Dùng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích trường bức xạ trong không gian 3d và ứng dụng vào GIS

Với điều kiện ngày nay, giới hạn trên không còn nữa và do đó các phương pháp số này đang dần thay thế các phương pháp giải tích trong các bài toán phức tạp và ngày càng phát huy sức mạnh

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI:

DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

PHÂN TÍCH TRƯỜNG BỨC XẠ TRONG KHÔNG GIAN 3D

Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn Thầy Vũ Đình Thành, Thầy Lương Hữu Tuấn, Cô Võ Thị Thu Sương Trong thời gian em thực hiện luận án tốt nghiệp này, ngoài việc hướng dẫn nhiệt tình về mặt chuyên môn, các Thầy luôn theo sát tiến trình thực hiện và luôn động viên, hướng dẫn em làm việc một cách khoa học

Ngoài ra, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Điện – Điện Tử, đặc biệt

là các thầy cô trong Bộ Môn Viễn Thông đã truyền thụ cho em những kiến thức quí giá trong quá trình học tập

Con xin cảm ơn ba, mẹ, những anh chị em trong gia đình đã động viên và tạo điều kiện cho con hoàn thành luận án này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đặc biệt là bạn Đoàn Minh Đức, đã giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện

Do thời gian và kiến thức có hạn nên việc thực hiện đề tài không tránh khỏi sai sót

Em mong các thầy cô thông cảm và chỉ dạy thêm

Tháng 7 năm 2005 Học viên thực hiện:

NGUYỄN NGỌC ANH

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

1 Giới thiệu vấn đề và tình hình hiện nay

1.1 Giới thiệu vấn đề

Trong thời đại ngày nay, khi thông tin trở thành một phần không thể thiếu trong cuộc sống thì thông tin liên lạc trở thành một trong các lĩnh vực được quan tâm hàng đầu trên thế giới Thông tin liên lạc có mặt trong tất cả mọi ngành, mọi lĩnh vực từ đơn giản đến phức tạp Nó cho phép con người làm chủ được không gian, thời gian và làm cho cuộc sống con người được tiện nghi, thoải mái hơn Hướng phát triển cho ngành này hiện là một đề tài hết sức hấp dẫn cho các ngành khoa học nhằm tìm đến những công nghệ mới đưa ngành thông tin liên lạc lên một tầm cao mới

Nếu phân loại theo cách truyền thì thông tin liên lạc có thể được chia thành 2 loại chính:

hữu tuyến và vô tuyến Truyền hữu tuyến là sử dụng các hệ thống truyền dẫn như dây song

hành, cáp đồng trục…”chuyên chở” sóng điện từ dưới dạng dòng điện Cách truyền này tuy có độ chính xác cao nhưng bị một hạn chế lớn về khoảng cách Ngược lại, cách truyền

vô tuyến là bức xạ sóng điện từ ra không gian nên hạn chế về khoảng cách xem như bị loại

bỏ Do đó thông tin vô tuyến hiện nay đang rất được quan tâm và ứng dụng rộng rãi

Trường điện từ bức xạ là một trong những đề tài gắn liền với thông tin vô tuyến Nghiên

cứu trường bức xạ cho ta một cái nhìn cụ thể về phân bố trường để ta có thể xây dựng đường truyền vô tuyến tối ưu Chẳng hạn như một đài truyền hình nên đặt anten phát của mình ở đâu trong thành phố là hợp lý? Các trạm thu vô tuyến nên đặt ở đâu để có được chất lượng thu đạt yêu cầu? hay các công ty điện thoại di động nên đặt các cell site của mình ở đâu để có được quy hoạch cell tốt nhất? Những công việc trên đòi hỏi ta phải có sự chuẩn bị, nghiên cứu phân bố trường của anten thật kỹ càng nhằm hạn chế phần nào những sai sót trong quá trình thực hiện

Nếu xét trên địa hình bằng phẳng như giữa một cánh đồng thì việc nghiên cứu tỏ ra khá dễ dàng và ta chỉ việc giải các phương trình sóng Nhưng nếu gặp địa hình phức tạp như thành phố có nhiều nhà cao tầng, khu vực rừng núi… thì việc giải các phương trình sóng là không thể thực hiện được Dù đã có một số phương pháp giải tích xấp xỉ nhưng do tính quá phức tạp của bài toán vật lý nên việc giải chúng theo cách này hầu như không thể thực hiện được Ngoài ra, người ta còn đưa ra các công thức thực nghiệm được áp dụng trong một số

trường hợp để tính phân bố trường Tuy nhiên khi đem chúng áp dụng vào bài toán thực tế trong một địa hình phức tạp thì chúng không còn chính xác nữa Do đó cần có một phương pháp mới để giải quyết các bài toán trên

Và các phương pháp số đã xuất hiện và đã đáp ứng được yêu cầu trên Thực chất, các

phương trình trong lĩnh vực điện từ là các phương trình đạo hàm riêng hay tích phân mà các phương pháp số có thể giải chúng trong trường hợp tổng quát trong khi các phương pháp giải tích tỏ ra bất lực Thật ra, cơ sở của các phương pháp số đã có từ lâu nhưng bị giới hạn bởi khả năng của máy tính Với điều kiện ngày nay, giới hạn trên không còn nữa

và do đó các phương pháp số này đang dần thay thế các phương pháp giải tích trong các bài toán phức tạp và ngày càng phát huy sức mạnh của mình trong lĩnh vực điện từ Hướng phát triển tới trong nghiên cứu trường điện từ là bên cạnh các phương pháp kinh điển cơ bản, chúng ta sẽ hoàn thiện dần các phương pháp số để nâng cao dộ chính xác và tính hiệu quả của phương pháp

Một số phương pháp số cơ bản thường được áp dụng là phương pháp sai phân hữu hạn,

phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp moment Trong đề tài này, chúng ta sẽ đi sâu

nghiên cứu về phương pháp phần tử hữu hạn vốn đã có một nền tảng tương đối từ các đề tài nghiên cứu trước đây

1.2 Tình hình hiện nay

Hiện nay, đề tài nghiên cứu trường bức xạ bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã có một

số kết quả rất tốt Chẳng hạn như nghiên cứu trường bức xạ của anten trong không gian

2-D, có vật cản hấp thụ và phản xạ Kết quả trên đã được tích hợp vào chương trình GIS để

có thể hiển thị trên bản đồ số Tuy nhiên, đối với một không gian thực, những nghiên cứu trong mặt phẳng 2-D vẫn là chưa đủ Chẳng hạn như một tòa nhà, một ngọn núi,… phải có chiều cao thực của chúng chứ không thể là cao vô hạn như những nghiên cứu trên Chúng

ta phải xây dựng thêm những nghiên cứu trên cơ sở không gian 3-D để dần hoàn thiện phương pháp

Để thực hiện điều này, chúng ta có nhiều phương pháp, phụ thuộc vào cách chia lưới vật

thể trong không gian 3D Chúng ta có thể xây dựng nên một phương pháp chia lưới tứ diện

(tổng quát nhất) và thực hiện mọi tính toán theo lưới này Tuy phương pháp này đang hiện

là mối quan tâm của nhiều ngành và vẫn còn là phương pháp mở để mọi người nghiên cứu, nhưng nó đòi hỏi thời gian nghiên cứu rất lâu dài Còn phương pháp thứ hai là tận dụng

lưới 2-D sẵn có trong MATLAB để xây dựng nên một lưới lăng trụ tam giác Lưới này

tuy không thể linh hoạt như lưới tứ diện nhưng nó lại có lợi điểm là tận dụng những kết quả sẵn có trong nền MATLAB để mở rộng lên nền 3D Từ kết quả này, ta có thể tạo ra được một phương pháp phần tử hữu hạn trong không gian 3D với đầy đủ các công cụ, tính năng cần thiết nhờ vào những kết quả 2D sẵn có Phương pháp dùng lưới lăng trụ sẽ làm nền tảng để tiến đến xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát trong không gian 3D Đề tài này sẽ tập trung nghiên cứu phương pháp chia lưới lăng trụ tam giác để tạo ra kết quả ở một số trường hợp và hỗ trợ cho những nghiên cứu tổng quát về sau

