Tác động của vết nứt thở lên tấn suất dao động tự nhiên

tháng 1 năm 2011 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: HỒ THỊ THU HỒNG Phái: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 02-10-1983 Nơi sinh: TPHCM Chuyên ngành: Cơ học ứng dụng 1- TÊN ĐỀ TÀI:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa hoc :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 1 :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 2 :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… Tháng …… năm ………

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1

2

3

4

5

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

ngành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

Tp HCM, ngày tháng 1 năm 2011

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: HỒ THỊ THU HỒNG Phái: Nữ

Ngày, tháng, năm sinh: 02-10-1983 Nơi sinh: TPHCM

Chuyên ngành: Cơ học ứng dụng

1- TÊN ĐỀ TÀI: TÁC ĐỘNG CỦA VẾT NỨT “THỞ” ĐẾN TẦN SUẤT DAO ĐỘNG TỰ NHIÊN

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

- Sử dụng Phương pháp độ cứng động lực, thiết lập ma trận chuyển tại vị trí vết nứt từ đó ta xác định được tần số tự nhiên của dầm tại các vết nứt có vị trí và độ sâu khác nhau.Mô hình vết nứt được sử dụng là mô hình lò xo mô tả sự thay đổi đột ngột về tiết diện ngang của dầm đến thay đổi độ cứng uốn Tùy thuộc vào các điều kiện biên khác nhau của bài toán mà ta lựa chọn các tham số biên phụ hợp để giải, trong phạm vi luận văn này ta chỉ khảo sát với 2 loại dầm: dầm có gối đỡ tại hai đầu (Support beam), dầm bị ngàm cứng tại một đầu (cantilever

tử Metis đã được nghiên cứu trong các luận văn trước đây

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ :

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS.NGUYỄN HẢI

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN KHOA QL CHUYÊN NGÀNH

(Họ tên và chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy TS Nguyễn Hải đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện luận văn của mình, là người luôn nhắc nhở và dẫn dắt em những bước

đi đầu tiên để bắt đầu cho công việc nghiên cứu

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS Nguyễn Văn Phái là người đã dạy em cách phải điềm tĩnh và gỡ rối khi gặp những vấn đề khó khăn

Em xin gửi lời cảm ơn đến các quí thầy cô bộ môn cơ kỹ thuật cùng các bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian qua

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ, anh chị em trong gia đình đã luôn tao mọi điều kiện thuận lợi nhất để em có thể hoàn thành luận văn này

Hồ Thị Thu Hồng

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này ta khảo sát ảnh hưởng của vết nứt mở, vết nứt “thở” đến tần số dao động riêng của dầm đồng thời khảo sát các ảnh hưởng của vết nứt khi thay đổi các điều kiện biên của dầm và khi thay đổi vị trí,chiều sâu vết nứt

Mô hình vết nứt được sử dụng là mô hình lò xo để mô tả sự thay đổi đột ngột về tiết diện ngang của dầm đến thay đổi độ cứng uốn, phương pháp được

sử dùng để tính toán là phương pháp độ cứng động lực

Bên cạnh đó ta sử dụng phần mềm ansys (phần mềm tính toán các bài toán vế nứt dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn) để tính toán và so sánh kết quả với phương pháp độ cứng động lực

1.1 Sự cần thiết của đề tài trong kĩ thuật 1

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA

3.4.2 Phần tử thanh thẳng chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler-

4.1 Bài toán dao động của dầm nứt có gối đỡ tại hai đầu (Support beam) 30

4.1.1 Mô hình dầm và ba mốt dao động đầu tiên khi giải bằng

4.2.2 Kết quả tính toán khi thay đổi vị trí và độ sâu của vết nứt

CÁC HÌNH VẼ Chương 2:

Hình 2.1:Mô hình dầm có gối đỡ (support beam) với vết nứt mở ở cạnh

Hình 2.2: Chuyển vị của dầm được nâng đơn giản với vết nứt mở tại giữa dầm

Chương 3:

Hình 3.1 Dao động dọc tự do của thanh thẳng

Hình 3.2:Dầm chịu uốn

Hình 3.3: Phần tử thanh chịu kéo nén

Hình 3.4: Phần tử thanh chịu uốn

Hình 3.5: Dầm có nhiều vết nứt

Chương 4:

Hình 4.1: Mô hình dầm có vết nứt ở giữa

Hình 4.2: Mốt dao động thứ nhất

Hình 4.3: Mốt dao động thứ hai của dầm có vết nứt ở giữa

Hình 4.4: Mode dao động thứ ba của dầm có vết nứt ở giữa

Hình 4.5: Đồ thị biểu diễn kết quả theo hai phương pháp giải tích & DSM của dầm có vết nứt mở

Hình 4.6: Đồ thị biểu diễn kết quả theo hai phương pháp PTMetis & DSM của dầm có vết nứt mở

Hình 4.7: Đồ thị biểu diễn kết quả theo hai phương pháp Ansys & DSM của dầm có vết nứt mở

Hình 4.8: Đồ thị biểu diễn kết quả theo hai phương pháp Giải tích & DSM của dầm có vết nứt “thở”

Hình 4.9: Đồ thị biểu diễn kết quả theo hai phương pháp PTMetis & DSM của dầm có vết nứt “thở”

Hình 4.10: Đồ thị biểu diễn kết quả theo hai phương pháp Ansys & DSM của dầm có vết nứt “thở”

Hình 4.11: Đồ thị biểu diễn kết quả tổng hợp bốn phương pháp Giải tích, PTMetis,Ansys & DSM của dầm có vết nứt “mở”

Hình 4.12: Đồ thị biểu diễn kết quả tổng hợp bốn phương pháp Giải tích, PTMetis,Ansys & DSM của dầm có vết nứt “thở”

Hình 4.13: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí và độ sâu vết nứt tại mốt dao động đầu tiên

Hình 4.14: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí và độ sâu vết nứt tại mốt dao động thứ hai

Hình 4.15: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí và độ sâu vết nứt tại mốt dao động thứ 3

Hình 4.16: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí vết nứt tại a/H=0.1 của mốt dao động đầu tiên

Hình 4.17: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí vết nứt tại a/H=0.2 của mốt dao động đầu tiên

Hình 4.18: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí vết nứt tại a/H=0.3 của mốt dao động đầu tiên

Hình 4.19: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí vết nứt tại a/H=0.4 của mốt dao động đầu tiên

Hình 4.20: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí vết nứt tại a/H=0.5 của mốt dao động đầu tiên

Hình 4.21: Đồ thị biểu sự thay đổi hệ số  theo vị trí và độ sâu vết nứt tại mốt dao động đầu tiên của dầm có vết nứt “thở”

CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 4.1:Kết quả tính toán khi sử dụng phần mềm Ansys

Bảng 4.2: Kết quả tính toán khi sử dụng phương pháp DSM

Bảng 4.3: So sánh kết quả giữa hai phương pháp Giải tích và DSM của dầm có vết nứt

Bảng 4.11: Bảng so sánh kết quả Giải tích & DSM khi dầm không có vết nứt

Bảng 4.12:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên

Bảng 4.13:Giá trị hệ số  tại mốt dao động thứ hai

Bảng 4.14:Giá trị hệ số  tại mốt dao động thứ ba

Bảng 4.15:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên với a/H=0.1

Bảng 4.16:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên với a/H=0.2

Bảng 4.17:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên với a/H=0.3

Bảng 4.18:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên với a/H=0.4

Bảng 4.19:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên với a/H=0.5

Bảng 4.20:Giá trị hệ số  tại mốt dao động đầu tiên của dầm có vết nứt “thở”

