Ứng dụng cảm biến nén trong ảnh cộng hưởng từ

Chúng tôi có thể thiết kế hiệu quả giao thức lấy mẫu hay cảm biến, có thể nắm bắt ñược các nội dung thông tin hữu dụng ñược nhúng vào tín hiệu rời rạc và hội tụ nó vào một lượng thông ti

NGUYỄN VĂN DŨNG

ỨNG DỤNG CẢM BIẾN NÉN TRONG ẢNH CỘNG HƯỞNG TỪ

Chuyên ngành: KỸ THUẬT ðIỆN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ TIẾN THƯỜNG

Họ và tên học viên: NGUYỄN VĂN DŨNG Phái: Nam

I-TÊN ðỀ TÀI: ỨNG DỤNG CẢM BIẾN NÉN

TRONG ẢNH CỘNG HƯỞNG TỪ

II-NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Tìm hiểu cảm biến nén

Tìm hiểu về tối ưu lồi

Tìm hiểu về thuật toán Total Variation

Tìm hiểu về ảnh cộng hưởng từ

Thuận toán cảm biến nén trong ảnh cộng hưởng từ

Ứng dụng cảm biến nén trong ảnh cộng hưởng từ

III-NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 27/05/2010

IV-NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 13/06/2011

V-CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS LÊ TIẾN THƯỜNG

(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

mẽ nhưng thầy ñã giúp tôi chọn ñề tài và tài liệu ñể tôi có ñủ kiến thức ñể hoàn thành tốt luận văn

Ngoài ra, tôi rất chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô chuyên ngành Kỹ Thuật ðiện

Tử, Trường ðại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh ñã hết lòng giảng dạy, truyền ñạt kiến thức và giúp ñỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường

ðặc biệt tôi xin chân thành cám ơn các bạn học viên cao học K2009 và gia ñình

ñã ủng hộ, giúp ñỡ tôi trong học tập và thực hiện Luận Văn này

TP.HCM, ngày 13 tháng 6 năm 2011

KS Nguyễn Văn Dũng

hình ảnh… Một trong ứng dụng quan trọng của nó là ứng dụng vào y tế, cụ thể là ảnh cộng hưởng từ Ảnh cộng hưởng từ ñòi hỏi sự tái tạo nhanh và cho hình ảnh rõ nét trong khi ñó cảm biến nén thì có thể táo tại hình ảnh từ một vài thông tin hơn các cách truyền thống Vì thế, phương pháp thu thập dữ liệu của MRI hoàn toàn phù hợp với lý thuyết của CS Trong bài luận văn này, xem xét ñến các ứng dụng tiềm năng của CS với MRI: Ảnh tia-x; Ảnh toàn bộ tim mạch vành; Nâng cao hình ảnh não; Hình ảnh trái tim ñộng

etc One of significant applications are in the medical imaging particularly in Magnetic Resonance Imaging (MRI) The MRI requires methods which is reconstructed rapid imaging and provides good images, in other hand, CS can reconstruct signal methods and images from significantly fewer measurements than traditional methods The way, ,which the data are acquired in MRI is compatible with the CS theory In the thesis, four potential applications of CS in MRI are introduced such as: Rapid Angiography; Whole-Heart Coronary Imaging; Enhanced Brain Imaging; Dynamic Heart Imaging