2 Nội dung, phạm vi nghiên cứu

2.1 Nội dung nghiên cứu

Trong đề tài này, chúng ta sẽ nghiên cứu các nội dung sau:

- Dùng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích trường bức xạ trong không gian 3-D

- Tích hợp phương pháp trên vào các chương trình GIS để hiển thị kết quả trên bản đồ số

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian có hạn, chúng ta chỉ giới hạn đề tài ở phạm vi như sau:

- Về anten: chúng ta chỉ nghiên cứu trường hợp đơn giản nhất là dipole có dòng điện điều hòa

- Về loại chướng ngại vật: Ta chỉ xét trường hợp vật cản hấp thu toàn phần và vật cản phản xạ toàn phần Nếu còn đủ thời gian, chúng ta sẽ đi sâu nghiên cứu các trường hợp hấp thu và phản xạ từng phần

- Về hình dạng chướng ngại vật: do giới hạn của khung lưới lăng trụ, nên ta chỉ xét các loại chướng ngại có hình dạng đơn giản, chủ yếu là hình trụ

- Về môi trường truyền: ta chỉ xét không gian tự do

Phạm vi này tuy còn hạn hẹp nhưng là 1 cơ sở cần có để phát triển phương pháp này cho những bài toán tổng quát hơn

Tóm lại luận án được chia làm 4 phần:

Phần 1: Giới thiệu một cách khái quát về phương pháp phần tử hữu hạn

Phần 2: Giới thiệu một cách khái quát về công nghệ thông tin địa lý

Phần 3: Giới thiệu cách thức biên dịch từ Matlab sang C++ và tạo ra chương trình đứng

một mình, mục đích của công việc này là tăng tốc độ tính toán của chương trình và tìm một định dạng mới để liên kết với phần mềm MapObjects

Phần 4: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn và công nghệ thông tin địa lý để tính

phân bố trường bức xạ từ địa hình cụ thể Trong phần này, em sẽ dùng chương trình mô

phỏng Gis (được xây dựng bởi tác giả) để minh hoạ

Cuối cùng là những đánh giá của tác giả và nêu lên các hướng phát triển cho đề tài

MỤC LỤC

^‘]

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

1 Giới thiệu vấn đề và tình hình hiện nay 1

1.1 Giới thiệu vấn đề 1

1.2 Tình hình hiện nay 2

2 Nội dung, phạm vi nghiên cứu 3

1.1 Nội dung nghiên cứu 3

1.2 Phạm vi nghiên cứu 3

PHẦN 1 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ…… 4

1 Hệ phương trình Maxwell 1.1 Dạng vi phân của phương trình Maxwell……… 4

1.2 Trường điện tĩnh và trường từ tĩnh……… 5

1.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa……….5

1.4 Các phương trình liên hệ……… 6

2 Thế vô hướng và thế vectơ 6

2.1 Thế vô hướng đối với trường điện tĩnh……… 6

2.2 Thế vectơ đối với trường từ tĩnh……… 6

3 Phương trình sóng 7

3.1 Phương trình sóng sạng vectơ 7

3.2 Phương trình sóng dạng vô hướng……… 7

4 Điều kiện biên 8

4.1 Tại mặt phân cách giữa hai môi trường……….8

4.2 Tại bề mặt vật dẫn lý tưởng……… ………… 9

4.3 Tại bề mặt vật dẫn thực……….9

5 Điều kiện bức xạ……… … 10

5.1 Điều kiện bức xạ Sommerfeld………10

5.2 Những điều kiện bức xạ bậc cao……….10

CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 12

1 Định nghĩa bài toán trị biên và các phương pháp kinh điển cho bài toán trị biên…12 1.1 Định nghĩa bài toán trị biên 12

