Bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc

Trong số các mô hình toán học được áp dụng có nhiều mô hình tối ưu được giải quyết thông qua các bài toán tối ưu kinh điển.Bài toán tối ưu được phát biểu như sau: Cho D ∈ Rn, D 6= ∅ với

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Nguyễn Trường Giang

BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN

CÓ RÀNG BUỘC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán - Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển

Hà Nội - 2014

BẢNG KÝ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa

DFP Davidon- Fletcher- Powell

QHPT Quy hoạch phi tuyến

Rn Không gian thực n chiều

∇f(x) Gradient của f tại x

∇2f(x) Hessian của f tại x

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản luận văn này tôi đã nhận được sự giúp đỡ to lớn của Thầy,

Cô giáo, gia đình và bạn bè xung quanh

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TSNguyễn Hữu Điển, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học khoa học tự nhiên,ĐHQG Hà Nội Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn đã ân cần động viên, giúp

đỡ chỉ bảo tận tình cho tôi

Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán- Cơ- Tin học, Phòngsau đại học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã dạy dỗ và giúp

đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn Đặc biệt làcác thầy cô trong Seminar của bộ môn Toán giải tích đã có những ý kiến đóng gópquý báu giúp cho bản luận văn hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình nơi đã sinh thành, nuôi nấng,giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian qua

Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Mọi ý kiến đóng góp tôi xin được đón nhận với lòng biết ơn và trântrọng sâu sắc

Hà Nội, ngày 29 tháng 10 năm 2014

Học Viên

Nguyễn Trường Giang

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 5

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 12

1.1 Một số khái niệm cơ sở 12

1.2 Điều kiện tối ưu 16

1.2.1 Điều kiện cấp 1 18

1.2.2 Điều kiện cấp 2 23

Chương 2 Phương pháp tuyến tính hóa 29

2.1 Tổng quan về quy hoạch phi tuyến 29

2.1.1 Giới thiệu chung về QHPT 29

2.1.2 Bài toán QHPT 30

2.1.3 Các vấn đề cần giải quyết khi giải bài toán QHPT 31

2.2 Tuyến tính hóa ràng buộc 33

2.2.1 Bài toán và hướng giải quyết 33

2.2.2 Thuật toán siêu phẳng cắt Kelley 34

2.2.3 Sự hội tụ của thuật toán 39

2.2.4 Ví dụ minh họa 39

2.2.5 Chương trình giải ví dụ thuật toán Kelley 43

2.3 Tuyến tính hóa mục tiêu 48

2.3.1 Bài toán và hướng giải quyết 48

2.3.2 Thuật toán Frank- Wolfe 48

2.3.3 Sự hội tụ của thuật toán 51

2.3.4 Ví dụ minh họa 52

2.3.5 Chương trình giải ví dụ thuật toán Frank- Wolfe 54

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

LỜI MỞ ĐẦU

Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học, có ảnh hưởngđến hầu hết các lĩnh vực khoa học- công nghệ và kinh tế- xã hội Trong thực tế, việctìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm vai trò rất quan trọng Phương

án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, thời gian, tài nguyên,nguồn nhân lực mà lại cho tiệu quả cao

Những năm gần đây nhiều bài toán thực tế được giải quyết bằng phương pháp

mô hình hóa toán học rất thành công Trong số các mô hình toán học được áp dụng

có nhiều mô hình tối ưu được giải quyết thông qua các bài toán tối ưu kinh điển.Bài toán tối ưu được phát biểu như sau:

Cho D ∈ Rn, D 6= ∅ với Rn là không gian vector và hàm f : D→ R tùy ý Tìm

giá trị cực tiểu của hàm f(x) khi x ∈ Dnghĩa là bài toán tìm vector w thuộc vàotập D sao cho với mọi giá trị của x thuộc D thì