DANH MỤC HÌNH VẼ

CHƯƠNG 0 GIỚI THIỆU VỀ ðỀ TÀI

0.1 Mục ñích của ñề tài 1

0.2 Nhiệm vụ của ñề tài 2

0.3 Hướng phát triển 2

CHƯƠNG I CẢM BIẾN NÉN I.1 ðặt vấn ñề 3

I.2 Bài toán cảm biến 4

I.3 Không mạch lạc và tín hiệu rời rạc của cảm biến 5

1.3.1 Rời rạc 5

1.3.2 Lấy mẫu không mạch lạc 8

I.4 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu rời rạc 9

I.5 Lấy mẫu nén ROBUST 12

I.6 Hạn chế ñẳng cự 13

I.7 Khôi phục tín hiệu tổng quát từ dữ liệu dưới mẫu 14

I.7.1 Khôi phục tín hiệu ROBUST từ dữ liệu nhiễu 15

I.7.2 Cảm biến ngẫu nhiên 15

I.7.3 Mẫu nén là gì 16

I.7.4 Ứng dụng 18

I.8 Mô phỏng các thuật toán bằng Matlab 22

CHƯƠNG 2 TỐI ƯU HÓA LỒI II.1 Hàm lồi 31

II.1.1 ðịnh nghĩa 31

II.1.2 Hàm mở rộng 32

II.3 Bài toán tối ưu hóa lồi 35

II.4 Giới thiệu các hàm norm 35

II.5 Hàm norm trong matlab 36

II.6 Chương trình tối ưu hóa lồi 37

II.6.1 Giới thiệu các thành phần cơ bản 37

II.6.2 Hàm mục tiêu 38

CHƯƠNG 3 HÌNH ẢNH QUA LẤY MẪU NÉN III.1 ðặt vấn ñề 40

II.2 CS trong các hoạt ñộng 45

III.3 Nguyên lý không chác chắn và khôi phục rời rạc 48

III.4 Hình học tối thiểu hóa ℓ1 50

III.4.1 Khôi phục ℓ1 và nguyên lý không chắc chắn 51

III.4.2 Khôi phục biến ñổi rời rạc 52

CHƯƠNG 4 THUẬT TOÁN TOTAL VARIATION VÀ ỨNG DỤNG TRONG COMPRESSIVE SAMPLING IV.1 ðặt vấn ñề 53

IV.2 Thuận toán 55

IV.3 Thuật toán nhanh cho tái tạo sử dụng thuật toán TV 56

IV.3.1 Bài toán cảm biến nén 56

IV.3.2 Các mô hình của TV 58

IV.4 Phương pháp ñiều khiển luân phiên cho TV/L2 60

IV.4.1 Khung tổng quát của ADM 60

IV.5.1 Mở rộng biến ña kênh cho TV/L 64

IV.5.2 Mở rộng TV/L1 và biến ña kênh của nó 67

IV.6 Thuật toán luân phiên mới tái tạo hình ảnh bằng TV 68

IV.6.1 Giới thiệu 68

IV.6.2 Thuật toán tối thiểu luân phiên 70

IV.6.3 ðiều kiện tối ưu 71

IV.7 Mô phỏng trong Matlab 76

IV.7.1 Bài toán TV 76

IV.7.2 Tính toán TV nhanh 77

CHƯƠNG 5 ẢNH CỘNG HƯỞNG TỪ V.1 Giới thiệu 85

V.2 Nguyên lý ảnh cộng hưởng từ 87

V.2.1 Vật lý cộng hưởng từ hạt nhân 87

V.2.2 Sự phân cực 87

V.2.3 Phương trình Bloch 87

V.2.4 Cộng hưởng 87

V.2.5 Sự dãn nở 88

V.3 Phần cứng ảnh cộng hưởng từ 88

V.3.1 Trường tử tĩnh 88

V.3.2 Trường tần số vô tuyến ngang 89

V.3.3 Cuộn dây thu và sự thu tín hiệu 89

V.3.4 Gradient giải mã không gian 90

V.4 Sự tạo ảnh 90

V.4.4 Sự phân tích và trường nhìn 93

V.4.5 Quĩ ñạo lấy mẫu không gian-k 93

V.4.6 Hình ảnh nhanh chóng 94

CHƯƠNG 6 MÔ PHỎNG ỨNG DỤNG CẢM BIẾN NÉN TRONG MRI VI.1 ðặt vấn ñề 99

VI.2 Nén cảm biến 101

VI.3 Rời rạc 105

VI.3.1 Biến ñổi rời rạc 105

VI.3.2 Hình ảnh MR rời rạc 106

VI.4 Lấy mẫu không mạch lạc 108

VI.4.1 Phân tích PSF và TPSF 108

VI.4.2 Hình ảnh từng mẫu ñơn 2DFT, ña mẫu ñơn 2DFT và 3DFT 110

VI.4.3 Mật ñộ biến lấy dưới mẫu ngẫu nhiên 113

VI.4.4 Cơ chế lấy mẫu không mạch lạc khác 114

VI.4.5 Lấy mẫu không mạch lạc ñộng: không gian k-t 117

VI.4.6 Bao nhiêu mẫu thu thập ñược 117

VI.4.7 Thiết kế lấy mẫu không mạch lạc Monte-Carlo 118

VI.5 Tái tạo hình ảnh 119

VI.5.1 Thành lập công thức 119

VI.5.2 Giải pháp Gradient liên hợp không tuyến tính 120

VI.5.3 Hiệu chỉnh pha bậc thấp và không gian –k riêng ràng buộc pha 123

VI.6 Các ứng dụng 124

VI.6.1 Ảnh ñộng mạch 3D 124

VI.7 Mô phỏng ứng dụng CS trong MRI 132 VI.7.1 Mạch máu 133 VI.7.2 Não bộ 133

CHƯƠNG 7: KẾT LUẬN - ỨNG DỤNG VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

VII.1 Kết luận 136 VII.2 Ứng dụng 136 VII.3 Hướng phát triển 137

TÀI LIỆU THAM KHẢO

RIP: Restricted Isometry Property Thuộc tính hạn chế ñẳng cự i.i.d Independence identical distributed Phân phối ñộc lập giống hệt

nhau

RMPI Radom Modulation Preintegration ðiều chế ngẫu nhiên tiền tích

phân

UUP Uniform uncertainly principle Nguyên lý không chắc chắn

không ñổi

IST Iterative shrinkage/threshoding Phép lập co hình / giới hạn TwIST 2-step Iterative shrinkage/threshoding Phép lập co hình / giới hạn

2 bước nhảy FISTA Fast Iterative shrinkage/threshoding algorithm

Thuật toán Phép lập co hình / giới hạn nhanh

FTVd Fast Tota variation deconvolution Giải chập biến thiên tổng quát

nhanh

Lagrangian

luận phiên

MRI Magnetic Resonance Imaging Ảnh cộng hưởng từ

TPSF Transform Point Spread Function Hàm biến ñổi trải ñiểm ZF-wd/c zero-filling with density compensation ðiền zero với bù mật ñộ

Hình-1.1 Ảnh qua tái tạo wavelet 7

Hình-1.2 Ảnh qua tái tạoℓ1-norm 21

Hình-1.3 Giao diện của phần mô phỏng 23

Hình-1.4 Tín hiệu khôi phục bằng thuật toánℓ1- norm 24

Hình-1.5 Tín hiệu khôi phục bằng thuật toánℓ2- norm 26

Hình-1.6 Tín hiệu khôi phục bằng thuật toán ROBUST 28

Hình-1.7 So sánh thuật toán khôi phục bằng ℓ1- norm, ℓ2- norm, ROBUST 29

CHƯƠNG 2 TỐI ƯU HÓA LỒI Hình-2.1 ðồ thị của một hàm lồi 31

Hình-2.2 Bất ñẳng thức trong ñiều kiện thứ 1 33

CHƯƠNG 3 HÌNH ẢNH QUA LẤY MẪU NÉN Hình-3.1 Lấy mẫu véctơ rời rạc 45

Hình-3.2 Mô phỏng hình ảnh ñược mã hóa 47

Hình-3.3 Hình học của tái tạo ℓ1 51

CHƯƠNG 4 THUẬT TOÁN TOTAL VARIATION VÀ ỨNG DỤNG TRONG COMPRESSIVE SENSING Hình-4.1 Hình ảnh RGB từ ADM và FTVd 67

Hình-4.2 Giao diện thực hiện mô phỏng 79

Hình-4.3 Hình ảnh ñược làm mờ với SNR = 6.3dB 80

Hình-4.4 Khôi phục bằng các giải thuật 81

Hình-4.5 Áp dụng của TV/L1 và TV/L2 trong ảnh mả Gray mờ và nhiễu 82

Hình-4.6 Ảnh rose (ñịnh dạng kiểu RBG) 83

Hình-4.7 Ảnh RBG nhiễu và mờ với SNR=8.29Db 83

Hình-5.2 Giải mã không gian Fourier 95

Hình-5.3 Tái tạo hình ảnh ñược xác ñịnh bằng phạm vi của không gian – k 96

Hình-5.4 Quĩ ñạo lấy mẫu chung 97

Hình-5.5 Chuỗi xung xác ñịnh hình ảnh 1D 97

Hình-5.6 Phương pháp xác ñịnh vị trí luận phiên 1D 98

Hình-5.7 Chuỗi xung EPI (Echo Planar Imaging) với mã hóa pha gradient (Gy) và mã hóa gradient tần số (Gx) 98

CHƯƠNG 6 MÔ PHỎNG ỨNG DỤNG CẢM BIẾN NÉN TRONG MRI Hình-6.1 Hình ảnh và hệ thống minh họa 102

Hình-6.2 Tái tạo trực giác của tín hiệu khôi phục từ dưới mẫu không gian –k chuỗi giả ngẫu nhiên 104

Hình-6.3 Biến ñổi rời rạc hình ảnh MR 107

Hình-6.4 kê thực nghiệm ước lượng của giao thoa trong PSF cho lấy mẫu ngẫu nhiên thuần túy 110

Hình-6.5 PSF của lấy dưới mẫu ngẫu nhiên không gian –k 112

Hình-6.6 Hàm biến ñổi ñiểm trải (TPSF) phân tích trong miền wavelet 113

Hình-6.7 ðối với hình ảnh tự nhiên, lấy mẫu ngẫu nhiên ñều thường cho kết quả là nhiễu mạch lạc 115

Hình-6.8 Hàm ñiểm trải (PSF) của quĩ ñạo lấy mẫu thay ñổi 116

Hình-6.9 MRI ñộng 118

Hình-6.10 ðộng mạch chụp tăng cường tương phản 3D 125

Hình-6.11 Hình ñơn ñộng mạch vành toàn bộ trái tim giữ nhịp hơi thở 127

Hình-6.12 Ảnh não 129

Hình-6.13 Sự thay ñổi gần như 1 chu kì của hình ảnh ñộng 131

Hình 6-17 Hình não bộ qua 2 phương pháp ZF-wd/c và CS+TV 134 Hình 6-18 Hình não bộ qua 2 phương pháp ZF-wd/c và CS+ℓ1wavelet 135