1.2 Các phương pháp kinh điển để giải bài toán trị biên 13

1.2.1 Phương pháp Ritz 13

1.2.2 Phương pháp Galerkin 14

A Phương pháp kết hợp điểm 15

B Phương pháp kết hợp miền con 15

C Phương pháp bình phương tối thiểu 16

2 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn 16

3 Các bước cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn 17

3.1 Rời rạc hoá miền khảo sát 17

3.2 Chọn hàm nội suy 19

3.3 Thiết lập hệ phương trình 19

A Thiết lập công thức thông qua phương pháp Ritz 19

B Thiết lập công thức thông qua phương pháp Galerkin 21

3.4 Giải hệ phương trình 22

CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN 2-D……… 24

1 Bài toán trị biên 24

2 Xây dựng công thức biến phân 25

3 Phân tích phần tử hữu hạn 27

3.1 Rời rạc hoá miền khảo sát 28

3.2 Hàm nội suy phần tử 29

3.3 Thiết lập công thức thông qua phương pháp Ritz 31

A Xác định ma trận và vectơ phần tử 31

B Tích hợp hệ phương trình 32

C Kết hợp điều kiện biên loại ba 34

D Gán điều kiện biên Dirichlet 37

3.4 Thiết lập công thức thông qua phương pháp Galerkin 38

3.5 Giải hệ phương trình 41

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN 3-D……… 42

1 Giới thiệu phần tử lăng trụ tam giác 42

2 Mở rộng phương pháp phần tử hữu hạn trong không gian 3D trong MATLAB…… 43

2.1 Cơ sở MATLAB thương mại (trong không gian 2D) 43

2.2 Mục tiêu mở rộng ra 3D sử dụng lưới lăng trụ 43

2.3 Nội dung mở rộng 44

2.3.1 Chia lưới 44

2.3.2 Hàm nội suy 44

2.3.3 Tích hợp hệ phương trình 45

2.3.4 Điều kiện biên 45

3 Hàm nội suy cho phần tử lăng trụ tam giác 46

3.1 Tính Kij 46

3.2 Tính bi 50

PHẦN 2

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CÔNG NGHỆ GIS……… 51

1 Tổng quan về công nghệ GIS 51

2 Hệ thống thông tin địa lý…… 52

2.1 GIS là gì 52

2.2 Chọn dữ liệu thích hợp 53

2.3 Dữ liệu liên quan địa lý……….53

3 Quản lý dữ liệu trong GIS 54

3.1 Giới thiệu 54

3.2 Các mô hình dữ liệu………… 54

3.3 Bản chất của dữ liệu địa lý……….55

3.3.1 Vị trí địa lý……… ……… ………55

3.3.2 Thuộc tính……… ………55

3.3.3 Mối quan hệ không gian……… ……… …56

3.3.4 Mối quan hệ thời gian……… ……… 56

3.4 Mô hình dữ liệu không gian………56

3.4.1 Mô hình dữ liệu raster……… 57

3.4.2 Mô hình dữ liệu vector……… ……… 57

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU GIS CỦA HỆ THỐNG… 58

1 Các loại dữ liệu trong GIS 58

2 Cách tổ chức dữ liệu không gian trong GIS 58

3 Cách tổ chức dữ liệu thuộc tính trong GIS 59

4 Cách thức tiến hành xây dựng cơ sở dữ liệu GIS……… …59

PHẦN 3

CHƯƠNG 1: CÁCH THỨC ĐỂ BIÊN DỊCH MATLAB SANG C/C++ VÀ TẠO CHƯƠNG

TRÌNH ĐỨNG MỘT MÌNH……….………63

1 Trình biên dịch Matlab……… 63

1.1 Giới thiệu……….…….63

1.2 Tại sao phải biên dịch các file m……… 64

1.2.1 Các ứng dụng đứng một mình và DLLs……… 64

1.2.2 Che dấu các thuật toán………64

1.2.3 Tăng tốc độ……… ……….…64

1.3 Giới hạn và hạn chế……… 65

1.3.1 Mã Matlab……… 65

1.3.2 Các ứng dụng đứng một mình……….65

1.4 Yêu cầu về hệ thống……… 65

1.4.1 Yêu cầu về phần cứng………… ……… 65

1.4.2 Yêu cầu về phần mềm……… ……… 65

2 Cài đặt và định cấu hình cho Matlab Compiler 66

2.1 Cài đặt……… 66

2.2 Định hình……….66

2.3 Kiểm tra Mex-file……….…….71

2.4 Kiểm tra Matlab Compiler……… ….71

3 Xây dựng chương trình đứng một mình dùng Matlab Compiler 72

3.1 Sự khác nhau giữa Mex-file và các ứng dụng đứng một mình 73

3.1.1 Các Mex-file……… ……….…………73

3.1.2 Các ứng dụng đứng một mình…… ……… 73

3.1.3 Các ứng dụng đứng một mình C/C++……….……….74

3.2 Xây dựng các ứng dụng đứng một mình C/C++ 74

3.2.1 Định hình cho C/C++………74

3.2.2 Các dạng lệnh mbuild……… ……… 75

3.2.3 Thanh công cụ IDE……… ……….75

4 Xây dựng các ứng dụng đứng một mình có sử dụng giao diện 76

4.1 Giới thiệu sơ lược về Matlab C/C++ Graphics Library……….76

4.1.1 Các thành phần cấu hình……… ……….………76

4.1.2 Định hình Matlab C/C++ Graphics Library……… ……….…………76

4.1.3 Sự hạn chế……… ……… …76

4.2 Xây dựng các ứng dụng đứng một mình………77

4.2.1 Tổng quát……….…… 77

4.2.2 Sự thay đổi của giao diện sau biên dịch……… ……… … 77

4.3 Sửa chữa các lỗi thường gặp……….77

4.3.1 Lỗi do sử dụng các đặc điểm matlab không hổ trợ……… 77

4.3.2 Lỗi do biên dịch các ứng dụng được viết giống nguyên bản…… ………78

4.3.3 Lỗi biên dịch do thiếu khai báo hàm trong lệnh “callback”…… ………78

4.3.4 Lỗi file menu không xuất hiện trong giao diện………78

4.3.5 Sự xung đột với Microsoft Foundation Class (MFC) DLL……… ……….78

CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ MAPOBJECTS… 79

1 Giới thiệu tổng quan về phần mềm MapObjects 79

2 Các dạng dữ liệu được dùng trong MapObjects 80

3 Một số hàm của MapObjects dùng trong chương trình 80

PHẦN 4

CHƯƠNG 1: SƠ ĐỒ KHỐI GIẢI THUẬT 83

1 Sơ đồ khối tổng quát 83

2 Sơ đồ cho khối I 84

3 Sơ đồ cho khối II……… ….85

4 Sơ đồ cho khối III……….….86

5 Sơ đồ cho khối IV……… ….87

6 Sơ đồ cho khối V……….88

6.1 Khối phóng to……… …88

6.2 Khối thu nhỏ……….……….89

6.3 Khối kéo rê……… 90

6.4 Khối bảng màu……… 91

7 Các hàm mô phỏng và giải thuật cho hàm Matlab………92

7.1 Các hàm mô phỏng……….92

7.2 Sơ đồ giải thuật……….… 96

CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ CÁC CHƯƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG……….97

1 Phần mềm 3D (MATLAB) 97

1.1 Ứng dụng 97

1.2 Giao diện và hướng dẫn sử dụng 98

2 Phần mềm GIS 101

2.1 Ứng dụng 101

2.2 Giao diện và hướng dẫn sử dụng 101

CHƯƠNG 3: MÔ PHỎNG TRƯỜNG BỨC XẠ 104

1 Mô phỏng trường bức xạ bằng phần mềm 3D - kiểm chứng kết quả - khi có vật cản 104

1.1 Mô phỏng trường bức xạ bằng phần mềm 3D 104

1.2 So sánh với phần mềm 2D 108

1.3 Kết quả bài toán khi có vật cản 109

1.3.1 Mô tả bài toán 109

1.3.2 Kết quả mô phỏng 110

2 Mô phỏng trường bức xạ trên bản đồ số bằng phần mềm GIS 113

2.1 Bản đồ số vector 113

2.2 Dùng GIS để tải bản đồ và truyền thông số cho FEMMAT 115

2.2.1 Tải bản đồ bằng GIS 115

2.2.2 Truyền kết quả cho FEMMAT 116

2.2.3 Hiển thị kết quả trong FEMMAT 117

2.2.4 Hiển thị kết quả trong GIS 118

KẾT LUẬN & HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Phân tích trường điện từ thực chất là giải các phương trình Maxwell theo các điều kiện

biên cho trước Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu lại các khái niệm và phương trình

cơ bản của trường điện từ Ở đây, ta đặc biệt sẽ chú trọng tới việc giới thiệu các phương

trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên tạo nên các bài toán trị biên giải bằng phương

pháp phần tử hữu hạn

1 Hệ phương trình Maxwell

Hệ phương trình Maxwell là hệ các phương trình cơ bản chi phối các hiện tượng điện từ vĩ

mô Các phương trình có thể viết dưới dạng vi phân hay tích phân Nhưng ở đây, chúng ta

chỉ giới thiệu dạng vi phân để tiện cho việc tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell

Trong trường điện từ biến thiên theo thời gian dạng tổng quát, hệ phương trình Maxwell ở

×

∇

t

B E

ρρ

(định luật Faraday) (1.1)

J t

từ các phương trình độc lập nên chúng được gọi là phương trình phụ thuộc

1.2 Trường điện tĩnh và trường từ tĩnh

Khi các đại lượng trường không thay đổi theo thời gian ta có trường điện từ tĩnh Trong trường hợp này (1.1), (1.2), (1.5) có thể được viết dưới dạng:

và (1.7) với (1.8) là hệ quả của (1.7)

1.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa

Khi các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa với một tần số duy nhất, chúng ta có trường biến thiên điều hòa theo thời gian Ta viết các phương trình (1.1), (1.2), (1.5) dưới dạng phức như sau:

0

=+

×

∇ Eρ j Bρ

J D j

Trong đó ω là tần số góc Trong trường hợp này trường điện và trường từ tồn tại đồng thời

và tương tác với nhau, và rõ ràng rằng trường tĩnh là trường hợp đặc biệt của trường hợp này khi ω tiến đến 0

Trong đó các thông số liên hệ ε,µ,σ tương ứng là độ thẩm điện (F/m), độ thẩm từ (H/m),

độ dẫn điện (S/m) của môi trường Đối với môi trường không đồng nhất chúng là hàm theo tọa độ còn trong môi trường đồng nhất chúng là hằng số

2 Thế vô hướng và thế vectơ

Để giải các phương trình Maxwell, người ta có thể chuyển đổi các phương trình đạo hàm

riêng bậc nhất gồm hai đại lượng trường thành phương trình đạo hàm riêng bậc hai chỉ có một đại lượng trường Điều này sẽ được minh họa trong trường hợp điện từ tĩnh

2.1 Thế vô hướng đối với trường điện tĩnh

Như đã đề cập ở trên, trường đ ện tĩnh chi phối bởi (1.3) và (1.6) Trong đó (1.6) có thể được thỏa mãn bằng cách viết

i

Eρ dưới dạng sau:

2.2 Thế vectơ đối với trường từ tĩnh

Trường từ tĩnh chi phối bởi (1.4) và (1.7), trong đó (1.4) có thể thỏa mãn bằng cách biểu

không đơn trị bởi nếu Aρ

là nghiệm của (1.18) thì bấ kỳ hàm nào có dạng t

f

A

Aρ' = ρ+∇ cũng là nghiệm của (1.18) bất kể giá trị Do đó để f Aρ

là duy nhất người ta

phải áp đặt điều kiện của Aρ

trong công thức Divergence Điều kiện đó có thể được chọn

như sau:

0

Phần trình bày trên chỉ đúng với trường điện từ tĩnh Trong trường hợp trường biến thiên

điều hòa, trường điện từ cũng có thể được biểu diễn thông qua thế vô hướng và thế vectơ

3 Phương trình sóng

Như đã đề cập chúng ta sẽ giải trường hợp trường biến thiên điều hòa theo thời gian trực

tiếp dưới dạng trường điện từ

3.1 Phương trình sóng dạng vectơ

Phương trình đạo hàm riêng đối với Eρ

có thể được xây dựng bằng cách loại bỏ Hρ

1

i c c

J H

εµ

ω

ε ∇× − =∇×

×

Trong hai phương trình trên, Jρi

là nguồn ban đầu gây ra trường điện từ, và εc(=ε− jσω)

là kết quả của sự kết hợp giữa dòng cảm ứng ( Eρ

σ ) và dòng điện dịch )(j Dρ

ω ; tuy nhiên để đơn giản từ nay chúng ta sẽ dùng ε thay cho εc Phương trình (1.20) và (1.21) được gọi

là phương trình sóng dạng vectơ không đồng nhất

3.2 Phương trình sóng dạng vô hướng

Khi phân tích trường điện từ, nếu có thể, chúng ta nên đưa bài toán trong không gian ba

chiều về bài toán trong không gian hai chiều Giả sử rằng trường và môi trường truyền liên

quan không phụ thuộc vào một chiều nào đó của hệ tọa độ, giả sử là chiều z Ta có thể

chứng minh được rằng thành phần z của (1.20) và (1.21) trở thành:

z z

r r

r

J Z jk E k y y

x

2 0

z r r

r

J y

J x

H k

y y

x x

εε

µε

ε

11

k là hệ số pha trong không gian tự do; Z0(= µ0/ε0) là trở kháng sóng của

không gian tự do; và hằng số điện F/m) và hằng số từ

H/m) là độ thẩm điện và độ thẩm từ của không gian tự do Các phương trình dạng (1.22) và (1.23) được gọi là phương trình sóng dạng vô hướng không đồng nhất

4 Điều kiện biên

Giải các phương trình đạo hàm riêng nêu trên có thể cho ta nhiều nghiệm; tuy nhiên chỉ

duy nhất một trong số chúng là nghiệm thực sự của bài toán Để tìm được nghiệm này,

chúng ta phải sử dụng điều kiện biên liên quan đến miền khảo sát Nói cách khác, để mô tả

đầy đủ một bài toán điện từ ngoài các phương trình đạo hàm riêng ta còn cần các điều kiện

biên Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số điều kiện biên có thể áp dụng trong

các trường hợp thực tế

4.1 Tại mặt phân cách giữa hai môi trường

Tại mặt phân cách giữa hai môi trường, giả sử là môi trường 1 và 2, các điều kiện biên có

thể viết như sau:

Đối với trường điện:

Môi trường 2

2

2,µε

HÌNH 1.1 Mặt phân cách giữa hai môi trường

Trong đó là vectơ đơn vị pháp tuyến của mặt phân cách, hướng từ môi trường 2 sang

môi trường 1 [hình 1.1] Bốn phương trình trên được gọi là phương trình liên tục Trong số

bốn phương trình trên chỉ có hai là độc lập: hoặc (1.24) và (1.27) hoặc (1.25) và (1.26)

nˆ

Lưu ý rằng trong (1.25) và (1.26) ta giả sử rằng không có mật độ dòng điện dẫn mặt Jρs

cũng như mật độ điện tích mặt tự doρs Nếu có, hai phương trình trên có dạng:

Những điều kiện biên trên có thể được rút gọn về trường hợp đặc biệt khi một trong hai

môi trường, giả sử là môi trường 2, trở thành vật dẫn lý tưởng Do một vật dẫn lý tưởng

không thể chứa trường bên trong, (1.24) trở thành:

là trường phía ngoài vật dẫn và là vectơ vuông góc bề mặt và hướng

ra khỏi vật dẫn Lưu ý trong trường hợp này vùng biên có thể luôn có

nˆ

H n

Khi môi trường 2 là vật dẫn thực, người ta có thể chứng minh được trường điện và trường

từ tại bề mặt vật dẫn liên hệ với nhau như sau:

H n Z n E n

Trong đó η= µr2 /εr2 là trở kháng sóng chuẩn hóa của môi trường 2 Phương trình

(1.32) và (1.33) được gọi là điều kiện biên trở kháng Trong trường hợp không gian hai

chiều, chúng có thể được viết như sau:

z r z

E jk

H jk n

H = 0ε 1η

∂

∂

Trong trường hợp Eρ=zˆE z và Hρ=zˆH z Trường hợp đầu là áp dụng cho trường hợp phân

cực E z và trường hợp thứ hai là cho phân cực H z

5 Điều kiện bức xạ

Khi vùng biên bên ngoài của miền khảo sát tiến đến vô cùng, vùng khảo sát được gọi là

vùng mở Một điều kiện được gọi là điều kiện bức xạ cũng phải được xác định tại vùng

biên bên ngoài để có được một nghiệm duy nhất cho bài toán

5.1 Điều kiện bức xạ Sommerfeld

Giả sử mọi nguồn và vật thể được đặt trong không gian tự do và cách gốc tọa độ một

khoảng cách hữu hạn, trường điện và trường từ phải thỏa mãn:

0ˆ

E r

ρρ

ρ

(1.36)

z y x

r= + + Phương trình (1.36) thường được gọi là điều kiện bức xạ

Sommerfeld trong trường không gian ba chiều tổng quát Trong trường không gian hai

chiều, điều kiện bức xạ Sommerfeld trở thành:

z

E jk H

5.2 Những điều kiện bức xạ bậc cao

HÌNH 1.2 Biên giả của nguồn bức xạ

Mặt vô cùng

x

Nguồn bức xạ

ρ

ϕ

Phương pháp số thường đòi hỏi phải thu hẹp vùng khảo sát bằng cách dời biên ngoài lại

càng gần mục tiêu càng tốt Trong bài toán hai chiều, người ta có thể chứng minh được

rằng, trên bề mặt hình trụ bán kính ρ của nguồn bức xạ (hình 1.2), và thoả mãn

điều kiện bức xạ sau:

z

E H z

0 2

12

11

8

12

1

ϕρρ

ρρ

ρ

∂+

−+

−++

∂

∂

=

jk jk

jk

Với m=1,2 và (ρ,ϕ,z) là các tọa độ trụ Lưu ý rằng điều kiện bức xạ Sommerfeld (1.37)

có thể được xem là trường hợp đặc biệt của (1.38) với m=1/2 và B1/2 + jk0

∂

∂

=

ρ Phương

trình (1.38) còn được gọi là điều kiện biên hấp thu, dựa trên lý giải vật lý là chỉ một phần

rất nhỏ của năng lượng sóng tới bị phản xạ trở ngược về từ biên khi đặt điều kiện (1.38) ở

đó

Trong trường hợp không gian ba chiều, người ta có thể chứng minh được trên bề mặt cầu

bao quanh nguồn bức xạ, Eρ

và Hρ thỏa mãn điều kiện bức xạ bậc cao như sau:

E r

r jk

r E

jk E r

E B

∇

−+

∇

∇

−+

.(1ˆ

12ˆ

0 0 0

2

ρρ

ρρ

ρ

(1.43)

Với m=1,2 Trong đó s là một số bất kỳ, chữ số dưới r là thành phần bán kính r trong tọa

độ trụ, và chữ số dưới t là thành phần tiếp tuyến (nằm ngang đối với rˆ ) của đại lượng liên

