Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường Hình học động được nghiên cứu nhằm Hỗ trợ khả năng hình thành giả thiết cho học sinh; thiết kế các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động nhằm hỗ trợ học sinh thao tác lên đối tượng để quan sát các bất biến toán học, từ đó kiến tạo kiến thức toán; phân tích quá trình hình thành giả thiết của học sinh khi tiến hành khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động và các khó khăn mà học sinh gặp phải khi khảo sát các bài toán này.
Trang 1i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HUỲNH THỊ ÁI HẰNG
KHẢO SÁT CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG MÔI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Huế, năm 2015
Trang 2ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác
Tác giả luận văn
Huỳnh Thị Ái Hằng
Trang 3iii
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo và giúp
đỡ tôi hoàn thành luận văn này
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy
cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, giáo viên chủ nhiệm cùng tập thể học sinh lớp 9/1, trường THCS Nguyễn Văn Linh, thành phố Huế đã tạo điều kiện cho tôi thực nghiệm sư phạm
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý
Chân thành cám ơn!
Huế, tháng 5 năm 2015 Huỳnh Thị Ái Hằng
Trang 41
MỤC LỤC
Trang
TRANG PHỤ BÌA i
LỜI CAM ĐOAN ii
LỜI CẢM ƠN iii
MỤC LỤC 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4
DANH MỤC CÁC HÌNH 5
Chương 1 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 6
1.1 Giới thiệu 6
1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu 6
1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 9
1.2 Mục tiêu nghiên cứu 9
1.3 Câu hỏi nghiên cứu 9
1.4 Các thuật ngữ dùng trong luận văn 10
1.5 Ý nghĩa nghiên cứu 11
1.6 Cấu trúc luận văn 11
Tóm tắt chương 1 12
Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 13
2.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 13
2.1.1 Nguồn gốc và cơ sở lý thuyết của các bài toán quỹ tích có điều kiện 13
2.1.2 Bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động 14
2.2 Khung lý thuyết 16
2.2.1 Lý thuyết kiến tạo 16
2.2.2 Sự hình thành phỏng đoán trong Môi trường Hình học động 19
Trang 52
2.2.2.1 Làm việc trong một Hệ thống Hình học động 19
2.2.2.2 Kéo rê trong DGS 20
2.2.2.3 Phương thức Kéo rê 21
2.2.2.4 Bất biến trong môi trường Hình học động 25
2.2.2.5 Lý luận thông qua ngoại suy 28
2.2.3 Nhận thức bất biến trong Môi trường Hình học động 29
2.2.3.1 Phương thức kéo rê theo mô tả của Hölzl 29
2.2.3.2 Phương thức kéo rê theo mô tả của Marton 31
2.2.3.3 Nhận thức thông qua Chương trình Kéo rê Duy trì 34
Tóm tắt chương 2 41
Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 42
3.1 Thiết kế nghiên cứu 42
3.2 Đối tượng tham gia 43
3.3 Chủ đề của các bài toán khảo sát 43
3.4 Công cụ nghiên cứu 44
3.4.1 Phiếu học tập số 1 44
3.4.2 Phiếu học tập số 2 46
3.4.3 Bảng hỏi (Xem phụ lục) 48
3.5 Quá trình thu thập và phân tích dữ liệu 48
3.5.1 Thu thập dữ liệu 48
3.5.2 Phân tích dữ liệu 49
3.6 Hạn chế 49
Tóm tắt chương 3 50
Chương 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 51
4.1 Kết quả từ phiếu học tập 51
Trang 63
4.1.1 Phiếu học tập số 1 51
4.1.2 Phiếu học tập số 2 55
4.2 Kết quả thu được từ bảng hỏi 60
Tóm tắt chương 4 66
Chương 5 KẾT LUẬN 67
5.1 Kết luận 67
5.1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 67
5.1.2 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 68
5.1.3 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 69
5.2 Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 70
Tóm tắt chương 5 71
KẾT LUẬN 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO 73
PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1: Các phiếu học tập P1
PHỤ LỤC 2: Bảng hỏi P5
PHỤ LỤC 3: Các bài làm của học sinh P10
Trang 74
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS SGK THCS GSP DGS
DGE
nnk
Học sinh Sách giáo khoa Trung học cơ sở
Trang 85
DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 2.1 Kéo rê duy trì điểm A để ABDC là hình chữ nhật 15
Hình 2.2 Kéo rê duy trì điểm C để B nằm trên đường tròn (C; CA) .16
Hình 2.3 Vết của C khi kéo rê C để B nằm trên đường tròn (C; CA) 16
Hình 2.4 Tứ giác ABCD được dựng theo giả thiết 23
Hình 2.5 ABCD trông “giống như” là một hình chữ nhật 23
Hình 2.6 Kéo rê duy trì điểm M để ABCD vẫn là hình chữ nhật 23
Hình 2.7 Dấu vết điểm M trông “giống như” một đường tròn 24
Hình 2.8.Kéo rê thử nghiệm M trên đường tròn đường kính AK 24
Hình 2.9 Tam giác ABC được dựng theo giả thiết 27
Hình 2.10 Tứ giác ABDC được dựng theo giả thiết 30
Hình 2.11 Kéo rê điểm B để r và s trùng nhau 31
Hình 2.12 Một quá trình nhận thức cho thăm dò (E) 33
Hình 4.1 Dấu vết kéo rê điểm B sao cho r và s trùng nhau 50
Hình 4.2 Dấu vết của B “giống như” một đường tròn 51
Hình 4.3 Quỹ tích điểm B là đường tròn (O; OA) 51
Hình 4.4 Học sinh kéo rê điểm A để dự đoán hình dạng của ABDC 54
Hình 4.5 Dấu vết điểm A khi học sinh kéo rê duy trì ABDC là hình chữ nhật 56
Hình 4.6 Dấu vết điểm A “giống như” là một đường tròn 56
Trang 9
6
Chương 1 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Giới thiệu
1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu
Trong những thập kỉ gần đây, việc cho học sinh tương tác trực tiếp trên Môi trường Hình học động (DGE) nhằm kiến tạo tri thức đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm Sự hỗ trợ của các phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP), Cabri,… đã thay đổi tình huống có thể xảy ra, dựa trên những kinh nghiệm của học sinh khi giải quyết các bài toán hình học ở trường Việc chuyển đổi từ môi trường
đồ họa truyền thống dựa trên giấy – bút đến môi trường đồ họa “ảo” dựa trên các số liệu trên màn hình, thực hiện bởi công cụ đồ họa và biến đổi bởi tác động thông qua
rê chuột, có tiềm năng ảnh hưởng sâu sắc đến cách học sinh nhận thức và lý luận trong hình học Từ những lợi ích mà môi trường hình học động mang lại, nhiều nhà giáo dục toán đã chú ý đến việc đưa các bài toán quỹ tích vào môi trường hình học động, từ đó tạo ra các bài toán quỹ tích có điều kiện – một loại bài toán được thiết
kế trên DGE giúp học sinh khám phá, giải quyết các bài toán khảo sát một cách trực quan và sâu sắc hơn
Thông qua việc nghiên cứu các mô hình kéo rê duy trì, các bài toán quỹ tích
có điều kiện được khai thác bởi nhiều nhà giáo dục toán như Arzarello, Anna Baccaglini – Frank, Mariotti, Allen Leung… Theo Allen Leung, môi trường hình học động làm phát sinh một hiện tượng, nơi các đối tượng hình học chuyển động và thay đổi cùng với các phản hồi trực quan và cảm giác vận động, dẫn đến việc học sinh có thể nhận thức các đặc tính hình học của hình vẽ DGE được các nhà nghiên cứu mô hình hóa sau hệ thống lý thuyết như Euclid, và tính “động” là đặc điểm đặc trưng của nó, đưa ra một góc nhìn mới cho hình học và giáo dục hình học (Laborde, 2000; Strässer, 2001) Đặc biệt, các phương thức kéo rê trong DGE đã được nghiên cứu trong môi trường sư phạm và dần dần hiểu như là một công cụ sư phạm có lợi cho lập luận toán học, đặc biệt là trong quá trình hình thành giả thuyết trong hình học (Arzarello và nnk., 2002; Baccaglini – Frank, 2010; Baccagalini – Frank và Mariotti, 2010)
Trang 107