Ngày nay, ảnh cộng hưởng từ là phương pháp y học hiện đại trong y học lâm sàn Ảnh cộng hưởng từ (MRI) giúp chúng tơi chụp được rõ nét các hình ảnh của bệnh nhân giúp cho bác sĩ cĩ thể chuẩn đốn tốt bệnh lý Nĩ dựa vào nguyên tắc cộng hưởng từ do các ion H+ trong phân tử nước bị kích thích tạo ra Hình ảnh MRI cho chất lượng cao nhưng hạn chế của nĩ là tốc độ tạo ảnh theo phương pháp

cũ thường hay bị mờ, bị chồng lấn trong các bức ảnh chụp ảnh não, tim, phổi …

Bài luận văn này trình bày một phương pháp tạo ảnh sử dụng thuật tốn mới CS Vì cĩ rất nhiều phương pháp nên bài luận văn này chỉ sử dụng thuật tốn Total Variation (TV) [7], [8], [9] cho ℓ1-norm và ℓ2-norm cho việc táo tạo ảnh MRI

các ảnh rời rạc theo phương pháp chụp ảnh Thuộc tính rời rạc này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết CS Việc áp dụng TV cho chúng tôi có những nghiên cứu khác chỉ cần xen vào phần mềm mà không cần cải tạo lại phần cứng mà thu ñược các hình ảnh có ñộ phân giải cao

0.2 Nhiệm vụ ñề tài

Bài luận văn mô phỏng thuật toán Total Variation ñược áp dụng trong MRI Thuật toán TV là một trong các phương pháp cảm biến nén CS ñược ñánh giá rất cao [9] Bằng cách sử dụng thuật toán chúng tôi thu ñược các hình ảnh rõ nét và thời gian tạo ảnh nhanh hơn so với truyền thống

Do hạn chế về ảnh cộng hưởng từ MRI nên bài luận văn này sử dụng các hình ảnh trên mạng làm mô phỏng Mô phỏng CS-MRI[22] nhằm ñánh giá khả năng ứng dụng và hướng phát triển của phương pháp này

và nhiều thứ khác (với vài tín hiệu, như hình ảnh nó không có giới hạn băng thông

tự nhiên, tốc ñộ lấy mẫu ñược quyết ñịnh không theo ñịnh lý Shannon nhưng tuân theo ñộ phân giải thời gian và không gian Tuy nhiên, nó ñược phổ biến trong hầu hết các hệ thống sử dụng bộ lọc thông thấp răng cưa ñể giới hạn băng thông tín hiệu trước khi lấy mẫu, và vì thế ñịnh lý Shannon ñóng vai trò tiềm ẩn) Trong lĩnh vực chuyển ñổi dữ liệu, ví dụ, kỹ thuật chuyển ñổi tương tự qua số (ADC- analog-to-digital converter) thiết lập nó thành phần lượng tử hóa Shannon: tín hiệu là ñều khi lấy mẫu tại hoặc lớn hơn tốc ñộ Nyquist

Chương này khảo sát ñịnh lý lấy mẫu nén, hay còn ñược gọi là cảm biến nén hay CS, mô hình cảm biến/ lấy mẫu mới ñi ngược lại các suy xét thông thường trong việc thu thập tín hiệu ðịnh lý CS khẳng ñịnh rằng nó có thể khôi phục tín hiệu hay hình ảnh từ một vài mẫu hay thông số nhỏ hơn các phương pháp truyền thống ñã sử dụng ðể thực hiện ñiều này, CS dựa vào hai nguyên tắc: rời rạc, gắn liền với tín hiệu quan sát, không mạch lạc, gắn liền với các phương thức cảm biến

• Rời rạc thể hiện “Tốc ñộ thông tin” của tín hiệu liên tục theo thời gian có thể nhỏ hơn nhiều so với băng thông nó yêu cầu, hay tín hiệu rời rạc theo thời gian phụ thuộc vào số bậc tự do mà nó tương ñối nhỏ hơn so với chiều dài (hữu hạn) của nó Chính xác hơn, thực tế CS khai thác nhiều tín hiệu ñược rời rạc hay nén có

nghĩa là chúng ñược thể hiện một cách súc tích trong biểu diễn trong chuẩn ψ chính xác

• Không mạch lạc mở rộng hai mặt của thời gian và tần số và bắt nguồn từ các ñối tượng có biểu diễn rời rạc trong ψ phải ñược trải dài trong miền này mà nó

có thể ñược thu nhận, chỉ là xung Dirac hay là một xung nhọn trong miền thời gian ñược trải rộng trong miền tần số Nói cách khác, không mạch lạc nói lên rằng dạng sóng lấy mẫu hay cảm biến, không giống như tín hiệu quan sát, mà nó thể hiện dày ñặc trong ψ

Chúng tôi có thể thiết kế hiệu quả giao thức lấy mẫu hay cảm biến, có thể nắm bắt ñược các nội dung thông tin hữu dụng ñược nhúng vào tín hiệu rời rạc và hội tụ nó vào một lượng thông tin nhỏ Những giao thức này thì không thích nghi

và chỉ yêu cầu mối tương quan giữa tín hiệu với một lượng nhỏ sóng cố ñịnh mà

nó không mạch lạc với các cơ sở rời rạc ðiều gì là ñáng chú ý nhất trong các giao thức lấy mẫu này cho phép các bộ cảm biến nắm bắt các thông tin tín hiệu rời rạc hiệu quả mà không cố gắng tìm hiểu tín hiệu ñó Hơn nữa, CS sử dụng phương pháp tối ưu hóa số học ñể tái tạo ñầy ñủ chiều dài tín hiệu từ một số lượng nhỏ tín hiệu thu thập ñược Nói cách khác, CS là một giao thức thu thập tín hiệu ñơn giản

và hiệu quả mà các mẫu – trong hình dạng tín hiệu ñộc lập – tại tốc ñộ thấp và sau

ñó sử dụng phương pháp tính toán ñể tái tạo lại từ những gì xuất hiện không ñầy

ñủ trong phép ño

I.2 Bài toán cảm biến[2]

Tín hiệu
 thu ñược bằng các ghi lại các giá trị hàm tuyến tính:

Có nghĩa là, chúng tôi chỉ xét mối tương quan giữa các ñối tượng chúng tôi mong muốn thu thập với dạng sóng  ðây là một thiết lập chuẩn Nếu dạng sóng cảm biến là hàm delta Dirac (gai), ví dụ, khi  là giá trị vector lấy mẫu của
trong miền thời gian hay không gian Nếu sóng cảm biến là những ñiểm ảnh có

chức năng chỉ thị, thì  là một dạng dữ liệu ảnh thu gom từ các máy cảm biến trong các camara số Nếu dạng sĩng cảm biến là sĩng hình sin, thì  là vector của

hệ số Fourier; nĩ là một mơ hình cảm biến sử dụng ảnh cộng hưởng từ (MRI)

Phần này chỉ giới hạn tín hiệu rời rạc  Lý do cơ bản gồm 2 phần:

thứ nhất, đây là một khái niệm đơn giản và thứ hai, lý thuyết CS rời rạc phát triển hơn rất nhiều Nĩi cách khác như sau, chương này quan tâm đến trường hợp lấy dưới mẫu mà trong đĩ  là số đo tồn tại nhỏ hơn rất nhiều so với  chiều của tín hiệu
Các vấn đề như vậy là phổ biến cĩ rất nhiều lý do khác nhau Ví dụ, thiết

bị cảm biến cĩ thể bị giới hạn Hay các thiết bị đo cĩ thể quá mắc trong việc truyền hình ảnh thơng qua tán xạ neutron Hay là quá trình cảm biến cĩ thể chậm