• w∈ Dlà phương án tối ưu

• f(w)là giá trị tối ưu

Trong trường hợp hàm mục tiêu cũng như tất cả các ràng buộc đều tuyến tính,thì bài toán tối ưu là BTQHTT BTQHTT có thể được giải bằng một số phương pháptối ưu quen biết như phương pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên và

các phương pháp điểm trong BTQHTT đã và đang được sử dụng rộng rãi trongquy hoạch tài nguyên, quản lý sử dụng đất cũng như nhiều lĩnh vực của quản lýkinh tế và quản trị kinh doanh Trong trường hợp hoặc là hàm mục tiêu hoặc mộttrong số các ràng buộc là phi tuyến thì chúng ta có BTQHPT Cụ thể, trên thực tế

có nhiều vấn đề trong kinh tế và trong các hoạt động kinh doanh có những mốiliên hệ với nhau không phải tuyến tính mà là phi tuyến Sự tồn tại các mối quan hệkhông theo tỉ lệ như doanh số đạt được không theo tỷ lệ với giá bán (vì giá bán cóthể tăng và doanh số có thể giảm)

Khi tập ràng buộc D chính là Rn thì ta có bài toán QHPT không ràng buộc.Ngược lại, ta có bài toán QHPT có ràng buộc Luận văn này trình bày một phầnnhỏ lý thuyết tối ưu, đó là tìm hiểu bài toán QHPT có ràng buộc sau đây

f(x) → min với x ∈ D =x∈ Rn : gi(x) ≤0, i=1, m; hj(x) =0, j =1, p , (1)

trong đó f : D →R là hàm tùy ý.

Như chúng ta đã biết, có rất nhiều phương pháp giải các lớp bài toán tối ưu phituyến riêng biệt , nhưng chưa có phương pháp nào tỏ ra hữu hiệu cho mọi bài toántối ưu phi tuyến Do vậy, chúng ta sẽ lần lượt điểm qua một số phương pháp giảiBTQHPT có ràng buộc để làm rõ ưu nhược điểm của từng phương pháp cũng nhưchọn được phương pháp phù hợp cho từng bài toán thực tế

Đầu tiên, phương pháp hình học được coi là phương pháp đơn giản để tìmnghiệm tối ưu cho bài toán cực trị cỡ nhỏ với thuật toán như sau

Bước 1. Vẽ miền chấp nhận được D của bài toán (1) Nếu miền D rỗng thì kếtluận bài toán(1)vô nghiệm

Bước 2. Vẽ mặt mức f(x1, , xn) =α với α∈R.

Bước 3. Giảm dẫn mức α (tăng dẫn mức α) để xác định mặt mức thấp nhất hay

xác lập bài toán không giải được do hàm mục tiêu f giảm vô hạn trện D

Bước 4. Nếu bài toán giải được thì tìm một điểm thuộc D mà mặt mức thấp nhất

đi qua nó Điểm tìm được chính là nghiệm tối ưu của bài toán(1)và tính giátrị hàm mục tiều f tại điểm vừa tìm được ta có fmin

Nhóm phương pháp tiếp theo với ý tưởng đưa bài toán quy hoạch có ràng buộc

về bài toán quy hoạch không ràng buộc, bằng cách thay t hế hàm mục tiêu ban đầu

f(x) bởi hàm mục tiêu mở rộng F(x, r) chứa thông số r và có tính đến các ràngbuộc Giá trị của hàm mục tiêu mở rộng phải trùng với giá trị hàm mục tiêu banđầu và khi ra ngoài miền ràng buộc thì giá trị hàm mục tiêu mở rộng khác với giátrị hàm mục tiêu ban đầu Khi x → wdẫn đến F(w, r) → f(w) Với mỗi tập ràngbuộc khác nhau ta có hàm mục tiêu mở rộng F(x, r) được chọn khác nhau, do đó

ta cũng có các phương pháp khác nhau

Phương pháp nhân tử Lagrange. Phương pháp này thường được dùng để tìmcực trị của hàm với các ràng buộc đẳng thức và hàm mục tiêu mở rộng cũngđược xây dựng bởi hàm Lagrange như sau

Như vậy, ta có(n+m)phương trình để xác định(n+m)ẩn

Phương pháp này có ưu điểm là nó cho phép đưa bài toán cực trị có điềukiện về bài toán cực trị không điều kiện, nhờ đó có thể vận dụng được nhiềuphương pháp tìm cực trị khác nhau Trường hợp ràng buộc đẳng thức thìđưa về giải hệ phương trình tuyến tính đối với bài toán cỡ nhỏ thì phươngpháp này được dùng có hiệu quả Tuy nhiên, muốn nhận biết nghiệm dừng

là max hay min ta phải tiếp tục xét đạo hàm cấp hai của L, do đó phức tạp

Phương pháp Carroll. Hàm mục tiêu f(x) → min(max), các ràng buộc gi(x) ≥0; i=1, 2, , m Hàm mục tiêu mở rộng được xây dựng ở đây

