SKKN Toan 9 Truong Chuyen

[r]

Đặt vấn đề

Toán học là một ôn học hiện đại của xã hội khoa học ngày nay nó là cơ

sở của nhiều nghành khoa học khác

Môn toán là môn có kiến thức rộng ,phức tạp ,trìu tợng nhng cực hay Ơ bậc T.H.C.S cần trang bị những kién thức cơ bản nhng có đào sâu và rèn luyện năng lực t duy toán cho học sinh ,tạo nền tảng tin cậy cho học sinh tiếp tục học tốt môn toán ở bậc T.H.P.T

Vì vậy việc bồi dỡng ,hớng dẫn học sinh giải các bài toán khó ,phức tạp

ở bậc T.H.C.S giúp các em giải toán nhanh chính xác ,có lời giải hay ngắn gọn

là không thể thiếu đựơc Trong đó có dạng toán ‘Tìm cực

Đề tài ‘Hớng dẫn học sinh giải toán tìm cực trị ‘của tôi nhằm hớng dẫn học sinh phân dạng ,có phơng pháp giải cho từng dạng bài cụ thể ,có ứng dụng

để giải bất phơng trình ,chứng minh bất đẳng thức ,……… từ đó gây dợc hứng thú học tập môn toán ở học sinh T.H.C.S

Giải quyết vấn đề

Để hớng dẩn học sinh’’ tìm cực trị”tôi đã tiến hành theo các bớc sau : 1,Tự đọc sách,tham khảo một số đề thi cấp huyện cấp tỉnh, …

2, Phân dạng các bài toán “Tìm cực trị rồi tìm ra phơng pháp giải cho từng dạng

3, Qua quá trình dạy học tìm ra những mẹo giải cách giải hay ngắn gọn

đồng thời tìm ra những sai lầm của học sinh để sửa chữa cũng nh khắc sâu để học sinh không mắc phải lần sau khi gặp

4, Giúp học sinh có những chú ý để nhớ phơng pháp nhanh ,chính xác

Nội dung nh sau

B

ớc 1 Đọc và giới thiệu định nghiã gía trị cực trị của một biểu thức nh sau : *Định nghĩa 1:Cho biểu thức f ( x;y;z…),xác định trên miền D ,ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,z…) trên miền D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn

-Với mọi x,y,z,… D thì f(x,y,z ) …  M với M là 1 hằng số

-Tồn tại x,y,z,…  D sao cho f(x,y,z, ) =M …

*Định nghĩa 2:Cho biểu thức f ( x;y;z…),xác định tren miền D ,ta nói M là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,z…) trên miền D nếu 2 đIều kiện sau đợc thoả mãn: -Với mọi x,y,z,… D thì f(x,y,z ) …  M với M là 1 hằng số

-Tồn tại x,y,z,…  D sao cho f(x,y,z, ) =M …

B

ớc 2 : Phân dạng ,tìm ra phơng pháp giải ,kinh nghiệm (nếu có ) ,khi giải bài toán tìm cực trị

Dạng 1: Dùng tam thức bậc 2

*Phơng pháp giải : Viết biểu thức dới dạng tổng của bình phơng của một nhị thức và một hằng số ,rồi xét giá trị của nó hoặc đa về phơng trình bậc hai rồi dựa vào đièu kiện có nghiệm của nó mà xét dấu của tam thức

*Ví dụ 1 :

a,Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 2x2 – 8x +1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B= -5x2 – 4x +1

Giải

A =2(x2 –4x +4)-7 =2(x-2) 2 -7 7x

 MinA = -7  x - 2 = 0  x=2b,

B = - 5x2 – 4 x+1 =-5

2



9 ax 5

M B 



2 0 5

x  



2 5

x 

*Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của: D = x2 + y2 biết rằng

x2 ( x2 + 2y2 –3 ) + (y2 –2 )2 =1 Giải

Từ x x2 2  2y2  3  y2  22   1 x4  2x y2 2 y4 4x2 y2  3 x2

x2 y22 4x2 y2 3 x2 0

x Vì x2y2=D nên D2  4D  3 0  (D – 3 ) ( D –1 )  01  D  3

 Min D = 1 x = 0 và D = 1 x = 0 và y = 1

Max D = 3  x = 0 và D = 3  x = 0 và y =  3

Dạng 2 Đa thức có chứa giá trị tuyệt đối

*Phơng pháp : Phá dấu GTTĐ ,rồi tìm giá trị Min ,Max của biểu thức tìm

đợc hoặc sử dụng tính chất của dấu GTTĐ

*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x-1)2 – 4 3x 1

+ 5 Giải

Đặt 3x 1

= y  0 Thì A = y2- 4y +5 =(y –2)2+1  1

 Min A =1  y =2  3x 1

=2

1 1 3

x x







 



*Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 2  x 3

Giải

B = x 2 x 3  x 2  3  x  x 2 3   x   1 1

Min B = 1 (x- 2) (3-x) =0  2  x 3

Dạng 3 :Đa thức bậc cao

*Phơng pháp : Dùng ẩn phụ để đa về tam thức bậc hai hoặc tổng của các tam thức bậc hai

*Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x(x-3)(x-4)(x-7) Giải

A = x(x-3)(x-4)(x-7) = (x2 –7x) (x2 –7x +12)

Đặt x2 –7x +6 = y thì A = ( y-6) (y+6) =y2 –36 -36

Vậy Min y = - 36  y2 = 0  y =0  x2 -7x+6 =0  x=1hoặc x = 6

*Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =(x +8)2 + (x+6)2

Giải

Đặt x +7=y Ta đợc B =(y+1)2+ (y –1)2 = 2y4 +12y2 +2  2  Min B =2

 y = 0  x= - 7 Dạng 4 Phân thức có tử là một hằng số mẫu là một tam thức bậc hai

*Phơng pháp :Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của riêng mẫu,từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của phân thức

*Ví dụ 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2

2

6x 5 9  x

Giaỉ

9x 6x 5 (3x 1) 4



Vì (3x-1)2 + 4  4  x do đó A = 2 2

9x 6x 5 (3x 1) 4 2 x

Min A =

3 1 0



    

Dạng 5 :Phân thức có mẫu là một nhị thức

*Phơng pháp : Nhóm tử thành tổng của bình phơng nhị thức ở mẩu với một hằng số rồi tách thành tổng và đặt ẩn phụ Hoặc tách tử thành tổng của 1 hằng số với bình phơng của 1 nhị thức

*Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2 2

3 8 6

2 1

 

 

A =

2

2

3 8 6

2 1

 

  =

3( 2 1) 2( 1) 1 3( 1) 2( 1) 1 2 1

3

Đăt y =

1

1

x  Điều kiện x  1 ; y  0

A = 3 – 2y +y2  (y 1)2   2 2 y

Do đó Min A = 2

1

1

x



*Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :B =

2 2

4 1

x

 

Điều kiện x  0;B =

2 2

4 1

x

 

=

x

Do đó Min B = -3  2x –1 = 0  x =

1 2

*Ví dụ 3 :Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức C =  

4 2 2

1 1

x x



 Giải

1

1



Vì

2

4

1

x

x

Suy ra Min

1

1 x 0

   

 Max C = 1  x = 0

Vì x2  12   0 x4   1 2x2

dấu bằng xảy ra khi x2=1  x = 1

Mà x2 +1  0 nên

2 4

1

x

x    C   

Suy ra Max

1

C =2 khi x =  1 .Do đó Min C =

1

2Khi x =  1 Dạng 6 :Xét biểu thức phụ

*Phơng pháp : Xét biểu thức phụ của biểu thức Alà

1

A ; -A , A2 , A

Rồi suy ra giá trị của biểu thức A

*Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2 1 1

x

xx

 vói 0  x  1 Giaỉ

Xét biểu thức

2 1 1







Vì 0  x  1 nên

2 0 1

x

x 

 và

1

0

x x





Ap dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dơng này ta đợc : C =

2 1 1







2 1

1

x x





Dấu bằng xảy ra khi

1

x x



 





 

 Suy ra Min C = 2 2  x 2 1 

Xét hiệu B – C = 3  B = C+3  MinB = 2 3 3  x = 2 1

Dạng 7 :Phân thức có mẫu là một biểu thức dơng

*Phơng pháp:Viết biểu thức thành tổng hoặc hiệu của một hằng số và một biểu thức có tử là bình phơng của một nhị thức và mẫu là mẫu của biểu thức đã cho rồi xét giá trị của nó

*Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2

3 4 1

x x



 Giải

A=

 2

2

1 1

x



   

Suy ra Min A = -1  x 2 0   x 2

Dạng 8 : Biến đổi và tìm cực trị của biểu thức đối với biến mới

*Phơng pháp : Biến đổi biểu thức nhờ diều kiện của biến ,từ đó xét giá trị của biểu thức với biến mới lập đợc

*Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 1 biêủ thức

A = x4  1 y4  1

x;y>0 và x+y = 10 Giải

A = x4  1 y4  1

=x4y4x y4 41

Ta có x+y = 10  x2y2  10 2  xy x4y4  100 40  xy 2x y2 2

Đặt x+y = t (t > 0) thì x4 +y4 =100 - 40t + 2t2  A = 100 - 40t + 2t2 +t4+ 1 = t4 - 2t2 - 40t +101

Tìm giá trị MinA = t2 42 10t 2 45 45 

 Min A = 45

2

10

xy

x y





      

 



Vậy x,y là nghiệm của phơng trình X2

X    x  y 

Hoặc

;

Tìm giá trị Ma x

Ta có

2 2

x y

         

 

A = t4 - 2t2 - 40t +101 = t(t3 + 2t – 40 ) +101

Do

Vì t  0 nên A  101

10

0

x

y

 









Dạng 9: Vận dụng bất đẳng thức một cách linh hoạt

*Phơng pháp: áp dụng các bất đẳng thức a b a  b a b;  a  b

;bất đẳng thức Cô si ;Bất đẳng thức Bunhiacôpski ;làm giảm một tổng ;làm tăng một tổng ;Làm trội một tích

Ví dụ :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = 2x 3y2

biết 2x2 3y2  5 Giải

H=2x 3y2  2 2x 3 3y     2 2  3 22x2  3y2

Max H = 25 

1

x y







  







Dạng 10 :Chia khoảng để tìm cực trị

*Phơng pháp :chia khoảng theo đIều kiện rồi sử dụng các bất đẳng

thức

Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức D = x(x2 – 6) biết 0  x 3

Giaỉ

D = x3 – 6x

Xét số x 3 2 2 2 2 

Vì 0 x 3 nên x3 >0 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số không âm ta

đ-ơc

3 2 2 2 2 3 3 2 2.2 2 6 3 2 2 2 2 6 0 3 6 4 2 / 0 3

 Min A = - 4 2Với x3  2 2  x 2

Dạng 11: Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của một biểu thức khi biết quan hệ giữa các biến của nó

*Phơng pháp :Xuất phát từ mối quan hệ giửa các biến đó làm giảm luỹ thừa gia các biến ,sau đó đa về luỹ thừa của một tổng (hiệu ) của một bình

ph-ơng với một hằng số

*Ví dụ : Tìm giá tọi nhỏ nhất của biểu thức A = x3 +y3 +xy biết x+y =1 Giaỉ

A = x y x   2 y2  xyxy x 2  xy y 2 xy x 2 y2

Từ x+y =1 y=1-x Thay vào biểu thức

A = x2 + (1-x)2 = 2x2 –2x+1 =

2

2

Bớc 3: Trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán ‘cực trị ‘.Đối vớí công dụng ,từng ví dụ ,tôi thờng phát hiện ở các em ,em nào có cách giải hay chặt chẽ hoặc thiếu chặt chẽ hoặc sai hoặc còn sai lầm từ đó tìm cách khuyến

khích ,sửa chữa uốn nắn hoặc phân tích các nguyên nhân ,đa ra các cơ sở để các

em thấy và công nhận Từ đó giúp các em có lời giải thật tốt và đạt kết quả cao

>sau đây là những sai lầm của học sinh thờng gặp khi giải toán cực trị :

Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1 của định nghỉa

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 2

1

6 12

x  x -Lời giải sai : Vì tử có giá trị bằng 1 không đổi nên a có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất

Ta có : x2 –6x +12 = (x-3)2 +3  3 Min x2 –6x +12= 3 x=3

 Max A =

1

3 x=3 -Phân tích sai lầm trong lời giải trên : tuy đáp số của lời giải không sai nhng lời giải không đợc chặt chẽ khi khẳng định A có tử không đổi nên giá trị lớn nhất khi mẩu có giá trị nhỏ nhất mà cha đa ra khẳng định cả tử và mẫu đều

d-ơng Chẳng hạn ví dụ xét biểu thức: B = 2

1 4

x 

Với lập luận phân thức A có tử không đổi nên giá trị lớn nhất có khi mẫu nhỏ nhất ,do mẫu nhỏ nhất bằng –4 khi x= 0 nên MaxB =

1 4



x=0 điều này không đúng vì

1 4

 không phải là giá trị lớn nhất của B chẳng hạn x=3 thì B =

1 1

2 4





Mắc sai lầm ở chỗ các em cha lắm chắc tính chất của bất đẳng thức mà đã máymóc áp dụng quy tắc ra cách hai phân số có tử mà mẫu là ssố tự nhiên sang

số nguyên

-Lời giải đúng : Do mẫu x2 –6x +12= (x-3)2 +3  3 Min x2 –6x +12= 3 x=3.Mặt khác tử và mẫu dơng nên  Max A = 3 x=3

Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 của định nghĩa

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x+ 3

-Lời giải sai :

A =

2

x x x x  x     MinA

-Phân tích lời giải sai : sau khi chứng minh đợc Min A =

1 4

 thì cha chỉ ra trờng hợp xảy ra dáu bằng để A =

1 4

 nghĩa là tìm x từ

1 2

x 

- Lời giải đúng là : Để tồn tại xthì x  0.Do đó x x  0 MinA  0 x 0

Bớc 4: Qua phân tích dạng ,qua thực tế giảng dạy học sinh ,tôi đã rút ra chú ý sau đây khi dạy học sinh tìm cực trị

Khi giải bài toán tìm cực trị ta có thể :

1, Đổi biến của biểu thức

2, Thay đổi điều kiện để biểu thứcnày đạt giá trị bởi đièu kiện tơng đơng

là biểu thức khác đạt cực trị Chẳng hạn ;

-A lớn nhất khi A nhỏ nhất

1

B lớn nhất khi B nhỏ nhất (B > 0)

C lớn nhất khi C2 lớn nhất (C > 0)

3,Tìm giá trị trong từng khoảng của biến ,sau đó so sánh các giá trị với nhau để tìm giá trị cực trị của biểu thức trong tập xác định của nó

4, Sử dụng linh hoạt và chính xác các bất đẳng thức đã học

5, Trong các biểu thức ,cần chú ý đến hai mệnh đề sau cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của tổng

-Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau

- Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau

6, Chú ý cho điều kiện hai của định nghĩa giá trị cực trị là chỉ ra sự tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng hức

Sau 4 bớc đã tiến hành trên ,tôi đã nhận thấy rằng học sinh khá giỏi có hứng thú giải toán hơn ,đạc biệt là giải toán cực trị

Học sinh đã phân đợc dạng toán tìm cực trị có phơng pháp cho từng dạng bài không khó khăn

Khi cha áp dụng những kinh nghiệm này thì học sinh còn mắc sai lầm khi tìm cực trị của một biểu thức sau khi định hớng phơng pháp giải tôi thấy học sinh đỡ mắc sai lầm hơn rất nhiều

Bài học kinh nghiệm

Sau khi áp dụng kinh nghiệm “Hớng dẫn học sinh giải toán tìm cực trị trong đại số “tôi đã thu đợc kết quả sau

-Học sinh khá giỏi tìm cực trị nhanh hơn không còn nhầm lẫn trong quá trình giải ,gây đợc hứng thú học tập cho học sinh

-Đã nâng cao đựoc hiệu quả theo tôi còn phải đọc sách nhiều ,có thời gian tiếp xúc hớng dẫn học sinh nhièu hơn nữa ,phải tự nghiên cứu cho

ph-ơng pháp của mình nhiều hơn nữa để phph-ơng pháp tốt hơn và đạt hiệu quả cao hơn

để có kết quả cao hơn trong việc dạy học đồng thời nâng cao trình độ bản

thân ,tôi còn phải tự bồi dỡng ,học hỏi đồng nghiệp nhiều hơn nữa

*****************************