để cĩ thể chỉ đo đối tượng vài lần trong MRI

Những trường hợp này, đặt ra câu hỏi quan trọng Cĩ thể tái tạo lại chính xác từ các thơng số    khơng? Cĩ thể thiết kế sĩng cảm biến    để bắt được hầu hết các thơng tin về
khơng? Và bằng cách nào cĩ thể xấp xỉ
từ các thơng tin này? Phải thừa nhận rằng, đây là một vấn đề khá khĩ khăn, nĩ cần phải giải quyết phương trình tuyến tính chưa xác định rõ  định nghĩa là ma trận cảm

trình hồi phục  từ  nĩi chung là khơng đúng khi   : ở đây cĩ rất nhiều tín hiệu
 vơ hạn thỏa 
   Nhưng nĩ cĩ thể đốn được bằng các mơ hình thực tế của đối tượng
mà nĩ tồn tại tự nhiên ðịnh lý Shannon nĩi rằng, nếu
 thực sự cĩ băng thơng thấp, vì thế một số lượng nhỏ lấy mẫu (đều)

sẽ đủ cho việc tái tạo

I.3 Khơng mạch lạc và tín hiệu rời rạc của cảm biến

Phần này sẽ trình bày 2 điều cơ bản nhất nằm trong CS: rời rạc và khơng mạch lạc

I.3.1 Rời rạc [1]

Nhiều tín hiệu tự nhiên cĩ thể biểu diễn ngắn gọn trong cơ sở thích hợp ðể

Mặc dù hầu hết tất cả các ñiểm ảnh có giá trị khác không, hệ số wavelet cung cấp một giản lược ngắn gọn: hầu hết các hệ số rất nhỏ, và có ít các hệ số lớn nắm bắt hầu hết các thông tin

Theo như toán học, và theo như Candès[1], chúng tôi có vector 

(chẳng hạn như  ñiểm ảnh như hình 1) chúng tôi có thể mở rộng trong cơ sở trực giao (chẳng hạn cơ sở wavelet)     …  như sau:

  ∑ " ##

Với " là hệ số của chuỗi
, "#  
, # Nó sẽ thích hợp ñể biểu diễn
dưới dạng " (với  là ma trận    với , … ,  là các cột) Các ý nghĩa của rời rạc bây giờ ñã trở nên rõ ràng: khi mà tín hiệu ñể ñược mở rộng ra thưa thớt, chúng tôi có thể loại bỏ các hệ số nhỏ mà không cần làm mất các giác quan về nó Xem xét
% thu ñược bằng cách chỉ giữ lại các thành phần tương ứng với giá trị

& lớn nhất của "# trong phần mở rộng (1.2) Bằng ñịnh nghĩa,
%:  "%, từ ñây trở xuống, "% là vector hệ số "# mà có giá trị lớn nhất & ñược thiết lập là zero Các vecto này là rời rạc trong cảm biến chuẩn tắc nhưng một vài vector của nó sẽ ñưa về zero; chúng tôi gọi là S-rời rạc (S-sparse) mà các ñối tượng có hầ hết S không hội tụ về zero Vì  là một cơ sở trực giao, chúng tôi sẽ có (
)
%(*+ (" ) "%(*+, và nếu " là rời rạc hay là nén mà ñộ lớn của "# suy giảm một cách nhanh chóng, vì thế " xấp xỉ gần ñúng với "% và, vì thế, lỗi (
)
%(*+ là nhỏ Trong ñiều kiện ñơn giản, chúng tôi có thể “bỏ qua” các thành phần lớn của hệ số

mà không mất mát nhiều Hình 1.1(c) cho thấy một ví dụ giác quan hoàn toàn cảm nhận ñược từ ảnh megapixel mà nó xấp xỉ thu ñược bằng các loại bỏ 95% hệ số

Hình 1.1[2] : Ảnh megapixel ban đầu với các giá trị điểm ảnh nằm trong khoảng

[0,255] và (b) hệ số biến đổi wavelet của nĩ (sắp xếp một cách ngẫu nhiên để tăng

giá trị biểu diễn) Hệ số wavelet tương đối ít và nắm bắt được hầu hết năng lượng

tín hiệu; nhiều hình ảnh như vậy cĩ độ nén cao.(c) Tái tạo thu được bằng cách đưa

về số khơng tất cả các hệ số trong vùng mở rộng wavelet nhưng 25,000 quá lớn

(các giá trị điểm ảnh cĩ ngưỡng tầm từ [0,255])

Nguyên tắc này, tất nhiên, là nền tảng cho hầu hết bộ mã hĩa hiện đại như

JPEG-2000 và nhiều ứng dụng khác, từ một phương pháp nén dữ liệu đơn giản

bằng cách tính tốn " từ
và sau đĩ (thích nghi) bộ mã hĩa vị trí và giá trị của hệ

số ý nghĩa & Nhưng phương pháp yêu cầu phải biết rõ các hệ số  của ", như là

vị trí của các phần thơng tin quan trọng cĩ thể khơng được biết trước (chúng là tín

hiệu phụ thuộc); trong ví dụ của chúng tơi, chúng tập trung xung quanh cạnh của

hình ảnh Một cách tổng quát, rời rạc là cơng cụ mơ hình hĩa cơ bản mà nĩ cho

phép xử lý tín hiệu cơ bản hiệu quả; ví dụ, dự đốn và phân loại thống kê chính

xác, nén dữ liệu hiệu quả, và v…v Rời rạc xác định bằng cách nào chúng tơi cĩ

thể thu được tín hiệu khơng thích nghi

I.3.2 Lấy mẫu không mạch lạc

phần thứ nhất là cơ sở , ñược sử dụng cho cảm biến của ñối tượng
như trong (1.1) và thành phần thứ 2 là sử dụng ñể biểu diễn
ðiểm hạn chế của cặp trực giao này là nó không cần thiết và sẽ hoàn toàn làm ñơn giản hóa xử lý

ma trận cảm biến, tương ứng với lấy mẫu truyền thống trong không gian và thời gian Cặp thời gian-không gian tuân theo -,,   1 và, vì thế chúng tôi có tối

ña không mạch lạc Hơn nữa, gai hay sin thì tối ña hóa không mạch lạc không chỉ

là một chiều mà là nhiều chiều (trong hai chiều, ba chiều,…)

Ví dụ thứ 2 lấy cơ sở wavelet  và sóng nhiễu là , Mối quan hệ giữa sóng nhiễu và sóng Haar là √2 và giữa sóng nhiễu và sóng Daubechies D4 và D8 tương ứng là 2.2 và 2.9 trên một loạt các mẫu có kích thước là  Kéo dài các chiều càng lớn càng tốt (Sóng nhiễu cũng ñược xem là tối ña không mạch lạch với gai và không mạch lạc với cơ sở Fourier.) ðiều quan tâm của chúng tôi trong sóng nhiễu ñến từ thực tế là

1) Chúng không có mạch lạc với các hệ thống cung cấp các biểu diễn dữ liệu hình ảnh rời rạc và các dữ liệu loại khác

2) Chúng luôn ñi theo thuật toán rất nhanh; việc truyền dẫn sóng nhiễu biến ñổi trong thời gian Ο, và giống như các biến ñổi Fourier, các ma trận sóng nhiễu không cần lưu trữ ñể thực thi cho một vector nào

Cuối cùng, ma trận ngẫu nhiên không mạch lạc ở mức ñộ lớn với nhiều ma trận cơ sở cố ñịnh  Việc chọn lựa , cơ sở chuẩn trực giao ñều ngẫu nhiên, chúng có thể ñạt ñược bằng  vector lấy mẫu ñộc lập chuẩn hóa trực giao và ñồng nhất trên mặt cầu ñơn vị Vì thế với xác suất cao, mối quan hệ giữa , và  khoảng

 có phân bố ñộc lập ñồng nhất, chẳng hạn, Gaussian hay nhị phân D1, cũng sẽ thể hiện không mạch lạc thấp với bất kì  biễu diễn cố ñịnh Chú ý rằng những ứng dụng mới: nếu cảm biến với

hệ thống không mạch lạc là tốt thì cơ chế hiệu quả phải thu ñược mối quan hệ với các sóng ngẫu nhiên, chẳng hạn như, nhiễu trắng