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

1.1 Sự cần thiết của đề tài trong kĩ thuật:

Vấn đề tính toán dao động của dầm có vết nứt đã được đề cập từ rất lâu, tuy nhiên hầu hết các giả thuyết tính toán đều cho rằng: vết nứt trên các bộ phận của kết cấu là vết nứt “mở” và nó sẽ luôn mở trong suốt quá trình dao động Giả thuyết này đã loại bỏ thuộc tính phi tuyến của vết nứt Bởi vì trong suốt một chu kỳ dao động, vết nứt không phải lúc nào cũng mở, sự đóng và mở vết nứt theo thời gian phụ thuộc vào điều kiện tải trọng và biên độ dao động

Ảnh hưởng của vết nứt “thở ” (the breathing crack) lên kết cấu đã được ghi nhận từ rất lâu Năm 1944, Krimsher qua các thí nghiệm nhận thấy rằng: nếu vết nứt trong dầm bê tông được lấp đầy bởi các tạp chất hoặc các vật liệu kim loại, hay hai mép vết nứt đủ gần để xuất hiện sự tiếp xúc giữa chúng thì sự ảnh hưởng của vết nứt trong trường hợp này tương tự như khi chiều sâu vết nứt giảm đi Những ghi nhận này đặt nền tảng cho sự phát triển một cách hệ thống hơn ảnh hưởng của

sự đóng mở vết nứt lên dao động kết cấu

Năm 2004 trong nghiên cứu củaTrần Thị Kim Huệ [1] cũng đã khảo sát ảnh hưởng của vết nứt “thở” đến tần suất dựa trên ứng dụng phần tử metis

1.2 Nội dung và nhiệm vụ của đề tài:

Sử dụng Phương pháp độ cứng động lực, thiết lập ma trận chuyển tại vị trí vết nứt từ đó ta xác định được tần số tự nhiên của dầm tại các vết nứt có vị trí và độ sâu khác nhau.Mô hình vết nứt được sử dụng là mô hình lò xo mô tả sự thay đổi đột ngột về tiết diện ngang của dầm đến thay đổi độ cứng uốn Tùy thuộc vào các điều kiện biên khác nhau của bài toán mà ta lựa chọn các tham số biên phụ hợp để giải, trong phạm vi luận văn này ta chỉ khảo sát với 2 loại dầm: dầm có gối đỡ tại

hai đầu (Support beam), dầm bị ngàm cứng tại một đầu (cantilever beam)

Sử dụng phần mềm ansys – phần mềm tính toán bài toán tần số riêng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn để so sánh với kết quả tính toán theo phương pháp

1.3 Phương pháp thực hiện đề tài:

Sử dụng mô hình lò xo để mô hình cho vết nứt, mô tả sự thay đổi đột ngột tiết diện ngang của dầm dẫn đến thay đổi độ cứng uốn Phương pháp mô phỏng và phân tích dầm có vết mở và dầm có vết nứt thở là phương pháp độ cứng động lực, đây cũng là một phương pháp mới lần đầu tiên được ứng dụng để khảo sát ảnh hưởng vết nứt “thở” đến tần số tự nhiên

Các phần mềm được sử dụng trong quá trình tính toán: Ansys, Maple, Matlab

1.4 Phân tích, đánh giá kết quả tính toán:

Kết quả tính tính toán là các giá trị tần số tự nhiên, hệ số tần số tại các mốt dao động đầu tiên, khảo sát sự tăng hay giảm của các giá trị này khi dầm không có vết nứt, khi dầm có vết nứt mở, vết nứt “thở”, khi thay đổi vị trí và độ sâu vết nứt, khi thay đổi các điều kiện biên của dầm

Kết quả tính toán dựa trên phương pháp độ cứng động lực được so sánh với kết quả tính toán bằng phần mềm Ansys Bên cạnh đó kết quả tính toán này còn được

so sánh với kết quả tính toán trong tại liệu [1]

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA

DẦM CÓ VẾT NỨT “THỞ”

2.1.Phương trình chuyển động:

Hình 2.1:Mô hình dầm có gối đỡ (support beam) với vết nứt mở ở cạnh

Một dầm Euler – Bernoulli được nâng đơn giản có chiều dài L0 với một vết nứt

mở tại bề mặt như hình 2.1 Thành phần chuyển vị được kí hiệu u i , thành phần biến dạng là ij và thành phần ứng suất là ijvới i,j=1,2,3 theo hệ trục tọa độ x,y,z p i là

mô men động lượng sao cho T m  1 / 2ij p i p j là mật độ động năng (the kinetic energy density) (ijlà chỉ số Kronecker) Theo [2 và 3], dùng nguyên lý biến phân Hu-Washizu được mở rộng cho các biến số độc lập bất kỳ u i,ij,ij,p isẽ cho ra phương trình:

 

02

11

_

, ,

,

, '

dV p T u u

u

W u

p F

i S

i i i

S

i i

i p m ij

i j ij ij

v

ij i i

i ij

u g

i

ij ij

0 ),

, , ( ),

Số hạng  do là tải ngang của dầm tạo raxz

Thay phương trình (2.2) vào phương trình (2.1) với các biến độc lập chưa biết

w, P, S,T sẽ đưa đến phương trình chuyển động:

)(),2/(

2)(),2/(

dA

z

I

A A

A A

A

) 1 ( ,

' ,

'' ,

6

2 5

2 4 2

I7 ( 1 ) : số hạng động lượng vận tốc

Theo [3], hàm nhiễu chuyển vị f(x,z) là

6 ( 1 ) ( )( ) / ( 2 2 / 4 )

0 0 2 2

trong đó:

10 9

8 7

6 5

4 3

2

6.197556

.401063

.470351

33

2948.209736

.95948.404533.16272.0)

(

a a

a a

a a

a a

a a

I- moment tương ứng thứ hai của tiết diện

Phương trình (2.5) cho thấy là f(x,z) tác động trực tiếp lên chuyển vị w(x,t) thông qua hàm I7(x) Điều kiên biên thích hợp và điều kiện ban đầu được sử dụng để giải phương trình (2.5)

Nếu dầm không có vết nứt, các hàm f, I2, I3,I4,I5,Q2,Q3 bằng 0 , Q1 bằng 1 và hàm I7 được thay bằng diện tích A Phương trình chuyển động được rút gọn thành:

0),()

,(

2

2 4

t x w

0,

00

0

2

0 2

2 ,

x x

w x

x w

Dùng phương pháp tách biến, lời giải của phương trình (2.5) là:

2

2 7

4 7 4 2

x W x I

W x

n

 - tần số tự nhiên của dầm nứt

Phương trình (2.10) là phương trình vi phân cho các mode dao động tự nhiên của dầm thuộc hệ thống liên tục Theo [3], lời giải của phương trình trong trường hợp dầm có vết nứt hở là:

)sinh(

)sin(

)()

/

1

)

(x  I7 x

 - dạng hàm hỗn loạn liên quan đến hàm f(x,z) [3]

Từ điều kiện biên tại x=0 và L0 của phương trình (2.4), ta có pt đặc trưng:

0)sin(

)coth(

)()cos(

)(/)(

0

* 0

*

* 0

7 0

2.3 Vết nứt “thở”:

Dầm có vết nứt “thở” được khảo sát trong trường hợp này được cho là một hệ thống tuyến tính từng phần Vết nứt thở kiểu song tuyến tính này (bilinear- type breathing crack) được đặc trưng bằng hai trạng thái, hoặc mở hoàn toàn hoặc đóng hoàn toàn như được thể hiện ở hình 2.2, và tần số không phụ thuộc vào biên độ Người ta cũng cho rằng giai đoạn chuyển từ mở sang đóng xảy ra tại các thời điểm mà dầm trở lại hình dạng ban đầu của nó Do đặc tính song tuyến tính của hệ thống nên ta không có tần số đơn trong quá trình dao động Thay vào đó, có một tần số lớn hơn trong quá trình dao động điều hòa và phụ thuộc vào ứng xử của vết thở Lời giải của phương trình (2.11) sẽ là:

) cos(

) sin( * *

M ,* - các hằng số được xác định từ điều kiện đầu

Kết hợp phương trình (2.12) và (2.14) ta được lời giải tổng quát của phương trình (2.5) như sau:

,

(

n

n n

n n n n

n

A x t

Hình 2.2: Chuyển vị của dầm được nâng đơn giản với vết nứt mở tại giữa dầm

Nếu dầm không có vết nứt phương trình (2.15) sẽ trở thành :

 sin( ) sinh( )  sin( ) cos( )

t M

x D

x A

Các hằng số A cn,D cn,M n* ,M n: được xác định từ điều kiện đầu

Vì lời giải dao động song tuyến tính của dầm nứt phụ thuộc vào những điều kiện ban đầu, những điều kiện vi phân ban đầu sẽ cho ra các kết quả khác nhau Xét một dầm có vết nứt mở do bị uốn cong theo mốt thứ nhất vào thời t0 0rồi sau đó được thả ra (xem hình 2.2) các điều kiện ban đầu là:

0),

sin(

)(

0

* 1 1

x A

1 ( , 0 ,

1 ,

0 ),

1 ( , 0 ,

)sin(

)(),

1

* 1

A t x

Tại t1(hình 2) vết nứt sẽ đóng lại

0),(x t1 

Phương trình (2.20) cho ra:

EI

A L

*

1 1

   Tại thời điểm t1, các phần tử của dầm sẽ dịch chuyển với vận tốc -d2(x)cũng có thể được xác định từ phương trình (2.20):

)sin(

)sin(

)()

1

* 1 7

* 1

x I x

t t



2

2 0



Tại thời điểm t2 t1 t, các phần tử chuyển động theo hướng ngược lại

Tại thời điểm t3 t12t ,sự dịch chuyển của tất cả các điểm của dầm tiến đến

0, nghĩa là w(x,t3)0và dầm sẽ trở về trạng thái không bị biến dạng

Vận tốc của các phần tử dầm tại thời điểm t3là ( , ) 2( )

w x t  Bắt đầu tại thời điểm t3 dầm sẽ bị uốn và vết nứt sẽ mở trở lại

Chu kì dao động của dầm có vết nứt thở sẽ là:

)(

2 t* t

Do đó, tỉ số tần số sẽ là:

)(

2

22

* t t T

* 1

/2

CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH TẦN SỐ RIÊNG CỦA DẦM CÓ VẾT NỨT BẰNG

T T

vol

T

2

12

2

12

trong đó:

 Q - véc tơ tải tổng quát

Từ biểu thức (3.9) ta xây dựng được phương trình chuyển động cho trường hợp không cản như sau:

3.2 Dao động dọc tự do của thanh

Xét một thanh thẳng hình 3.1a có mật độ khối lượng là (x), tiết diện là A(x),

mô đun đàn hồi E Thanh thực hiện dao động u(x,t) dọc trục x Áp dụng nguyên lý d’Alembert, xét một phân tố của thanh chịu lực như hình 3.1b

Hình 3.1 Dao động dọc tự do của thanh thẳng

A E,

Phương trình chuyển động theo trục x của phân tố thanh có dạng:

P P P t

u dx x A

2

)()(



x

P t

u x A x

()

()

u x A x

"

)()(x T t c2v x T t 

v

)(

)()(

)(

"

2

t T

t T x v

x v c

2 2

)(

)()(

)(

"  



t T

t T x v

x v c

Từ đó ta nhận được hai phương trình vi phân thường

0 ) ( )

0)()



t T t

Phương trình (3.16) được viết lại dưới dạng :

0)()

x v d

Đây chính là phương trình dao động dọc tự do của thanh thẳng đồng chất tiết diện không đổi và giải phương trình này ta tìm được tần số dao động riêng của thanh