Hệ thống hình học động (DGS) cho máy vi tính và máy tính, chẳng hạn như GSP và Cabri, đã từng là cốt lõi của một số nghiên cứu, và chúng đã khẳng định được khả năng ảnh hưởng đến việc dạy và học của hình học (Healy và Hoyles, 2001; Hölzl, 2001; Laborde, 2000; Mariotti, 2000; Strässer, 2001) Kể từ khi các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu, sự xuất hiện của chúng đã nêu bật những tiềm năng được cung cấp bởi DGS trong việc hỗ trợ giải toán của học sinh về các vấn đề hình học Việc sử dụng một DGS, như GSP, trong việc tạo ra phỏng đoán được dựa trên việc giải thích các thao tác điều khiển kéo rê một cách logic, liên quan đến việc chuyển đổi tri giác của học sinh vào một bài toán có điều kiện Trong quá trình suy đoán, cách thức chuyển đổi và quan sát hình ảnh trên màn hình được học sinh tiến hành với mục đích tìm kiếm một mối quan hệ giữa các tính chất hình học, một mối quan
hệ có thể được xây dựng trong việc đưa ra một phỏng đoán Bất kỳ phương thức kéo rê nào cũng có thể được coi như là một thao tác cụ thể được sử dụng để giải quyết một bài toán kết thúc mở, những ý nghĩa xuất phát từ việc sử dụng này có thể được gọi là ý nghĩa toán học phỏng đoán, có nghĩa là, trong một bài toán có sử dụng các phương thức kéo rê luôn thể hiện sự phụ thuộc logic giữa các giả thuyết và kết luận
Song song với sự phát triển của DGE, khảo sát các vấn đề toán học cũng là một chiến lược quan trọng đối với sự phát triển tư duy cũng như hiểu biết của học sinh về toán học, chúng đã thu hút sự chú ý của các nhà giáo dục và các nhà nghiên cứu toán học Khảo sát toán cung cấp cho học sinh kinh nghiệm và giúp các em trải nghiệm được thế giới toán học, từ đó, các em có động lực và tự tin khi làm toán Mục đích của giáo dục là trang bị cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề, không chỉ trong toán học mà còn trong các lĩnh vực khác của khoa học và đời sống Các hoạt động khảo sát các bài toán kết thúc mở trong chương trình có thể thúc đẩy suy nghĩ linh hoạt và đa dạng hơn, nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh, mở rộng nhận thức của học sinh về toán, làm giàu và củng cố các khái niệm cơ bản Đặc biệt, khi học sinh tiến hành khảo sát toán, các em có thể lắng nghe vấn đề của người khác, từ đó các em có thể làm sáng tỏ và sàng lọc ý tưởng cho mình, thúc đẩy khả năng của mình để đi từ giải pháp của các vấn đề cụ thể đến việc tạo ra các
Trang 118
phương án giải quyết vấn đề tổng quát Từ đó, các em được khuyến khích phát triển khả năng của mình cũng như nâng cao các kĩ năng giải quyết vấn đề Điều quan trọng là học sinh có thể tự mình khảo sát, khám phá và hình thành tri thức cho mình thông qua các bài toán này, từ đó kích thích tính chủ động và sáng tạo và hứng thú cho học sinh khi tìm ra đáp án
Có nhiều cách khác nhau để giúp học sinh tiếp cận với những kiến thức mới Với những tương tác giữa học sinh và những bài toán quỹ tích có điều kiện trên mô hình hình học động, học sinh có thể phát hiện, khám phá những kiến thức mới cho chính mình Không những vậy, dựa trên những công cụ và tính năng có sẵn của các phần mềm hình học động, học sinh có thể tìm ra được quy luật cho các đối tượng này, từ đó có thể khám phá tri thức toán cho bản thân Ý nghĩa sư phạm của các bài toán kết thúc mở có thể được tìm thấy, chẳng hạn, trong tiềm thức của học sinh để thúc đẩy quá trình chứng minh, bằng cách tạo ra sự tò mò trong giải toán và đưa ra một ý thức rõ ràng cho quá trình tranh luận của các em Đặc biệt, việc thăm dò những tình huống bài toán khảo sát có thể thúc đẩy việc đưa ra các bài toán quỹ tích
có điều kiện, và xây dựng các mối quan hệ vững chắc với việc chứng minh giữa các quá trình này (Mariotti và nnk., 1997) Việc xây dựng tri thức của một bài toán quỹ tích có điều kiện là một vấn đề quan tâm lớn đối với các mục đích sư phạm trong việc xây dựng ý nghĩa của “một định lý toán học”, đó là một hệ thống bao gồm một phát biểu, một chứng minh và tham chiếu với lý thuyết (Mariotti, 2000, tr 29)
Ở cấp THCS, các em học sinh đã bước đầu làm quen với các bài toán quỹ tích Có thể nói rằng, các bài toán quỹ tích rất thuận lợi để rèn luyện trí tuệ cho học sinh như phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, nhìn nhận vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau Tuy nhiên, phải thấy rằng, học sinh rất khó khăn trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp Đồng thời, đối với các thầy, cô giáo dạy toán, việc truyền đạt, hướng dẫn, diễn giải giúp học sinh hiểu được một cách rõ ràng các bài toán quỹ tích chỉ trên môi trường giấy và bút cũng không phải đơn giản Xuất phát từ vấn đề trên, việc thiết kế những bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động sẽ có thể giúp thầy và trò dễ dàng trao đổi thông tin, kiến thức cho nhau một cách thuận lợi hơn Những bài toán được thiết kế
Trang 129
trên mô hình thao tác động có thể hỗ trợ học sinh học sinh phát triển tốt nhiều kỹ năng Tuy nhiên, việc ứng dụng các mô hình thao tác động vào dạy học quỹ tích có điều kiện cần có những nghiên cứu xác đáng Từ đó việc xây dựng và ứng dụng các bài toán quỹ tích có điều kiện với mục đích để học sinh khảo sát, nhằm hỗ trợ khả năng khám phá kiến thức mới trở nên cần thiết
1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu
Như đã nói ở trên, các bài toán quỹ tích có điều kiện trên mô hình toán thao tác động đã chứng tỏ vai trò của mình trong việc hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức mới Đồng thời, xuất phát từ thực tế việc dạy học một chiều ở các trường trung học ở nước ta, áp đặt kiến thức cho học sinh, đôi khi các em không cần hiểu được bản chất mà chỉ cần thực hiện theo đúng quy trình, quy tắc để giải các bài tập Do
đó, chúng ta cần một phương pháp tiếp cận mới có thể phát huy được tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong quá trình khảo sát toán Vấn đề là những bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động được học sinh khảo sát như thế nào, chúng nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh đến đâu
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: “Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động”
1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu là:
Hỗ trợ khả năng hình thành giả thiết cho học sinh
Thiết kế các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động nhằm hỗ trợ học sinh thao tác lên đối tượng để quan sát các bất biến toán học,
từ đó kiến tạo kiến thức toán
Phân tích quá trình hình thành giả thiết của học sinh khi tiến hành khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động và các khó khăn mà học sinh gặp phải khi khảo sát các bài toán này
1.3 Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nghiên cứu này nhằm trả lời những câu hỏi sau:
Trang 1310
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Mô hình hình học động hỗ trợ việc khảo
sát bài toán quỹ tích có điều kiện để xây dựng kiến thức mới như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Xây dựng các bài toán quỹ tích có điều
kiện trong môi trường hình học động như thế nào để có thể hỗ trợ hiệu quả học sinh nâng cao khả năng khám phá kiến thức toán mới?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Học sinh thể hiện việc giải các bài toán
quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động như thế nào sau chuỗi bài thực nghiệm?