I.4 Dưới mẫu và khôi phục tín hiệu rời rạc[1]

Lý tưởng nhất, chúng tôi muốn ño ñạt tất cả các hệ số  của
, nhưng chúng tôi chỉ có lấy một tập hợp con và thu gom dữ liệu

Việc sử dụng ℓ norm như là một hàm thúc ñẩy cho quá trình rời rạc ñược tìm thấy vài thế kỉ trước Ứng dụng sớm nhất là trong phản xạ ñịa chấn học, mà trong ñó hàm phản xạ rời rạc (chỉ thay ñổi giữa bề mặt dưới các lớp) ñược tìm

phải là phương pháp khôi phục duy nhất; các phương pháp khác cũng sẽ ñược trình bày

Kết quả ñầu tiên chúng tôi khẳng ñịnh rằng khi
rời rạc ñủ thưa thớt, việc khôi phục qua tối thiểu ℓ là chính xác

ðịnh lý 1

Cố ñịnh  và cung cấp các hệ số tuần tự " của
trong cơ sở Ψ là

& )rời rạc Chọn giá trị  trong không gian chuẩn Φ một cách ngẫu nhiên Vì thế nếu

ðối với một số C cố ñịnh dương, giải quyết vấn ñề (1.5) là chính xác thông qua xác suất nổi trội (Nó ñược biểu hiện rằng xác suất thành công vượt quá 1 ) 7 nếu  X Y -Φ, Ψ & logZ.) Chúng tôi sẽ làm rõ qua ba ý kiến sau:

1) Vai trò của mạch lạc là hoàn toàn rõ ràng; sự mạch lạc càng nhỏ hơn, thì càng cần một vài mẫu hơn, vì thế chúng tôi nhấn mạnh vào các hệ thống có mạch lạc nhỏ như các phần trước

2) Nó cho phép không có thông tin bị mất bởi phép ño ñạc bất kì và thiết lập

hệ số  nhỏ hơn kích thước yêu cầu tín hiệu Nếu -Φ, Ψ bằng hoặc nhỏ hơn 1, thì bậc của mẫu & log  ñủ ñể thay thế 

3) Tín hiệu
có thể khôi phục chính xác tứ các dữ liệu cô ñặc ñược thiết lập

từ hàm tối thiểu tối ưu lồi mà nó không cần giả sử ñã biết số lượng khác không của tọa ñộ ", vị trí của chúng, hay là biên ñộ của chúng mà ở ñây chúng tôi giả sử ràng tất cả hoàn hoàn không biết một ưu tiên nào Chúng tôi chỉ cần chạy thuật toán và nếu tín hiệu xảy ra ñủ thưa thớt thì khôi phục chính xác xảy ra

ðịnh lý cho thấy giao thức thu nhận rất cụ thể: lấy mẫu không thích nghi trong miền không mạch lạc và gọi chương trình tuyến tính sau khi thu thập xong Tuân theo giao thức này tín hiệu thu thập ñược dưới dạng nén Tất cả chúng thực

sự cho thấy cần bộ giải mã ựể giải nén dữ liệu này; nó là vai trò của tối thiểu hóa

lý 1 nói rằng nó có thể tái tạo ựược tắn hiệu một cách tùy ý và không biết tần số cung cấp mang chiều dài & từ bậc của & log  mẫu thời gian Hơn nữa, các mẫu này không cần phải chọn lựa một cách cẩn thận; hầu hết các mẫu thiết lập với chiều dài này ựều sẽ làm việc

Bây giờ chúng tôi sẽ thảo luận về vai trò của xác suất trong tất cả các phần trên điểm chắnh là ựể có ựược kết quả hữu dụng và chắnh xác, nó cần sử dụng ựến các câu lệnh xác suất vì nó không kỳ vọng các kết quả so sánh ựược giữ cho tất các các phép ựo ựể thiết lập chiều dài  đó là lý do tại sao Các tắn hiệu rời rạc ựặc biệt mà nó biến mất mọi nơi trong miền Φ Nói cách khác, chúng tôi có thể tìm thấy tắn hiệu rời rạc
và không gian con lớn của hầu hết chiều dài  (vắ dụ,

 ) &) mà    0 với mọi 8 E Một mặt, ựưa ta các tập hợp con, chúng tôi có thể nhìn thấy chuổi số 0 và không có huật toán nào có thể cho phép tái tạo lại tắn hiệu Mặt khác, ựịnh lý này ựảm bảo rằng các phân số của thiết lập ựược khôi phục chắnh xác không thực sự xảy ra là không ựáng kể (một năng lượng

âm lớn của ) Vì vậy, chúng tôi chỉ cho phép xác suất thất bại là cực kỳ nhỏ ðối với mục ñích thực tế, xác suất thất bại là zero nếu như chiều dài lấy mẫu là ñủ lớn

Việc nghiên cứu các tín hiệu rời rạc ñặc biệt ñược thảo luận ở trên cũng cho thấy rằng chúng cần một yêu cầu tối thiểu về bậc của - & log  ñể lấy mẫu tốt Với mẫu ít hơn, xác suất mà thông tin có thể bị mất là rất lớn và ñược tái tạo lại bằng nhiều phương pháp, không có vấn ñề là khó làm, là không thể Tóm lại, không mạch lạc là thống nhất, có nghĩa là chúng tôi không cần nhiều hơn & log  nhưng không thể làm ít hơn

Chúng tôi kết luận phần này với một ví dụ lấy mẫu không mạch lạc, và xem xét các hình ảnh thưa thớt trong hình 1.1(c), mà chúng tôi cho 25,000 hệ số sóng khác không Sau ñó chúng tôi thu nhận ñược thông tin bằng cách lấy 96,000 phép

ño rời rạc và giải quyết (1.5) Khôi phục tối thiểu hóa ℓ là chính xác, có nghĩa là

 
Trong ví dụ này biểu diễn số lấy mẫu chỉ khoảng 4 x số rời rạc ñủ yêu cầu

I.5 Lấy mẫu nén ROBUST[1]

Chúng tôi ñã chỉ ra rằng người ta có thể khôi phục tín hiệu rời rạc chỉ từ một vài phép ño nhưng ñể ñược thực sự mạnh, CS cần phân chia với cả 2 loại tín hiệu rời rạc hoàn toàn và với nhiễu Trước tiên, các ñối tượng tổng quát quan sát là không rời rạc hoàn toàn mà xấp xỉ rời rạc Vấn ñề ở ñây là có hay không tái tạo ñược chính xác ñối tượng này từ các phép ño dưới mẫu cao Thứ 2, trong bất kì các ứng dụng thực nào dữ liệu ño ñạc lúc nào cũng sẽ bị hỏng bởi một lượng tối thiểu ñược gọi là nhiễu như các thiết bị cảm biến không có ñộ chính xác là vô hạn

Ít nhất, nhiễu trong dữ liệu là nguyên nhân gây nên nhiễu trong việc tái tạo

Phần này xem xét hai vấn ñề này cùng 1 lúc Trước khi bắt ñầu, tuy nhiên

ñể xem xét một cách dễ dàng các vấn ñề về khôi phục lại vector  từ dữ liệu

Với  là ma trận cảm biến    cho chúng tôi thông tin về ", và ^ là một ngẫu nhiên hay là thành phần lỗi không xác ñịnh rõ ràng Các thiết lập của cuối phần này là một dạng với
 Ψ" và   _Φ
( _ là ma trận trích từ phần lấy mẫu tọa ñộ trong E), có thể viết lại là   " với   _ΦΨ