CHƯƠNG 2 GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN

Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong các phương pháp số cho phép xác định nghiệm gần đúng của phương trình toán lý Phương pháp này được đưa ra giới thiệu đầu tiên vào những thập niên 40 và ứng dụng vào ngành hàng không vào những năm 50 Về sau phương pháp này được phát triển rộng rãi trong phân tích kết cấu xây dựng và trong các lĩnh vực khác Ngày nay, phương pháp phần tử hữu hạn được xem như là phương pháp chung cho nhiều ứng dụng trong các bài toán vật lý và kỹ thuật Trong chương này chúng

ta sẽ xem xét hai phương pháp kinh điển dùng để giải các bài toán trị biên, vốn làm nền tảng cho phương pháp phần tử hữu hạn Sau đó giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn và cuối cùng, chúng ta sẽ mô tả một cách khái quát các bước cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn

1 Định nghĩa bài toán trị biên và các phương pháp kinh điển cho bài toán trị biên

Trong phần này trước hết chúng ta định nghĩa bài toán trị biên và sau đó đưa ra hai phương

pháp kinh điển để giải chúng Đó là phương pháp biến đổi Ritz và phương pháp Galerkin,

cả hai phương pháp này hình thành nên nền tảng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn hiện đại Do đó để hiểu rõ phương pháp phần tử hữu hạn thì cần phải hiểu rõ hai phương pháp này trước

1.1 Định nghĩa bài toán trị biên

Bài toán trị biên nảy sinh trong mô hình toán học của các hệ vật lý và giải chúng là nội dung chính của khảo sát

Một bài toán trị biên tiêu biểu được định nghĩa bằng phương trình đạo hàm riêng trong miền khảo sát Ω :

f

Trong đó là toán tử vi phân, là hàm kích thích hay hàm năng lượng, và L f φ là biến

Trong lĩnh vực điện từ, phương trình đạo hàm riêng có thể là phương trình Poisson đơn

giản, cho đến các phương trình sóng dạng vô hướng phức tạp, và thậm chí phức tạp hơn với các phương trình sóng dạng vectơ Các điều kiện biên cũng có thể là các điều kiện đơn

giản như Dirichlet và Neumann hay các điều kiện biên trở kháng và bức xạ phức tạp và

thậm chí phức tạp hơn như các điều kiện biên bậc cao

Dĩ nhiên ai cũng mong muốn giải được bài toán trị biên bằng phương pháp giải tích Tuy nhiên, thông thường việc này rất khó thực hiện trong nhiều trường hợp Ví dụ như trong lĩnh vực điện từ, bài toán thế dừng hai bản cực phẳng vô hạn; sự truyền sóng trong các ống dẫn sóng hình vuông, hình tròn và hình elip; hộp cộng hưởng hình vuông, hình trụ và hình cầu; sóng tán xạ bởi các mặt phẳng, trụ tròn vô hạn và cầu Rất nhiều bài toán quan trọng trong kỹ thuật không thể giải tích được Để giải quyết vấn đề khó khăn trên, có rất nhiều

phương pháp gần đúng được đưa ra và trong đó phương pháp Ritz và Galerkin được sử

dụng rộng rãi nhất

1.2 Các phương pháp kinh điển để giải bài toán trị biên

1.2.1 Phương pháp Ritz

Phương pháp Ritz hay còn được gọi là phương pháp Rayleigh-Ritz là phương pháp biến

phân mà trong đó bài toán trị biên được xây dựng dưới dạng biểu thức biến phân, gọi là phiếm hàm Cực tiểu phiếm hàm này ứng với phương trình đạo hàm riêng đã cho cùng với điều kiện biên cho trước, và biến tìm được tương ứng với cực tiểu phiếm hàm là nghiệm

gần đúng cần tìm Bài toán xấp xỉ này được thực hiện bằng cách cực tiểu phiếm hàm theo

các biến của nó Để minh họa, ta định nghĩa nội tích như sau:

Ω

=∫Ω

d

φψψ

Với định nghĩa trên ta có thể thấy rằng toán tử L trong (2.1) là tự kết hợp

ψφψ

1,2

1,2

~

φ

}{}{}{}{

1

~

c v v c v

Trong đó là những hàm nội suy đã được định nghĩa trên toàn bộ miền khảo sát và là các hằng số cần xác định là vectơ cột và là vectơ hàng Thay (2.6) vào (2.5) ta được:

Ω Ω

fd v c c d v L v c

F { }T { } { }T { } { }T { }2

1}{}{21

1

=

Ω

−Ω+

=

Ω

−Ω+

=

Ω Ω

Ω

fd v d Lv v Lv v c

fd v d Lv v c c

d v L v c

F

i i

j j i N

j

j

i i

T T

i i

i=1,2, ,N

(2.8) (2.8) có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận:

d Lv v

Giải bài toán xấp xỉ (2.1) chính là giải phương trình ma trận (2.9)

1.2.2 Phương pháp Galerkin

Phương pháp Galerkin là phương pháp thặng dư trọng số, như chính tên gọi của phương

pháp này nó được xây dựng bởi thặng dư trọng số của phương trình đạo hàm riêng Giả sử rằng được xấp xỉ với φ~ φ trong (2.1) Thay thế vào φ~ φ trong (2.1) cho ta kết quả một thặng dư khác không

Xấp xỉ tốt nhất đối với là làm giảm thặng dư r toàn phần đến giá trị nhỏ nhất trên toàn miền Ω Phương pháp giá trị thặng dư trọng số sẽ thoả điều kiện sau:

~

φ

∫Ω

=Ω

Trong đó R i là tích phân thặng dư trọng số và w ilà hàm trọng số

Trong phương pháp Galerkin, hàm trọng số được chọn là hàm nội suy của nghiệm gần

đúng Điều này thường dẫn đến tính toán chính xác nhất, do đó nó hay được sử dụng Để minh họa cho phương pháp này một cách rõ ràng hơn, chúng ta xem xét bài toán được giới thiệu như trong (2.6) Hàm trọng số được chọn như sau:

=Ω

Galerkin cho kết quả giống như hệ phương trình trong phương pháp Ritz

Lưu ý rằng, bên cạnh việc chọn các hàm nội suy, chúng ta còn có thể chọn những hàm khác cho hàm trọng số Những kết quả trong việc xây dựng các công thức khác nhau được thảo luận ngắn gọn theo sau đây:

i L v c f R

B Phương pháp kết hợp miền con

Trong phương pháp này các hàm trọng số được chọn bằng với phần tử đơn vị trên tất cả miền con và bằng không tại những miền còn lại, và điều này dẫn đến:

=∫ ( { } { }− ) Ω=0 (2.18)

Ω

d f c v L

C Phương pháp bình phương tối thiểu

Phương pháp này giảm đến mức tối thiểu một đại lượng lỗi được định nghĩa như sau:

Ω

= ∫

Ω

d r

i i

(2.20)

Rõ ràng hàm trọng số trong trường hợp này là Lv i

2 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Như chúng ta biết để tìm dạng gần đúng nhất của hàm thử hay nghiệm xấp xỉ trong miền xác định của nó thông qua hai phương pháp kinh điển trên là rất quan trọng Tuy nhiên trong nhiều bài toán, việc này rất khó khăn, đặc biệt là trong trường hợp không gian hai chiều và ba chiều

Để giải quyết khó khăn này, chúng ta có thể chia toàn bộ miền khảo sát thành những miền con và sử dụng hàm thử được định nghĩa trên mỗi miền con Ta gọi đây là phương pháp phần tử hữu hạn Những hàm thử này thường biểu diễn đơn giản bởi vì miền con nhỏ và sự biến thiên của hàm φ( )x ít phức tạp trên toàn bộ miền con