1.4 Các thuật ngữ dùng trong luận văn
Khảo sát toán: Khảo sát toán là một tình huống hoặc vấn đề có kết thúc mở
mà bản thân nó có khả năng bao gồm nhiều hướng đi toán học có thể được khám phá, dẫn đến các lời giải hay các ý tưởng toán học khác nhau (Baley, 2007)
Hình học động: Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới
liên quan đến các phần mềm như Sketchpad và Cabri Các phần mềm này thực thi với công cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử (Minh Phúc, 2010)
Kéo rê duy trì: Kéo rê một điểm đến những vị trí nào đó để hình vẽ vẫn duy
trì tính chất vừa được khám phá (Arzarello, 2002)
Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các chủ
thể và khách thể Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin, kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa giáo viên – học sinh, học sinh – học sinh
Trực quan hóa: Trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự
sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ
đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003)
Biểu diễn trực quan: Biểu diễn trực quan được xem là công cụ để trực quan
hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng
Biểu diễn trực quan động: Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu
diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong
Trang 1411
biểu diễn Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động GSP, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán (Minh Phúc, 2010)
Hình vẽ: đề cập đến những gì thực sự được vẽ và nhìn thấy (Laborde &
Laborde, 1995)
Hình: là một vật ám chỉ lý thuyết được gắn vào các hình vẽ không chỉ là
những gì được nhìn thấy, mà còn trong một cách thức biện luận, bởi các tính chất hình học dự kiến được thể hiện một cách rõ ràng (Laborde & Laborde, 1995)
1.5 Ý nghĩa nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu của luận văn được mong đợi sẽ góp phần:
Cung cấp một kiểu bài toán mới giúp cho học sinh phát triển khả năng khám phá, suy luận của mình và tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến suy luận đó
Cho thấy vai trò của giáo viên khi thiết kế các bài toán quỹ tích có điều kiện nhằm hỗ trợ học sinh khảo sát để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề
Tạo cơ sở cho việc áp dụng các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động vào các trường phổ thông nhằm giúp học sinh kiến tạo tri thức toán, từ đó học sinh sẽ nâng cao hiệu quả học tập của mình, phát huy được tính tích cực, chủ động
1.6 Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm 5 chương, phần tài liệu tham khảo và phụ lục
Chương 1: Giới thiệu
Trong chương 1, chúng tôi đưa ra nhu cầu nghiên cứu, đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, các câu hỏi nghiên cứu, các thuật ngữ dùng trong luận văn và
ý nghĩa của việc nghiên cứu này
Chương 2: Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Trong chương 2, tôi sẽ trình bày nền tảng lịch sử của vấn đề nghiên cứu, giới thiệu sơ lược về bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động, nền tảng lý thuyết bao gồm lý thuyết kiến tạo, các kết quả nghiên cứu liên quan đến các bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động
Trang 1512
Chương 3: Thiết kế nghiên cứu
Trong chương 3, tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập dữ liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế
Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Trong chương 4, chúng tôi trình bày những kết quả nghiên cứu của mình nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra ở chương 1
Chương 5: Kết luận
Trong chương này, tôi trình bày kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu, từ đó lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng và hướng phát triển của nghiên cứu
Tóm tắt chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên cứu Đồng thời, chúng tôi phát biểu ba câu hỏi nghiên cứu, đưa ra một số thuật ngữ được sử dụng trong luận văn Chúng tôi sẽ trình bày nền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu ở chương tiếp theo
Trang 1613
Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Mục đích của chương này là xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơ lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài
2.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1.1 Nguồn gốc và cơ sở lý thuyết của các bài toán quỹ tích có điều kiện
Các bài toán quỹ tích có điều kiện được phát triển từ sau nghiên cứu của nhà giáo dục toán Arzarello Vào những năm cuối thập niên 90, Arzarello cùng với các cộng sự đã tiến hành nghiên cứu và phân loại các phương thức kéo rê khác nhau được học sinh sử dụng trong suốt quá trình giải quyết các vấn đề hình học trên Cabri (Arzarello và nnk., 2002) Nghiên cứu được thực hiện bởi Arzarello cùng các cộng sự (2002) và Olivero (2002) đã dẫn đến sự mô tả của một hệ thống các phương thức kéo rê, được sắp xếp thông qua một quá trình quy nạp khi phân tích về việc người giải quyết (solver) đang tạo ra phỏng đoán trong một DGS
Trong những năm gần đây, những nhà giáo dục Toán đã và đang khuyến khích việc sử dụng công nghệ trong lớp học nhằm bồi dưỡng năng lực toán học của mỗi học sinh (Mariotti, 2006; Cuoco, 2008) Một số nghiên cứu trong việc giảng dạy và học tập về hình học (ví dụ, Noss & Hoyles, 1996; Mariotti, 2006) cho thấy, một Hệ thống Hình học động có thể thúc đẩy cách suy nghĩ, cách xây dựng của người học để làm thế nào nhờ các công cụ kéo rê, một DGS có thể đủ mạnh để khám phá một tình huống vấn đề kết thúc mở (Arzarello và nnk., 2002; Lopez – Real & Leung, 2006)
Liên quan đến việc thiết kế mô hình các bài toán kết thúc mở nhằm tạo ra các bài toán quỹ tích có điều kiện, chúng tôi tập trung chủ yếu vào đóng góp của các nhà giáo dục toán như Allen Leung, Baccaglini – Frank và Mariotti Dựa vào việc nghiên cứu các tài liệu trước đó, đặc biệt là của Arzarello 2002, họ đã phát triển các khái niệm và đặc biệt là xây dựng cơ sở cho một phương pháp thực hành sư phạm mới mà họ đã cố gắng thực hiện thực nghiệm trường học trong các dự án của mình
Từ các nghiên cứu thực nghiệm đó, họ đã xây dựng được mô hình nhận thức, và rút
Trang 17Theo Allen Leung, nguyên tắc khám phá kéo rê trong DGE đó là quá trình định hướng (process – oriented) và đặt người sử dụng làm trung tâm (user – centered) Quá trình này mở ra cho việc giảng dạy và học tập hình học một khả năng khám phá và trải nghiệm, bổ sung cho các phương pháp tiếp cận và suy luận quy nạp Với việc được trang bị với các nguyên tắc khám phá kéo rê, người học có thể tìm kiếm thông qua việc kéo rê, giải thích một cách hợp lí hiện tượng kéo rê xảy
ra trong DGE sao cho phù hợp với thế giới tiên đề của hình học Euclide
2.1.2 Bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động
Cũng như các bài toán quỹ tích thông thường trên môi trường giấy – bút mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS, bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động cũng là bài toán đi tìm tập hợp những điểm thỏa mãn một điều kiện đã cho Trong hình học, tìm tập hợp điểm tức là mô tả tập hợp đó: Ví dụ quỹ tích là một đường tròn, một đường thẳng, một đoạn thẳng …
Tuy nhiên, điều khác biệt giữa bài toán quỹ tích trên môi trường giấy – bút
và bài toán quỹ tích có điều kiện trên môi trường hình học động, đó là, bài toán quỹ tích trong môi trường giấy – bút thường được phát biểu dưới dạng: Cho một cấu hình có một số yếu tố cố định và một (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo một yêu cầu nào đó (điểm di chuyển trên một đường tròn, đường thẳng quay quanh một điểm …), yếu tố thay đổi này sẽ dẫn đến sự di động của một số yếu tố điểm khác, yêu cầu tìm quỹ tích các yếu tố điểm liên quan; trong khi đó, trong môi trường hình học động, không nhất thiết là các yếu tố luôn cố định, mà khi di chuyển một yếu tố,
Trang 18
Hình 2.1 Kéo rê duy trì điểm A để ABDC là hình chữ nhật
Ngay từ giả thuyết của bài toán, cách dựng A, B, C cũng cho ta thấy 3 điểm
này đều có thể di chuyển khỏi vị trí của nó chứ không nhất thiết là luôn cố định Cụ
thể, khi di chuyển điểm A, học sinh mới tự khám phá xem yếu tố nào sẽ thay đổi và yếu tố nào không thay đổi (hay còn gọi là bất biến), từ đó, kéo rê A sao cho vẫn giữ tính chất “ABDC là một hình chữ nhật”, kích hoạt dấu vết, và dự đoán hình dạng cụ thể dấu vết của A Từ đó, người học không những hình dung một cách trực quan về
những bài toán quỹ tích mà còn hiểu một cách sâu sắc về chúng
Ví dụ 2
Cho ba điểm A, B, C trên màn hình GSP, vẽ đường tròn tâm C bán kính CA Hãy kéo rê điểm C sao cho B nằm trên đường tròn (C; CA) Tìm quỹ tích điểm C
trong trường hợp đó
Trang 1916
Hình 2.2 Kéo rê duy trì điểm C để B nằm trên đường tròn (C; CA)