3.3 Dao động uốn của dầm:

3.3.1 Phương trình vi phân chuyển động:

Khi thanh ở trạng thái chịu lực uốn ngang phẳng thì thanh được gọi là dầm Phân tích dao động của dầm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng cắt được gọi là lý thuyết dầm Timosenko, khi bỏ qua các ảnh này ta gọi là lý thuyết dầm Euler_Bernoulli

Trên các tiết diện của dầm tồn tại hai thành phần nội lực là mô men uốn và lực cắt Biến dạng của thanh gây bởi hai chuyển động của các tiết diện thanh:

 Di chuyển của các điểm khối tâm tiết diện theo phương vuông góc trục thanh trong mặt phẳng quán tính chính của các tiết diện Độ lớn di chuyển đó gọi là

độ võng Đây là thành phần chuyển động tịnh tiến của tiết diện

 Tiết diện xoay quanh trục quán tính chính của nó, vuông góc với mặt phẳng uốn, đặc trưng bởi góc xoay Đây là thành phần chuyển động quay của tiết diện Trong mô hình ta quy ước hệ trục tọa độ được thiết lập là hệ trục quán tính chính trung tâm, có trục x chứa các điểm khối tâm của các tiết diện, và các trục z, y có phương trùng với phương các trục quán tính chính trung tâm của các tiết diện Ở đây ta khảo sát trường hợp uốn ngang phẳng khi trên các mặt cắt tồn tại hai thành phần nội lực là mô men uốn M zvà lực cắt Q y

Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của dầm ta khảo sát chuyển động của phân tố dầm chiều dài dzx giới hạn bởi hai mặt cắt lần lượt tại tọa độ x và x+dx Hệ lực tác dụng lên phân tố được thể hiện như hình 3.2

 Lực hoạt động cường độ f tác dụng theo phương y, trong trường hợp tổng quát f

là hàm của tọa độ x và thời gian t, tức f=f(x,t)

Kí hiệu:  : khối lượng riêng của dầm

A: diện tích tiết diện dầm

z

J : mômen quán tính tiết diện đối với trục z Trong trường hợp tổng quát thì  ,A, J zbiến thiên dọc theo chiều dài dầm, tức  (x); A A(x); J z J z(x)

Lực quán tính của phân tố trong chuyển động tịnh tiến theo phương y xác định bởi biểu thức sau:

),()

()

2

t x t

w dx x A x

Áp dụng nguyên lý D’Alamber , ta viết được hai phương trình cân bằng:

 Phương trình cân bằng lực theo phương của trục y:

),()

()()

,()

2

t x t

w dx x A x dx t x f dQ Q

 Phương trình cân bằng mômen ngẫu lực tác dụng trong mặt phẳng uốn, mặt phẳng tọa độ (y-x), đối với điểm 0:

0 2

) , ( )

( ) (M z dM z  Q y dQ y dx f x t dx dxM z  (3.21)

Ta biểu thị dQ , y dM zở dạng:

dx x

M dM

dx x

2

t x t

w x A x t

x f t x x





t x Q t x x

2 2

2

t x t

w x A x t

x f t x x

2

t x x

w x J x E

2 2

2 2

2

t x f t x t

w x A x t

x x

w x J x E

Phương trình (3.27) là phương trình vi phân tổng quát về độ võng của dầm

Trong trường hợp dầm đồng nhất và hình dạng không đổi tức trong trường hợp khi:

const x

A const x

const x

J const x

Phương trình (3.27) trở thành:

),(),()

,

2 4

4

t x f t x t

w A t x x

w t

x x

w

2 / 1

3.3.2 Phương trình dao động tự do:

Nghiệm của phương trình vi phân (3.29) có dạng:

)()(),(x t v x T t

Sử dụng biểu thức (3.30) thì phương trình (3.29) có dạng:

2

2 4

4

)(

1)

