ký hiệu Mô hình tiêu chuẩn (Standard Model) bằng SM và Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (Minimal Supersymmetric Standard Model) là MSSM

Các nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành cho ta hai kết quả rất quan trọng sau đây:

Một là: trong một quá trình phân rã hoặc sinh hủy, siêu hạt bao giờ cũng có đôi Hai là: siêu hạt nhẹ nhất, Lightest Supersymmetric Particle, mà sau đây ta sẽ ký hiệu là LSP, sẽ là hạt bền

Nghiên cứu trong những năm gần đây thuộc lĩnh vực hạt cơ bản đã chứng tỏ rằng, thế hệ thứ ba của sfermion, stop sbottom, stau và tauonic sneutrino, tỏ ra có vai trò đặc biệt Điều này do hai nguyên nhân chính sau đây:

Thứ nhất, vì hệ số Yukawa của chúng rất lớn làm cho chúng khác biệt so với đồng bạn ở các thế hệ khác

Thứ hai, sfermion của thế hệ thứ ba nói chung lại nhẹ hơn sfermion của hai thế

hệ đầu [2] Vì lẽ đó, có thể là một trong số những hạt của thế hệ này sẽ là siêu hạt tích

1

Tiếng Anh là superpartner Khi có siêu đối xứng mỗi hạt thông thường như quark, lepton và các hạt chuẩn đều

có những hạt có spin nhỏ hơn ½ đồng hành với chúng Các hạt này được gọi là siêu hạt đồng hành với các hạt thông thường Để ngắn gọn, siêu hạt đồng hành sẽ được gọi là siêu đồng hành

điện nhẹ nhất, và sự lộ diện của nó, ví dụ trong các thí nghiệm đang được tiến hành trên máy gia tốc LHC hiện này và sau này, sẽ là bằng chứng thực nghiệm đầu tiên của siêu đối xứng

Vì những lý do đã trình bày ở trên, việc nghiên cứu lý thuyết các quá trình liên quan đến siêu đồng hành thuộc thế hệ thứ ba như phân rã, tán xạ, … sẽ là một việc làm mang tính chất thời sự

Mục tiêu được đặt ra cho Luận văn này là nghiên cứu quá trình hủy cặp e e 

trong đó có sự hình thành của siêu đỉnh stop và siêu đáy, sbottom Chúng ta lựa chọn quá trình trong máy gia tốc lepton (LEP và LEP2) bởi vì dữ liệu thực nghiệm về quá trình này rất phong phú và thường xuyên được phân tích kỹ lưỡng Vì vậy, mỗi thông tin lý thuyết sẽ được kiểm chứng nhanh nhất

Điều khác biệt so với những nghiên cứu tương tự là một số tham số được coi là phức Vấn đề này cũng đã được tiến hành đối với một số sản phẩm của phản ứng trong [7,8,9] Thông thường tham số phức sẽ dẫn đến vi phạm đối xứng CP Người ta cho rằng, SM đã chứa đựng hầu như tất cả các nguồn dẫn đến vi phạm CP và do đó không cần có thêm những nguồn vi phạm CP khác của MSSM Vì vậy, những tham số không nằm trong tương tác Yukawa dẫn đến vi phạm CP đều được giả định là thực Tuy nhiên, đây chỉ là giả thiết Ta sẽ bàn kỹ vấn đề này trong phần cuối của chương 1 và trong chương 3

Luận văn này có cấu trúc như sau:

Chương I sẽ được dùng để nhập môn lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng (SGFT) Đây là vấn đề khó khăn nhất vì tài liệu về SUSY xuất hiện nhiều hơn bất cứ

về lĩnh vực nào của vật lý lý thuyết, cho nên, đọc và lĩnh hội chúng là một việc rất nặng nhọc Chúng tôi chỉ muốn tóm lược những điểm chính yếu và nhất là chỉ nêu lên những gì chúng tôi cần đến ở những phần sau của luận án Phần cuối của chương, chúng tôi cũng sẽ điểm qua nội dung vật chất của mô hình MSSM và diễn giải vai trò quan trọng của stop và sbottom trong mô hình đó Bàn đến số tham số độc lập khả dĩ của MSSM

Chương II sẽ được dùng để cụ thể hóa MSSM, trong đó, trường thành phần sẽ không còn là trường nguyên thủy mà là trường vật lý Như vậy, ta sẽ phải bàn đến vi phạm đối xứng (cả vi phạm mềm lẫn vi phạm tự phát) và thông qua cơ chế Higgs ta sẽ

có phổ khối lượng các hạt vật lý Ta cũng sẽ bàn đến quá trình sinh ra stop và sbottom

trong các máy va chạm lepton Chúng tôi sẽ tìm biểu thức giải tích cho thiết diện sinh các siêu hạt đồng hành này trong quá trình hủy cụ thể e e  Các ước lượng số có thể phần nào kiểm chứng được tính khả tín của kết quả thu được khi sử dụng kết quả thực nghiệm từ LEP, LEP2, e e - Linear Collider hoặc Muon Collider [3]