Tương tự như ví dụ 1, A, B, C cũng là những điểm tự do trên mặt phẳng, khi kéo rê tự do điểm C trên màn hình thì điểm A và B vẫn cố định nhưng bán kính đường tròn thay đổi Khi học sinh tạo vết và kéo rê C để giữ B nằm trên đường tròn thì các em sẽ dự đoán được quỹ tích điểm C chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Hình 2.3 Vết của C khi kéo rê C để B nằm trên đường tròn (C; CA)
2.2 Khung lý thuyết
Phần này trình bày khung lý thuyết cho nghiên cứu của chúng tôi Chúng tôi căn cứ vào các nghiên cứu trước đó của các nhà giáo dục toán học về hình học động, các mô hình kéo rê, sự nhận thức bất biến Các khái niệm mới được tìm ra, phát triển trong những năm qua được chúng tôi tham khảo và bổ sung theo nhu cầu nghiên cứu của mình
2.2.1 Lý thuyết kiến tạo
Lý thuyết kiến tạo (Constructivism Theory) đang là một trong những lý thuyết về dạy học vượt trội được sử dụng trong giáo dục Lý thuyết này khuyến
Trang 2017
khích học sinh tự xây dựng kiến thức cho mình dựa trên những thực nghiệm cá nhân và áp dụng trực tiếp vào môi trường học tập của các em Mỗi cá nhân học sinh
là trung tâm của tiến trình dạy học, còn giáo viên đóng vai trò tổ chức điều khiển và
là người đại diện cho tri thức khoa học chính thống, đóng vai trò trọng tài để thể chế hóa tri thức mới của bài học
Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài Trong quá trình chiếm lĩnh tri thức bằng kinh nghiệm, kiến thức đã có từ trước thông qua quá trình đồng hóa (Assimilation) và điều ứng (Accomodation), học sinh
sẽ tự xây dựng cho mình một hệ thống tri thức có sắc thái riêng và có khả năng vận dụng hệ thống tri thức này vào giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra
Theo Piaget, đồng hóa là quá trình học sinh vận dụng kiến thức cũ để giải
quyết tình huống mới và sắp xếp kiến thức mới thu nhận được vào cấu trúc kiến thức hiện có Muốn thế, khi tổ chức quá trình dạy học, giáo viên cần phải làm cho học sinh bộc lộ quan niệm của mình về vấn đề học tập, cần tổ chức cho học sinh hệ thống hóa và khai thác kinh nghiệm cũ nhằm phát triển nhận thức cho bản thân học sinh và phổ biến cho cả lớp Để đồng hóa được kiến thức mới và cũ cần phải tiến hành quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh,… nhằm đánh giá lại kiến thức cũ từ đó
sắp xếp lại hệ thống kiến thức sao cho hoàn thiện, chính xác hơn Điều ứng là sự
thay đổi, điều chỉnh, bổ sung, vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề lý thuyết
và thực tiễn Đây là quá trình mà học sinh phải thực hiện các thao tác tư duy, làm kiến thức bộc lộ các thuộc tính, bản chất, các mặt mạnh yếu, tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố kiến thức, tính hệ thống của chúng và khả năng vô tận của kiến thức
Dựa vào bản chất của lý thuyết kiến tạo có thể phân kiến tạo trong dạy học ra thành hai loại:
Kiến tạo cơ bản (Radial constructivism) đề cao vai trò của mỗi cá nhân trong quá trình nhận thức và cách thức xây dựng tri thức cho bản thân Mặt mạnh của loại kiến tạo này là khẳng định vai trò chủ đạo của học sinh trong quá trình dạy học Tuy nhiên, do coi trọng quá mức
Trang 21Lý thuyết kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, đề cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong nhận thức, nó cho phép các em tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau và giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ học sinh xây dựng kiến thức chính xác Với việc cho học sinh khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động, giáo viên có thể quan sát cách thức học sinh tự khám phá, trải nghiệm như thế nào để tự xây dựng kiến thức cho các em Cũng có những trường hợp, học sinh kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể, khi đó giáo viên cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép học sinh thử nghiệm kiến thức của mình Một khi học sinh nhận ra rằng tri thức kiến tạo không đúng với tình huống mới, các em có thể điều chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp
Lý thuyết kiến tạo hướng chúng ta quan tâm đến con người học như thế nào
Nó cho rằng kiến thức toán học có được khi con người lập các mô hình toán để trả lời các câu hỏi khi tham gia giải các bài toán, chứ không phải chỉ đơn giản nhận lấy các thông tin và cũng không phải là sự bộc lộ bẩm sinh Chẳng hạn như là, khi các
em khảo sát một bài toán quỹ tích có điều kiện, các em phải kéo rê một điểm cơ bản
để xác định xem yếu tố nào thay đổi, yếu tố nào không thay đổi, từ đó mới có thể tìm ra được quỹ tích của điểm khi nó duy trì một tính chất nhất định nào đó
Lý thuyết kiến tạo cho rằng, học sinh học tốt nhất khi các em được đặt trong một môi trường xã hội tích cực ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toán theo cách riêng của chính mình Học hợp tác được tổ chức nhằm tạo cơ hội cho học sinh thảo luận cách hiểu và tiếp cận của mình Khi khám phá kéo rê trong môi
Trang 222.2.2 Sự hình thành phỏng đoán trong Môi trường Hình học động
2.2.2.1 Làm việc trong một Hệ thống Hình học động
Môi trường Hình học động là nơi chủ yếu để diễn ra nghiên cứu của chúng tôi mà cụ thể là phần mềm GSP Việc thiết kế các bài toán trên GSP không những làm cho học sinh nhận biết kiến thức toán một cách trực quan, mà còn giúp các em hiểu biết chúng một cách sâu sắc hơn ý nghĩa của chúng Môi trường hình học động
có khả năng tương tác, qua đó, nó nuôi dưỡng và thúc đẩy học sinh tham gia vào làm chủ các ý tưởng toán học trừu tượng
Theo Baccaglini – Frank và Mariotti: “nhìn chung, chúng ta có thể xem xét hai thế giới khác nhau: thế giới toán học của hình học Euclide, và thế giới mang tính kinh nghiệm, trong đó bao gồm kinh nghiệm trong một DGS Tuy nhiên, một DGS có thể trở thành cầu nối tiềm năng giữa hai thế giới, cung cấp giáo viên với những hiểu biết và công cụ mới để khắc phục khó khăn của học sinh” Sở dĩ như vậy là vì, DGS không chỉ thúc đẩy học sinh phát triển khả năng của mình mà chúng còn tạo cho giáo viên những cơ hội để điều chỉnh việc dạy phù hợp với nhu cầu đặc biệt của các em Những học sinh hay thờ ơ với việc học toán có thể tập trung hơn với những vấn đề trên máy tính Những học sinh hay gặp khó khăn trong việc học
Trang 2320
toán, các em có thể thu được các kết quả từ những sai lầm của mình gây nên trên môi trường máy tính
Hiện nay, mối liên hệ giữa môi trường hình học động và việc dạy – học toán
đã và đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu Nếu việc dạy học toán xem như là một quá trình kiến tạo, thì môi trường hình học động được sử dụng gắn liền với người học và nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ của học sinh Như vậy, những điều đó đang thay đổi môi trường sư phạm, nó cho phép giáo viên sử dụng một cách phù hợp và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến tạo tri thức cho bản thân
2.2.2.2 Kéo rê trong DGS
Việc sử dụng các phương thức kéo rê đã được nghiên cứu rộng rãi trong các tài liệu trước đó, các nhà nghiên cứu Toán học đều thông qua việc quan sát các hành
vi tự nhiên của học sinh (ví dụ, Olivero, 2002; Arzarello, và nnk., 2002) và giảng dạy thử nghiệm để giới thiệu các cách thức kéo rê (Gousseau – Coutat, 2006; Restrepo, 2008; Baccaglini – Frank và nnk., 2009)
Kéo rê trở nên đặc biệt hữu ích trong việc giải quyết các bài toán khảo sát, bởi vì nó cho phép người giải quyết được hướng dẫn và hỗ trợ bằng cách tương tác với các phần mềm, theo mô tả của Laborde,
Những thay đổi trong quá trình giải toán được đưa ra bởi các khả năng động của Cabri đến từ một hoạt động và lý luận trực quan, từ những gì chúng
ta gọi là quá trình tương tác giữa các lập luận quy nạp và suy diễn (Laborde,
1991, tr 185)
Hơn nữa, kéo rê có thể giúp người dùng giải thích các cách thăm dò về sự phụ thuộc một cách logic chặt chẽ Kéo rê trong DGS có thể được thực hiện bởi người dùng, thông qua chuột, họ có thể xác định chuyển động của các đối tượng khác nhau bằng hai cách:
Chuyển động trực tiếp: của một yếu tố cơ bản (ví dụ một điểm) đại diện cho sự thay đổi của các yếu tố này trên mặt phẳng Người dùng
có thể chọn các yếu tố cơ bản và kéo rê nó trên màn hình
Trang 2421
Chuyển động gián tiếp: của một yếu tố xảy ra khi yếu tố này xuất hiện
để di chuyển trên màn hình phụ thuộc vào sự chuyển động của một điểm cơ bản (hoặc đối tượng) được lựa chọn đang được kéo rê
Vì vậy, việc sử dụng kéo rê làm cho người dùng cảm giác “phụ thuộc vào chuyển động”, điều này có thể được giải thích dựa trên sự phụ thuộc logic trong khuôn khổ toán học (Mariotti, 2006) Trong thực tế, sử dụng Hình học động để hình thành giả thuyết dựa vào việc giải thích sự phụ thuộc logic của chuyển động thông qua kéo rê Arzarello và các cộng sự của ông là những người đầu tiên đã đưa ra một
mô tả và phân loại về những công dụng của phương thức kéo rê (Arzarello và nnk., 2002), sử dụng các thuật ngữ của “chương trình kéo rê” Thuật ngữ đó đã không được hình thành trong các cách tiếp cận, và vì lý do này nó phải được giải thích một cách chung chung như “phương thức kéo rê” được mô tả dưới đây
2.2.2.3 Phương thức Kéo rê