Từ các cách thức mà chúng ta đã đề cập như trên ta phân phương pháp phần tử hữu hạn ra

làm 2 loại Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phương pháp Ritz được gọi chung là phương pháp phần tử hữu hạn Ritz hay phương pháp phần tử hữu hạn theo biến phân, trong khi đó phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phương pháp Galerkin được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin

Ta nhận thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn Ritz hay Galerkin khác nhau ở cách thiết lập phương trình tích phân Trong phương pháp Ritz và Galerkin, hàm thử được xây dựng

dựa vào tổ hợp các hàm cơ bản trên miền khảo sát Tổ hợp các hàm cơ bản này phải xấp xỉ với giá trị chính xác và phải thoả đúng điều kiện biên Còn trong phương pháp phần tử hữu hạn, các hàm thử là tổ hợp các hàm cơ bản trên các miền con Như đã đề cập trước, bởi vì miền con nhỏ nên hàm thử được định nghĩa trên toàn miền con có thể đơn giản hơn rất nhiều

Về điểm này, người đọc có thể sẽ hỏi rằng tại sao ta phải tốn công giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn trong khi không cố gắng giải quyết bài toán bằng các hàm cơ bản trên miền khảo sát hơn là bằng các hàm cơ bản trên miền con Câu trả lời này chia làm 2 phần Trước tiên khi chúng ta giải quyết các bài toán trong không gian một chiều và sự thật rằng đối với các bài toán một chiều ta luôn tìm được các hàm thử mong muốn Tuy nhiên, khi chúng ta giải quyết bài toán trong không gian hai hay ba chiều thì rất khó khăn hay có thể nói là không thể tìm được hàm thử trên toàn bộ miền, đặc biệt đối với các điều kiện biên phức tạp Thứ hai là đối với các ứng dụng đơn giản thì ta thực hiện tính toán bằng tay Nhưng đối với các bài toán phức tạp, thực tế chúng ta phải sử dụng máy tính, phải viết chương trình tính toán bằng ngôn ngữ máy tính và chạy chương trình để tìm lời giải cho bài toán Phương pháp phần tử hữu hạn như chúng ta đã giới thiệu rất phù hợp cho mục

đích này Với phương pháp này ta có thể viết các chương trình để giải các điều kiện biên bất kỳ và cho rất nhiều bài toán khác nhau

3 Các bước cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn

Như đã phát biểu ban đầu, phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số để giải các bài toán trị biên Nguyên tắc của phương pháp này, như chúng ta đã thấy trong ví dụ là, thay thế toàn miền liên tục bởi các miền con trong đó các hàm cần tìm được đưa ra bởi các hàm nội suy đơn giản với các hệ số chưa biết Do đó, bài toán trị biên ban đầu với số bậc tự do của phần tử là vô hạn được chuyển thành bài toán trị biên với số bậc tự do của phần tử là hữu hạn, hay nói cách khác nghiệm trên toàn bộ hệ thống được xấp xỉ bởi một số hữu hạn các hệ số chưa biết Sau đó xây dựng hệ các phương trình đại số bằng cách sử dụng

phương thức Ritz và Galerkin, và cuối cùng giải các bài toán trị biên bằng cách giải các hệ

phương trình Do đó bài toán giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn đối với các bài toán trị biên bao gồm các bước cơ bản sau:

1 Rời rạc hoá hay chia nhỏ miền khảo sát

2 Chọn hàm nội suy

3 Xây dựng hệ phương trình

4 Giải hệ phương trình

3.1 Rời rạc hoá miền khảo sát

Rời rạc hoá miền khảo sát là bước đầu tiên và là bước quan trọng nhất trong phương pháp phần tử hữu hạn bởi vì nó phụ thuộc vào dung lượng của máy tính, tác động đến thời gian tính toán và độ chính xác của nghiệm Trong bước này, toàn bộ miền được chia thành các miền nhỏ (e=1,2,3,…,M) với M là tổng số miền con Những miền con này thường được xem như là các phần tử

kỳ Trong bài toán không gian ba chiều, miền khảo sát sẽ được chia thành các tứ diện, lăng trụ, hay hình hộp chữ nhật [hình 2.1(c)], trong đó phần tử tứ diện là đơn giản nhất và thuận tiện nhất cho miền khảo sát tổng quát Chúng ta nhận thấy rằng đoạn thẳng tuyến tính, tam giác, tứ diện là những phần tử cơ bản trong không gian một, hai và ba chiều Trong [hình 2.2] chúng ta đưa ra 2 ví dụ về rời rạc hóa phần tử hữu hạn trong không gian hai và ba chiều

Trong phần lớn bài toán phần tử hữu hạn, bài toán được giải quyết dưới dạng các hàm φ

chưa biết tại các nút liên quan tới những phần tử Ví dụ một phần tử thẳng tuyến tính có hai nút Một phần tử tam giác tuyến tính có ba nút ở ba đỉnh, trong khi đó tứ diện tuyến tính có bốn nút ở bốn đỉnh Để thực hiện được việc này, cần phải mô tả những nút Mô tả đầy đủ một nút bao gồm những giá trị toạ độ, thứ tự cục bộ và thứ tự toàn cục

HÌNH 2.2 Ví dụ về rời rạc hóa

(a) Trong không gian hai chiều với phần tử tam giác (b) Trong không gian ba chiều với phần tử tứ diện Thứ tự cục bộ của nút chỉ ra vị trí của nó trong phần tử, trong khi đó thứ tự toàn cục chỉ vị trí cụ thể trong toàn bộ hệ thống Trong khi việc xác định giá trị toạ độ tương đối dễ dàng, thì việc đánh số thứ tự các nút và phần tử lại đòi hỏi nhiều công sức Ta thấy rằng ma trận tích hợp là một ma trận dải với độ rộng dải được quy định bởi sự sai khác tối đa giữa các biến toàn cục của hai nút trong một phần tử Do đó nếu phương pháp tính toán ma trận dải được sử dụng để giải các phương trình ma trận, thì công việc xử lý của máy tính sẽ giảm

xuống do số các nút làm cực tiểu độ rộng ma trận Tuy nhiên, cực tiểu ma trận dải là không cần thiết, sự sắp xếp các nút có thể tuỳ ý và thường được chọn sao cho chương trình đơn giản

Rời rạc hoá miền khảo sát thường được coi như là công việc tiền xử lý bởi vì nó có thể tách biệt với các bước khác Rất nhiều chương trình phần tử hữu hạn đã được phát triển có khả năng chia nhỏ đoạn thẳng, bề mặt và thể tích bất kỳ thành các phần tử phù hợp và cũng cung cấp số biến toàn cục được tối ưu hoá

3.2 Chọn hàm nội suy

Bước thứ hai của phân tích phần tử hữu hạn là chọn ra một hàm nội suy có dạng xấp xỉ sao cho tính toán đơn giản nhưng phải thoả tiêu chuẩn hội tụ trong một phần tử Hàm nội suy thường chọn ở dạng đa thức bậc nhất, bậc hai hay bậc cao hơn Những đa thức bậc cao hơn mặc dầu cho kết quả chính xác hơn, nhưng việc tính toán lại phức tạp hơn Do đó những hàm nội suy tuyến tính căn bản và đơn giản vẫn được sử dụng phổ biến Khi bậc của đa thức được chọn, chúng ta có thể biểu diễn hàm chưa biết trong phần tử e dưới dạng sau:

}{}{}{}{

1

~

e T e e T e e j n

j

e j e

N N

φ φ tại điểm thứ j của phần tử, và

là hàm nội suy hay là hàm mở rộng, hàm cơ bản Bậc cao nhất của tùy thuộc vào bậc của phần tử; ví dụ nếu là hàm tuyến tính, thì phần tử e cũng là phần tử tuyến tính Một điểm quan trọng của hàm là nó khác không ở trong phần tử e và triệt tiêu ở những phần tử khác

e

j

e j

N

e j

N

3.3 Xây dựng hệ phương trình

Đây là bước thứ ba và cũng là một bước quan trọng trong phân tích phần tử hữu hạn, để

xây dựng hệ các phương trình Cả hai phương pháp biến đổi Ritz và Galerkin đều có thể sử dụng được ở đây như đã đề cập ở phần trước Chúng ta sẽ xem xét công thức biến bổi Ritz

trước

A Thiết lập công thức thông qua phương pháp Ritz

Một lần nữa chúng ta xem xét lại bài toán được định nghĩa trong (2.1) và để đơn giản giả định rằng bài toán có giá trị thực Phiếm hàm F trong (2.5) có thể được biểu diễn

e

e

F F

~ 1

d f d

L F

e e

e e

e

e e

Thay thế (2.21) vào (2.23) chúng ta được

∫

∫

Ω Ω

Ω

−Ω

=

e e

d N f d

N L N

F e { e} { e}T { e} { e}T { e}2

Ta có thể biễu diễn dưới dạng ma trận

}{}{}]{

[}{2

e

b K

e

e i e

b K

F

1

~

}{}{}]{

[}{2

và biểu diễn dưới dạng tổng quát

}{}{}]{

[}{2

1

b K

Trong đó [K] là ma trận đối xứng N×N với N là tổng số điểm, }{φ là vectơ N×1 chưa biết của những phần tử, và {b}là vectơ N×1 đã biết Hệ phương trình trên giải được bằng cách lợi dụng điều kiện dừng δF =0 hay biến đổi tương đương, bằng cách cho đạo hàm của F theo φi bằng zero

( ) 02

1

1

=

−+

j

ji ij i

b K

b K

F

1

0φ

hay dưới dạng ma trận

}{}]{

d fN d

N L N F

e e

e i e

e e i e

i

e

}{}

(2.33) có thể viết lại dưới dạng ma trận

e

e

b K

e e

e e e e

e

F F

F F

F F

φ

Bởi vì chỉ có những phần tử kết nối trực tiếp với điểm thứ i mới có ∂F ∂φi , do đó

{∂F ∂φ} có thể được xây dựng bằng khai triển { e e}

F ∂φ

∂ thành vectơ cột cho mỗi phần tử thông sự tương quan giữa số điểm cục bộ và toàn cục và sau đó cộng chúng vào với nhau

([

1 1

e

e

e

b K

K N×N dựa vào sự tương quan giữa số nút cục bộ

và số nút toàn cục Tương tự {φe}và {b e} là vectơ cột mở rộng Kết quả là (2.36) cũng có thể được viết dưới dạng (2.32) Cách này ít sử dụng hơn cách trước nhưng nó vẫn

được giới thiệu bởi vì nó cũng tương tự như việc xây dựng công thức Galerkin

1

×

N

B Thiết lập công thức thông qua phương pháp Galerkin

Hệ các phương trình trên cũng có thể được xây dựng thông qua phương pháp Galerkin

Đối với (2.1), thặng dư trọng số số đối với phần tử thứ e là

d f L N R

e e i e

−Ω

Ω Ω

d fN d

N L N R

e e

e i e

T e e i e

Có thể biểu diễn dưới dạng ma trận

}{}]{

[}

b K

T

e n e e

e

R R

K b i e

thiết phải đối xứng Do tính mở rộng nên hàm trọng số kết hợp một số nút của tất cả phần

tử với các điểm khác, thặng dư trọng số Ri kết hợp nút thứ i là tổng các phần tử kết nối với nút thứ i Do đó, chúng ta có thể mở rộng (2.39) thông qua sự tương quan giữa biến cục bộ và toàn cục, và sau đó cộng nó lại ở mỗi phần tử để tìm

}){}]{

([

}{}{

1 1

e e M

e

e M

e

e

b K

R R R

R} [ , , , ]

}{}){}]{

e

e

b

Gán điều kiện biên

Trước khi giải hệ phương trình (2.32) cho các bài toán cụ thể, chúng ta cần phải gán các điều kiện biên Có hai loại điều kiện biên thường sử dụng nhất: một là điều kiện biên

Dirichlet qui định giá trị của φ ở biên, và điều kiện biên khác là điều kiện biên Neumann

thuần nhất đòi hỏi đạo hàm của φ triệt tiêu ở biên Điều kiện biên đầu tiên là điều kiện biên chính bởi nó phải được gán một cách tường minh, ngược lại điều kiện biên thứ hai tự động thỏa mãn trong quá trình giải cho nên người ta gọi là điều kiện biên tự nhiên Phần này sẽ được thảo luận chi tiết trong phần các điều kiện biên tổng quát

Rõ ràng trong bước này chúng ta có 3 bước con Trước tiên, chúng ta xây dựng phương trình phần tử (2.25) hay (2.39) bằng cách sử dụng một trong hai phương pháp đã đề cập Sau đó, chúng ta tích hợp các phương trình phần tử của tất cả phần tử để thành hệ các phương trình Cuối cùng chúng ta lợi dụng điều kiện biên để đưa ra dạng cuối cùng của hệ các phương trình Chúng ta để ý rằng trong máy tính, ba bước con này thường không độc lập mà chúng liên quan chặt chẽ với nhau

3.4 Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình là bước cuối cùng trong phân tích phần tử hữu hạn Hệ tổng hợp được biểu diễn dưới dạng sau

}{}]{

Phương trình (2.42) thuộc vào loại xác định, trong đó hoặc phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất hoặc điều kiện biên không thuần nhất hoặc cả hai Trong hệ xác định thường được kết hợp với các vật tán xạ, bức xạ và những bài toán xác định khác trong đó tồn tại một nguồn hay một kích thích

Khi chúng ta giải hệ các phương trình đối với }{φ xong, chúng ta có thể tính được các thông số mong muốn khác như điện dung, tự cảm, trở kháng vào và các mẫu tán xạ và bức

xạ và biểu diễn chúng dưới dạng đồ thị, hay biểu đồ giúp cho người xem có thể hiểu rõ hơn Giai đoạn cuối này thường được xem như bước xử lý cuối cùng, cũng có thể độc lập với những bước khác

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU

Trong chương này trước tiên chúng ta sẽ xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho các bài toán trị biên trong không gian hai chiều bằng các phần tử tam giác tuyến tính Sau đó chúng ta mở rộng lên các phần tử tam giác bậc cao trong các bài toán không gian hai chiều

1 Bài toán trị biên

HÌNH 3.1 Vùng khảo sát có mặt phân cách không liên tục (Γd)

y x

f

Điều kiện biên được cho bởi

∂

Trong đó Γ(=Γ1+Γ2) là đường bao của miền Ω , là vectơ đơn vị pháp tuyến, và nˆ γ , p

và q là các thông số đã biết liên quan đến các đại lượng vật lý của biên Rõ ràng điều kiện biên Neumann là trường hợp đặc biệt của (3.3) với 0γ =

Nếu như các đặc trưng của miền khảo sát được mô tả bởi αx và αy không liên tục, và hơn nữa nếu không có nguồn mặt nào trên bề mặt phân cách thì φ thoả điều kiện liên tục

trên

− + =φ

và

n y y

x x n

y y

+

(3.5) trong đó là bề mặt phân cách, dấu “+” hay “-“ chỉ các đại lượng liên quan trong phần

“+” hay “-“ của

d

Γ

d

Γ , và là vectơ đơn vị pháp tuyến đối với nˆ Γ d

2 Xây dựng công thức biến phân

Bài toán biến phân tương đương với bài toán trị biên trên được cho bởi

2

21

d f d

q

d y

x

φφ

φγ

βφ

φα

φαφ

(3.7)

Nếu tồn tại mặt phân cách không liên tục thì (3.6) phải thêm phần điều kiện liên tục (3.4) Tuy nhiên, điều kiện liên tục này luôn tự thoả trong phần mở rộng phần tử hữu hạn đối với