()

t T d t T dx

x v d x v

x v

0)()

t T

2 2

Trong đó A,B được xác định từ điều kiện đầu

Để tìm nghiệm của (3.32), ta giả thiết nghiệm được tìm ở dạng:

sx

Ce x

Trong đó C và s là hằng số

Với biểu thức (3.36), phương trình (3.32) sẽ cho ta phương trình sau:

i x

e C x

Hoặc có thể biểu diễn dưới dạng:

x C

x C

x C

x C

x

v( ) 1cos  2sin  3cosh  4sinh (3.40) hoặc

)sinh(sin

)sinh(sin

)cosh(cos

)cosh(cos

)(

4 3

2 1

x x

C x x

C

x x

C x x

C x v

Trong đó  được xác định từ phương trình tần số thiết lập trên cơ sở điều kiện biên

3.3.3 Điều kiện ban đầu và điều kiện biên:

Các hằng số A,B trong (3.35) và các hằng sốC1,C2,C3,C4 trong công thức (3.39) đến (3.41) cần được tìm từ các điều kiện ban đầu và điều kiện biên:

1 Điều kiện ban đầu, thường được cho bởi hàm w(x,t) và đạo hàm của nó ở thời điểm t=0

) ( ) 0 , (

) ( ) 0 , (

0

0

x w t

x t w

x w t

x w

Tại đầu dầm chuyển động tự do sẽ không có phản lực liên kết cản chuyển động tịnh tiến cũng như chuyển động quay Vì vậy các thành phần nội lực tương ứng là mômen uốn và lực cắt tại đây sẽ có giá trị bằng 0 Ta có các đẳng thức tại tọa độ đầu tự do như sau:

sẽ tìm được ma trận độ cứng động lực cho phần tử thanh theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli

3.4.1 Phần tử thanh thẳng chịu kéo nén

Xét phần một phần tử thanh thẳng chịu kéo nén có chiều dài L, diện tích A, mật

độ khối lượng  , môđun đàn hồi E Thanh có hai nút, mỗi nút có một bậc tự do là chuyển vị dọc trục như hình 3.3

Hình 3.3: Phần tử thanh chịu kéo nén

Ta có phương trình vi phân dao động tự do của phần tử thanh thẳng chịu kéo nén

0)()

x v d

Nghiệm tổng quát của phương trình (a) có dạng [4]

L

x A

L

x A x

v    

sin )

1

1 1

sincos

)(

)0(

u A

A L v

u A v

2

1 1

cot

A

u A

Với csc 1/sin; cotcos/sin

Thay (3.50) vào (3.47) với  x / L ta được:

2

1 csc sin)

sincot(cos

)

Viết dưới dạng ma trận ta được    T

u u N x

Trong đó  N được gọi là ma trận các hàm dạng

Từ phương trình (3.52) ta thấy rằng hàm dạng này phụ thuộc vào tần số  thông qua tham số động lực 

Đối với thanh chịu kéo nén, ma trận tính biến dạng có dạng B(dN1/dx dN2/dx)và

ma trận đàn hồi có dạng H=E [8].Sử dụng các hàm dạng (3.52) và từ (3.7), (3.8) ta thu được:

cot csc csc

cot csc csc

cot csc

csccot

( )

dx

x dv EA x

L x

Với A1,A2được xác định theo (3.50)

Các lực nút được xác định theo công thức P(P1,P2)T (EAv'(0) EAv'(L))T

cot csc

csc cot

u

u D L

EA P

csccot

)(

L EA

Là ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu kéo nén Từ (3.54) và (3.58) ta dễ nhận thấy rằng

D()  K()2M() (3.59)

3.4.2 Phần tử chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli

Xét phần tử thanh chịu uốn theo lý thuyết Euler- Bernoulli trong mặt phẳng xy

có chiều dài L, mômen quán tính đối với trục z là I, tiết diện A, mật độ khối lượng  Phần tử thanh có hai nút, mỗi nút có hai bậc tự do là độ võng và góc xoay được chọn làm các chuyển vị nút như hình 3.2