Với việc nghiên cứu Mô hình kéo rê duy trì, Baccaglini – Frank và Mariotti
đã đưa ra bốn phương thức xây dựng được mô tả dưới đây:
Kéo rê tự do/ngẫu nhiên (tiếng Ý: “trascinamento libero”): kéo rê
một cách ngẫu nhiên các điểm trên màn hình, tìm kiếm những hình dạng thú vị hoặc qui luật của hình;
Kéo rê duy trì (tiếng Ý: “trascinamento di mantenimento”): kéo rê
một điểm cơ bản để các hình duy trì một tính chất nhất định;
Kéo rê với dấu vết kích hoạt (tiếng Ý: “trascinamento con traccia”):
kéo rê một điểm cơ bản với các dấu vết;
Kéo rê thử nghiệm (tiếng Ý: “test di trascinamento”): kéo rê điểm cơ
bản để xem liệu hình được dựng có duy trì các tính chất mong muốn không Trong cách thức này, nó có thể thực hiện một xây dựng mới hoặc xác định lại một điểm trên một đối tượng để thử nghiệm một giả thuyết mới
Kéo rê tự do bao gồm kéo rê ngẫu nhiên một điểm cơ bản trên màn hình Nó
có thể được sử dụng để tìm kiếm hình dạng thú vị hoặc qui luật của hình Với ý nghĩa trên, phương thức này là một loại kết hợp giữa kéo rê tự do và kéo rê theo
hướng dẫn, mô tả bởi Arzarello và các cộng sự (2002) Kéo rê duy trì bao gồm các
Trang 2522
cố gắng để kéo rê một điểm cơ bản và duy trì một số tính chất thú vị quan sát được
Ví dụ, người giải quyết có thể nhận thấy rằng một tứ giác nào đó là một phần của hình, có thể ‘trở thành’ một hình vuông, và do đó cố gắng kéo rê một điểm cơ bản,
cố gắng để giữ cho tứ giác đó là một hình vuông Nói cách khác, việc duy trì kéo rê liên quan đến việc công nhận một hình dạng cụ thể cũng khá thú vị, và nỗ lực của người dùng để tạo ra các tính chất đặc biệt trở thành một bất biến trong quá trình kéo rê
Với kéo rê với dấu vết được kích hoạt, chúng ta có thể dự kiến bất kỳ hình
thức kéo rê nào sau khi chức năng dấu vết đã được kích hoạt trên một hoặc nhiều điểm của hình vẽ Công cụ này bắt nguồn từ sự kết hợp của hai chức năng, “kéo rê” cộng với “tạo vết”, chúng cùng nhau tạo thành một công cụ mới có thể được sử dụng trong quá trình xây dựng giả thuyết Đặc biệt, kết hợp với việc duy trì kéo rê dấu vết kích hoạt trên các điểm cơ bản được lựa chọn có thể đặc biệt hữu ích trong quá trình xây dựng giả thuyết
Kéo rê thử nghiệm là một thử nghiệm trên một hình mà có thể được đưa đến
để xác minh xem nó đã được dựng đúng hay không (Olivero, 2002; Laborde, 2005) Sau khi hình thành một tính chất mới để thêm vào các hình nghiên cứu, kéo rê thử nghiệm có thể hữu ích để kiểm tra xem tính chất ban đầu thực sự mong muốn duy trì trong trường hợp này Trong các tài liệu hiện tại, các thử nghiệm kéo rê được hình thành như một công cụ để kiểm tra giá trị của phép dựng vững chắc Điều này
sẽ có thể hữu ích trong bối cảnh xây dựng giả thuyết, bởi vì với thử nghiệm kéo rê, như chúng ta tưởng tượng nó có thể trở thành cách thử nghiệm một giả thuyết (có thể vẫn còn tiềm ẩn)
Để hiểu rõ hơn về các phương thức vừa nêu, chúng ta cùng xem xét ví dụ sau:
Ví dụ: Cho 3 điểm A, M, K trên màn hình GSP Dựng điểm B đối xứng với A
qua M và C đối xứng với A qua K Dựng D là điểm đối xứng của B qua K Kéo rê điểm M và dự đoán về tứ giác ABCD và tìm quỹ tích điểm M để ABCD là dạng tứ
giác đặc biệt đó (Hình 2.4.)
Trang 2623
Hình 2.4 Tứ giác ABCD được dựng theo giả thiết
Trước tiên, chúng ta kéo rê tự do/ngẫu nhiên điểm M để xem xét tứ giác ABCD có những hình dạng đặc biệt nào không Theo như cách xây dựng thì ABCD
là một hình bình hành Ngoài ra, với một vị trí nhất định nào đó, ABCD sẽ trông
“giống như” là một hình chữ nhật (Hình 2.5.)
Hình 2.5 ABCD trông “giống như” là một hình chữ nhật
Hình 2.6 Kéo rê duy trì điểm M để ABCD vẫn là hình chữ nhật
Trang 2724
Sau khi xác định được loại hình đặc biệt của ABCD là hình chữ nhật, chúng
ta bắt đầu kéo rê duy trì điểm M ở những vị trí khác sao cho vẫn giữ được ABCD là
hình chữ nhật (Hình 2.6)
Tiếp theo, chúng ta bắt đầu kích hoạt dấu vết cho điểm M, khi kéo rê duy trì điểm M để ABCD vẫn là hình chữ nhật, dấu vết trên màn hình cho phép chúng ta dự đoán được, dấu vết điểm M “dường như” là một đường tròn (Hình 2.7)
Hình 2.7 Dấu vết điểm M trông “giống như” một đường tròn
Sau khi kéo rê với dấu vết được kích hoạt, ta có thể dự đoán được quỹ tích
điểm M là đường tròn đường kính AK Ta bắt đầu kéo rê để thử nghiệm xem liệu
đường tròn được dựng có duy trì được tính chất mong muốn không (Hình 2.8) Nếu
đúng như vậy, ta có thể đưa đến một dự đoán: “Nếu M nằm trên đường tròn đường kính AK thì ABCD là một hình chữ nhật”
Hình 2.8.Kéo rê thử nghiệm M trên đường tròn đường kính AK
Trang 2825
2.2.2.4 Bất biến trong môi trường Hình học động
Việc xác định bất biến là một hoạt động quan trọng trong tư duy toán học Bất biến liên quan đến các khía cạnh khác nhau của một hiện tượng thay đổi và một khía cạnh nào đó của nhận thức bất biến để cảm nhận chúng trực quan DGE xoay quanh sự thay đổi trực quan, và thông qua kéo rê, nó đưa người sử dụng đến việc
mô phỏng một giả thiết Trong DGE, khi một hình được dựng, nó thay đổi (thông qua kéo rê) trong khi vẫn giữ tất cả các tính chất hình vẽ không thay đổi cùng với tất cả các tính chất hệ quả của nó theo hình học Euclide Điều này mở ra một ngữ cảnh, nơi tính chất hình học (hiểu là bất biến) có thể được cảm nhận trực quan và do
đó liên quan đến những lý thuyết phía sau nó
Môi trường Hình học động làm phát sinh một hiện tượng, nơi chuyển động
và thay đổi cùng với các phản hồi trực quan và cảm giác vận động có thể dẫn đến việc nhận thức các đặc tính hình học của hình Đặc biệt, phương thức kéo rê trong DGE đã được nghiên cứu trong các thiết lập sư phạm và dần dần hiểu như là một công cụ sư phạm có lợi cho lập luận toán học, đặc biệt là trong quá trình hình thành giả thuyết hình học Các tiềm năng tri thức của phương thức kéo rê trong DGE nằm trong mối quan hệ của nó với sự nhận thức bất biến Dựa trên một quan điểm kết hợp đặt trong cùng lăng kính biến đổi và các phương thức kéo rê duy trì được phát triển như phần trên, Allen Leung đã nghiên cứu về nhận thức và lý luận trong DGE dựa trên các quan điểm kết hợp với nhau từ các học thuyết về sự biến đổi và Chương trình Kéo rê Duy trì Leung (2010) mô tả trải nghiệm toán học là “sự nhận thức mô hình bất biến về các hình hoặc các hình dạng, tái tạo hoặc biểu diễn mô hình đó” Bất biến là những gì thay đổi, những gì không thay đổi
Một tính năng quan trọng của DGE là khả năng biểu diễn trực quan giữa các bất biến hình học thay đổi cùng một lúc gây ra bởi hoạt động kéo rê Kéo rê trong DGE bao gồm việc lựa chọn một yếu tố của một hình động (một hình được dựng theo một tập các tính chất trong một DGE) với một thiết bị chuột và di chuyển nó theo các kết quả “di chuyển” các đối tượng được chọn (và có thể là các đối tượng có liên quan khác) trên màn hình Các biến đổi của hình ảnh động được nhìn nhận trái ngược với những gì đồng thời vẫn bất biến Các chuyển động và việc xác định các
Trang 2926
bất biến nằm ở trung tâm của các hoạt động nhằm khai thác các tiềm năng tri thức của DGE (ví dụ, Laborde, 1995; Hölzl, 1996; Healy, 2000; Arzarello và nnk., 2002; Olivero, 2002; Leung, 2008; Baccaglini – Frank và Mariotti, 2010) Hölzl (2001) xem xét kéo rê như “một công cụ để tìm kiếm các biểu diễn khác nhau của cùng một hình tương tự trong quá trình biến đổi liên tục”
Kéo rê trong DGE bao gồm việc lựa chọn một yếu tố của một hình động (một hình được xây dựng theo một tập các tính chất trong một DGE) với một điểm
và di chuyển điểm cùng với việc thay đổi vị trí của các đối tượng được chọn (và do
đó có thể những đối tượng khác) trên màn hình Những thay đổi của hình ảnh trên màn hình thu được bằng cách xây dựng lại một cách liên tiếp, nhanh chóng hình tạo
ra bởi DGE và nó được nhận thức trái ngược với những bất biến, và điều này là cơ
sở của sự nhận thức về “hình ảnh động” (Mariotti, 2010) Sự chuyển động và việc xác định các bất biến là những gì nằm ở trung tâm của các hoạt động nhằm khai thác tiềm năng của DGE (ví dụ, Laborde & Laborde, 1995; Hölzl, 1996; Healy & Hoyles, 2001; Healy, 2000; Arzarello, Olivero, Paola & Robutti, 2002; Olivero, 2002; Leung, 2008; Baccaglini – Frank & Mariotti, 2010) Một hình động có thể được xem xét, nói theo cách của Hölzl, như “biểu diễn vật chất của một hình hình học lý tưởng chỉ đặc trưng bởi các mối quan hệ bên trong của nó” (2001, tr.83) Hơn nữa, trong DGE, bất biến theo các mối quan hệ hình học được xác định bởi các lệnh được sử dụng để xây dựng các hình động, và các mối quan hệ phụ thuộc giữa các mối quan hệ ban đầu của việc xây dựng và chúng có nguồn gốc như một hệ quả trong lý thuyết của hình học Euclide (Laborde & Strasser, 1990) Tuy nhiên, sự phụ thuộc logic như vậy không thể được nhìn thấy khi các hình được dựng, bởi vì tất cả các bất biến xuất hiện đồng thời trong thời gian kéo rê
Để minh họa điều này, chúng ta hãy xem xét xây dựng sau: Cho ABC là một tam giác, E và F lần lượt là trung điểm của AC và CB (Hình 2.9.)