Chương III sẽ được dành cho quá trình phân rã stop và sbottom khi tính đến bổ chính SUSY–QCD 1–vòng với tham số  trong siêu thế Higgs là phức

Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận

Mô hình tiêu chuẩn là một lý thuyết bất biến chuẩn với nhóm chuẩn G là tích

trực tiếp của ba nhóm đơn SU(3)C, SU(2)L và U(1) vốn được dùng để mô tả tương tác mạnh, yếu, điện từ một cách riêng rẽ:

 3 C  2 L  1Y

Nội dung hạt nguyên thủy của SM được tóm tắt như sau:

-Tất cả hạt chất trong SM được chia thành ba thế hệ, với các đặc trưng giống nhau, chỉ khác nhau về khối lượng Thành phần thuận phải, tay đăm (right-handed), và thành phần thuận trái, tay chiêu (left-handed), của chất được coi là các hạt khác nhau

vì chúng tương tác yếu khác nhau Vì tính đăm, chiêu là bất biến tương đối tính khi và chỉ khi khối lượng của hạt chất bằng không, cho nên, ta giả thiết điều này cho khối lượng “trần” và coi khối lượng “vật lý” khác không là do cơ chế Higgs với số hạng vi phạm tự phát dạng Yukawa

a) Để mô tả thế hệ thứ nhất của tương tác yếu, ta cần năm trường lượng tử như sau:

, , , ,

e

L L

u

d e

SU , còn phần tay đăm e , là đơn tuyến của nhóm đó R

Cả phần tay đăm và tay chiêu của quark u d đều tồn tại, phần tay chiêu của , chúng tạo nên lưỡng tuyến q còn phần tay đăm, u d R, R sẽ là các đơn tuyến của nhóm tương tác yếu

Cho hai thế hệ sau, ta chỉ cần thay e , uc  và d t s b

Các hạt nói trên, còn tham gia tương tác điện với nhóm chuẩn là  1

Y

U Siêu

tích yếu Y của chúng cũng thỏa mãn hệ thức Gell-Man – Nishijima như với đối xứng

isospin của tương tác hạt nhân:

2

trong đó, I là hình chiếu isospin yếu (không nhầm với isospin hạt nhân do 3

Heisenberg đề xuất) Như vậy, l là một lưỡng tuyến, isospin yếu của nó bằng 1 / 2, hình chiếu isospin yếu của neutrino lên trục thứ ba là 1 / 2, điện tích của nó bằng không, vậy siêu tích của nó Y   , và để đảm bảo bất biến 1  1

Với các đơn tuyến isospin yếu của electron và quark tay đăm, e R, u R, d , siêu tích sẽ R

bằng hai lần điện tích tương ứng của chúng: 2

Do không tham gia tương tác mạnh, các lepton là các đơn tuyến màu, trong khi

đó, các quark đều là tam tuyến màu của SU 3 Như vậy, u chẳng hạn sẽ có ba R

thành phần màu: đỏ (Red), xanh (blue) và vàng (yellow) Các chỉ số màu và chỉ số Lorentz (chỉ số spinơ) đều được bỏ qua để các công thức đỡ phức tạp

b) Hạt trường sẽ là lượng tử của trường chuẩn Trường chuẩn sẽ bao gồm: một

trường B , tương ứng với nhóm  1

Y

U , ba trường Yang-Mills W  i, i1, 2,3, tương ứng với nhóm SU 2 L và tám trường gluon G  a, a1, 2, ,8, tương ứng với nhómSU 3

Tương tác mạnh giữa các hạt quark sẽ được thực hiện thông qua trường gluon

a

G  có mặt trong đạo hàm hiệp biến:

, 1, 2, ,82

a a S

13

sử trong SM còn có một đa tuyến SU 2 L của một trường “vô hướng phức”, không màu, gọi là trường Higgs:

h H h

'W

Phần đầu chính là “động năng” của trường Higgs (trong đó có cả phần tương tác của

nó với trường gauge), phần sau là thế Higgs Thế năng V H được chọn dưới dạng:  

Bậc tự do còn lại của trường Higgs sẽ diễn tả hạt vô hướng thực có khối lượng:

sin

F Z

60

H

M  GeV, bởi vì nếu không, quá trình phân rã Z thành phản hạt của nó và hạt

Higgs ZZH đã có thể nhìn thấy Với việc vận hành của máy gia tốc LHC, hy vọng

sẽ tìm được hạt Higgs

Để sinh khối cho các trường chất, lepton và quark, ta phải đưa vào các số hạng tương tác dạng Yukawa giữa trường Higgs và trường vật chất Những số hạng này nói chung là tổ hợp tuyến tính giữa trường chất và trường Higgs sao cho chúng là vô hướng Lorentz, vô hướng SU 2 L và siêu tích yếu bằng không Các số hạng đó có dạng:

, ,

R R R

và các liên hợp Hermitian của chúng Dẫu gạch ngang trên ký hiệu spinơ, ví dụ q , là

chỉ liên hợp Dirac của chúng Ta thấy số hạng thứ ba không thỏa mãn điều kiện siêu tích bằng không, vì tổng siêu tích các thừa số của nó bằng 1 Tuy nhiên, nếu không có

số hạng này, cơ chế Higgs không thể sinh khối cho quark u và không thể khử được dị thường dòng trục Vì vậy, thay cho việc phải đưa thêm vào một lưỡng tuyến Higgs mới, ta xét:

*

0 2

trong đó, y u, y d, y là các hệ số Yukawa và chúng được xác định bằng thực nghiệm e

Số lượng của hệ số Yukawa không phải là 3, mà tối đa có thể là 81, bởi vì nó còn có chỉ số thế hệ, chỉ số màu và các hệ số này không nhất thiết phải bằng nhau

Tóm lại, Lagrangian của SM có dạng sau đây:

Tương tác Yukawa, rất cần để tạo khối lượng cho các fermion, thế nhưng, chúng không được suy ra từ một loại đối xứng nào đó, kiểu như đối xứng chuẩn Nếu

có, nhóm đối xứng sẽ cố định được dạng của Lagrangian tương tác và hệ số Yukawa độc lập sẽ giảm đi rất nhiều Lagrangian Yukawa phải được chéo hóa bằng các ma trận unitary khác nhau cho trường tay đăm và tay chiêu một cách riêng rẽ Từ các ma trận này ta thu được ma trận pha trộn kiểu CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) Khi sử dụng ma trận để xây dựng dòng trung hòa, ta thấy không có sự pha trộn nào giữa

lepton và quark Sự tự khử những số hạng làm thay đổi hương trong dòng trung hòa đã được Glashow, Iliopoulos và Maiani giải thích là nhờ một cơ chế, sau này được gọi là GIM Cơ chế GIM đòi hỏi tồn tại một hương quark mới, đó là quark duyên mà sau đó

Thứ tư, nó chưa có cơ chế để xác định khối lượng hạt Higgs Sự tồn tại của trường Higgs kéo theo rất nhiều sơ đồ có bổ chính phân kỳ khối lượng của Higgs, ví

dụ bổ chính QCD một vòng Nếu tính đến các bổ chính này, điều kiện  2 0 có thể sẽ

bị vi phạm

Thứ năm, nó không giải thích được vấn đề vi phạm CP của tương tác mạnh Cuối cùng, nó không giải quyết được bài toán phân hóa tương tác thành các cấp khác nhau (hierarchy problem) Nghĩa là nó không giải thích được tại sao tương tác thống nhất, thống trị thế giới vật chất ở thời điểm ban đầu sau Big Bang, lại bị phân hóa thành bốn loại tương tác có các cấp khác nhau ở mức năng lượng hiện nay (cỡ

GeV )

Để giải quyết các vấn đề trên đã có rất nhiều phương pháp khác nhau được đưa

ra nhằm mở rộng mô hình tiêu chuẩn

1.2 Siêu đối xứng, SUSY

Một trong những ý tưởng tự nhiên giúp giải quyết những khó khăn kể trên của

mô hình tiêu chuẩn là mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, thu được từ việc định xứ (local) hóa nhóm đối xứng trong Việc thay đổi nhóm chuẩn (1.1) của SM bằng những nhóm đơn khả dĩ như SU 5 , SO 10 , là một xu hướng nổi bật vào những năm 70 của thế

kỷ trước Chúng được gọi là lý thuyết thống nhất lớn, Grand Unified Theory (GUT)

Một xu hướng khác là tìm cách mở rộng nhóm đối xứng ngoài, tức là đối xứng không thời gian, sao cho liên kết của nó với đối xứng trong là không tầm thường, tức

là không đơn giản là tích trực tiếp giữa hai loại đối xứng đó

Đối xứng ngoài là những phép biến đổi không thời gian, không làm thay đổi các phương trình động lực của hệ vật lý Trong vật lý cổ điển, đó là nhóm quay một góc bất kỳ quanh một trục đi qua gốc tọa độ Trong vật lý tương đối tính, đó là nhóm Lorentz của không gian Minkowski, đó là nhóm Poincaré khi ngoài nhóm Lorentz có thêm vào phép tịnh tiến và đối với hệ hạt không khối lượng, đó là nhóm bảo giác, khi ngoài nhóm Poincaré có tính thêm phép co giãn (dilatation) và phép nghịch đảo (inversion) không gian

Đối xứng trong là những phép biến đổi tác động trực tiếp lên hàm trường (trong

cơ học lượng tử là hàm sóng) không làm thay đổi quy luật của hệ vật lý Ví dụ nhóm phép biến đổi pha toàn xứ Abelian U 1 , liên quan đến bảo toàn điện tích, siêu tích, siêu tích yếu, nhóm toàn xứ non-Abelian SU 2 , liên quan đến bảo toàn isospin, isospin yếu hay phép biến đổi toàn xứ non-Abel SU 3 liên quan đến bảo toàn màu tích Các nhóm trong đóng vai trò quan trọng trong vật lý đều là nhóm tựa đơn vị (unitary)