• dấu ”+” khi tìm min f(x)

• dấu ”−” khi tìm max f(x)

r0 = −∇f(x0)Tp(x0)

[∇p(x0)]2 Khi x0ở gần biên của ràng buộc

r0 =

s

∇f(x0)H−1∇f(x0)

∇p(x0)H− 1∇p(x0),trong đó H là ma trận Hessian

Phương pháp Pietrzykoski. Hàm mục tiêu f(x) → min(max)với ràng buộc

• gi(x) ≥0 với i =1.n,

• Tìm cực tiểu của f(x)với x ∈ Rn.

φ(0) =2(m+1),trong đó

– dlà kích thước của đơn hình ban đầu

– xk(k) là điểm thứ i của đơn hình trongRn

– r=n−mlà số bậc tự do của f(x)

– xc(k) là trọng tâm của đơn hình

Rõ ràng ta luôn có φ(0) ≥ φ(1) ≥ ≥ φ(k) ≥0 khi dần đến điểm cực tiểu thì kích

thước đơn hình dần đến 0 và khi đó φ(k) →0 tổ hợp ràng buộc là

Trong đó ui =0 khi gi(x) ≤ 0, ngược lại ui =1 Khi quá trình tìm kiếm gần điểm

• ∀a ∈ Dthì hàm tuyến tính x∇f(a)bị chặn dưới trong miền D

Để giải bài toán(3)vào năm 1956 Marguerite Frank và Philip Wolfe đã đề xuấtphương pháp tuyến tính hóa hàm mục tiêu có tên là phương pháp Frank- Wolfe

Trên đây là một số phương pháp giải bài toán QHPT có ràng buộc, để vận dụngkiến thuc của QHTT đã được học ở chương trình đại học nên luận văn chọn haiphương pháp Frank- Wolfe và Kelley để tìm hiểu sâu hơn Nội dung chính của bảnluận văn bao gồm các vấn đề sau đây:

• Tổng quan về các phương pháp giải bài toán QHPT

• Tóm tắt kiến thức liên quan

• Trình bày cụ thể hai phương pháp Ví dụ và chạy kết quả bằng Maple

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làmkhóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảmơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2014

Học viên

Nguyễn Trường Giang

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm cơ sở

Định nghĩa 1.1 [Tập lồi][9]Tập D ⊂Rnđược gọi là tập lồi nếu nó chứa trọn đoạn

thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó Hay nói cách khác D lồi nếu(1−λ)a+λb∈ Dvới mọi a, b∈ D, 0≤λ≤1

Định nghĩa 1.2 [Tổ hợp lồi][9]Cho x1, , xmlà các vector trong không gian vector

• Tổng đại số hữu hạn tập lồi là tập lồi.

• Giao của họ các tập lồi là tập lồi.

• Tích đề các của các tập lồi là tập lồi.

• Ảnh và nghịch ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính cũng là lồi.

• D =



x

Định nghĩa 1.3 [9]Điểm w được gọi là điểm cực biên của tập lồi D nếu không tồn

tại hai điểm khác nhau x1, x2 ∈ Dsao cho w = 1

Định nghĩa 1.4 [Bao lồi][9]Cho D là một tập hợp, bao lồi của D là giao của mọi tập lồi chưa D hay nói cách khác bao lồi của D là tập lồi nhỏ nhất chưa D Bao lồi

của D ký hiệu là co(D), hoặc conv(D)

Định nghĩa 1.5 [Hàm lồi][9]Hàm f(x)xác định trên tập lồi D được gọi là hàm lồinếu

∀x, y ∈ D,∀λ∈ [0, 1] : f (λx+ (1−λ)y) ≤λ f (x) + (1−λ) f (y),

nếu bất đẳng thức trên là thực sự thì với∀λ∈ [0, 1]thì hàm f được gọi là lồi chặt.Hàm lồi có rất nhiều tính chất giải tích quan trọng, ta quan tâm đến các tínhchất tối ưu hóa sau

• Cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục

• Tập mức dưới L(α, f) ={x∈ D : f(x) ≤a}là hàm lồi

• Điểm dừng là điểm cực tiểu toàn cục

• Nếu D là tập compact thì hạm đạt cực đại ít nhất một lần ở điểm cực biên

Ví dụ 1.1 (Kiểm tra hàm lồi) Kiểm tra hàm f : D ≡→, x7→ f (x) = x2là hàm lồi?Thật vậy, dễ thấy D là tập lồi ∀x, y ∈ D,∀λ ∈ [0, 1] thì f (λx+ (1−λ)y) ≤

có thể được viết lại

Định nghĩa 1.7 [Hàm hai lần khả vi][10].Giả sử hàm f xác định tại lân cận 0(x, ε)

của điểm x Ta nói hàm f hai lần khả vi tại điểm x nếu cùng với vector f0(x), tồntại ma trận đối xứng f00(x) ∈ Rn sao cho số gia của hàm số tại điểm x có thể viếtdưới dạng

∆ f(x) = f(x+∆x) − f(x) = 0(x),∆x+hf00(x),∆xi

2 +o(x,∆x),khi đó f00(x)được gọi là ma trận đạo hàm cấp hai hay Hessian của hàm f tại x

Định nghĩa 1.8 [Hàm khả vi liên tục][10].Giả sử hàm f đối xứng trên tập mở X,

ta nói hàm f là khả vi liên tục trên tập X nếu f là khả vi tại mọi điểm x∈ Xvà

f0(x+∆x) − f0(x) →0 khi k∆xk →0 với∀x, x+∆x∈ X

Định nghĩa 1.9 [Hàm hai lần khả vi liên tục][10].Giả sử hàm f xác định trên tập

mở X Ta nói hàm f là hai lần khả vi liên tục trân tập X nếu f là hai lần khả vi tạimọi điểm x ∈ Xvà

f00(x+∆x) − f0(x) →0 khi k∆xk →0 với∀x, x+∆x∈ X

Định nghĩa 1.10 [Ma trận xác định dương][10]Cho ma trận A ∈Rn × n Khi đó

• A được gọi là nửa xác định dương nếu xtAx≥0 với mọi vector x∈ Rn

• A được gọi là xác định dương nếu xtAx >0 với mọi vector x ∈ Rn

• A được gọi là nửa xác định âm nếu xtAx≤0 với mọi vector x ∈Rn.

• A được gọi là xác định âm nếu xtAx<0 với mọi vector x ∈Rn

Ví dụ 1.2. Kiểm tra tính xác định dương của ma trận

Như vậy ma trận đã cho nửa xác định âm

Ngoài ra ta còn có tiêu chuẩn Silvestra để kiểm tra tính xác định dương của matrận như sau: Ma trận A ∈Rn × n là xác định dương hay xác định âm khi và chỉ khitất cả các định thức con của ma trận đó tương ứng là dương hay âm

Định nghĩa 1.11 [Nghiệm cực tiểu địa phương][10] Cho tập D là một tập con

không thực sự của không gian vectorRn khi đó, điểm w ∈ D được gọi là nghiệm

cực tiểu địa phương của f trên D nếu có ε > 0 sao cho f(w) ≤ f(x) với x ∈ Dvà

kx−wk < ε

Nếu f(w) < f(x)với ∀x ∈ D, x 6= wvàkx−wk < ε thì w được gọi là nghiệm

cực tiểu địa phương chặtcủa f trên D

Định nghĩa 1.12 [Nghiệm cực tiểu toàn cục][10] Không gian vector Rncó tập con

không thực sự D Ký hiệu điểm w thuộc D được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục của

hàm f trên D nếu f(w) ≤ f(x)với∀x ∈ D Còn nếu f(w) < f(x)với mọi x thuộc

Dsao cho x 6=wthì w được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt của f trên D.

Định lý 1.1 (Định lý Weirstrass [Về sự tồn tại nghiệm tối ưu] )[10] Nếu hàm f liên

tục, tập D compact và khác rỗng thì bài toán có nghiệm tối ưu.