φ, và do đó trong phần (3.6) thường bỏ qua điều kiện liên tục

Để chứng minh phiếm hàm trên, ta lấy biến phân bậc nhất của F( )φ theo φ

q

d y

y x

x

δφδφ

γφ

βφδφδφ

φαδφφαφ

φαδφ

x x

φαδφ

y y

y

V x

U

ˆ.ˆ

∂

∂+

d q

d n y y

x x

d f y

y x x

F

y x

y x

δφγφ

δφ

φα

φα

δφβφ

φα

φαφ

δ

2

ˆ.ˆ

Bởi vì φ có giá trị cố định trên Γ1, δφ triệt tiêu dọc theo Γ1; do đó tích phân trên Γ1

bằng không (3.12) có thể viết lại

∂

∂+

y y

x x

d f y

y x x

F

y x

y x

δφγφ

φα

φα

δφβφ

φα

φαφ

δ

2

ˆ.ˆˆ

x

q n

y y

∂

được xem như là (3.1) và (3.3)

Trong bài toán này, (3.2) là điều kiện biên chính phải được gán một cách tường minh và (3.3) điều kiện biên tự nhiên tự thoả trong quá trình cực trị hóa

Chúng ta để ý rằng trong ứng dụng của định lý Divergence (3.11), αx và αy được giả sử

là liên tục trên toàn bộ miền khảo sát Tuy nhiên nếu có sự gián đoạn hay thay đổi đột ngột trong αx và αy thì chúng ta có thể chia nhỏ miền khảo sát thành những miền con mà trong đó αx và αy liên tục và sau đó áp dụng định lý Divergence vào Để cụ thể hơn chúng ta xem trường hợp có hai miền con độc lập được chia bởi mặt phẳng Theo cách thức mô tả trên, chúng ta được (3.14) với hai tích phân thêm vào ở phần bên trái

∂

∂+

∂

∂

−

− Γ

+

+ +

+ +

∫

∫

d n y y

x x

d n

y y

x x

d

d

y x

y x

δφ

φα

φα

δφ

φα

φα

ˆ.ˆˆ

ˆ.ˆˆ

(3.17)

trong đó nˆ+ là vectơ đơn vị pháp tuyến đối với Γ và có chiều từ bên “+” sang bên “-“ d

và nˆ− là vectơ đơn vị pháp tuyến có chiều ngược lại Do φ liên tục trên miền vì (3.4),

∂

∂+

+ +

+

y

x x n

y y

x x

d

y x

ˆ.ˆ

∂

∂+

y y

x

x

φα

φα

φα

φα

3 Phân tích phần tử hữu hạn tuyến tính

Để cho đơn giản, ở đây ta sẽ khảo sát phần tử tam giác tuyến tính trước (phần tử tam giác

có hàm nội suy là hàm tuyến tính), những phần tử bậc cao phức tạp cũng sẽ được thảo luận sau trong phần này

3.1 Rời rạc hoá miền khảo sát

Như chúng ta đã biết, bước đầu tiên của phân tích phần tử hữu hạn là chia miền khảo sát thành các phần tử tam giác hai chiều Yêu cầu cơ bản của rời rạc hoá là không có sự trùng lặp hay thiếu sót giữa các phần tử Hơn nữa các phần tử sẽ được kết nối thông qua các đỉnh, hay nói cách khác, đỉnh của phần tử này chỉ có thể là đỉnh của phần tử khác bên cạnh; mà không nằm trên cạnh của các phần tử khác Ngoài những yêu cầu trên, để có một rời rạc hoá tốt cũng phải theo hai bước sau Thứ nhất nên tránh xảy ra các phần tử hẹp hay những phần tử có góc trong nhỏ bởi sai số tính toán khi dùng phương pháp phần tử hữu

hạn tỉ lệ nghịch với sine của góc trong nhỏ nhất Do đó các phần tử nên được chọn dưới

dạng các tam giác gần như đều Thứ hai, chúng ta phải chú ý rằng những phần tử nhỏ hơn

sẽ cho kết quả tính toán chính xác hơn, tuy nhiên nó sẽ làm tăng số biến và do đó làm tăng yêu cầu về bộ nhớ và thời gian tính toán Điều cần thiết ở đây là ta phải đưa ra số phần tử càng nhỏ càng tốt nhưng vẫn cho kết quả chính xác như mong muốn Tốt nhất là ta nên sử dụng những phần tử nhỏ cho các vùng dự đoán sẽ có nhiều thay đổi, còn trong những vùng

ít thay đổi thì ta có thể sử dụng phần tử lớn hơn

Ω

Để xác định mỗi phần tử chúng ta có thể đánh số các phần tử Tương tự, để xác định các nút (đỉnh của phần tử) chúng ta cũng đánh số chúng Mỗi phần tử có vài nút, trong trường hợp này là ba nút Mỗi nút có một vị trí trong phần tử tương ứng và vị trí trong toàn miền

Vị trí này cũng có thể được đánh số như là số thứ tự cục bộ trong khi số thứ tự toàn cục chỉ vị trí của nó trong toàn bộ miền Để liên hệ 3 loại số này – số thứ tự toàn cục, số thứ tự cục bộ, và số thứ tự phần tử – chúng ta đưa ra dãy 3xM biểu hiện bởi n(i,e), trong đó i=1,2,3 và e=1,2,3, ,M, với M là số phần tử n(i,e) cũng được gọi là dãy liên kết trong đó i

là số thứ tự cục bộ của một nút, e là số phần tử và giá trị của n(i,e) là số thứ tự toàn cục của nút Để rõ hơn, ta hãy xét ví dụ [hình 3.2] Trong đó, ta có 4 phần tử và 6 nút

Dãy n(i,e) có thể được đặt số như sau:

e n(1,e) n(2,e) n(3,e)

HÌNH 3.3 Phần tử tam giác tuyến tính

Ngoài những dữ kiện trên, có một vài dữ kiện cũng cần thiết trong xây dựng công thức phần tử hữu hạn:

1 xi và yi (i=1,2, ,N) cung cấp toạ độ nút, trong đó N là số nút

2 Giá trị của αx,αy,β và cho mỗi phần tử f

3 Giá trị của p cho các nút trên Γ1

4 Giá trị của γ và cho mỗi đoạn trùng với q Γ2

những nút này được đếm ngược theo chiều kim đồng hồ 1,2 và 3 và có các giá trị và tương ứng Áp dụng (3.22) tại ba nút, chúng ta có

e e

e a b x1 c y1

φ

e e e e e

e a b x2 c y2

φ

e e e e e

j

e j

e j

e x y N x yφφ

Trong đó N e ( y x, ) là hàm nội suy hay hàm mở rộng được cho bởi

e j e

e

∆

=2

1

trong đó

e e e e

e x y y x

a1 = 2 3 − 2 3 b1e = y2e−y3e c1e =x3e −x e2

e e e e

e x y y x

a2 = 3 1 − 3 1 b2e = y3e−y1e c2e =x1e −x3e

e e e e

e x y y x

a3 = 1 2 − 1 2 b3e = y1e−y2e c3e =x2e −x1e

e e

e e

e e

y x

y x

y x

1 2 2 1 3

3

2 2

1 1

2

11

e j

e

i x y

j i

j i

≠

=

(3.25)

và kết quả là tại nút i, trong (3.23) trở thành Một đặc tính quan trọng khác của

là nó triệt tiêu khi điểm khảo sát (x,y) nằm trên cạnh đối diện của nút thứ j Do

đó giá trị của ở một cạnh không liên quan đến giá trị

chỉ liên quan giá trị ở hai điểm cuối của cạnh đó mà thôi Đặc tính quan trọng này đảm bảo tính liên tục của nghiệm trên cạnh phần tử Để rõ hơn, trong [hình 3.4] chúng ta biểu diễn hàm nội suy e cho phần tử tam giác

j

N