Nếu khả năng liên kết giữa đối xứng trong và ngoài tồn tại, phép biến đổi trong

sẽ cảm sinh một phép biến đổi ngoài, và nhóm đối xứng ngoài sẽ được mở rộng hơn, ngoài những nhóm đã được liệt kê Đối xứng này là dấu hiệu tồn tại của một số hạt cơ bản mới, gọi là hạt siêu đồng hành, giống như bất biến chuẩn là dấu hiệu tồn tại của boson chuẩn Sự có mặt của của những hạt mới sẽ cho ta các hệ quả vật lý mới

Tuy nhiên, hướng này ban đầu đã gặp phải một trở ngại lớn, đó là định lý no-go của Coleman và Mandula Theo định lý này, đối xứng trong và đối xứng ngoài chỉ có

thể là tích trực tiếp với nhau, vì nếu không, sự hạn chế do việc kết hợp không tầm thường của chúng gây ra sẽ làm nhiều đại lượng vật lý có phổ cố định, trong khi thực

tế, chúng lại có phổ với giá trị tùy ý

Sau đó đã phát hiện ra rằng, trong khi chứng minh định lý no-go, ta chỉ xét đến những nhóm đối xứng ngoài mà vi tử sinh là các đại lượng “boson” (vô hướng, vectơ, tensơ) Ví dụ, với nhóm Poincaré, vi tử sinh sẽ là xung lượng (vectơ) và mômen góc Tensơ) Với nhóm trong SU 2 của isospin yếu, vi tử sinh là / 2

, giao hoán tử của chúng với vi tử sinh của nhóm Poincaré sẽ luôn bằng không Điều đó nghĩa là vi tử sinh của đối xứng trong luôn là vô hướng Lorentz

Tuy nhiên, nếu bên cạnh các vi tử sinh boson, mà ta sẽ gọi là “chẵn”, còn có vi

tử sinh fermion (spinơ), mà sau đây ta sẽ gọi là “lẻ”, thì những hạn chế do định lý

no-go gây ra sẽ không còn nữa [5] Vi tử sinh lẻ sẽ thỏa mãn điều kiện phản giao hoán, trong khi cho các vi tử sinh chẵn là giao hoán Nhóm đối xứng có chứa cả vi tử sinh

chẵn, lẻ với phép toán giữa các vi tử sinh gồm cả giao hoán tử lẫn phản giao hoán tử, được gọi là siêu nhóm Đại số với cả hai loại phép toán nói trên, gọi là đại số Lie phân cấp, hay siêu đại số Lie Vì lý do đó, đối xứng cho bởi siêu nhóm và siêu đại số, sẽ được gọi là siêu đối xứng, supersymmetry, mà sau đây ta sẽ ký hiệu là SUSY [6] Như vậy, SUSY không phải là thứ đối xứng siêu thực, không tự nhiên, nó chỉ là loại đối xứng có sự kết hợp không tầm thường giữa đối xứng ngoài và đối xứng trong Nó là một phép đối xứng ngoài

Nếu ký hiệu vi tử sinh lẻ là Q (không nhầm với toán tử điện tích định nghĩa trong (1.3)), do là spinơ, nó sẽ thỏa mãn điều kiện:

,

Vì lẽ đó, SUSY còn được gọi là đối xứng giữa boson và fermion Ta sẽ thấy, trường boson có thứ nguyên là 1 và trường fermion có thứ nguyên 3 / 2, cho nên, sẽ là hợp lý khi thứ nguyên của Q là 1 / 2

Siêu đối xứng dẫn đến rất nhiều hệ quả [7]

Một là, trong một “siêu đa tuyến” sẽ có cả trường boson lẫn trường fermion và

số lượng của chúng (số bậc tự do) phải bằng nhau Ví dụ, trước ta có đa tuyến gồm một lepton, bây giờ ta phải thay nó bằng một siêu đa tuyến có cả lepton lẫn hạt có spin không, gọi là lepton vô hướng, scalar lepton, hay ngắn gọn, là slepton Nếu đa tuyến

lepton được mô tả bằng một spinơ Dirac phức, tức là có 8 bậc tự do fermion, thì trong siêu đa tuyến lepton phải tồn tại 8 slepton vô hướng thực hoặc 4 slepton vô hướng phức Slepton được gọi là hạt siêu đồng hành của lepton Tương tự, quark sẽ có siêu đồng hành là quark vô hướng hay squark Các hạt truyền tương tác, hạt gauge, sẽ có siêu đồng hành là gaugino: photon có photino, gluon có gluino, W có wino, Z có zino Nói ngắn gọn, siêu đồng hành của hạt chất thì thêm tiền tố “s”, siêu đồng hành của hạt trường thì thay hậu tố “on” (nếu có) bằng “ino”

Hai là, không có hạt đã biết nào là siêu đồng hành của một hạt đã biết khác Như vậy, đến nay chúng ta chưa biết đến bất kỳ một hạt siêu đồng hành nào Số lượng hạt cơ bản trong SM sẽ được nhân đôi trong một lý thuyết SUSY tương ứng