I.6 Hạn chế ñẳng cự[1]

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu về khái niệm chính mà ñược chứng minh rất hữu dụng ñể nghiên cứu chung của CS; nó còn ñược gọi là tính chất hạn chế ñẳng cự.(Restricted isometry property (RIP))

ðịnh nghĩa 2

Cho số nguyên &  1,2, … ñược ñịnh nghĩa hằng số ñẳng cự 7` của ma trận

 là số nhỏ nhất thỏa mãn

1 ) 7`("(*+ a ("(*+ a 1 ] 7`("(*+ (1.8)

với mọi vector " trong S-rời rạc

Ma trận  tuân theo bậc S của RIP nếu như 7` không có hội tự về một Khi thuộc tính này ñược giữ, xấp xỉ  bảo toàn khoảng cách Euclidean của tín hiệu S-rời rạc, có nghĩa là vector S-rời rạc không tồn tại trong không gian không của

.(ðiều này rất hữu ích nếu không sẽ không có hi vọng tái tạo lại các vector này) Một mô tả tương ñương của RIP là tất cà các tập hợp con của cột & ñược lấy từ A hầu hết là trực giao (Cột của A không thể trực giao một các hoàn toàn vì chúng tôi

có nhiều cột hơn so với hàng)

ðể xem xét kết nối giữa RIP và CS, giả sử chúng tôi muốn nhận ñược tín hiệu S-rời rạc với A Giả sử rằng 7` là ñủ nhỏ hơn một ðiều này có nghĩa rằng tất cả cặp khoảng cách giữa các tín hiệu S-rời rạc phải ñược bảo toàn trong không gian ño Có nghĩa là, 1 ) 7`(") "(*+ a (") "(*+ a 1 ]

7`(") "(*+ với vector S-rời rạc ", " Nó ñược chứng minh trong phần tiếp

theo, ñiều này ñảm bảo cho sự tồn tại của thuật toán có hiệu quả và mạnh mẽ cho việc phân biệt tín hiệu S-rời rạc dựa vào các phép ño nén của nó

I.7 Khôi phục tín hiệu tổng quát từ dữ liệu dưới mẫu[2]

Nếu như thỏa mãn RIP, thì phương pháp tuyến tính sau ñây cho phép tái tạo chính xác:

", ñược trích một phần thông tin có ý nghĩa & cho chúng

Một ñiểm nổi bật khác biệt so với các kết quả trước ñó là nó có tính quyết ñịnh, vì nó không liên quan ñến xác suất Nếu chúng tôi giữ ma trận cảm biến  tuân theo giả thiết của ñịnh lý, chúng tôi có thể áp dụng nó, và sau ñó chúng tôi chắc chắn sẽ tái tạo tất cả vector-S rời rạc chính xác, và bản chất S-lớn nhất cho tất các các vector khác, ở ñây không có xác suất thất bại

I.7.1 Khôi phục tín hiệu ROBUST từ dữ liệu nhiễu [2]

Chúng tôi cho tín hiệu nhiễu giống (1.7) và sử dụng tối thiểu hóa ℓvới

ràng buộc về tái tạo:

d("S(*N thỏa mãn ("S ) (*+ a e (1.11) Với e phạm vi nhiễu trong dữ liệu

ðịnh lý 3

Giả thuyết là 7`  √2 ) 1 Vì thế " tuân theo

(") "(*+ a Y\.(R9Rb (cN

√` ] Y e Với mọi hằng số Y\ và Y,

Cái này khó có thể ñơn giản hơn Lỗi tái tạo ñược ràng buộc bởi tổng của 2

thành phần Thành phần ñầu tiên là lỗi mà nó xảy ra nếu như dữ liệu không có

nhiễu Thành phần thứ 2 chỉ là thành phần tỷ lệ với mức nhiễu Hơn nữa các thành

phần Y\ và Y thường nhỏ Với 7`=1/4 cho ví dụ, Y\ a 5.5 và Y a 6 Hình 3

biểu diễn việc tái tạo từ dữ liệu nhiễu

Kết quả cuối cùng thiết lập CS như thực nghiệm và cơ chế cảm biến mạnh

mẽ Nó hoạt ñộng với tất cả các tín hiệu mà không nhất thiết phải là tín hiệu rời

rạc, và nó ñiều khiển tiếng ồn một cách dễ dàng Những gì còn lại là làm cách nào

có thể thiết kế ñược ma trận cảm biến hiệu quả tuân theo RIP

I.7.2 Cảm biến ngẫu nhiên

Trở lại với RIP, chúng tôi muốn tìm ma trận cảm biến có thuộc tính là lấy

các vector cột từ tập hợp con tùy ý thì trực giao hoàn toàn Tập hợp con càng lớn,

càng tốt

Xem xét các ma trận cảm biến sau: i) mẫu  do lấy mẫu vector cột n chuẩn

hóa một cách ngẫu nhiên trên mặt cầu ñơn vị của ; ii) mẫu  do lấy mẫu i.i.d

nhập từ phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 0 và phương sai là 1/; iii) mẫu

 do lấy mẫu hình chiếu ngẫu nhiên h giống như là “lấy mẫu không mạch lạc”

(Incoherent Sampling) và chuẩn hóa:   @/h; iv) mẫu  do lấy mẫu i.i.d

nhập từ phân phối Bernouli ñối xứng (h i#,4  D√ j  1/2) hay phân phối

sub-gaussian khác Với xác suất nổi trội, tất cả các ma trận này ñều tuân theo RIP (tức

là ñiều kiện của ñịnh lý) thỏa mãn ñiều kiện sau

 X Y & log/&

Với C là các hằng số phụ thuộc vào các khoảng cách Các ñịnh nghĩa từ

i)-iii) sử dụng kết quả chuẩn của ñịnh lý xác suất; ðối số của iv) là chuẩn hơn Trong

tất cả các vị dụ này, xác suất của ma trận lấy mẫu không tuân theo RIP khi (1.13)

có  theo hàm mũ Ở ñây không có ma trận ño lường và không có thuật toán tái

tạo nào mà nó cho kết luận của ñịnh lý 2 thực chất ít mẫu hơn so với bên tay trái

của (1.13) Việc sử dụng ma trận ngẫu nhiên kết hợp với tối thiểu hóa ℓ là chiến

lược cảm biến cận tối ưu

Người ta cũng có thể thiết lập RIP cho cặp cơ sở trực giao như trong phần

“Không mạch lạc và tín hiệu rời rạc của cảm biến” Với   _ΦΨ với _ trích 

tọa ñộ ñồng nhất một cách ngẫu nhiên, nó ñủ ñể thỏa mãn

Với thuộc tính thỏa mãn xác suất lớn Nếu bạn muốn xác suất lỗi không lớn

hơn k9l với m n 0, vì thế thành phần mũ tốt nhất trong (1.14) là năm thay vì

là bốn (nó vẫn giữ hàm log ) Chứng minh này cho chúng tính ổn ñịnh và tái tạo

chính xác tín hiệu rời rạc từ dự liệu dưới mẫu ñột ngột trong miền không mạch lạc

Cuối cùng, RIP cũng thỏa mãn ma trận   ΦΨ, với Ψ là cơ sở trực giao

tùy ý và Φ là ma trận ño ñạc    ñược lấy từ một phân phối phù hợp Nếu

người ta cố ñịnh Ψ và gắn Φ vào i)-iii), vì thế với xác suất nổi trội, mà trận

  ΦΨ tuân theo RIP thỏa mãn (1.13), với ñộ lợi Y là các hằng số phụ thuộc vào

khoảng cách của chúng Ma trân ño ngẫu nhiên Φ này phổ biến trong cảm biến

Các cơ sở rời rạc thậm chí không ñược biết ñến khi thiết kế các hệ thống ño lường

I.7.3 Mẫu nén là gì?