A, B, và C là các điểm cơ bản, dựng E là trung điểm của AC, và F là trung điểm của BC Kéo rê A, B, hoặc C thì EF vẫn song song với AB
Trang 3027
Hình 2.9 Tam giác ABC được dựng theo giả thiết
Trung điểm E và F được dựng vẫn là trung điểm trong lúc kéo rê, có nghĩa là tính chất “AE bằng EC” và “CF bằng với FB” được bảo toàn Tuy nhiên, tính chất
“EF song song với AB” cũng được bảo toàn vì nó là một hệ quả logic trong lý
thuyết của Euclid (theo đó DGS này đã được lập trình) Việc nhận thức thông qua các mối quan hệ trên có thể dẫn đến phỏng đoán sau đây: “nếu một đoạn thẳng được xây dựng với điểm đầu và điểm cuối là trung điểm của hai cạnh của một tam giác, thì nó song song với các cạnh thứ ba của tam giác”
Hơn nữa, bất biến có thể xuất hiện là “chặt chẽ” (robust) hay “mềm” (soft)
Ví dụ, việc xây dựng trên đưa đến ba bất biến, “AE bằng EC”, “CF bằng FB” và
“EF song song với AB”, là “chặt chẽ”, được thể hiện khi kéo rê ngẫu nhiên các điểm cơ bản Mặt khác, một bất biến như “EF vuông góc với AC” có thể được gây
ra bởi nhũng cách thức cụ thể khi kéo rê các điểm cơ bản, nhưng đối với một điểm
cơ bản nhất định, nó không phải luôn luôn là một bất biến của hình động Đây là một ví dụ về bất biến “mềm” Bất biến mềm đặc biệt hữu ích trong các hoạt động có liên quan đến việc hình thành phỏng đoán thông qua kéo rê duy trì Do đó, khi chúng xuất hiện đồng thời trong thời gian kéo rê bởi một người kéo rê, các bất biến khác nhau có thể có các trạng thái khác nhau theo các loại điều khiển trực tiếp hoặc gián tiếp thực hiện bởi người kéo rê trên chúng Khi một hình vẽ được dựng, có một mối quan hệ phụ thuộc giữa các bất biến xây dựng và bất cứ điều gì được bắt nguồn theo hình học Euclide Điều đó có thể gây ra một mối quan hệ giữa các bất biến như
là một bất biến của chính nó, và một mối quan hệ như vậy có thể giúp xác định bất
Trang 312.2.2.5 Lý luận thông qua ngoại suy
Ngoại suy mô tả một dạng đặc biệt của lý luận dẫn đến việc nhận thức các hiện tượng trải nghiệm qua sự hình thành của các giả thuyết để giải thích Trong những khám phá DGE và người học tập trung vào những bất biến liên quan, đó là nhận thức rõ bất biến cấp 2, sự hình thành những giả thuyết để giải thích có thể là chìa khóa Trong thuật ngữ của Magnani (2001),
Ngoại suy là tiến trình suy ra những sự kiện/quy tắc và các giả thuyết để làm cho một vấn đề nào đó trở nên có lí, để khám phá và giải thích một hiện tượng/quan sát (tr 17 – 18)
Các nghiên cứu trước đây cho thấy rằng, khi sử dụng chương trình nào đó khi khám phá trong DGE, kết hợp với các Phương thức Kéo rê, các giả thuyết để giải thích như vậy có thể được tạo ra thông qua một hình thức đặc biệt của sự ngoại suy Baccaglini-Frank và Mariotti đã mô tả hình thức của sự ngoại suy được hỗ trợ bởi một công cụ (trong trường hợp của các công cụ của việc duy trì Kéo rê), như công cụ ngoại suy (Baccaglini – Frank, 2011)
Khi người giải quyết khám phá một tình huống vấn đề kết thúc mở trong hình học động và được yêu cầu để xây dựng giả thuyết về một đối tượng hình học nhất định, các nhà nghiên cứu nhận thấy bất biến, đó là, các tính chất của hình luôn không đổi trong khi kéo rê một điểm và cố gắng một cách hợp lý để liên kết hai (hoặc nhiều hơn) các bất biến hình học như vậy trong một mệnh đề có điều kiện Một mệnh đề đó sẽ là một “giả thuyết giải thích” (explanatory hypothesis) cho hiện tượng quan sát được Trên thực tế, khi các bất biến thu được thông qua kéo rê duy trì có một trật tự trong việc khám phá ra chúng: một tính chất bất biến đầu tiên là
Trang 3229
điều phải được duy trì, và tính chất bất biến thứ hai là điều mà dường như là bất biến khi bất biến đầu tiên được duy trì Học sinh cố gắng thể hiện sự liên kết giữa hai bất biến bằng cách sử dụng các cụm từ như: “Bởi vì/từ đó/mỗi thời điểm tính chất này là đúng [tính chất là bất biến thứ hai], tính chất này là đúng [tính chất bất biến đầu tiên]”; hoặc như là: “Để có/để cho tính chất này là đúng [tính chất bất biến đầu tiên], tính chất này là/phải đúng [tính chất bất biến thứ hai]”
Dữ liệu theo nghiên cứu của Baccaglini – Frank cho thấy rằng một khi chương trình kéo rê duy trì đã được tiến hành, quá trình hình thành phỏng đoán được mô tả bởi các mô hình kéo rê duy trì – suy đoán dường như trở nên “tự động”,
và người giải quyết thu được thông qua những bước dẫn suôn sẻ đến việc khám phá bất biến và sự hình thành của một phỏng đoán, ngoại suy không quá rõ ràng trong quá trình này Sự ngoại suy dường như được che dấu trong công cụ – kéo rê duy trì Điều này cho phép người giải quyết giải thích các hiện tượng kinh nghiệm của mình trong hình học động dựa vào sự phụ thuộc logic giữa các bất biến, và do đó để tạo
ra một mệnh đề có điều kiện như: “nếu tính chất A (bất biến thứ hai được nhận thức) thì tính chất B (bất biến đầu tiên được gây ra)” Mệnh đề có điều kiện trên như là kết quả việc thăm dò của người giải quyết, một giả thuyết để giải thích, nhưng điều
đó sẽ trở thành “tự động” khi quá trình khởi đầu của công cụ hoàn thành (tức là chương trình kéo rê duy trì đã được tiến hành)
2.2.3 Nhận thức bất biến trong Môi trường Hình học động
2.2.3.1 Phương thức kéo rê theo mô tả của Hölzl
Các phương thức kéo rê khác nhau có thể được sử dụng nhằm xây dựng chiến lược để đưa ra hai mức độ bất biến đã nêu ở phần trên Việc tạo ra ý nghĩa của các thông tin phản hồi cảm giác – chuyển động dưới phương thức – kéo rê là hoàn toàn tùy thuộc các người học, người sẽ cần phải giải thích các “bước xây dựng” tính chất hình học của bất biến, gắn chúng với các bất biến khác, khám phá những cái mới, và cuối cùng, thông qua lý luận, logic liên kết các tính chất hình học và các mối quan hệ nhận thức với nhau Có hai loại phương thức kéo rê chính phù hợp với
mô tả của Hölzl (2001)
Trang 3330
Kéo rê để kiểm nghiệm (Dragging for testing) bao gồm ở kéo rê để kiểm
tra sự có mặt của tính chất mong muốn trong một hình động Nó “mặc định là kỳ vọng cũng như phản ứng của việc xây dựng khi nó đang được kéo rê” Chuyển động trên màn hình có thể đáp ứng được kỳ vọng đó hay không Các di chuyển của người học sẽ được dùng để kết luận vào hình để tìm các bất biến sau khi tìm kiếm Ví dụ như: các thử nghiệm kéo rê (Arzarello và nnk., 2002, tr.67); các thử nghiệm kéo rê mềm (phỏng đoán) (Baccaglini – Frank và Mariotti, 2010); các thử nghiệm kéo rê chặt chẽ (hoặc sự phỏng theo kéo rê liên kết hoặc kéo rê ràng buộc (Arzarello và nnk., 2002; Olivero, 2002)
Kéo rê để tìm kiếm/phát hiện (Dragging for searching/discovering) bao
gồm việc kéo rê để tìm kiếm các tính chất mới của các hình Nói cách khác, “việc thay đổi sự xuất hiện của các hình vẽ phải được đánh giá theo khía cạnh vẫn còn chưa biết” Đây là hình dạng mà nó có thể giả định, bất biến, và/hoặc các mối quan
hệ giữa chúng Nếu, ví dụ như, nhiệm vụ là xây dựng giả thuyết về những hình, loại hình kéo rê này sẽ được sử dụng để khám phá tính chất mới thông qua nhận thức bất biến và các mối quan hệ giữa chúng Chẳng hạn như: kéo rê tự do; (Arzarello và nnk., 2002; Olivero, 2002), kéo rê theo hướng dẫn (Arzarello và nnk., 2002; Olivero, 2002) và kéo rê để phù hợp (Lopez – Real & Leung, 2006); hoặc kéo rê duy trì (Baccaglini – Frank & Mariotti, 2010; Baccaglini – Frank, 2010)
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau: Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng trên màn hình GSP Dựng D là điểm nằm trên đường thẳng qua C song song với AB Gọi r và
s là lần lượt là các đường trung trực của AB và CD (Hình 2.10.)
