phoøng giaùo duïc tp buoânmathuoät tröôøng thcs phan chu trinh kyø thi choïn hoïc sinh gioûi caáp tröôøng moân toaùn lôùp 9 – naêm hoïc 2007 – 2008 thôøi gian 90 phuùt khoâng keå thôøi gian giao ñeà

tia CA laáy moät ñieåm P tuyø yù. cosBCF 2) Goïi tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC laø H.[r]

Phòng giáo dục TP Buônmathuột

Trường THCS Phan Chu Trinh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Môn Toán lớp 9 – Năm học 2007 – 2008

Thời gian 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

_

Bài 1 : Cho các số nguyên a1, a2 , … , a2003 thoả mãn :

a1 + a2 + … + a2003 = 0

vaø a1 + a2 = a3 + a4 = … = a2001 + a2002 = a2003 + a1 = 1

Tính a1, a2003, a2

Bài 2 : a) Cho A = 10  24  40  60 hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức

b) Rút gọn biểu thức

B



Bài 3 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = | x - 1 | + | x – 2 |

b) Giải phương trình

3 x2   x 4 2 2   x

Bài 4 : Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy BC và AD (BC > AD) Trên tia đối của tia CA lấy một điểm P tuỳ ý Đường thẳng qua P và trung điểm I của BC cắt AB tại M , đường thẳng qua P và trung điểm J của AD cắt CD tại N Chứng minh MN // AD

Bài 5 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ các đường cao AD , BE , CF Chứng minh rằng :

1) AD BE CF = AB AC BC sinA sinB sinC

= AB AC BC cosCAD cosABE cosBCF

2) Gọi trực tâm của tam giác ABC là H Chứng minh hệ thức :

HF AB + HE AC = HA BC

Phòng giáo dục TP Buônmathuột

Trường THCS Phan Chu Trinh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Môn Toán lớp 9 – Năm học 2007 – 2008

ĐÁP ÁN

Bài 1 (3 điểm) : (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + … + (a2003 + a1 ) = 1002 ( 0,75đ) Nhưng a1 + a2 + … + a2003 = 0

Nên ta suy ra a1 = 1002 (0,75đ)

Ta lại có : a2003 + a1 = 1 nên a2003 = 1 - a1 = 1 – 1002 = - 1001 (0,75đ) Mà a1 + a2 = 1  a2 = 1 - a1 =1 – 1002 = - 1001 (0,75đ) Bài 2 (3đ):

   

 

3 2 3 3

(3 ) 2 3 3

B

    



    



B

3 3

x x



 (1đ) Bài 3(6đ) : a) (3đ) Ta có : | x – 1 | + | x – 2 | = | x – 1 | + | 2 – x | > | x – 1 + 2 – x | = 1 (1đ)

C = 1  (x – 1)(2 – x ) > 0 (0,5đ)



1 0

x x

 





1 0

x x

 





 (0,5đ)

 1 < x < 2 (0,5đ) Vậy C có giá trị nhỏ nhất là 1 khi 1 < x < 2 (0,5đ) b)(3đ) 3x2 x 4 2 2  x

x





1

x







  x = 1 (3đ) Bài 4 : (3đ)

J

I

N M

F

E

P

D

C B

điểm của PI và AD Ta có : BC // AD , JA = JD và

IB = IE nên

ND JD JA PA (1)

MAAF AF PA (2)

Từ (1) và (2) suy ra

MAND mà AD // BC nên ta có MN // AD Bài 5 (5đ): 1) (3đ)

H

ADC vuông tại D : AD

AC = sinC = cosCAD (1) ABE vuông tại E : BE

AB = sinA = cosABE (2) BCF vuông tại F : CF

CB = sinB = cosBCF (3) Từ (1) , (2) ,(3) suy ra AD

AC

BE

AB

CF

CB = sinC sin A sinB = cosCAD cosABE cosBCF

F

E

B

A

2) (2đ)

ta có : SHBC + SHAB + SHAC = SABC

<=> 1

2 HD BC +

1

2 HF AB +

1

2 HE AC =

1

2 AD BC => HF AB + HE AC = AD BC - HD BC = (AD - HD) BC = HA BC