SKKN TOAN 8 DIEN TICH CAC HINH BANG NHAU

Mèi liªn hÖ nµy còng th- êng ®îc øng dông trong khi chøng minh.[r]

kinh nghiệm trong giảng dạy

bài toán chứng minh diện tích

các hình bằng nhau

I/ Đặt vấn đề:

- Chúng ta đã biết toán học đợc phát sinh, phát triển do nhu cầu thực tiễn của con ngời từ việc đo đạc tính toán vì vậy các kiến thức toán học có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tiễn, nó đợc áp dụng rộng rãi trong đời sống sinh hoạt của con ngời, không những thế các kiến thức toán học còn là phơng tiện cho nhiều ngành khoa học khác phát triển

- Đặc biệt thể loại toán chứng minh diện tích các hình bằng nhau có rất nhiều ứng dụng cụ thể trong đời sống nó giúp ta xác định đợc:

+Cần bao nhiêu viên gạch men có kích hức cụ thể để lát kín một nền nhà có diện tích xác định

+ Hoặc muốn xây một căn nhà có diện tích sử dụng cho trớc cần bao nhiêu

m2 đất

- Do tính thực tiễn của nó nên kỹ năng giải baì toán chứng minh diện tích các hình bằng nhau là một trong những yêu cầu không thể thiếu đối với tất cả học sinh nói chung và học sinh THCS nói riêng Chính vì thế mà ta đã ,suy nghĩ , tìm tòi và trăn trở rất nhiều để tìm ra cách chứng minh diện tích các hình bằng nhau một cách có hiệu quả nhất, phát huy hết khả năng quan sát, nhận biết và vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập thuộc thể loại nói trên

II/ một số kinh nghiệm:

*)Thông thờng để hớng dẫn học chứng minh diện tích các hình bằng nhau tôi thờng định hớng cho các em lợi dụng một số đơn vị kiến thức sau:

(1) Tính chất diện tích tam giác.

(2) Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau.

(3) Diện tích hình tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành có

đáy và chiều cao bằng đáy và chiều cao của tam giác.

(4) Tỷ số diện tích của hai tam giác có chiều cao bằng nhau bằng tỷ số hai đáy của hai tam giác đó.

(5) Ba đờng trung bình của tam giác chia tam giác ấy thành bốn tam giác nhỏ bằng nhau và diện tích mỗi tam giác tạo nên bởi một đờng trung bình cắt hai cạnh chỉ bằng một phần t diện tích tam giác cũ.

*) Để s ử dụng đợc các đơn vị kiến thức trên khi tiến hành làm bài, học sinh phải :

+ Đọc kỹ đầu bài.

+ Vẽ hình.

+ Quan sát hình vẽ, suy xét vấn đề.

+ Bằng lợng kiến thức về diện tích đa giác, kết hợp với các dữ kiện bài cho, các em phân tích, suy luận phát hiện ra tất cả các dữ kiện mới, những vấn đề mới có đợc từ giả thiết hoặc từ tính chất của hình vẽ

+ Song song với việc tìm tòi của học sinh, giáo viên còn phải dẫn dắt định hớng cho học sinh đa đợc bài toán về dạng áp dụng đợc các kiến thức liên quan đến diện tích.

Trong các quá trình tiến hành nói trên suy xét vấn đề để định hớng các làm là mấu chốt để giải quyết vấn đề Vì vậy tôi xin đợc đa ra một số ví dụ thể hiện quá trình suy xét nh sau:

*)Các ví dụ cụ thể:

(1) Lợi dụng các tam giác có đáy và chiều cao bằng nhau.

" Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì có diện tích bằng nhau" đợc ứng dụng nhiều trong trờng hợp nh hình (a)

( Hai tam giác có cạnh đáy chung, đỉnh của chúng cùng nằm trên một đờng thẳng song song với đáy)

Trờng hợp nh các hình (b) và (c), (có đỉnh chung và hai đáy bằng nhau cùng nằm trên một đờng thẳng), và hình (d) gồm cả đặc điểm của hai loại trên, thì

ít ứng dụng đến

(a) (b) ( c) (d)

gt ABC, qua A, B , C dựng AD // BE // CF cắt cạnh đối

diện hoặc cạnh kéo dài tại D, E, F

kl SDEF = 2 SABC

E

F

A

B D C

Suy xét:

DEF có thể chia làm 3 phần: một là ADE, hai là ADF , ba là AEF, tam giác ADE và tam giác ADB có đáy chung và chiều cao bằng nhau nên

SADE = SADB (1) ,(S là diện tích )

Tơng tự SADF = SADC (2)

Cộng (1) và (2) thì sẽ bằng diện tích của ABC

Ta chỉ cần chứng minh thêm: SAEF = SABC

Nhìn vào hình vẽ ta thấy SCFE = SCFB

Đem hai vế của đẳng thức này trừ đi SCFA, rồi đem cộng với (1) và (2) ta

sẽ chứng minh đợc kết luận

(2) Lợi dụng hình bình hành và tam giác có đáy và chiều cao bằng nhau.