Có nhiều cách thức xây dựng lý thuyết trong đó có SUSY Trong luận văn này,

ta chỉ xét đến một cấu trúc đơn giản nhất, gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu, Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM Trong mô hình này, ta chỉ có một vi tử sinh lẻ, đó là spinơ Majorana Q , hay spinơ hai thành phần Q và liên hợp

Hermite Q của nó Nó thường được gọi là N  1 siêu đối xứng, ký hiệu là

1

N  SUSY [1, 2, 3], mà ta sẽ gọi đơn giản là siêu đối xứng

Để thuận tiện cho việc diễn tả phép biến đổi siêu đối xứng, ta dùng khái niệm siêu không gian và siêu trường [8]-[9] Spinơ, nếu không nói ngược lại, sẽ được hiểu là spinơ Weyl hai thành phần Khi đó, Q không phải là liên hợp Dirac của Q mà là đối

ngẫu của Q Khi sử dụng spinơ Dirac bốn thành phần, Q là spinơ Majorana Điều *

kiện này nhằm giảm đi một nửa số bậc tự do quark, và do đó cũng hạn chế số hạt siêu đồng hành cần thiết phải đưa thêm vào trong lý thuyết

Siêu không gian được hiểu là một đa tạp, trong đó, ngoài tọa độ “boson”x 

giao hoán nhau, ta còn có tọa độ “fermion”   thỏa mãn điều kiện phản giao hoán: ,

 ,  ,    , 0 1.21 Các tọa độ fermion này còn được gọi là các biến Grassmann (biến lũy linh) Do vi tử sinh là spinơ, tham số biến đổi tương ứng cũng là spinơ Tọa độ  và tham số biến đổi

 có thứ nguyên là 1 / 2 bởi vì:

là toán tử không có thứ nguyên Q và Q được coi là vi tử sinh của phép tịnh tiến tọa

độ lẻ Tuy nhiên, phép tịnh tiến này cũng cảm sinh một phép tịnh tiến tọa độ boson Nếu ký hiệu   1,

,   1, 

, ta có:

Trong luận văn này, ta xét nhóm đối xứng ngoài là nhóm Poincaré (khi xét đến

lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, ta phải xét đến nhóm bảo giác) Vi tử sinh của

nó được biểu diễn trong không gian siêu trường bằng xung lượng và mômen góc ,

P  J  Khi đó, giao hoán tử giữa các vi tử sinh chẵn với chẵn và chẵn với lẻ sẽ được cho bằng giao hoán tử:

lấy hai giá trị 1,2) Chỉ số không chấm cho spinơ Weyl loại I, có chấm cho spinơ loại

II Các hệ thức (1.24) là tính chất của nhóm Poincaré (1.25) là hệ quả của đồng nhất thức Jacobi cho ba vi tử chẵn lẻ lẻ Chúng cũng có thể đoán nhận được, vì phản giao hoán tử của hai vi tử sinh lẻ phải là một vectơ và đó cũng là cách lựa chọn duy nhất Phép biến đổi siêu đối xứng vi phân sẽ được viết là:

có thể có hữu hạn số hạng:

, ,

thông thường Tập hợp này còn gọi là một siêu đa tuyến Siêu trường vô hướng 

trong (1.27) diễn tả một siêu đa tuyến bao gồm 4 trường vô hướng F M N D, , , , một trường vectơ A  và bốn trường spinơ     Nói chung, một siêu đa tuyến thường , , ,chứa nhiều trường thành phần Số lượng đó đôi khi nhiều hơn mức cần thiết đối với một mục tiêu cụ thể

Đạo hàm theo biến fermion không hiệp biến với phép biến đổi siêu đối xứng Điều này có thể thấy rõ, vì vi tử sinh Q Q, có chứa tọa độ fermion Ta sẽ thay chúng bằng đạo hàm hiệp biến Xét phép biến đổi vi phân tác động lên một siêu trường vô hướng:

a) Siêu trường thuận tay (chiral superfield)

Do spinơ Dirac là một cặp spinơ Weyl tay chiêu và tay đăm, cho nên, nếu siêu trường chỉ “phụ thuộc” vào một trong hai biến  và  , nó sẽ được gọi là siêu trường

thuận tay (chiral) Theo định nghĩa, siêu trường không “phụ thuộc” vào một biến Grassmann nào đó, nếu đạo hàm hiệp biến theo biến tương ứng là bằng không Như vậy, ta có điều kiện:

0

D  cho siêu trường tay chiêu và

D  0 cho siêu trường tay đăm

Như vậy, đa tuyến của một siêu trường thuận tay chỉ chứa một trường spinơ , trường

vô hướng  và một trường vô hướng phụ trợ F(có 4 bậc tự do fermion và bốn bậc tự

do boson)

b) Siêu trường vectơ

Một siêu trường vô hướng được gọi là vectơ, nếu nó thỏa mãn điều kiện Hermitian, nghĩa là:

Nó được gọi là vectơ bởi vì trong khai triển Taylor của nó

có chứa trường vectơ V 

Từ một siêu trường thuận tay  ta có thể lập được một siêu trường vectơ:

2 Re C,   i / 2, G i MiN / 2 1.35 Thì siêu trường vectơ sẽ có dạng:

Wess-tức là V  có thứ nguyên bằng 1, thì V sẽ có thứ nguyên bằng 0 Tuy gọi là siêu trường vectơ, V vẫn chỉ là một hàm vô hướng

1.3 Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường

Từ tính chất phản giao hoán của tọa độ lẻ suy ra, tích một số siêu trường thuận tay cũng là siêu trường thuận tay Ví dụ, đối với siêu trường tay chiêu:

d xd  Mặt khác, tích phân theo tọa độ lẻ cũng được định nghĩa giống

như đạo hàm theo biến đó:

Như vậy, (1.39) rất thích hợp để coi là Lagrangian cho trường chất Số hạng trong ngoặc vuông thường được gọi là siêu thế Nó thường được chọn tùy thuộc vào mục tiêu sử dụng

1.4 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT

Với nhóm chuẩn Abel, siêu trường vectơ V đóng vai trò của trường chuẩn

Tuy nhiên, do nó có thứ nguyên bằng 0 cho nên D V  sẽ có thứ nguyên 1/2, chứ không phải bằng 2 như yêu cầu của tensơ cường độ trường chuẩn Để có được tensơ cường

độ trường chuẩn hợp lý, ta lập W  DDD V  Nó sẽ là siêu trường spinơ tay chiêu và

có thứ nguyên 3 / 2 và do đó, W W   sẽ có thứ nguyên bằng 3 Hệ số  của khai

triển W W   sẽ có thứ nguyên bằng 4, vì cùng với thứ nguyên  1 của  ta sẽ có thứ

nguyên 3 của W W   Đó chính là tích tensơ cường độ trường vectơ Thực vậy, ta có:

F  chứa trong khai triển của W  có dạng của tensơ cường độ trường chuẩn Khi đó,

trường thành phần tương ứng với số hạng chứa tích  của W W   sẽ có thứ nguyên 4

 và có dạng:

21

Đối với trường chuẩn non-Abelian, siêu trường chuẩn sẽ được cho bằng

exp 2gV , trong đó hàm mũ được hiểu là khai triển Taylor của nó và g là tích tương

tác và V là siêu trường vectơ nào đó Ta nhận thấy rằng, do V 3 0, còn V2 trong chuẩn Wess-Zumino sẽ là:

2 12

2ig

với  là siêu trường tay chiêu Khi đó dạng Kähler K   sẽ không bất biến chuẩn

vì siêu trường  không phải là siêu trường thực Để khôi phục tính bất biến chuẩn, ta thêm vào siêu trường chuẩn vectơ V cò vai trò “trường bù” biến đổi theo quy luật:

2 2

1 4

• Thay cho ba trường chuẩn vectơ ta xét ba siêu trường vectơ V Vˆ1, ˆ2, V : ˆ3

Các trường siêu đồng hành của trường gauge sẽ có spin 1 / 2và gọi là “gaugino” Siêu

đồng hành của B , W  i và G  a được ký hiệu tương ứng là B, W và i a

g Từ các gaugino B, W sẽ tạo nên photino  i , Z –ino Z và Wino a

g là gluino Các

D  term là các hàm trường phụ trợ Từ ba siêu trường vectơ ta lập nên ba tensơ cường

độ trường W  bằng công thức (1.46a) (không lầm lẫn với trường Yang – Mills W  i) và

từ đó ta có ba Lagrangian dạng (1.47)

• Mỗi trường chất vốn được diễn tả bằng một spinơ tay chiêu trong SM được thay bằng một siêu trường tay chiêu trong MSSM Trong siêu trường này ngoài thành phần trường spinơ còn có thành phần spin–0 của siêu đồng hành Trường spinơ cùng trường vô hướng siêu đồng hành lập thành một siêu đa tuyến Ví dụ, với lưỡng tuyến lepton, trong MSSM ta có lưỡng tuyến gồm hai siêu trường:

còn tính tay chiêu của trường spinơ thể hiện bằng nhãn “L ” ở bên cạnh hàm trường

Ta có thể viết tường minh spinơ tay chiêu  eL như sau:

1 2

eL

e e

sẽ được đánh dấu bằng nhãn dưới Như vậy, ta có các thay thế sau đây cho một thế hệ:

- Lưỡng tuyến SU 2 tay chiêu được thay bằng lưỡng tuyến SU 2 siêu trường tay chiêu Lˆ

- Đơn tuyến SU 2 tay đăm (spinơ) được thay bằng siêu trường E tay đăm

- Hai đơn tuyến SU 2 tay chiêu cho “quark” U D được dùng để diễn tả ,

“quark” u và d tay đăm Tuy nhiên, thay cho U D, ta sẽ dùng siêu trường liên hợp

c

U và c

D để nó chứa ‘phản quark” tay chiêu và “phản squark”

Từ các siêu trường tay chiêu, ta lập nên dạng Kähler (1.45) với ba siêu trường vectơ khác nhau