Việc thu nhận dữ liệu thường làm việc như sau: khối dữ liệu lớn ñược tập

hợp chỉ là một – trong phần lớn – loại bỏ tại giai ñoạn nén tạo ñiều kiện cho việc

chứa đựng và truyền dẫn Chúng tơi xét việc thu nhận được các điểm ảnh (pixel) phân giải cao
, tính tốn hệ số chuyển đổi, mã hĩa các hệ số lớn nhất và loại bỏ tất cả phần khác, kết thúc cơ bản là
` Việc nén các khối dữ liệu xử lý này tiếp theo là khơng cần thiết

CS hoạt động rất đa dạng, và biểu diễn là “nĩ cĩ thể thu nhận trực tiếp các thơng tin quan trọng về đối tượng đang xem xét” Bằng cách lấy khoảng k& log i`j ngẫu nhiên như là “cảm biến ngẫu nhiên”, người ta cĩ đầy đủ thơng tin để tái tạo lại tín hiệu với độ chính xác tốt như là được cung cấp bởi
`, xấp xỉ bậc & - thể hiện cho nén tốt nhất – của đối tượng Nĩi chác khác, giao thức đo lường CS là việc chuyển đổi dữ liệu từ tương tự thành số nén để cĩ thể - ít nhất là

về nguyên tắc – thu được tín hiệu siêu phân giải từ một vài cảm biến Tất cả nhưng

gì chúng tơi cần là sau khi thu nhận là quá trình để “giải nén” các dữ liệu đo

Cĩ một vài nét tương đồng bên ngồi giữa CS và các ý tưởng trong lý thuyết mã hĩa và chính xác hơn là lý thuyết và thực nghiệm của mã hĩa Reed-Solomon (RS) Chúng tơi cĩ thể tái tạo là duy nhất với nhiều tín hiệu S-rời rạc từ

hệ số dữ liệu đầu tiên của khai triển Fourier 2S,   ∑9"=;9#<=/

0,1,2, … ,2& ) 1, hay từ bất kì tập hợp các tần số liên tiếp 2S cho bài tốn đĩ (Chi phí tính cho việc khơi phục chủ yếu là giải quyết hệ thống Toeplitz và lấy n-điểm chuyển đổi Fourier nhanh) ðiều đĩ cĩ nghĩa là bằng cách nào mà người ta cĩ thể

sử dụng kĩ thuật để giải mã tín hiệu nén khơng? Câu trả lởi là khơng và nĩ cĩ 2 nguyên nhân chính Thứ nhất, vấn đề là giải mã RS là kĩ thuật số học, mà khơng

cĩ phân chia với tín hiệu khơng rời rạc; thứ hai, vấn đề tìm sự cung cấp bởi một tín hiệu – ngay cả khi tín hiệu được rời rạc chính xác – từ hệ số biến đổi Fourier 2S đầu tiên là do điểm bất thường gây ra Các hệ số của nhiễu nhỏ sẽ cho các đáp số khác nhau hồn tồn vì thế với tín hiệu hữu hạn chính xác, thì dự đốn xác thực của cung cấp này thực tế là khơng thể Trong khi phương pháp đại số thì hồn tồn

bỏ qua các điều kiện của hệ thống thơng tin, cĩ ma trận điều kiện tốt, vì thế ước

lượng chính xác là chủ yếu, là mối quan tâm chính trong CS cũng như chứng minh ñược vai trò của RIP

I.7.4 Ứng dụng [2]

Thực tế là các tín hiệu nén có thể ñạt ñược hiệu quả bằng cách sử dụng số lượng ño không mạch lạc có tỷ lệ với mức thông tin của nó &   dẫn ñến các ứng dụng:

Nén dữ liệu Trong một vài tình huống, cơ sở rời rạc Ψ có thể không biết trong việc giải mã hay không thực tế ñể thực thị việc nén dữ liệu Quay trở lại

“cảm biến ngẫu nhiên”, tuy nhiên, Φ ñược thiết kế ngẫu nhiên có thể ñược xem như chiến lược mã hóa toàn bộ, trong thiết kế không cần quan tâm ñến cấu trúc của Ψ (Nhận biết và khả năng thực thi Ψ chỉ ñược yêu cầu trong quá trình giải mã hay khôi phục
.) Tính chất chung này có thể ñặc biệt hữu ích trong mã hóa nguồn phân phát trong thiết lập ña sóng chẵng hạn như hệ thống cảm biến)

Mã hóa kênh Lý thuyết CS (rời rạc, ngẫu nhiên, tối ưu lồi) có thể quay trở lại và áp dụng cho thiết kế mã sửa lỗi nhanh hơn số thực ñể bảo vệ khỏi những lỗi trong quá trình truyền

Bài toán ngược Trong các trường hợp khác, cách duy nhất ñể có
chính xác là có thể sử dụng hệ thống ño ñạt Φ của một khối ñã biết Tuy nhiên, giả sử tồn tại một cơ sở rời rạc Ψ cho
mà chúng có mối quan hệ với Φ, vì thế các cảm biến ñạt ñược hiệu quả là có thể Một trong những ứng dụng của nó liên quan ñến chụp MR và các loại thiết lập MR, với Φ ghi lại các tập hợp con của biến ñổi Fourier, và những hình ảnh
mong muốn là rời rạc trong miền thời gian hoặc miền sóng

Thu thập dữ liệu Cuối cùng, trong các ứng dụng quan trọng việc thu thập ñầy ñủ các mẫu n rời rạc theo thời gian của một tín hiệu tương tự là rất khó khăn

ñể ñạt ñược (và có thể khó khăn ñể nén các tần số con) Ở ñây, nó rất hữu ích ñể

thiết kế các thiết bị lấy mẫu vật lý mà nó có thể ghi lại trực tiếp các rời rạc, các ựo ựạt không liền mạch lạc tỷ lệ thấp với tắn hiệu tương tự phụ thuộc

Cuối cùng các ứng dụng này cho thấy rằng toán học và các phương pháp tắnh toán có tác ựộng lớn ựến việc thiết kế phần cứng thông thường có giới hạn ựáng kể Vắ dụ, thiết bị chụp ảnh thông thường mà nó sử dụng kĩ thuật CCD và CMOS bị hạn chế về cơ bản các các phổ nhìn thấy ựược Tuy nhiên với các camera CS thì nó thu thập các số liệu không mạch lạc sử dụng một dãy các gương siêu nhỏ số (và yêu cầu chỉ là một thành phần nhạy sáng thay vì hàng triệu ) có thể

mở rộng các khả năng này

Thông qua ứng dụng, chúng tôi nghiên cứu một phần việc biến ựổi Ộsố qua thông tinỢ (Analog-to-information (A/I)) của tắn hiệu băng thông cao Mục tiêu làm giảm bớt áp lực về công nghệ ADC thông thườngbị giới hạn cho tốc ựộ lấy mẫu trong 1 GHz để chọn lựa, chúng tôi ựã ựề xuất hai kiến trúc cụ thể cho A/I trong ựó gồm một rời rạc, và các ựo ựạt không mạch lạc tỷ lệ thấp có thể ựạt ựược

từ tắn hiệu tương tự có băng thông cao để xấp xỉ ở mức ựộ cao, các ựo ựạt  có thể ựược tắnh toàn là hàm nội suy của  tắn hiệu tương tự
với sóng ựo ựạt tương tự  Với một khung rời rạc CS, các kết quả sơ bộ cho thấy rằng tắn hiệu

rời rạc tương tự hay mô hình có thể thu thập hiệu quả bằng cách sử dụng các thiết

bị này ở tốc ựộ tỷ lệ với mức ựộ thông tin của chúng thay vì tốc ựộ Nyquist Hiển nhiên, sẽ có một thách thức phải giải quyết khi áp dụng phương pháp CS rời rạc ựể khôi phục tắn hiệu tương tự rời rạc Người ta có thể ựơn giản là chấp nhận ý tưởng rằng trong nhiều trường hợp, tra bảng rời rạc/lấy mẫu rời rạc cho phép phục hồi tắn hiệu một cách thắch hợp Hai kiến trúc của chúng tôi như sau