ứng dụng "Diện tích hình tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành

có đáy và chiều cao bằng đáy và chiều cao của tam giác" cũng có thể chứng

VD2: (Dùng diện tích để chứng minh định lý Pi ta go)

Gt ABC, ( A = 90o) dựng các hình vuông ABDE, BCFG

và CAH K ra phía ngoài của ABC

kl S ABDE + S CAHK = S BCFG

E

D H

A

K

B C

A D

Suy xét:

Nối C với D thì hình vuông BADE và tam giác BCD có BD là đáy chung,

AB bằng đờng cao của tam giác nên:

SABDE = 2 S BCD (1)

Nối thêm AG, ta sẽ chứng minh đợc BCD = BGA, tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng cũng bằng nhau

+ Ta dựng thêm ALM vuông góc với BC

Tơng tự nh (1) ta có:

SBLMG = 2 S BGA (2)

so sánh (1) và (2) ta thấy:

SABDE = SBLMG

và ta cũng có thể dùng cùng mọt phơng pháp chứng minh

SACKH = SCLMF

(3) lợi dụng tỷ số của hai tam giác có chiều cao bằng nhau:

Vì "Tỷ số diện tích của hai tam giác có chiều cao bằng nhau bằng tỷ số hai

đáy của hai tam giác đó" cho nên nếu có BE : EC = m : n thì có

SABE : SAEC = m : n

VD3:

gt ABC, EBC, AD =⅓AB , E thuộc BC, BE = ⅓BC

F thuộc AC, CF = ⅓CA

kl S DEF = ⅓S ABC

A

D

F

B C

E

Suy xét:

Giữa DEF và ABC Không kiên quan trực tiếp với nhau nên phải tìm một tam giác khác làm trung gian

+ Muốn chứng minh: S DEF = ⅓S ABC

Thì ta CM: S BED + S CFE + S ADF =⅔ S ABC

+ Ta quan sát: BED và ABC, để so sánh ta nối AE và dùng ABE làm trung gian vì hai tam giác trớc đều có chiều cao bằng chiều cao của ABE

* CM cụ thể:

Nối AE, ta đã biết BE = 1/3 BC

Mà BE và Bc là hai đáy của ABE và ABC có chiều cao bằng nhau

Từ định lý nên ở (3) ta có: S ABE = ⅓ S ABC

Mặt khác : BD = ⅔ AB nên S BED = ⅔ S ABE

= 2/3 1/3 S ABC

= 2/9 SABC

CM tơng tự ta cũng có:

SCFE = 2/9 SABC ; S ADF = 2/9 SABC

Lấy SABC lần lợt trừ đi diện tích ba tam giác trên ta đợc:

SDEF = (1 - 3 2/9) S ABC = ⅓ S ABC

(4) Lợi dụng đờng trung bình của tam giác

Ba đờng trung bình của tam giác chia tam giác ấy thành bốn tam giác nhỏ bằng nhau, và diện tích mỗi tam giác tạo nên bởi một đờng trung bình cắt hai cạnh chỉ bằng một phần t diện tích tam giác cũ Mối liên hệ này cũng th-ờng đợc ứng dụng trong khi chứng minh

VD 4:

gt Tứ giác ABCD, M và N lần lợt là trung điểm của AC,BD; MO//DB, NO//AC, nối trung điểm của 4 cạnh là E, F, G, H với O

kl OE; OF; OG; OH chia tứ giác ABCD thành 4 phần có diện tích bằng nhau

A

D

E

M

N

O

B C

Suy xét:

Nối MF; MG thì:

SMGC = 1/4 SADC

Cộng từng vế của hai đẳng thức ta đợc : S MFCD = 1/4 SABDC

Muốn chứng minh : SOFCG = 1/4 S ABDC Ta chỉ cần chứng minh:

SMFCG = S OFCG là đợc

Hai tứ giác này có tam giác FCG chung nên chỉ cần chứng minh thêm

SMFG = SOFG vì FG//BD//OM

Nên hai tam giác này có cùng một chiều cao, lại có đáy chung Do đó diện tích của chúng bằng nhau

III/ kết quả

Qua những năm công tác giảng dạy khi gặp thể loaị bài tập chứng minh diện tích các hình bằng nhau tôi đã kiên trì làm theo phơng pháp đã nêu tôi nhận thấy:

+ 80% học sinh biết suy xét nhận ra những hình có cùng diện tích Từ đó rút ra kết luận đối với những bài tập ở mức độ đơn giản.

+ 60% học sinh làm đợc bài tập chứng minh diện tích các hình bằng nhau thông qua một hình trung gian.

* Tóm lại : Khoảng 60% - 70% học sinh biết quan sát, suy xét làm bài tập

chứng minh diện tích các hình bằng nhau

IV/ Những đề nghị:

Tôi thấy hiện tại giáo cụ trực quan của môn toán quá đơn điệu Vì vậy tôi mạnh giạn đề xuất Bộ, Sở, Phòng, Trờng và cả bản thân giáo viên cần chú ý sáng tạo và làm nhiều giáo cụ trực quan hơn nữa để các bài dạy đỡ khô khan

và tăng tính hấp dẫn cho bài giảng

Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ bản thân tôi tích luỹ từ nhiều năm công tác, tôi mạnh dạn nêu ra mong các bạn đồng nghiệp cùng trao đổi.

Xin chân thành cảm ơn !

Trực Cờng, ngày 16 tháng 5 năm 2009

Ngời viết

Bựi Văn Thụng