Hình 3.4: Phần tử thanh chịu uốn Theo (3.32) ta có phương trình vi phân dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli

0)()

x v d

Từ hình 3.4 ta có các điều kiện biên v(0)u1,v(L)u2,v'(0)1,v'(L)2

Sử dụng các điều kiện biên kết hợp với biểu thức (3.60) ta được hệ phương trình:

3 2

1

2 4

3 2

1

1 4

2

1 3 1

)coshsinh

cossin

(

sinhcosh

sincos

)(

B B

B

u B

B B

B

L B B

u B B

3 2 3

5 1 3

4 1

3

6 4

2 2

1 2 2

3 1 2

2 1 2

4 3

2 3

3 2 3

5 1 3

4 1

3

6 2

2 2

1 2 2

3 1 2

2 1 2

4 1

21

12121

121

L u

F B

L F u F L F u

F B

L F u F L

F L u

F B

L F u F L F u

F B

1

/)sinhcoscosh

(sin

/)sinh(sin

/)sinh(sin

/)cos(cosh

/)sinhcoscosh

(sin

/)sin(sinh

L F L F

L F L F L

F F

L F F

L F L F

L F F L

F F

N

T

3 5

4

2 6

1 3

2 4

3

3 5

4

2 6

1 3 2

4 3

3

21sinh

coshsin

cos]

3

3 2

2

2 1

3

3 1

) (

) (

) 0 (

) 0 (

dx

L v EI M

dx

L v EI V

dx EI M

dx

v EI V

L

x B

L

x B

L

x B

L

x

sinhcosh

sincos

L

x B

L

x B

L

x B

L

x

coshsinh

cossin

cossin

sincos

2 1

3

3

4 2 3

3

4 3

2 1

2

2

3 1 2

B B

L

L

v

B B L

v

B B

B B

L

L

v

B B

2 2 1 1

2 2 4

2 1 3

4 6

3 5

2 1 3

2 2 4

3 5 4

u u

L F L F L F L F

FL F

L F F

L F L F L

F L F

L F F L F F

2 1 3

4 6

3 5

2 1 3

2 2 4

3 5

4 6

3

L F L F L F L F

L F F L F F

L F L F L

F L F

L F F

L F F

000000693

0000364873

0371428571

0000329571

0128571429

0000076617

0052380952

0000072193

0030952381

0000016262

0009523810

0000015704

000714285

0

2

12 8

4 6

12 8

4 5

12 8

4 4

12 8

4 3

12 8

4 2

12 8

4 1

h

c j

j j

) 1 ( 6

;

1   2



10 9

8 7

6 5

4 3

2

6 19 7556 40 1063 47 035

33

2948 20 973

9 5948 4 04533 1 6272 0 ) (

z z

z z

z z

z z

z z

Hình 3.5: Dầm có nhiều vết nứt Phương trình dao động uốn của dầm có dạng:

) , ( )

, ( )

, (

2 2

2 4

5 1 4

4

t x Q t

w t

w A t

x

t x w x

t x w

"

),0('

"

),0('

),0(0

),0(

"

),0('

"

),0('

),0(

24 23 22 21

14 13 12 11 0

24

0 23

0 13

t L EIw

t L w

t L w B

B B B

B B B B t

EIw

t EIw

t w

t w B

B

B

B

B B

B

B

L L L L

L L L L

(3.76)

Điều kiện tương thích tại các đầu vết nứt là:

n j

k t

x w t x w EI t

x

w

t x w t x w x

w t x w t x w

t

x

w

j j j

j j j

j j

j j

j j

, , 2 , 1

;

1 );

, 0 ( ' ) , 0 (

"

) , 0 ( '

"

);

0 (

"

) , 0 (

"

);

, 0 ( )

3.5.2 Tần số dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt

Xét bài toán dao động tự do không có cản của dầm có nhiều vết nứt trong miền tần số Đặt w(x,t)(x,)e itvới (x,) là biên độ của chuyển vị ngang, ta thu được

0)()