Hình 2.10 Tứ giác ABDC được dựng theo giả thiết
Trang 3431
Với kéo rê để kiểm nghiệm, khi di chuyển điểm cơ bản B trên màn hình, ta
có thể nhận thấy có những tính chất không thay đổi như AB song song với CD, từ tính chất này, hai đường trung trực r và s tương ứng cũng song song với nhau
Từ tính chất r và s song song với nhau, chúng ta bắt đầu kéo rê để tìm kiếm/phát hiện một giả thuyết mới, chẳng hạn như, với vị trí nào của điểm B thì hai đường trung trực r và s trùng nhau Từ đó, ta kéo rê điểm B đến những vị trí thích hợp để giữ tính chất r trùng với s và tìm quỹ tích của điểm B
Hình 2.11 Kéo rê điểm B để r và s trùng nhau
2.2.3.2 Phương thức kéo rê theo mô tả của Marton
Nhận thức, biến đổi và sự đồng thời là những khái niệm trung tâm trong lý thuyết về Biến đổi (Marton, Runesson, & Tsui, 2004) của Marton Nhận thức các tính năng quan trọng xảy ra trong hệ thống tương tác giữa người học và những điều được học, và sự thay đổi là tác nhân tạo ra sự tương tác như vậy Biến đổi toàn bộ ở các khía cạnh khác nhau của một hiện tượng tiết lộ cấu trúc bất biến của toàn bộ hiện tượng Bất biến là tính năng quan trọng để xác định hoặc khái quát một hiện tượng Bốn mẫu cơ bản của sự biến đổi đã được đề xuất bởi Marton: đối chiếu, khái quát, tách, hợp nhất Chúng tạo thành những hạt nhân cho nhận thức dưới sự thay đổi Những mô hình của sự biến đổi có tiềm năng được sử dụng để tổ chức một kinh nghiệm thay đổi và tạo ra sự tương tác giữa các người học và các “điều” được học
Trong bối cảnh của DGE, Leung coi chúng như các loại tương tác biến dưới phương thức kéo rê trong khi một người học được khám phá bất biến hình học
Trang 3532
Một biến đổi tương tác trong DGE là một chiến lược sử dụng biến đổi tương tác với các đối tượng DGE để mang về nhận thức bất biến hình học
Kéo rê để đối chiếu (Drag to contrast) là chiến lược để nhận thức liệu một
đối tượng DGE thỏa mãn một điều kiện nào đó hay không, có nghĩa là, cho dù một cái gì đó “là” hoặc “không là” Nó tìm cách để phân biệt những hiện tượng DGE
Kéo rê để tách (Drag to separate) là chiến lược mang lại về các nhận thức
của đặc điểm nổi bật hình học quan trọng có thể trở thành bất biến Đó là nhận thức
về mối quan hệ một phần của toàn bộ được đánh thức bởi ràng buộc chiến lược kéo
rê mà cố ý thay đổi hoặc không thay đổi một số khía cạnh nhằm tách ra tính năng bất biến trong toàn bộ
Kéo rê để khái quát (Drag to generalize) là chiến lược để tìm hiểu xem sau
khi đối chiếu và tách, một tính năng hình học quan sát được có thể xảy ra trong một tình huống khác nhau Đây là một hoạt động phỏng đoán – hình thành kiểm tra giá trị chung của một tính năng hình học
Kéo rê để hợp nhất (Drag to fuse) là chiến lược để tích hợp các tính năng
quan trọng hình học thuộc cùng một loại biến đổi đồng thời Bằng cách kết hợp các tính năng hình học quan trọng tách – ra cùng nhau, một khái niệm bất biến hoàn toàn có thể xuất hiện Bằng cách đối chiếu các tính năng quan trọng, hợp nhất cho thấy làm thế nào để kết nối các bộ phận của một tổng thể khác nhau với nhau
Bốn loại biến đổi tương tác theo phương thức kéo rê cùng nhau phối hợp nhằm mang về nhận định tính chất hình học Chúng tôi sẽ sử dụng một ví dụ minh họa sau đây:
(E): Cho ba điểm A, B, C trên màn hình GSP, vẽ đường tròn tâm C bán kính
CA Hãy kéo rê điểm C sao cho B nằm trên đường tròn (C; CA)
Hình 2.12 thể hiện một quá trình nhận thức cho phép mô tả một khám phá kéo rê có thể cho (E) Trong quá trình nhận thức này, kéo rê để đối chiếu và kéo rê
để khái quát tương tác với nhau theo một cách thúc đẩy lẫn nhau (để nhận thức, để kiểm tra tính hợp lệ) dưới sự hỗ trợ của chiến lược kéo rê để tách nhằm đưa ra một tính chất bất biến
Trang 3633
Hình 2.12 Một quá trình nhận thức cho thăm dò (E)
Kéo rê để tách
Để trở thành nhận thức của điều gì đó khi một số khía cạnh thay đổi theo ràng buộc
Ví dụ: Dấu vết con đường mà
C giữ lúc nó thay đổi trong khi duy trì A và B nằm trên cùng một đường tròn
Tăng cường
hỗ trợ giữa
đối chiếu và
khái quát
Kéo rê để khái quát
Tập trung vào những điều tương tự
nhau xuất hiện trong tình huống giống
Tập trung cùng lúc vào các hình dạng then chốt khác nhau
Ví dụ: Sự chú ý cùng lúc vào đường trung trực, tam giác
cân và vết của đường cần tìm Kéo rê điểm C để quan sát
các đặc điểm cùng thay đổi
Kéo rê để đối chiếu
Tập trung vào Có hay Không khi điều gì đó
đang thay đổi
Ví dụ: A nằm trên đường tròn tâm C Kéo rê C
vào các vị trí khác nhau để kiểm tra xem B có
nằm hoặc không nằm trên đường tròn
Trang 3734
Chiến lược kéo rê để tách là một phương thức duy trì kéo rê với dấu vết được
kích hoạt Khi những tính năng quan trọng khác nhau (ví dụ, các vết của đường, đường trung trực, tam giác cân) được nhận thức, một chiến lược kéo rê để hợp nhất các biến đổi đồng thời có thể được sử dụng để kiểm tra mối liên hệ của chúng Chẳng hạn, kiểm tra kéo rê chặt chẽ hay mềm là loại chiến lược kéo rê để hợp nhất tập trung vào sự biến đổi đồng thời của các tính chất hình học khác nhau để kiểm tra tính hợp lệ của một giả thuyết hình học Hơn nữa, kéo rê để hợp nhất là một sự tương tác biến đổi cơ bản của tất cả các tương tác kéo rê, sự tập trung đồng thời trên các khía cạnh khác nhau và bất biến là cơ bản trong nhận thức Các phương thức kéo rê kéo rê khác có thể được sử dụng để cung cấp cho bốn tương tác biến đổi
2.2.3.3 Nhận thức thông qua Chương trình Kéo rê Duy trì
Baccaglini – Frank và các cộng sự (2013) đã thảo luận làm thế nào sự phát triển tiềm năng của việc nhận thức điều khiển trực tiếp và gián tiếp thông qua bất biến có thể xảy ra qua trải nghiệm cảm giác – chuyển động kèm theo lý luận và tương tác biến đổi có thể được sử dụng như một phương tiện để nhận thức bất biến Các hình thức lý luận trên có thể kéo dài phụ thuộc vào bối cảnh của nó, đặc biệt là
về mục tiêu của người học (hoặc công việc) và do đó trên phương thức kéo rê đã chọn Cùng với việc sử dụng một chương trình được phát triển bởi một người học trong suốt một quá trình hình thành công cụ, một cách cụ thể nào đó kéo rê có thể trở thành một công cụ Các chương trình sử dụng này được phát triển bởi người học còn được gọi là “chương trình kéo rê”, và họ tạo ra một “lý luận” đi kèm với việc sử dụng kéo rê đặc biệt (Leung và nnk., 2006)