Định nghĩa 1.13 [Tập compact] [8] Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu mỗi

phủ mở của A ta luôn lấy ra được một phủ con hữu hạn

(Tiêu chuẩn compact trên Rn)Trong không gianRn, một tập A là tập compact khi

f(n)(a)(x−a)nn! +Rn(x).

Công thức số gia hữu hạn.Giả sử hàm f khả vi liên tục trên một tập mở S và x làmột vector nào đó trong S Khi đó với∀vector y thỏa mãn x+y∈ Sluôn tìm được

1.2 Điều kiện tối ưu

Như chúng ta đã biết thì đối với một bài toán qui hoạch nói chung và bài toánqui hoạch phi tuyến có ràng buộc hiển nói riêng thì việc xét điều kiện để tìm xembài toán đó có nghiệm hay không được coi là việc đầu tiên trong quá trình giảiquyết bài toán đó Vì thế, việc tìm hiểu về những điều kiện để có nghiệm tối ưucho bài toán QHPT có ràng buộc là rất quan trọng Ta xét bài toán sau

Cho không gian vectorRn cho f : D→ R là một hàm tùy ý xét bài toán tối ưu

ràng buộc hiển sau đây

Định nghĩa 1.14 [Hướng chấp nhận được][9] Trong không gian vector Rn chotập con không thực sự D và một điểm w0 ∈ D Một vector d ∈ Rn, d 6= 0 được

gọi là hướng chấp nhận được của D tại điểm w0 nếu có một số t0 dương sao cho

cùng với vector 0 gọi là nón tiếp xúc (mũi tại 0) của D tại w0, ký hiệu là TD(w0)

Định nghĩa 1.17 [Nón chấp nhận được tuyến tính hóa][9] Cho tập D là tập con

không thực sự trong không gian vectorRn Lấy một điểm w0∈ D Giả sử rằng cáchàm gi(i =1, m), hj(j =1, p)khả vi Ký hiệu S(w0)là tập tất cả các vector d ∈ Rnnghiệm đúng hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính

(1.2)

Khi đó, ký hiệu S(w0)gọi là nón chấp nhận được tuyến tính hóa.

Bổ đề 1.1 Cho tập D là tập con không thực sự trong không gian vector Rn.Lấy điểm

w0 ∈ D Nếu mọi hàm gi và hjkhả vi tại x0và S(w0)là nón chấp nhận được tuyến tính hóa thì

FD(w0) ⊆ TD(w0) ⊆S(w0)

Chứng minh. Lấy bất kỳ d∈ TD(w0) Nếu d =0 rõ ràng d ∈ S(w0) Giả sử d 6= 0.Theo định nghĩa (1.2.2) ta có dãy wk

Hệ quả 1.1 Trong không gian vector Rn lấy tập D ⊆ Rn Giả sử điểm w ∈ D và

f(x), gi(x)với i = 1, m và hj(x)với j= 1, p, khả vi tại w Nếu∇f(x∗)d >0 với∀0 6=

d ∈S(w)thì w là cực tiểu địa phương chặt của bài toán(1.1).

Ta xét các điều kiện tối ưu sau đây

1.2.1 Điều kiện cấp 1

Trước khi đi vào nội dung của điều kiện cấp 1, ta sẽ đưa ra các định nghĩa và

tính chất liên quan tối điểm có cách gọi là điểm chính qui.

Định nghĩa 1.18 [Điểm chính qui][10] Một điểm w0 ∈ D với D là một tập conkhông thực sự trong không gian vectorRn là điểm chính qui nếu TD(w0) =S(w0)

Do vậy, điểm w0 thuộc D là điểm chính qui nếu thỏa mãn một trong điều kiện

phát biểu sau

• Các hàm ràng buộc gi(x), i∈ I(x0)và hj(x), j =1, p là hàm afin

• Các vector∇gi(x0), i∈ I(x0), hj(x0), j=1, p là độc lập tuyến tính.

• hj(j = 1, p) là hàm afin và gi(i = 1, m) là hàm lồi và tồn tại điểm v thuộc Dsao cho gi(v) < 0 với mọi i mà gikhông phải là hàm afin

Bổ đề 1.2 (Bổ đề Farkas) [10] Trong không gian vectorRn cho trước vector p và A là

ma trận cấp m×n Muốn cho py ≥0 với mọi y nghiệm đúng Ay ≥ 0 khi và chỉ khi tồn

tại vector v ∈ Rm sao cho v ≥ 0 và p = ATv (p biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến

tính không âm các vector hàng của A).