1) Bộ lấy mẫu không ựều (Nonuniform Sampler - NUS)

Kiến trúc ựầu tiên chúng tôi chỉ ựơn giản là số hóa tắn hiệu tại những ựiểm ngẫu nhiên hoặc tại các thời ựiểm giả ngẩu nhiên đó là,  
  
, 7=o

trên một mạng ñều Do không mạch lạc giữa gai và sin, kiến trúc này có thể sử dụng lấy mẫu tín hiệu mà có phổ tần số rời rạc nằm dưới tốc ñộ Nyquist của chúng Ở ñây tất nhiên là có những lợi ích lớn trong việc kết hợp với việc giảm tốc

ñộ lấy mẫu, vì nó cung cấp thêm thời gian sắp ñặt mạch ñiện và có tác dụng làm giảm mức ñộ tiếng ồn

2) ðiều chế ngẫu nhiên tiền tích phân (Radom Modulation Preintegration - RMPI)

Kiến trúc thứ 2 của chúng tôi là ứng dụng vào miền rời rạc ña dạng hơn, ñặc biệt là những tín hiệu mang ý nghĩa rời rạc trong mặt phẳng thời gian – tần số Trong khi nó không có thể số hóa các tín hiệu tương tự tại tỷ lệ tốc ñộ cao, nhưng

nó có thể thay ñổi hoàn toàn cực tính của nó tại tốc ñộ cao Ý tưởng về RMPI [xem hình 4(a)], sau ñó nhân tín hiệu với chuỗi giả ngẫu nhiên D1, kết quả của việc tích phân trên một cửa sổ thời gian, và số hóa các tích phân tại ñiểm cuối của mỗi khoảng thời gian Nó là kiến trúc song song và nó ñã có nhiều cặp ña tích phân ngẫu nhiên sử dụng các chuỗi thiết lập riêng biệt Trong thực tế, kiến trúc RMPI tương quan tín hiệu với một chuỗi các dãy D1, một trong các quá trình ño lường CS ngẫu nhiên ñược hiểu là phổ biến, và vì thế các phép ño RMPI sẽ ñược rời rạc với việc tra bảng thời gian - tần số giống như tra bảng Gabor mô tả dưới ñây

ðối với kiến trúc ở trên, chúng tôi xác ñịnh số lượng (và trong một số trường hợp vật lý) ñó là hệ thống ñủ mạnh ñể mạch không lý tưởng như ồn nhiệt, lỗi xung thời gian, giao thoa, và khuyếc ñại không tuyến tính

Các ứng dụng của kiến trúc A/I ñể thu ñược bản sao y như thực tế sẽ yêu cầu phát triển liên tục của các thuật toán và lý thuyết về CS ðể làm nổi bật một số hướng triển vọng gần ñây , chúng tôi kết luận bằng một ví dụ rời rạc Chúng tôi lấy
là tín hiệu một chiều với chiều dài là   512 và chứa 2 xung ñiều chế [quan sát hình 2] Từ tín hiệu này chúng tôi thu thập số ño   30 sử dụng ma

trận ño ñạt    gắn vào i.i.d Bernouli Nó vượt quá số lượng nhỏ dữ liệu tương ứng với một yếu tố dưới mẫu quá 17 ðể tái tạo lại chúng tôi xem xét từ ñiển Gabor Ψ nó bao gồm nhiều sóng sin khác nhau thời gian thì ñược giới hạn bởi các cửa sổ Gaussian, với vị trí và qui mô khác nhau Nhìn chung bảng tra xấp xỉ khoảng 43  vượt quá hoàn thành và không chứa hai xung mà bao gồm cả
Các ñường cong màu ñỏ trong hình 2(ở giữa) thể hiện kết quả của việc tối thiểu hóa ℓthỏa mãn   ΦΨ" Tái tạo cho thấy các thành phần lạ rõ ràng và chúng tôi thấy (
)
(ℓ+/(
(ℓ+ r 0.67 Tuy nhiên, chúng tôi hầu như loại bỏ các thành phần lạ này bằng các biến ñổi 2 lần chương trình khôi phục ℓ Trước tiên, chúng tôi tối thiểu hóa tΨftℓ

Nthỏa mãn   Φ
 (Biến thể này không làm thay ñổi khi Ψ là một cơ sở trực giao.) Thứ 2, sau khi thu ñược ước lượng
, chúng tôi cân lại

ℓnorm và lập lại quá trình tái tạo, với quá trình thấp hơn áp dụng cho các hệ số

mà chúng tôi biết trước ñược là rất lớn Hình 2(phải) biểu hiện kết quả của bốn bước cân ño lại; chúng tôi thấy (
)
(ℓ+/(
(ℓ+ r 0.022 Vấn ñề ở ñây là mặc

dù số lượng dữ liệu không cần thiết nhỏ, tuy nhiên người ta vẫn thu thập ñược hầu hết các thông tin chứa ñựng tín hiệu

Hình 1.2[2]: Hình ảnh nguyên thủy của 2 tính hiệu (bên trái), hình ảnh tái tạo thông qua ℓ1ñối xứng (giữa) và phân tích trọng số ℓ1

I.8 Mô phỏng các thuật toán bằng Matlab

1.8.1 Giao diện

ðể so sánh các thuật toán ℓ1- norm và ℓ2- norm và ROBUST, tôi ñã thiết

kế một giao diện như sau bao gồm các phần:

1 Tín hiệu ban ñầu

2 Tín hiệu khôi phục

3 So sánh tín hiệu ban ñầu và tín hiệu khôi phục

4 Các thuật toán ℓ1- norm và ℓ2- norm và ROBUST

5 Tổng quan so sánh các thuật toán và rút ra kết luận

6 Tỷ số norm x( −x0) /norm x( )ñể ñánh giá ñộ chính xác của tín hiệu

Với thuật toán ℓ1- norm, chúng tôi có các mô phỏng như sau:

I.7.2 Cảm biến ngẫu nhiên

Trở lại với RIP, chúng tơi muốn tìm ma trận cảm biến có thuộc tính lấy

các vector cột từ tập hợp... chuyển đổi liệu từ tương tự thành số nén để cĩ thể -

về nguyên tắc – thu tín hiệu siêu phân giải từ vài cảm biến Tất

gì chúng tơi cần sau thu nhận trình để “giải nén? ?? liệu đo

Cĩ... chứng minh vai trị RIP

I.7.4 Ứng dụng [2]

Thực tế tín hiệu nén đạt hiệu cách sử dụng số lượng đo khơng mạch lạc có tỷ lệ với mức thơng tin &   dẫn đến ứng