• Giống như với SM, ta cần một lưỡng tuyến Higgs phức với siêu tích 1 để sinh khối cho lepton và cho quark và các siêu đồng hành

h H

h H

0 2

ˆ

ˆ

u u u

SU SU đều được bỏ qua Biểu thức WY có thể coi là sử mở rộng SUSY của

SM (Ký hiệu H H1, 2 sẽ được dùng khi không cần nêu cụ thể là chúng liên kết với loại quark nào) Điều khác biệt duy nhất là sự có mặt của số hạng có chứa tích của hai siêu trường Higgs (số hạng ) Khai triển (1.55) theo các siêu trường thành phần được thực hiện theo quy tắc nhân các spinơ Weyl Ví dụ:

ˆ0ˆ ˆ ˆ 

d i j d i j d i j d iL d i j

H L E H L E     H L E    h e h v E 1.54b Mới nhìn ta được một biểu thức không phức tạp lắm, tuy nhiên, khai triển chúng theo trường thành phần là rất phức tạp, như ta đã nhìn thấy trong (1.37a), (1.54) Ví dụ, tích

Cũng cần lưu ý rằng, trong khai triển (1.55b), các trường còn phụ thuộc vào biến y

chứ chưa phải biến x Khi khai triển chúng theo biến x, các công thức sẽ phức tạp hơn nhiều lần Ta sẽ trình bày biểu thức khai triển cụ thế của tất cả các số hạng trong Lagrangian kể cả tương tác Yukawa trong chương 2 của luận văn này

Nhận xét rằng, bên cạnh WY, còn có những tích ba siêu trường tay chiêu cho biểu thức bất biến siêu đối xứng:

quark và lepton tích điện, số hạng thứ ba ngăn sự vi phạm tính phổ quát của hằng số Fermi trong dòng phân rã lepton tích điện và số hạng thứ tư ngăn không cho neutrino

có khối lượng lớn Nếu có mặt cùng một lúc, nó dẫn đến phân rã proton Những số hạng này phá vỡ bảo toàn số baryon và lepton vốn được thực nghiệm kiểm chứng một cách rất chính xác là không bị vi phạm Số hạng thứ nhất làm số baryon thay đổi một đơn vị, ba số hạng sau làm số lepton thay đổi một đơn vị Để có thể loại bỏ các số hạng này một cách hợp lý, người ta đưa vào yêu cầu toàn R-chẵn lẻ R-chẵn lẻ được định nghĩa bằng:

U Với nhóm con này:

Hạt  hạt, Siêu hạt  Siêu hạt 1.59a Hay cụ thể hơn:

Nhóm R-chẵn lẻ Z2 là dấu vết gián đoạn của nhóm Lie U R 1 Tuy nhiên, nếu áp đặt

cả nhóm U R 1 cho tương tác Yukawa, số hạng khối lượng Majorana cho gaugino sẽ

bị cấm Điều này không thật thích hợp vì về mặt hiện tượng luận, trong một lý thuyết

có siêu hấp dẫn, gravitino (siêu đồng hành của graviton) và gluino sẽ nhận khối lượng Như vậy, có hai xu hướng lựa chọn Một là chỉ yêu cầu bất biến đối với nhóm gián

đoạn Z2 hoặc là yêu cầu tính bất biến đối với toàn nhóm U R 1 nhưng nhóm đó sẽ bị

vi phạm tự phát Trong luận văn này ta dùng cách lựa chọn, thứ nhất

Hệ quả của tính bảo toàn R-chẵn lẻ là siêu đồng hành phải xuất hiện thành cặp

và điều này nghĩa là, siêu đồng hành nhẹ nhất (LSP) phải là hạt bền, vì nếu không bền,

nó phải phân rã và sản phẩm phân rã sẽ là một siêu đồng hành khác nhất thiết phải nhẹ hơn

Tất cả những điều đã nói ở trên về nội dung vật chất của MSSM được thu gom trong Bảng 1.1

B W G







111

i a

B W g

u d u d

u d u d

e e

e e

 



00

 của biểu thức thu được sau khi thực hiện phép nhân các siêu trường

Để làm ví dụ, ta viết Lagrangian cho một hạt mô tả bằng siêu đa tuyến

1.6 Vi pham siêu đối xứng

Nếu siêu đối xứng thực sự là đối xứng của tự nhiên thì nó chắc chắn cũng không phải là đối xứng hoàn toàn chính xác mà bị vi phạm đến một mức độ nào đó Điều này có thể nhìn thấy rõ, bởi vì nếu không, khối lượng của selectron đã bằng khối lượng của electron và do đó nhất định selectron đã được phát hiện Sự khác nhau về khối lượng của các hạt trong một đa tuyến có thể có nguyên nhân từ sự vi phạm tự phát hoặc từ sự vi phạm thực sự nào đó hoặc cả hai Tuy nhiên người ta đã chỉ ra rằng, nếu trong SM, vi phạm đối xứng tự phát đóng vai trò quan trọng trong việc tạo khối lượng cho các hạt, thì trong MSSM vai trò này lại là của sự vi phạm thực sự Số hạng

vi phạm đối xứng này không được làm hỏng lời giải bài toán phân cấp tương tác, cho nên, chúng được gọi là số hạng vi phạm SUSY mềm (soft SUSY breaking term) [10]