Điều 1 r(z−q) ≥ 0 Vì nếu ngược lại thì trên đoạn nối liền z với q sẽ tìmđược một điểm nằm gần p hơn q và do điểm này thuộc G nên điều nàytrái với q là hình chiếu của p (q là điểm thuộc G gần p nhất)

Điều 2 r(z−q) =0, vì nếu ngược lại thì trên đường thẳng nối q với gôc tọa

độ tìm được một điểm nằm gần p hơn q và do điểm này thuộc G nênđiều này trái với giả thiết q là hình chiếu của p (q là điểm thuộc G gần pnhất)

Từ hai điều trên ta suy ra rz ≥0 với mọi z ∈ G Ký hiệu li là vector cột thứ icủa ma trận AT thì li ∈ G, li = ATeivới eilà vector đơn vị thứ i trongRm Từ

rli ≥0 với mọi i =1, m nghĩa là Ar ≥0 Mà ta lại có

pr = (q−r)r =qr−r2 <0(do qr =0 và r 6=0)

Suy ra r là vector cần tìm

Sau đây là nội dung chính của điều kiện cấp 1 gồm hai điều kiện cần và đủ

Ta sẽ xét ngaybaay giờ là điều kiện cần cấp 1 hay thường gọi là điều kiện Kuhn- Tucker

Karush-Định lý 1.2 (Karush-Định lý Karush- Kuhn- Tucker)[10] Cho G là một tập mở chứa tập D

sao cho

D =x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, i=1, m; hj(x) =0, j =1, p

Ta giả sử hàm f , gi, hj(i = 1, m, j = 1, p) khả vi trên G, điểm w ∈ D là một điểm

cực tiểu địa phương của bài toán (1.1) và w là điểm chính qui Khi đó, tồn tại vector

d ∈ TD(w) Lại do w là điểm chính qui(tức là TD(w) = S(w))nên bất đẳng thứcnày đúng với mọi d ∈ S(w), nghĩa là với mọi d ∈ Rn là nghiệm đúng hệ phươngtrình(1.2)với w thay cho w0

Áp dụng bổ đề Farkas cho ma trận A và ma trận chuyển vị AT có các cột là

−∇gi(w), i∈ I(w),−∇hj(w),−∇hj(w), j=1, m,

ta tìm được các số thực λ∗i ≥0(i ∈ I(w)), αj ≥0, β ≥0(j=1, p)sao cho

2 Trường hợp D có thêm ràng buộc xk ≥0 với k∈ K ⊂ {1, 2, , n}, tức là

D =x ∈ Rn : gi(x) ≤0, i=1, 2, , m; hj(x) = 0, j =1, 2, , p; xk ≥0, k∈ K ,

thì điều kiện dừng của(KKT)được đổi thành một trong ba điều kiện sau

∂ f(x∗)

∂xk+

"

∂ f(x∗)

∂xk+

còn hai điều kiện đủ và chấp nhận được là không thay đổi

Tiếp sau điều kiện cần cấp 1 đó là điều kiện đủ hay còn được goị là điều kiện

đủ cho bài toán qui hoạch lồi

Định lý 1.3 (Điều kiện đủ cấp 1) [10]Trong không gian vector Rn cho một tập mở chứa D Giả sử f , gi, i =1, m là các hàm lồi, khả vi liên tục trên D và hj, j =1, p là các

hàm afin Ta xét bài toán qui hoạch lồi

phải là nghiệm cực tiểu thì có x ∈ Dsao cho f(x) < f(w) Đặt d = x−w 6=0 Từgiả thiêt hàm f lồi nên ta có

∇f(w)d= ∇f(w)x−w≤ f(x) − f(w) <0

Cũng từ giả thiết có gi lồi nên

Với điều kiện cấp 1, ta thấy rằng vẫn có những bài toán với điều kiện sau đây

sẽ làm ta không xét được tính chất của điểm w có hay không là điểm cực tiểu của

bài toán Cụ thể ta xét bài toán(1.1)với hai điều kiện sau

Cho D là tập con không thực sự trong không gian vectorRn được định nghĩanhư sau

D =x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, hj(x) =0, i=1, m, j =1, p Cho một điểm y thuộc tập D và điểm w được gọi là cực tiểu địa phương chặt củabài toán nếu