Sự phức tạp trong một chương trình kéo rê được cấu thành bằng cách trở thành nhận thức, gây ra không chỉ trên các yếu tố của một hình DGE mà còn trên tính chất của nó (có nghĩa là mối quan hệ giữa các yếu tố) của các bước của việc xây dựng Như vậy, không chỉ có những trải nghiệm của người học về các yếu tố điều khiển khác nhau, điều khiển trực tiếp và gián tiếp cũng có thể được thực hiện trên các bất biến Một phương tiện cơ bản về nhận thức là nhận thức về các loại điều khiển, đặc biệt trong bối cảnh gây bất biến mới trên một hình động
Trang 3835
Chẳng hạn, Hình 2.10 cho thấy một hình động bắt nguồn từ việc dựng hình
trong GSP, một môi trường hình học động học cụ thể Nó có một tập các xây dựng bất biến (song song giữa AB và DC, vuông góc của s đến DC và r đến AB, việc s và
r đi qua trung điểm lần lượt của DC và AB) và do đó, tất cả các bất biến có nguồn gốc từ chúng (ví dụ như song song giữa r và s) mà tất cả đều bảo toàn đồng thời trong thời gian kéo rê Đặc biệt, trong xây dựng GSP, A, B, và C là các điểm cơ bản
tự do có thể được di chuyển bằng cách kéo rê trực tiếp chúng; D bị hạn chế di chuyển dọc theo một đường song song với AB qua C; r và s là các đối tượng phụ
thuộc di chuyển, gián tiếp, như một kết quả của sự chuyển động của các điểm cơ bản khác Do đó, khi chúng xuất hiện đồng thời trong thời gian kéo rê bởi một người kéo rê, các bất biến khác nhau có thể có các trạng thái khác nhau theo các
loại điều khiển trực tiếp hoặc gián tiếp thực hiện bởi các người kéo rê trên chúng
Từ ví dụ vừa rồi, ta có thể cố gắng tạo ra một bất biến mới như “hai đường trung trực trùng nhau” Điều này được gọi là một tính chất mềm (đã được mô tả ở phần trên) Một người học có thể cố gắng để duy trì tính chất thú vị như vậy bằng
cách kéo rê một điểm cơ bản (kéo rê duy trì) Để minh họa, hãy chọn điểm B là
điểm cơ bản Hình 2.10 cho thấy tính chất đó có thể trở thành một bất biến mềm
như là một điểm cơ bản được kéo rê Sự chuyển động của B không thể là ngẫu nhiên mà có kiểm soát Việc kiểm soát qua sự chuyển động của B là trực tiếp trong khi đó trên tính chất bất biến mong muốn của chúng tôi (r và s trùng nhau) là gián
tiếp Nhận thức như thế được phát triển thông qua các trải nghiệm cảm giác – chuyển động kèm theo lý luận cơ bản khi duy trì kéo rê được sử dụng như một phương tiện thăm dò (Baccaglini Frank, 2010; Mariotti & Baccaglini Frank, 2011)
Việc gây ra bất biến mềm trên một hình động có thể được thực hiện thông qua các phương thức kéo rê duy trì Khi phương thức này được sử dụng để tìm kiếm các phỏng đoán mới, đó có thể là mối quan hệ giữa các bất biến (bất biến cấp 2), nó được gọi là Chương trình Kéo rê Duy trì (Baccaglini Frank 2010; Baccaglini Frank
& Mariotti 2010) Chương trình này được mô tả thông qua một tập (có thể ẩn) nhiệm vụ cho người học trong việc tạo ra phỏng đoán
Trang 3936
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau: Cho một điểm P và đường thẳng r qua P Dựng đường thẳng vuông góc với r qua P và chọn một điểm C trên đó Dựng điểm A đối xứng với C qua P Trên nửa mặt phẳng xác định bởi r chứa A, vẽ điểm D Dựng đường thẳng qua D và P Dựng đường tròn tâm C và bán kính CP Lấy B là giao điểm thứ hai của đường thẳng đi qua P và D với đường tròn
Hình 2.13
Nhiệm vụ 1: Nhận ra một hình dạng được khám phá bằng cách kéo rê có chủ
ý để duy trì sự xuất hiện của hình dạng mong muốn, do đó kết luận nó như là một bất biến mềm Hình dạng được nhận ra này được gọi là một bất biến có chủ ý gây ra
Trong ví dụ của chúng tôi, giả sử chúng ta tiến hành kéo điểm cơ bản D (Hình 2.13.) Trong lúc kéo rê, anh/cô ấy thấy rằng nó có thể làm cho tứ giác ABCD
trở thành cái gì đó trông giống như “một hình bình hành” (Hình 2.14.) Tiếp tục kéo
rê thăm dò “khi” các hình GSP trở thành một loại hình hình học (chẳng hạn là một
“hình bình hành” trong ví dụ của chúng tôi) người giải quyết có thể quyết định áp dụng phương thức duy trì kéo rê Các bất biến anh/cô ấy sẽ cố gắng duy trì, bất biến
có chủ ý, có thể là một loại hình hình học được tìm thấy Trong khi kéo một điểm
cơ bản của hình GSP, những người giải quyết sẽ tập trung vào việc duy trì tính chất bất biến có chủ ý đó theo một cách trực quan Điều này có nghĩa là tại thời điểm
này, duy trì cho ABCD là hình bình hành là một tính chất mềm của hình GSP Duy
trì tính chất đó khi kéo rê liên tục một điểm cơ bản có thể không phải là một nhiệm
vụ đơn giản: nó có thể phụ thuộc nhiều vào kỹ năng của người giải quyết, và đôi khi
nó có thể không thể tồn tại
Trang 4037
Hình 2.14 ABCD trông giống như “một hình bình hành”
Nhiệm vụ 2: Hãy tìm một điều kiện làm cho bất biến chủ ý gây ra được xác
nhận trực quan thông qua việc duy trì kéo rê Điều này có thể xảy ra hoặc thông qua
một giải thích hình học về sự chuyển động của các điểm kéo rê cơ bản hoặc,
một giải thích hình học của việc đánh dấu dấu vết (con đường) của các điểm kéo rê cơ bản
Đề xuất một mô tả hình học của chuyển động hoặc những con đường quan sát được
Trong khi kéo rê các điểm cơ bản, cố gắng để duy trì tính chất bất biến có chủ ý, sự chú ý của người giải quyết có thể thay đổi (và tiếp tục chạy qua chạy lại) chuyển động của điểm cơ bản được kéo rê Sự kết hợp giữa thị giác và cảm nhận xúc giác có thể hướng dẫn người giải quyết giải thích về một số quy luật trong sự chuyển động của các điểm cơ bản Hơn nữa, một người giải quyết có thể sử dụng kéo rê duy trì với mục đích tìm kiếm một quy luật như vậy Để làm được điều này, người giải quyết phải tin chắc rằng kéo rê liên tục điểm cơ bản để xem xét và duy trì sự lựa chọn tính chất bất biến có chủ ý là có thể
Người giải quyết có thể tham khảo các quy luật rõ ràng như để tìm “cái gì” Chúng tôi gọi “cái gì” ở đây là một con đường và định nghĩa nó như là một tập hợp các điểm liên tục trên mặt phẳng với các tính chất như sau: khi điểm cơ bản được