Việc vừa khẳng định có một đối xứng nào đó rồi ngay lập tức lại giả thiết đối xứng đó bị vi phạm, cho dù đó chỉ là mềm, cũng là một bất lợi, nhất là khi SUSY chưa

có một kết quả thực nghiệm nào xác nhận Vì vậy, người ta cho rằng, SUSY không bị

vi phạm, mà chỉ là vi phạm tự phát tại một “khu vực ẩn” nào đó Thang năng lượng có

sự vi phạm tự phát này cao hơn nhiều so với thang năng lượng của tương tác yếu Sự

vi phạm tự phát này được lan truyền thông qua tương tác chuẩn hoặc tương tác hấp dẫn để đến được “khu vực hiện” của MSSM và làm nảy sinh số hạng vi phạm mềm Nói chung, Lagrangian vi phạm mềm sẽ bao gồm tương tác Yukawa và các số hạng sau đây:

+ Số hạng khối lượng gaugino

+ Số hạng khối lượng vô hướng

+ Số hạng tương tác vô hướng bậc hai và bậc ba

2 2 of

, ,

1,2,3

i i

a Q U

i i i e ij i d j d ij d i j u ij u i j i

số đều xác định được bằng hiện tượng luận

Trước tiên ta hãy xem xét về mặt hiện tượng luận, cần có những yêu cầu gì đối với các tham số vi phạm mềm Hai hạn chế quan trọng nhất là:

1 Không dẫn đến dòng trung hòa lớn có thay đổi hương vị (FCNC) và không

có vi phạm số lepton

2 Lý thuyết không dẫn đến vi phạm CP quá lớn

Ta có thể hình dung vì sao các tham số vi phạm mềm nếu được đưa vào một cách tổng quát sẽ dẫn đến FCNC lớn thông qua sự pha trộn K 0 - K0 Trong SM ta chỉ

có đóng góp của sơ đồ thứ nhất còn trong MSSM ta có thêm đóng góp từ sơ đồ thứ hai của hình 1, trong đó đường trung gian là gauginos và squarks còn dấu “” là chỉ có sự

vi phạm mềm của khối lượng squark Trong sơ đồ thứ 2, thừa số CKM xuất hiện ở các đỉnh Do đó, phần quyết định của sơ đồ này là tỷ lệ thuận với V†M2V, trong đó, V là

ma trận CKM Trong SM, cơ chế GIM cho tiên đoán đúng đắn pha trộn K 0 - K0 bởi

vì phần chủ yếu của sơ đồ tỷ lệ với V†V = 1 Trong MSSM, M2 là một ma trận tùy ý và

do đó V†M2V 1 Như vậy, để có được dự đoán của cơ chế GIM, ta phải có

.1

M m , tức là, khối lượng squarks phải gần như suy biến Cũng với lập luận tương

tự cho quá trình μ → eγ kết quả là khối lượng sleptons cũng gần như suy biến Điều này rõ ràng là khó chấp nhận

Hình 1: Sơ đồ phần đóng góp cho pha trộn K0 - K0 trong MSSM

Hạn chế thứ hai xuất phát từ thực tế là, SM đã chứa đựng hầu như tất cả các nguồn dẫn đến vi phạm CP Do đó không cần có thêm những nguồn vi phạm CP khác của MSSM Vì vậy, những tham số không nằm trong tương tác Yukawa dẫn đến vi phạm CP đều được giả định là thực Trong chương 3, ta sẽ chỉ ra sự đóng góp mới vào

vi phạm CP khi tham số là phức

Bây giờ chúng ta xem xét những giả thiết đối với tham số vi phạm mềm và cách thức làm giảm giảm số lượng của các tham số đó:

1 Thống nhất gaugino (các gaugino có khối lượng chung ở kích thước Planck)

2 Thống nhất khối lượng mềm (các vô hướng trong số hạng vi phạm mềm có khối lượng bằng nhau ở kích thước Planck)

3 Thống nhất hệ số liên kết mềm bậc ba Aijk (các hệ số của số hạng vi phạm mềm bậc ba là như nhau ở kích thước Planck)

4 Tất cả các tham số vi phạm mềm là thực nếu không muốn là tăng vi phạm đối xứng CP

Các giả thiết trên có thể làm giảm đáng kể số lượng các tham số độc lập tùy ý của lý thuyết Tuy nhiên cũng phải nhấn mạnh rằng đây chỉ là giả thiết, chúng không

có cơ sở vững chắc về nguồn gốc Căn cứ mạnh nhất có lợi cho các giả thiết này là nếu

có lý thuyết siêu hấp dẫn với thế Kähler siêu hấp dẫn tối thiểu, trong đó SUSY bị vi phạm ở “khu vực ẩn” và vi phạm này được truyền đến các “khu vực hiện” thông qua trung gian là trường hấp dẫn thì ta sẽ thu được những số hạng khối lượng độc lập với hương vị, những số hạng- thực ở thang Planck và những số hạng khối lượng gaugino thực