∇f(w)d >0 với mọi d khác không và thuộc TD(w) (*)

Giả sử w là một điểm thỏa mãn điều kiện Karush- Kuhn- Tucker của bài toán(1.1) (tức là x∗ thỏa mãn (KKT)) và λ∗ và µ∗ là vector nhân tử Lagrange tươngứng Ký hiệu P(w)là tập xác định theo điều kiên(1.2) Ta xây dụng tập con P0(x∗)của P(w)như sau

Từ điều kiện(KKT)suy ra

Khi đó, với mọi d ∈ P0(w)sao cho có dãy dkvà tk >0 với(k=1, 2, )thỏa mãn đẳng thức sau

Do w là nghiệm cực tiểu địa phương nên với k đủ lớn ta có

thì w là cực tiểu địa phương chặt của(1.1).

Từ hai bất đẳng thức trên ta thấy rằng

từ đó ta suy ra được w là cực tiểu địa phương chặt của(1.1).

d∇xx2L(w, λ∗, µ∗)d>0,∀06= d∈ P0(w)

Thật vậy, nếu điều kiên đầu tiên đúng đúng với mọi d6=0 thỏa mãn hai điều kiênsau và ∇gi(x∗)d ≤ 0, i ∈ I(w), λi∗ = 0, tức là với mọi d ∈ P0(w) Vậy ta có điềukiện hai và hệ quả được suy ra từ Định lý Karush- Kuhn- Tucker

Định lý 1.6 [10] Giả sử f(x)là hàm lồi khả vi liên tục, xác định trên tập lồi D và giả sử

w ∈ D Khi đó, f(w) ≤ f(x)với mọi d ∈ D (nghĩa là w là điểm cực tiểu của f(x) trên

D) khi và chỉ khi∇f(w), x−w ≥0 với mọi x ∈ D.

a Điều kiện cần. Giả sử f(w) ≤ f(x) với x ∈ D Nếu w là điểm trong của D thì

∇f(x0) do đó∇f(w), x−w = 0 Còn nếu w là một điểm biên của D thì vớimọi x∈ D, d=x−wlà hướng chấp nhận được của D tại w thỏa mãn

Chương 2

Phương pháp tuyến tính hóa

2.1 Tổng quan về quy hoạch phi tuyến

2.1.1 Giới thiệu chung về QHPT

Bài toán QHPT sẽ nói dưới đây không phải là bài toán QHPT tổng quát, mà tachỉ xét lớp bài toán QHPT có hàm mục tiêu là hàm khả vi liên tục (tới bậc tùy ý)trên tập mở bao tập phương án D Bản thân tập phương án cũng được xác địnhbởi các hàm số trong các ràng buộc là các hàm khả vi liên tục n biến Cụ thể ta cóbài toán sau

f(x)khả vi liên tục trên tập mở bao tập phương án D

Tuy bài toán QHPT đã được giới hạn như trên nhưng tính phi tuyến của bàitoán luôn tạo ra nhưng phức tạp đáng kể khi tiệm cận với nó Với bài toán QHPTngười ta sử dụng phương pháp tiệm cận giống như bài toán có ràng buộc cổ điển

trong giải tích- tức là tìm bài toán cực trị có ràng buộc về bài toán cực trị tự do rồitìm cách đưa về điều kiện Kunh- Tucker Với một nhóm điều kiện đủ mạnh thì điềukiện Kunh- Tucker có thể trở thành điều kiện cần và đủ đối với lời giải của(2.1).

Phương pháp tuyến tính hóa

2.1 Tổng quan quy hoạch phi tuyến< /b>

2.1.1 Giới thiệu chung QHPT

Bài tốn QHPT nói khơng phải toán QHPT tổng... nghiệm tối ưucho tốn QHPT có ràng buộc quan trọng Ta xét tốn sau

Cho khơng gian vectorRn cho f : D→ R hàm tùy ý xét toán tối ưu

ràng buộc hiển sau